|
Производная алгебраической суммы функций
|
|
|
Производная произведения функций
|
|
|
Производная частной функций
|
|
|
Производная сложной функций
|
|
Пример 1.
Найти
производную (вынос постоянного числа за знак производной) 
Решение.
.
Пример
2. Найти производную частного функции 
.
Решение.
Упражнения.
Вычислить
производную функции:
)
)
)
.
Ответы
упражнениям.
)
2)
3) 
.
дифференциальный уравнение экономический
Дифференциальное уравнение n-го
порядка записывается в виде:
.
Обыкновенным ДУ первого порядка является уравнение вида:
уравнением в частных производных первого порядка является уравнение вида:
;
уравнением 
-го порядка, разрешенным относительно старшей производной
является уравнение вида:
.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция 
, которая при подстановке ее в данное
уравнение обращает его в тождество. Задача о нахождении решения некоторого
дифференциального уравнения --- задача интегрирования данного дифференциального
уравнения.
Общее решение ДУ --- это такое его решение,
, которое является функцией
независимой переменной и произвольных постоянных, число которых равно порядку
уравнения.
Частное решение ДУ --- это решение, получаемое из общего решения, при
некоторых конкретных числовых значениях произвольных постоянных.
2.2 Теорема 1
(условия существования и единственности задачи Коши)
Задача Коши:
Пусть в ДУ (*) правая часть и ее частная производная по 
непрерывны на открытом множестве 
координатной плоскости ОХУ. Тогда
справедливы утверждения:
. Для всякой точки 
из открытого множества 
найдется решение 
уравнения (*), удовлетворяющее
начальному условию (**) 
. Если два решения 
и 
уравнения (*) совпадают хотя бы для одного значения 
т.е. если 
то эти решения совпадают при всех
значениях переменной 
, для которых они определены.
Примеры.
. 
Это ДУ первого порядка. Общее
решение 
. Условие Теоремы 1 выполнено для
всей OXY. Решением задачи Коши с начальными условиями 
является функция 
.
. 
Это ДУ первого порядка. Общее
решение ДУ 
. Условие Теоремы 1 для всей OXY не выполнено (т.к. частная
производная 
не существует при 
). Поэтому единственность решения
нарушается в точке 
.
Упражнения.
1)
Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
.
)
Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения 
, 
.
Ответы
к упражнениям.
)
. 2)
.
2.3 Неполные
ДУ первого порядка
или 
. Решение выглядит так 
.
или 
. Решение выглядит так 
.
Примеры.
)
)
.
Упражнения.
1)
)
.
Ответы
к упражнениям.
)
2)
.
.4 ДУ с
разделяющимися переменными
или 
.
Тогда 
.
Пример.
.
Упражнения.
)
)
.
Ответы
к упражнениям.
)
2)
.
2.5
Однородные ДУ
Сделаем замену
Функция 
--- однородная 
-го порядка (степени ), если 
Функция 
в уравнении --- однородная нулевой степени.
Уравнение 
может быть сведено к однородному:
если 
однородные функции степени .
Примеры.
.
Упражнения.
)
)
.
Ответы
к упражнениям.
)
2)
.
2.6 Линейные
ДУ первого порядка
.
Сделаем замену
, т. к. 
.
Пример.
Упражнения.
)
.
Ответы
к упражнениям.
1)
2)
.
2.7 ДУ
Второго порядка, допускающие понижение порядка
В некоторых случаях решение ДУ второго порядка может быть сведено к
последовательному решению двух ДУ первого порядка. Тогда говорят, что ДУ
допускает понижение порядка.
.
Уравнение можно переписать в виде
Пример.
.
.
при 
.
отсюда находим 
.
Пример.
.
при 
.
находим 
.
ПРИМЕР.
Упражнения.
1)
)
)
.
Ответы
к упражнениям.
)
2)
3)
.
.8 Линейные
ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
однородное ДУ.
неоднородное ДУ.
2.9
Однородные линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Ищем решение Эйлера:
где 
характеристическое уравнение ДУ (*).
Корни характеристического уравнения и линейно независимые решения ДУ (*)
при 
имеем
линейно независимые решения.
при 
линейно независимые решения.
при 
линейно независимые решения.
.
Теорема. Если 
два линейно независимых решения ДУ (*),то общее решение (*)
имеет вид: 
где 
произвольные постоянные.
.10
Неоднородные линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных.
Решение ищем в виде линейной комбинации решений (*), где произвольные
постоянные являются функциями от :
функции 
и 
находим, решая систему из двух уравнений:
,
Пример 1.
