Математические методы и модели в решении задач по экономике
Министерство
образования и науки Российской Федерации
Государственное
образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
«Хабаровская
государственная академия экономики и права»
Кафедра
математики и математических методов в экономике
Контрольная
работа
По
дисциплине: «Математика»
Выполнила:
Лабюк Наталия Андреевна
г.
Благовещенск 2012 г.
Содержание
Задание №1. Анализ
межотраслевых связей
Задание №2.
Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения
с использованием двойственных оценок
Задание 3. Элементы
теории игр
Задание 4.
Моделирование производственных процессов
Список используемых
источников
Задание №1. Анализ
межотраслевых связей
Дан следующий отчётный
межотраслевой баланс (МОБ):
Отрасли
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Конечная продукция.
|
1
|
17,54
|
128,29
|
0,82
|
0,00
|
14,61
|
316,3
|
2
|
18,81
|
180,24
|
107,77
|
14,75
|
82,23
|
306,3
|
3
|
5,95
|
29,71
|
70,61
|
85,06
|
78,49
|
527,5
|
4
|
6,12
|
34,31
|
41,62
|
48,38
|
101,34
|
159,2
|
5
|
10,83
|
97,17
|
89,19
|
61,55
|
279,84
|
1172,4
|
L
|
76
|
36
|
69
|
40
|
58
|
|
Ф
|
33
|
97
|
125
|
75
|
|
Требуется:
. Построить таблицу отчетного
МОБ, проверить основное балансовое соотношение.
. Составить плановый МОБ при
условии увеличения спроса на конечный продукт по отраслям соответственно на
10,9,7,8, и 7 процентов.
. Рассчитать коэффициенты
прямых и полных затрат труда и фондов и плановую потребность в соответствующих
ресурсах.
. Проследить эффект матричного
мультипликатора при дополнительном увеличении конечного продукта по третьей
отрасли на 5 %.
. Рассчитать равновесные цены
при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10 % (считать доли зарплаты в
добавленной стоимости по отраслям следующими: 0,33, 0,5, 0,35, 0,43, 0,6).
Проследить эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении
зарплаты в первой отрасли на 5 %.
Решение
. Заполним таблицу отчётного
МОБ:
Отрасли
|
1
|
2
|
4
|
5
|
6
|
Итого
|
Конечная продукция.
|
Валовая продукция.
|
1
|
17,54
|
128,29
|
0,82
|
0,00
|
14,61
|
161,26
|
316,3
|
477,56
|
2
|
18,81
|
180,24
|
107,77
|
14,75
|
82,23
|
403,80
|
306,3
|
710,1
|
3
|
5,95
|
29,71
|
70,61
|
85,06
|
78,49
|
269,82
|
527,5
|
797,32
|
4
|
6,12
|
34,31
|
41,62
|
48,38
|
101,34
|
231,77
|
159,2
|
390,97
|
5
|
10,83
|
97,17
|
89,19
|
61,55
|
279,84
|
538,58
|
1172,4
|
1710,98
|
Итого
|
59,25
|
469,72
|
310,01
|
209,74
|
556,51
|
1605,23
|
4086,93
|
Добавленная стоимость.
|
418,31
|
240,38
|
487,31
|
181,23
|
1154,47
|
2481,7
|
|
|
Валовая продукция.
|
477,56
|
710,1
|
797,32
|
390,97
|
1710,98
|
4086,93
|
|
|
Труд
|
76
|
36
|
69
|
40
|
58
|
279,00
|
|
Фонды
|
33
|
97
|
125
|
83
|
75
|
413,00
|
|
Столбец "Итого" -
промежуточный продукт отраслей - в сумме с конечной продукцией даёт валовой
продукт, а строка "Итого" - стоимость материальных затрат - будучи
вычтена из валовой продукции даёт добавленную стоимость отраслей.
Основное балансовое соотношение
- общая по всем отраслям добавленная стоимость (2481,7) равна общему для всех
отраслей конечному продукту (2481,7) - выполняется.
. Для составления таблицы
планового МОБ рассчитаем матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат по
формуле:
т.е. все элементы каждого
столбца матрицы межотраслевых потоков делятся на валовой выпуск соответствующей
потребляющей отрасли (1 - ый столбец делится на первое значение, 2 - ой столбец
делится на второе значение и т.д.).
Элементы матрицы планового МОБ
рассчитаем по формуле:
где Е - единичная матрица;
(Е - А)-1 - матрица, обратная к
матрице (Е - А).
Запишем матрицу (Е - А), а матрица В
= (Е - А)-1 дана в условии.
