Определение поверхности тела. Проецирование геометрических тел (призма, пирамида, шар)

Определение поверхности тела. Проецирование геометрических тел (призма, пирамида, шар)

Определение поверхности тела. Проецирование геометрических тел (призма, пирамида, шар)

Технические объекты любой формы можно разделить на различные геометрические тела, границами которых являются поверхности. Поэтому, выполняя комплексные чертежи различных технических объектов (деталей, сборочных единиц и т.д.) необходимо знать способы образования поверхностей и их изображения на чертеже. Наиболее широкое применение в инженерной практике получил кинематический способ образования поверхностей (от греческого слова kinema - движение). В этом случае поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии, называемой образующей ln, непрерывно перемещающейся в пространстве вдоль другой линии направляющей qn по определенному закону. Такие поверхности называются кинематическими (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Кинематические поверхности

Некоторые поверхности образуются движением линий постоянной формы, которые конгруэнтны друг с другом (поверхности с постоянной образующей), другие же так, что образующая вместе с изменением положения в пространстве изменяет и свою форму (поверхности с переменной образующей). На кинематических поверхностях можно выделить семейство направляющих ln и семейство образующих qn. Множество точек или линий, принадлежащих поверхности и объединенных каким-либо общим признаком, называется ее каркасом (точечным или линейным). Следовательно, каждая кинематическая поверхность имеет два каркаса: направляющих и образующих. Эти каркасы образуют каркасную сеть. Если множество точек или линий, определяющих поверхность, непрерывно, то каркас называется непрерывным. В противном случае он называется дискретным. В первом случае через любую точку поверхности можно провести линию каркаса (для кинематических поверхностей две линии: образующую и направляющую). Следовательно, непрерывный каркас определяет единственную поверхность. Во втором случае каркас состоит из конечного числа линий или точек, и могут существовать поверхности с одним и тем же дискретным каркасом, отличающиеся друг от друга.

Способы задания поверхностей:

а) Аналитический способ задания поверхностей.

В этом случае поверхность рассматривается как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F (х, у, z) = 0, где F - многочлен. Для алгебраических поверхностей существует понятие «порядок». Если поверхность определяется уравнением n-й степени, то она называется алгебраической поверхностью n-го порядка. Порядок поверхности также соответствует числу точек пересечения поверхности с прямой линией. В частности, плоскость определяется уравнением первой степени и является поверхностью первого порядка. Поверхность n-го порядка можно определить как поверхность, пересекающуюся с произвольной плоскостью по кривой того же порядка.

б) Графические способы задания поверхностей.

Определитель  поверхности. Для построения изображений поверхности на чертеже необходимо выяснить, проекции каких элементов надо задать для того, чтобы получить обратимый чертеж этой поверхности, т.е. такой чертеж, по которому можно реконструировать объект. Поверхность считается заданной на чертеже, если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о ее принадлежности данной поверхности. Или же можно сказать, что поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей данной поверхности, можно построить ее вторую проекцию. Сложные поверхности технических объектов (самолетов, кораблей, автомобилей), детали сложной формы - (лопатки турбин, компрессоров), имеющие образующие переменной формы, задаются дискретным каркасом линий или точек. Такие поверхности называются каркасными. Они задаются на чертеже проекциями элементов каркаса. Точность задания поверхности в этом случае зависит от плотности каркаса. Для задания на чертеже кинематических поверхностей вводится понятие: определитель поверхности. Совокупность всех условий, определяющих поверхность, называется определителем поверхности. Определитель поверхности включает в себя: - геометрическая часть, т.е. геометрические элементы поверхности; - алгоритмическую часть, т.е. соотношение между ними (взаиморасположение элементов, условие перемещения одного элемента относительно другого, закон изменения образующей - для поверхностей с переменной образующей и т.д.). Соотношение элементов может быть задано аналитически, в словесной форме, чертежом. Одна и та же поверхность может иметь несколько различных определителей. Выбирают тот из них, который по каким-либо признакам удобнее в каждом конкретном случае. Например, поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована вращением прямолинейной образующей l вокруг параллельной ей оси i. Но эта же поверхность может быть образована перемещением окружности постоянного радиуса вдоль прямой линии (оси i) таким образом, что ее центр всегда принадлежит оси. Изобразить поверхность можно проекциями геометрической части ее определителя. Такое изображение обеспечивает обратимость чертежа, но не является наглядным и затрудняет чтение чертежа. Поэтому для получения наглядного изображения поверхности на чертеже следует показывать очерк (очертание) этой поверхности. Проекция контура видимости поверхности при ее проецировании по заданному направлению, называется очерком. Так, например, очерк прямого кругового цилиндра, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, на главном виде ограничен проекциями крайних образующих (представляет прямоугольник), а на виде сверху - проекцией основания (представляет окружность).