где 
общее решение (*), 
частное решение (**).
Теорема. Общее решение ДУ (**) равно сумме общего решения однородного ДУ
(*) и частного решения неоднородного ДУ (**).
Частные решения неоднородного ДУ (**) для некоторых видов правой части.
) Правая часть 
.
Частное решение 
Пример 2.
.
) Правая часть 
.
Частное решение 
где 
кратность 
как корня характеристического уравнения (+).
Пример 3.
.
) Правая часть 
Частное решение 
,
где кратность 
как корня характеристического уравнения (+).
Пример 4.
.
) Правая часть 
.
Частное решение 
,
где кратность 
, как корня характеристического уравнения (+), степень 
равна наибольшей из степеней
многочленов 
.
Упражнения.
1)
)
)
.
Ответы
к упражнениям.
)
)
)
.
2.11 Система
дифференциальных уравнений
Нормальная система ДУ 
при 
.
Иногда система ДУ сводится к ДУ более высокого порядка, зависящего только
от одной функции:
.
Автономная система ДУ
при .
2.12
Использование дифференциальных уравнений для решения экономических задач
Дифференциальные уравнения находят достаточно широкое применение в
моделях экономической динамики, в которых отражается не только зависимость
переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.
Пример 1.
Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при
условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть 
обозначает начальную денежную сумму,
а 
--- денежную сумму по истечении лет.
Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели
где 
Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого
полугодия), то мы бы имели
где 
Вообще, если проценты начисляются раз в год и принимает последовательно значения 
Тогда 
то есть 
.
Если обозначить 
, то предыдущее равенство перепишется так
.
Неограниченно увеличивая (при 
) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы
при непрерывном начислении процентов
,
то есть при непрерывном изменении закон возрастания выражен
дифференциальным уравнением 1-го порядка. Отметим для четкости, что 
--- неизвестная функция, --- независимая переменная, 
--- постоянная. Для решения данного
уравнения перепишем его следующим образом:
откуда 
, или 
, где через 
обозначено 
.
Учитывая начальное условие 
, найдем : 
, следовательно, 
.
Решение имеет вид: 
.
Найти функцию спроса, если 
и 
. Эластичность спроса (относительно
цены) определяется формулой
.
---
первоначальное значение цены,
---
первоначальное значение объема спроса.
Из
определения эластичности следует, что 
, т.е.
искомая функция задается уравнением с разделяющимися переменными. Решая это
уравнение, получаем 
.
Учитывая
начальное условие , имеем 
.
Окончательно 
.
Упражнения.
)
В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без
применения экстренных санитарно-профилактических мер) описываемых уравнением 
, где - число
заболевших в момент времени 
; - число недель. Сколько больных будет в поселке через
две недели, если в начальный момент было трое больных?
)
Функция спроса и предложения имеют вид:
, 
.
Найти
зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент 
.
В
простейших ситуациях спрос на товар (предложение товара) предполагается
зависящим от его цены. В более сложных случаях в расчет принимается также
зависимость спроса (предложения) от скорости изменения цены.
)Найти
функцию дохода 
, если известно, что величина потребления задается
функцией 
; коэффициент капиталоемкости пророста дохода 
, 
.
---
единица времени.
Коэффициент
капиталоемкости --- отношение применяемого в производственном процессе, фирме
или отрасли капитала к объему выпуска в течение определенного периода времени,
как правило, одного года.
Ответы
к упражнениям.
)
2)
3)
.
3. Тест
Найти дифференциал функций:
a)
b)
c)
d)
)
)
b)
c)
d)
)
)
b)
)
d)
)
)
b)
c)
)
)
)
b)
c)
d)
)
)
b)
c)
d)
)
)
b)
c)
d)
)
)
b)
c)
d)
9)
)
b)
c)
d)
)
)
b)
c)
d)
Ответы к тесту: 1)a 2)c 3)b 4)a 5)d 6)b 7)a 8)c 9)b 10)d
Используемая
литература
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. // М., Высшая школа. 1986 ( в 2 - х томах ).
. Под ред. проф. В.И. Ермакова. Сборник задач по высшей
математике. // М., Инфра - М., 2001.
. Васильев А.А. Практикум по высшей математике. Аналитическая
геометрия. ч. 2. Пределы последовательностей. // Сыктывкар, 2007.
. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.
Сборник задач по высшей математике. // М., Айрис Пресс, 2001.
. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 1 (10-е
издание). // М.: Наука, 1974