Значения Упл получены увеличением
конечного продукта планового МОБ на заданный процент его роста:
Получим:пл = (347,93; 333,87;
564,43; 171,94; 1254,47)Т.
индекс Т - означает, что
матрица-строка транспонирована.
Умножая матрицу В на матрицу-столбец
Yпл получим матрицу-столбец Хпл (плановый валовой продукт):
Значения Хпл вписаны в таблицу
планового МОБ:
Отрасли
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Итого
|
Конечная продукция.
|
Валовая продукция.
|
1
|
19,20
|
138,96
|
0,88
|
0,00
|
15,65
|
174,69
|
347,93
|
522,6
|
2
|
20,58
|
195,24
|
115,50
|
88,11
|
435,32
|
333,87
|
769,2
|
3
|
6,51
|
32,18
|
75,67
|
91,61
|
84,10
|
290,08
|
564,43
|
854,5
|
4
|
6,70
|
37,16
|
44,61
|
52,11
|
108,58
|
249,16
|
171,94
|
421,1
|
5
|
11,85
|
105,26
|
95,59
|
66,29
|
299,85
|
578,83
|
1254,47
|
1833,3
|
Итого
|
64,84
|
508,80
|
332,25
|
225,90
|
596,30
|
1728,09
|
2672,6
|
4400,7
|
Добавленная стоимость.
|
457,76
|
260,4
|
522,25
|
195,2
|
1237
|
2672,6
|
|
|
Валовая продукция.
|
522,6
|
769,2
|
854,5
|
421,1
|
1833,3
|
4400,7
|
|
|
Значения межотраслевых потоков
планового МОБ получены по формуле:
Хij = aij×Xj,
где aij - элементы матрицы А; -
соответствующие значения валового продукта планового МОБ.
Значения Хij, например для
отрасли 1 получены произведением плановой валовой продукции этой отрасли
(522,6) на первый столбец матрицы прямых материальных затрат (матрицы А):
Эти значения немного отличаются от
величин Х1j, показанных в таблице, т.к. расчёты в таблице выполнены в Excel,
т.е. без округления промежуточных результатов.
Основное балансовое соотношение -
общая по всем отраслям добавленная стоимость (2672,64) равна общему для всех
отраслей конечному продукту (2672,53) - выполняется с учётом округлений.
. Коэффициенты прямой трудоёмкости и
фондоёмкости по отчётному году составляли:
= Lj/ = 0,1591; 0,0507; 0,0865; 0,1072;
0,0339;= Фj/ = 0,0691;
0,1366; 0,1568; 0,2225; 0,0438;
где - валовая продукция отчётного МОБ
Тогда плановая потребность в труде и
фондах при этих же коэффициентах и плановых значениях валовой продукции
составят:
= tj×Xj = 83,17; 38,995; 73,949; 43,082;
62,147;
Фj = fj×Xj = 36,114;
105,071; 133,966; 89,396; 80,362;
. Увеличив спрос на конечный продукт
на 5 % по отрасли № 3, получим матрицу - столбец прироста спроса по отраслям:
ДY = (0; 0; 28,22; 0; 0)T;
ДХ = В×ДY = (1,30; 6,41; 32,23; 2,68;
5,90)Т;
Таким образом, изменение спроса на
конечную продукцию только по третьей отрасли вызвало изменение спроса на
валовую продукцию по всем отраслям. В процентном соотношении эти изменения
составят: (0,25; 0,83; 3,77; 0,64; 0,32) %, т.е. по третьей отрасли изменения
наибольшие.
. Равновесные цены наёдём из
соотношения Р = ВТ×V, а доли
добавленной стоимости V найдём, разделив добавленную стоимость по отраслям на
валовой выпуск:= (0,876; 0,339; 0,611; 0,464; 0,675).
Выделив отсюда заработную плату по
долям из условия и прибавив 10 % заработной платы к найденным долям Vj,
получим:
доли заработной платы в валовой
продукции: (0,289; 0,169; 0,214; 0,199; 0,405).
доли добавленной стоимости в валовой
продукции: V = (0,905; 0,356; 0,633; 0,484; 0,715)
Транспонируя матрицу В и умножая ВТ
на матрицу - столбец V, получим матрицу - столбец равновесных цен:
;
Таким образом, при росте заработной
платы на 10 % по всем отраслям цены на продукцию выросли в пределах от 4,1 % до
5,7 %, причём в наибольшей степени цены выросли в пятой отрасли, где доля
заработной платы в добавленной стоимости самая высокая.
При дополнительном увеличении
заработной платы в первой отрасли на 5 % изменение равновесных цен определим по
формуле:
ДР = ВТ×ДV,
где ДV определим из условия задачи:
ДV = (0,0145; 0; 0; 0; 0,)Т;
Тогда: ДР = (0,0152; 0,0038;
0,00066; 0,0004; 0,00043)Т.