1. Классификация поверхностей

поверхность геометрический проекция

Многообразие форм поверхностей создает большие трудности при их изучении. Для облегчения процесса изучения поверхностей целесообразно осуществить их систематизацию. Кинематические поверхности систематизируются по форме образующей и закону ее перемещения в пространстве.

По форме образующей различают поверхности:

) линейчатые, образующая - прямая линия);

) нелинейчатые (образующая - кривая линия).

По закону перемещения образующей различают:

) поверхности вращения (образованные вращением образующей вокруг оси i);

) циклические поверхности (образованные движением в пространстве окружности).

) винтовые поверхности (образованные винтовым перемещением образующей).

Винтовое перемещение состоит из вращения вокруг оси i и продольного перемещения вдоль нее. Следовательно, для линейчатых и циклических поверхностей характерно постоянство формы образующей и разнообразие законов ее движения. Для поверхностей вращения - постоянство закона движения и разнообразие форм образующих.

Очевидно, что некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным типам. Например, поверхность прямого кругового цилиндра является линейчатой и поверхностью вращения.

.Определители геометрических поверхностей

Определители гранных поверхностей

Это поверхности, ограниченные плоскими фигурами многоугольниками. Плоскость - это простейшая поверхность. Ее определителями являются три несовпадающие точки.

Определитель плоскости

Плоские фигуры называются гранями, а линии их пересечения - ребрами. Ребра пересекаются в точках, называемых вершинами.

Гранная поверхность называется выпуклой, если она целиком лежит по одну сторону от плоскости любой своей грани. Практический интерес представляют призматические и пирамидальные поверхности. Направляющей этих поверхностей является ломаная линия q, образующей - прямая линия l, т.е. геометрическая часть определителя у них одинаковая. Отличаются они условиями перемещения образующей, т.е. алгоритмической частью. В случае образования призматической поверхности образующая остается параллельна сама себе, а пирамидальной - образующая должна все время проходить через точку S, называемую вершиной пирамиды. Рис. 1.5; 1.6. Пирамидальная поверхность является двухполостной.

Рис. 1.5. Определитель призмы   Рис. 1.6. Определитель пирамиды

Если рассечь пирамидальную поверхность с замкнутой направляющей q плоскостью, не проходящей через вершину, то часть пространства, ограниченная плоскостью (основанием) и поверхностью, называется пирамидой. Если рассечь двумя плоскостями, то получится усеченная пирамида. Иначе, пирамидой называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из некоторого числа плоских треугольников - боковых граней и одного плоского многоугольника - основания. Если рассечь призматическую поверхность с замкнутой направляющей q двумя плоскостями, не параллельными образующей, то часть пространства, расположенная между секущими плоскостями внутри поверхности, называется геометрическим телом - призмой. Ее боковая поверхность состоит из параллелограммов или прямоугольников, по числу которых призма называется трех, - четырехгранной и т. д. Основания призмы - плоские многоугольники с числом сторон, равным числу боковых граней. На практике редко изображают призматическую и пирамидальную поверхности, обычно изображают призмы и пирамиды, т.е. тела.

.Проецирование геометрических тел

Проецирование - это процесс получения проекций предмета на какой-либо поверхности (плоской, цилиндрической, сферической, конической) с помощью проецирующих лучей.

Проецирование может осуществляться различными методами.

Методом проецирования называется способ получения изображений с помощью определенной, присущей только ему совокупности средств проецирования (центра проецирования, направления проецирования, проецирующих лучей, плоскостей (поверхностей) проекций), которые определяют результат - соответствующие проекционные изображения и их свойства.

Для того чтобы получить любое изображение предмета на плоскости, необходимо расположить его перед плоскостью проекций и из центра проецирования провести воображаемые проецирующие лучи, пронизывающие каждую точку поверхности предмета. Пересечение этих лучей с плоскостью проекций дает множество точек, совокупность которых создает изображение предмета, называемое его проекцией. Таким образом, методом проецирования можно отобразить на плоскости любой объект (нуль-, одно-, двух- и трехмерный). В этом отношении метод проецирования является универсальным.