Из расчёта следует, что при 5% - ном
росте зарплаты в первой отрасли цены на её продукцию вырастут на 1,52%, а в
остальных отраслях этот прирост составил от 0,04 % до 0,38%.
Эффект мультипликатора в п.4 и в п.5
проявился в том, что изменение спроса на конечную продукцию в одной отрасли
привело к изменению валового спроса по всем отраслям, а изменение заработной
платы в одной отрасли привело к изменению цен во всех отраслях.
Задание №2. Определение оптимального
плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием
двойственных оценок
Составить модель задачи и на примере
ее решения проиллюстрировать свойства двойственных оценок. Рассмотреть задачу
по определению оптимального плана выпуска продукции, максимизирующего выручку
при известных нормах расхода ресурсов, объемах ресурсов и ценах реализации
продукции.
Дано: матрица расхода ресурсов (А),
объём ресурсов (В), цены реализации (С):
Модель задачи формулируется
следующим образом: Найти х1; х2; х3; х4 (объёмы производства каждого вида
продукции), удовлетворяющие ограничениям:
Для решения этой задачи симплекс -
методом она приводится к каноническому виду добавлением в левые части
ограничений неотрицательных балансовых переменных S1; S2; S3; S4:
Значения балансовых переменных
показывают объёмы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане.
|
Х1
|
Х2
|
Х3
|
Х4
|
RHS
|
Dual
|
Maximize
|
3
|
3
|
4
|
5
|
|
|
Constraint 1
|
4
|
2
|
5
|
2
|
550
|
0,2917
|
Constraint 2
|
3
|
0
|
3
|
1
|
350
|
0
|
Constraint 3
|
0
|
5
|
2
|
6
|
650
|
0,5833
|
Constraint 4
|
4
|
1
|
3
|
2
|
520
|
0,4583
|
Solution
|
67,0833
|
0
|
15
|
103,3333
|
|
Отчёт о решении этой задачи
представлен в таблице.
В последней строке этого отчёта
под переменными Х1; Х2; Х3; Х4 указаны их значения в оптимальном решении, а также
значение целевой функции в столбце RHS.
В последнем столбце указаны
двойственные оценки оптимального решения.
Для получения максимального
дохода необходимо продукцию Х1; Х2; Х3; Х4 выпускать в объёмах: Х1 = 67,083; Х2
= 0; Х3 = 15; Х4 =103,33; При этом Zmax = 777,92
Двойственная задача: Найти
значения переменных Y1; Y2; Y3; Y4, удовлетворяющих ограничениям:
при которых целевая функция:
становится минимальной.
Решения двойственной задачи из
отчёта таковы:= 0,292; Y2 = 0; Y3 = 0,583; Y4 = 0,458;
Из анализа двойственных оценок
следует:
. Так как каждая из них указывает,
на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная
выручка) если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов, то
наибольшее изменение выручки произойдёт, если изменить объём 3-го ресурса.
Изменение 2-го ресурса в пределах остатка не приведёт к изменению целевой
функции (у2 = 0).
. Y1; Y3;Y4 положительны, т.е. эти
ресурсы расходуются полностью.
Проверка по неравенствам исходной
задачи:
(1) 4∙67,0833 + 2∙0 + 5∙15
+ 2∙103,333 = 550 = 550;
(3) 0∙67,0833 + 5∙0 + 2∙15
+ 6∙103,333 = 650 = 650;
(4) 4∙67,0833 + 1∙0 + 3∙15
+ 2∙103,333 = 520 = 520;
следовательно, эти ресурсы дефицитны.
Поскольку у2 = 0, то второй ресурс расходуется не полностью:
(2) 3∙67,0833 + 0∙0 + 3∙15
+ 1∙103,333 = 349,583 < 350;
Остаток 2-го ресурса S2 = 350 -
349,583 = 0,417 единиц определяет значение балансовой переменной в оптимальном
решении исходной задачи.
. Рентабельными являются 1-я, 3-я, и
4-я продукция т.к. Х1; Х3; Х4 - положительны, а 2-я продукция нерентабельна
т.к. она не производится (Х2 = 0). Проверка по неравенствам двойственной
задачи:
(1) 4∙0,2917 + 3∙0 + 0∙0,5833
+ 4∙0,4583 = 3 = 3;
(2) 2∙0,2917 + 0∙0 + 5∙0,5833
+ 1∙0,4583 = 3,96 > 3;
(3) 5∙0.2917 + 3∙0 + 2∙0.5833
+ 3∙0.4583 = 4 = 4;
(4) 2∙0.2917 + 1∙0 + 6∙0.5833
+ 2∙0.4583 = 5 = 5;
Таким образом, по 1-у , 3-у и 4-у
уравнениям получены строгие равенства т.е. суммарная оценка ресурсов равна цене
продукции, а во 2-м уравнении (для 2-ей продукции) затраты превышают цену на
3,96 - 3 = 0,96 ед., что даёт такой убыток на единицу в случае её производства.