Сущность проецирования легче понять, если вспомнить получение изображения в кинотеатре: световой поток лампы кинопроектора проходит через пленку и отбрасывает изображение на полотно. При этом изображение на киноэкране будет в несколько раз больше изображения на кинопленке.

Существует центральное (или перспективное) и параллельное проецирование. Параллельное проецирование бывает прямоугольным (ортогональным) или косоугольным

. Методы проецирования

Проецирование призмы

Призма (греч. Prisma), многогранник, две грани которого (основания) - равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани (боковые) - параллелограммы. (Рис. 1). По числу боковых граней призмы разделяются на трехгранные, четырехгранные и т.д. Призма, основания которой параллелограммы, называется параллелепипедом. (Рис. 1в) Если все боковые грани составляют с основаниями прямые углы, призма называется прямой. (Рис.1а).

Построение ортогональных проекций прямой шестигранной призмы приведено на рис. 2а. Горизонтальная проекция призмы представляет правильный шестигранник. На фронтальную и профильную проекции призма проецируется в виде прямоугольников, ширина которых определяется горизонтальной проекцией, а высота равна высоте призмы. Вертикальные стороны прямоугольников - проекции вертикальных граней боковой поверхности призмы.

Рис. 2

Построение призмы в прямоугольной изометрии приведено на рис.2 6. Построение начинаем с расположения аксонометрических осей OX, OY, OZ, проведя их под углом 120° друг к другу.

Ось призмы направим по оси OZ и отложим на ней высоту призмы. Через точку О1прве-дем аксонометрические оси 01X1 параллельно ОХ и 01Y1 параллельно 0Y.

Принимая точки О и 01 за центры верхнего и нижнего оснований призмы, строим два одинаковых шестигранника, основания призмы. Затем соединяем вершины нижнего и верхнего оснований вертикальными ребрами. Невидимую часть нижнего основания призмы и задние (невидимые) ребра выполним штриховой линией.

Построение точек на поверхности призмы в ортогональных и аксонометрической проекциях показано на рис.2.

Точка А расположена на боковой поверхности призмы. По ее фронтальной проекции а' находим ее горизонтальную проекцию (а), лежащую на шестиграннике основания призмы. Профильная проекция (а") точки А строится обычным способом нахождения ее координат (ах, ау, az) по осям. На прямоугольной изометрии цилиндра точка А также строится обычным способом по ее координатам (ах, ay, az). 

Построение развертки поверхности призмы показано на рис.3. Разверткой поверхности называют плоскую фигуру, образуемую последовательным совмещением плоских элементов этой поверхности с одной плоскостью.

Размеры всех элементов развертки имеют натуральную величину.  Полная поверхность призмы состоит из боковой поверхности и двух равных оснований (верхнего и нижнего). Боковая поверхность призмы представляет собой шесть прямоугольников с основанием равным стороне правильного шестигранника и высотой, равной высоте призмы. Для получения полной развертки призмы необходимо к развертке боковой поверхности пристроить верхнее и нижнее основания. Для перенесения на развертку точки А, принадлежащей боковой поверхности призмы, на ребре 1-6 развертки откладывают расстояние (1)-(а), взятое с плана призмы (Рис.2а), и через полученную точку К восставляют перпендикуляр к ребру 1-6, длина которого равна высоте точки А, взятой с фронтальной проекции (Рис.2а).

Построение сечения призмы наклонной секущей плоскостью Р, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции, показано на рис.4. В данном случае сечение получается в виде шестиугольника на профильной проекции, фронтальная проекция которого совпадает со следом секущей плоскости Pv, а горизонтальная - с горизонтальной проекцией призмы. Для построения прямоугольной изометрии усеченной призмы высота вертикальных ребер принимается равной их действительному значению, взятому с фронтальной или профильной проекций. (Рис.4 6).

Натуральная величина сечения (I - XI) получена методом совмещения секущей плоскости с плоскостью Н. Указанные точки шестиугольника находят путем пересечения боковых ребер с заданной плоскостью. (Рис.5).

При построении развертки усеченной призмы необходимо высоту вертикальных ребер откладывать в соответствии с их натуральной величиной, взятой с фронтальной или профильной проекций, а верхним основанием, в этом случае, является натуральная величина сечения.

Проекции пирамиды.

Пирамида (греч. Pyramis) - многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани -треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают призмы треугольные, четырехугольные и д.т. (Рис.6).

Построение ортогональных проекций правильной трехгранной пирамиды приведено на рис.7а. Горизонтальная проекция пирамиды представляет правильный треугольник основания вершины которого соединены с вершиной пирамиды. На фронтальную проекцию пирамида проецируется в виде двух треугольников, а на профильную - в виде одного треугольника. Наклонные стороны треугольников - проекции боковых ребер пирамиды.

Построение точек на поверхности пирамиды в ортогональных и аксонометрической проекциях показано на рис.7.   Если на фронтальной проекции пирамиды задана точка А, то недостающие проекции этой точки можно построить двумя способами. 

Первый способ: с помощью проекций вспомогательной линии s'k', проходящей через заданную точку. (Рис.7а).   Дано: фронтальная проекция точки А - точка (а'), расположенная в пределах видимой части пирамиды. 

Через вершину пирамиды и заданную точку (а') проводим прямую линию до ее основания и получаем точку (к') - прямая s'k'. 

Далее строим горизонтальную проекцию этой прямой на плоскости Н. Найдем горизонтальную проекцию этой прямой, проведя проецирующую прямую k'k, и соединим полученную т. к с горизонтальной проекцией вершины пирамиды s. 

Так как искомая т. А принадлежит прямой s'k' то она должна лежать на ее горизонтальной проекции. Поэтому с помощью линии связи мы переносим ее на линию sk и получаем горизонтальную проекцию т. а. 

Профильная проекция а" т. А определяется пересечением той же прямой s"k" на профильной проекции с линиями связи, переносящими т. а фронтальной проекций.  Второй способ: с помощью построения проекции сечения пирамиды горизонтальной плоскостью Pv параллельной основанию пирамиды и проходящей через заданную точку А. (Рис.7 6).

Дано: фронтальная проекция точки А-т. а', расположенная в пределах видимой части пирамиды.  Через т. а' проводим прямую, Pv параллельную основанию пирамиды, которая является фронтальной проекцией секущей плоскости Р. Эта линия пересекает боковые ребра пирамиды sT, s'2', s'3' в точках Г, 1Г и ИГ соответственно. Построив горизонтальные проекции этих точек на боковых ребрах пирамиды и соединив их линиями построения, получим горизонтальную проекцию сечения пирамиды плоскостью Pv. Отрезок прямой ПГ является фронтальной проекцией сечения пирамиды через точку а'.   Горизонтальной проекцией этого сечения будет треугольник, стороны которого параллельны основанию пирамиды.  Так как точка а' лежит в плоскости сечения, то с помощью линии связи переносим ее на горизонтальную проекцию сечения.  Профильная проекция т. а" определяется как пересечение профильной проекции сечения ГИГ с линией связи, переносящей положение т. а с горизонтальной проекции. 

Построение точек на поверхности пирамиды в аксонометрии.  Строим пирамиду в прямоугольной изометрии. Построение начинаем с треугольного основания пирамиды и, отложив на вертикальной оси высоту пирамиды, проводим три боковых ребра, причем невидимое ребро проводим штриховой линией. (Рис.7).  Первый способ. Рис.77а.  Строим образующую SK: на оси X или Y откладываем координаты X или Y, соответствующие т. К на горизонтальной проекции, и проведем через них линии, параллельные оси Y или X соответственно. Пересечение их с основанием пирамиды дает положение точки К.  Соединим т. К с вершиной пирамиды S и с центром основания т. 0. Рассмотрим полученный треугольник S0K: сторона OS - вертикальная ось пирамиды, совпадающая с осью Z. Сторона SK - прямая, на которой находится т. А. Сторона 0К - основание треугольника составляющая с осью Z угол 90°.  Высоту т. А берем на фронтальной проекции по перпендикуляру от основания пирамиды до т. а' и откладываем ее в аксонометрии на оси Z, то есть на стороне OS.  Через полученную засечку проводим прямую в плоскости треугольника параллельно основанию треугольника до пересечения с прямой SK.  Таким образом, переносим высоту положения т. А на поверхность пирамиды. 

Второй способ. Рис.76. 