Задание 3. Элементы теории игр
Найти решение игры заданной
матрицей:
Нижняя цена игры: Верхняя цена
игры:
Матрица игры имеет седловую точку V
= 4. Из систем уравнений:
Таким образом, решение игры:
Задание 4. Моделирование
производственных процессов
труд межотраслевой игра
дуглас
Пусть производственная система
характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа
где Y - произведённый продукт;
С - масштабный множитель;
К - затраты капитала; - затраты
труда;
б - коэффициент эластичности выпуска
по капиталу (0<б<1);
(1 - б) - эластичность выпуска по
труду.
За период времени системой было
произведено 110 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц
капитала. Известно, что б = 0,75.
. Записать производственную функцию
Кобба-Дугласа.
. Сколько единиц продукта будет
произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единицах капитала?
. Определить для данной производственной
системы средние продукты труда и капитала, используя формулы 4.2; 4.3; 4.4.
. Определить предельные продукты
труда и капитала, используя формулы 4.5 и 4.6. Прокомментировать результаты
расчётов.
. Проверить вычислениями точность
равенства 4.10.
Решение
. Подставим в формулу (4.1)
исходные данные:
= С∙400,75∙200,25.
После вычислений получим:
= С∙15,905∙2,115 или С =
110/33,636 = 3,27.
Окончательно имеем: = 3,27
K0,75L0,25.
. Подставим в полученное выражение
для производственной функции новые данные: = 3,27∙500,75∙250,25 =
3,27∙18,803∙2,236 = 137,5.
Таким образом, системой при новых
данных будет произведено 137,5 единиц продукта.
. Подсчитаем средние продукты
факторов, используя формулы (4.2), (4.3) и (4.4).
Из формулы (4.2) Ayk = Y/K следует,
что фондоотдача Ayk = 110/40 = 2,75.
Из формулы (4.3) Ayk = C (L/K)1-. следует:
= 3,27∙K0,75L0,25/К = 3,27∙L0,25/К0,25
= 3,27∙ (20/40)0,25 = 2,75.
Из левого выражения (4.4)
Ayl = Y/L = C (K/L)= Y/L =
110/20 = 5,5.
Правая часть этого выражения даёт:
= C∙(K/L)= 3,27∙(40/20)0,75
= 5,5.
Таким образом, проверяемые равенства
выполняются.
. Предельный продукт капитала - это
частная производная выпуска по капиталу:
Получили, что действительно,
Мyk =∙Ayk = 0,75∙2,75 =
2,062.
Аналогично предельный продукт труда:
МyL = (1-) Ayl = 0,25∙5,5
= 1,375.
Сравнивая средние и предельные
продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше
средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.
Средний продукт капитала, равный
2,75 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных
фондов приходится в среднем 2,75 единиц выпускаемого продукта, а предельный
продукт капитала, равный 2,062, означает, что в исследуемой экономической
системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 2,062 единиц
прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.
. Пусть левая часть выражения (4.10)
Y(K+K, L+L) Y + (Y/K)K + (1-) (Y/L)L.
- это выпуск продукта, подсчитанный
в п. 2. Тогда K = 10, а L = 5.
Подсчитаем правую часть выражения (4.10).
+ (Y/K)K + (1-)∙(Y/L)L = 110 +
0,75∙(110/40)∙10 + 0,25∙(110/20)∙5 = 110 + 20,625 +
6,875 = 137,5.
Таким образом, равенство 4.10
выполняется точно.
Список используемых источников
1. Бушин П.Я.,
Захарова В.Н. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие. -
Хабаровск, 1998.
2. Бушин П.Я.
Математические модели в управлении: учеб. пособие. - Хабаровск, 1999.
. Экономико-математическое
моделирование: учебник для студентов вузов / под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. -
М.: Экзамен, 2004.
. Пелих А.С.
Экономико-математические методы и модели в управлении производством / А.С.
Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. Терехова. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2005.
. Бережная
Е.В. Бережной В.Н. Математические методы и модели экономических систем: учеб.
пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003.
. Фомин Г.П.
Математические методы и модели в коммерчесокй деятельности: учебник. - 2-е
изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005.