Строим сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через т. А. Такое сечение пирамиды есть треугольник, подобный основанию пирамиды, расположенной на высоте, равной высоте т. A (za). Отложим величину za, взятую с фронтальной проекции по оси Z на аксонометрии и через полученную засечку проведем линию, параллельную оси Y до пересечения с ребром S3 - т. III. Далее через т. Ill проводим линии параллельные основанию пирамиды (31 и 32) до пересечения с соответствующими боковыми ребрами S1 и S2, получив линию сечения пирамиды горизонтальной плоскостью Pv в аксонометрии. На горизонтальной проекции пирамиды проведем прямую SK через горизонтальную проекцию т. А и найдем положение т. К на аксонометрии. Проведем на аксонометрии пирамиды прямую SK. Ее пересечение с линией сечения пирамиды даст положение искомой т. А на аксонометрии.

Использование первого или второго способа построения недостающих проекций т. А определяется ее положением в каждом конкретном случае. Так как проекции точек определяются пересечением линий построения, то точность построений тем выше, чем ближе угол между пересекающимися прямыми к 90°. Если прямая SK, на которой лежит т. А, составляет с осями координат X и Y 45°, то определить положение т. А на аксонометрии первым способом вообще невозможно. 

Построение усеченной пирамиды. (Рис.8).

Строим три проекции пирамиды - горизонтальную. фронтальную и профильную, (см. выше).

На фронтальной проекции пирамиды проводив линию секущей плоскости Pv под произвольным углом к основанию пирамиды и обозначаем римскими цифрами точки пересечения наклонных ребер пирамиды с секущей плоскостью (т. Г, II', III"). Переносим эти точки на горизонтальную проекцию пирамиды (I, II, III) и, соединив их, получаем горизонтальную проекцию сечения. Затем строим профильную проекцию сечения пирамиды, находя положение точек I", II" и III".

Построение аксонометрии усеченной пирамиды. Рис. 8.

Строим аксонометрическую проекцию пирамиды, как описано выше. Далее переносим точки 1, II и III с фронтальной проекции на аксонометрию. Откладываем на аксонометрии по оси Z высоту точки I, взятую с фронтальной проекции, и через полученную точку проведем линию, параллельную прямой 01 до пересечения с ребром S1.

Данное пересечения определяет положение т. I. Остальные точки строим аналогичным способом.

Построение натуральной величины сечения. Построенные выше горизонтальная, фронтальная и профильная проекции сечения пирамиды, имеющие вид треугольников, представляют собой искаженные изображения сечения пирамиды.

Истинная (натуральная) величина сечения получается путем совмещения секущей плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н. (Рис.9).

Построение натуральной величины сечения пирамиды практически не отличается от построения натуральной величины сечения призмы, описанное выше. 

Рис. 9

Построение развертки поверхности усеченной пирамиды. Рис. 10. Предварительно построим развертку боковой поверхности не усеченной пирамиды. Задаемся положением т. S на листе и проводим из нее дугу радиусом, равным натуральной величине длины бокового ребра пирамиды. Таким ребром для данной пирамиды является ребро S3 на профильной проекции. Т.к. на горизонтальной проекции это ребро параллельно оси Y, то на профильной проекции оно проецируется в натуральную величину.

Задаемся положением т. 1 на этой дуге. Последовательно откладываем от нее столько одинаковых отрезков (хорд), сколько боковых граней у пирамиды, в данном случае три. Длина хорды равна стороне основания пирамиды, определенной по горизонтальной проекции. Получаем точки 2, 3 и 1 Соединим их последовательно с т. S. Между точками, например, 2 и 3 пристроим основание пирамиды, взятое с плана. Получена полная развертка поверхности не усеченной пирамиды.

Для построения развертки боковой поверхности усеченной пирамиды необходимо определить натуральную величину всех усеченных ребер. На профильной проекции все точки сечения перенесем на ребро s"3" линиями параллельными основанию пирамиды (т.с и d). Затем каждый отрезок ребра от т. s" до соответствующей точки сечения переносим на соответствующее ребро на развертке. Соединив эти точки на развертке, получим ломаную линию, соответствующую линии сечения боковой поверхности пирамиды.

Затем к линии сечения на развертке (например, между точками I и II) пристраиваем треугольник натуральной величины сечения, полученный на рис.10. Развертки поверхности геометрических тел представляют собой чертежи - выкройки из бумаги и служат для выполнения макета фигуры.

.Проекции шара

Шар - тело, полученное вращением полуокружности вокруг ее диаметра. Поверхность шара называется сферой. R - радиус шара, D=2R - диаметр шара. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Круг радиуса шара ^ш) или «большой круг» получается при сечении шара плоскостью, проходящей через его центр. Равноотстоящие от центра шара сечения равны. (Рис. 1).

Часть шара, отсекаемая от него какой- нибудь плоскостью, называется шаровым сегментом. (Рис. 2). Тело, ограниченное конусом с вершиной в центре шара и соответствующей его основанию сегментной поверхностью, называется простым шаровым сектором. (Рис. 3). Часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями называется шаровым слоем. (Рис. 4).

Построение ортогональных проекций шара показано на рис. 5.

Рис.5

На все три плоскости проекций поверхность шара (сфера) проецируется в окружность, центром которой (0, 0’, 0”) является соответствующая проекция центра шара 0. Каждая окружность на плоскости проекций является одновременно проекцией сферы и проекцией «большого круга» - экватора или меридиана, - проекция которого на две другие плоскости есть горизонтальный или вертикальный диаметр шара.

Построение точек на поверхности шара. Рис. 6.

Все горизонтальные окружности на поверхности шара (на сфере) проецируются на плоскость Н без искажений, а на плоскости V и W - в виде прямых, параллельных осям проекций 0X и 0Y и равных диаметрам соответствующих окружностей.

Все фронтальные или профильные окружности на сфере проецируются на плоскости V или W в натуральную величину, а на плоскости H и W или V соответственно в прямые линии, равные диаметру окружностей и параллельные осям проекций 0X и 0Z.

Зная эти свойства горизонтальных, фронтальных и профильных окружностей на поверхности шара, можно находить недостающие проекции точки, лежащей на сфере, по одной проекции.

Шар в прямоугольной изометрии изображается окружностью, диаметр которой равен 1,22 истинного диаметра шара. Для построения шара в аксонометрии, обычно строят три взаимно перпендикулярные сечения шара, параллельные аксонометрическим плоскостям проекций и к ним проводят огибающую очерковую линию шара.

В прямоугольной изометрии точки на сфере строятся методом сечений. Проведем в ортогональных проекциях горизонтальную секущую плоскость через фронтальную проекцию искомой точки А (Рис. 6).

Построим полученную окружность на аксонометрии шара вписав ее по восьми точкам в квадрат, который будет располагаться на соответствующем уровне от центра шара.

Замерим на плане координату Ха точки А по оси ОХ, и перенесем ее на диаметр оси окружности в аксонометрии, который параллелен аксонометрической оси ОХ. Через полученную точку проведем линию параллельную оси ОУ.

Пересечение этой линии с построенным ранее эллипсом определит положение точки А, лежащей на поверхности шара. (Рис. 8).

На рис. 9 приведен пример построения сечения шара фронтально проецирующей плоскостью.

Как известно любая плоскость рассекает шар по окружности. В данном случае секущая плоскость Pv рассекает шар по окружности, которая на плоскости V изображается прямой 1’-2’, равной диаметру окружности сечения. На плоскостях H и W она спроецируется в эллипсы, за исключением положений фронтально проецирующей плоскости параллельного или перпендикулярного другим плоскостям проекций. Большими осями эллипсов на плоскостях проекций H и W будут горизонтальная и профильная проекция диаметра сечения 3-4, который на фронтальную плоскость проекций проецируется в точки 3’-(4’). Малыми осями эллипсов на плоскости H и W будут соответствующие проекции диаметра 1-2, которые строятся при помощи линий связи. Для более точного построения эллипсов необходимо взять дополнительные точки на прямой 1’-2’ и найти их проекции на плоскостях проекций H и W, как было указано на рис. 8. Эллипсы на плоскостях H и W будут горизонтальной и профильной проекцией сечения шара плоскостью Р.

Рис.8

Истинную величину сечения определим, совместив секущую плоскость Р с плоскостью V, вращая ее вокруг фронтального следа плоскости Pv. Из середины прямой 1’-2’ восстановим перпендикуляр к прямой Pv и проведем через него линию параллельную Pv. Из полученной точки пересечения поведем окружность радиусом равным половине диаметра 1’-2’. Круг ограниченный этой окружностью и будет натуральной величиной сечения шара плоскостью Р.