Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе. Расчет статически неопределимых стержневых систем
Министерство
образования и науки Российской Федерации
Национальный
минерально-сырьевой университет "Горный"
Пояснительная
записка к курсовой работе
Построение
эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе.
Расчет статически неопределимых стержневых систем
Автор:
студент гр. НБ-11
Юсупов Р.А.
Проверил:
Руководитель работы профессор
Насонов М.Ю.
Санкт-Петербург
Задание
Студенту группы НБ-11 Юсупов Р.А.
1. Тема работы: Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и
подбор сечений балок при изгибе. Расчет статически неопределимых стержневых
систем.
2. Исходные данные к работе: Вариант №62. Задан в методическом пособии
"Сопротивление материалов: Методические указания к расчетно-графической
работе". НМСУ "Горный". Сост.: А.А. Яковлев, В.Г. Гореликов.
СПБ, 2012.
. Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в себя
задание на выполнение работы, расчетные формулы, результаты расчета,
заключение, библиографический список.
. Перечень графического материала: Представление результатов в виде
экранных форм.
. Срок сдачи законченной работы: 27.12.2013 г.
Руководитель работы: профессор Насонов М.Ю.
Дата выдачи задания: 16.09.2013 г.
В первой части курсовой работы (КР) необходимо построить эпюры
перерезывающих сил, изгибающих моментов и подобрать сечения балок (рис. 1).
Данные приведены в таблице 1.
стержневой сечение нагрузка монтажный
Рис. 1. Балки для расчета.
Таблица 1
Исходные данные для первой части КР.
|
Вариант
|
q1, кН/м
|
q2, кН/м
|
P1, кН
|
M1, кН∙м
|
M2, кН∙м
|
|
62
|
10*
|
5
|
15*
|
25
|
20
|
Во второй части курсовой работы (рис. 2) необходимо рассчитать площади поперечных
сечений стержней 1 и 2 исходя из расчета на прочность, при одновременном
действии на конструкцию нагрузки Р, монтажных напряжений и температурных
напряжений. Заданы материалы стержней 1 - медь, 2 - сталь, модули упругости их
при растяжении - сжатии: 
=
МПа; 
МПа, 
80 МПа, 
180 МПа. Исходные данные приведены в таблице 2.
Таблица 2
Исходные данные для второй части КР (22 вариант).
|
|
|
|
d
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал стержней
|
|
м
|
м
|
м
|
м
|
м
|
|
|
кН
|
кН/м
|
|
oC
|
м
|
|
|
2
|
4
|
2
|
0
|
1
|
45
|
-50
|
10
|
1
|
30
|
|
1. Медь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,001
|
2. Сталь
|
Рис. 2. Расчетная схема для определения площади поперечных сечений
стержней 1,2.
Для этого требуется:
. Составить уравнение статики для заданной системы.
. Определить степень статической неопределимости.
. Построить схему перемещений элементов системы.
. Составить уравнения совместности деформаций.
. Выразить уравнения совместности деформаций через усилия или
напряжения, используя закон Гука.
. Решить систему уравнений статики и совместности деформаций
относительно неизвестных усилий (напряжений).
. Исходя из условий прочности, подобрать конструктивные размеры
(сечений) стержней.
Аннотация
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой
работы. Дано подробное решение статически неопределимых стержневых систем,
построены эпюры перерезывающих сил, изгибающих моментов и подобраны сечения
балок при изгибе. В конце работы приведен расчет выбора наиболее экономичного
профиля стержня. Дан список используемой литературы. Работа
содержит 29 страниц, 7 таблиц, 21 рисунок.
Abstract
explanatory note is a report on the implementation of the
course work. The detailed solution of statically indeterminate beam systems are
constructed diagrams of shear forces and moments izgibayuschih selected
sections of beams in bending. At the end of the reconciliation of choosing the
most economical profile of the rod. A list of used literature. The work
contains 29 pages, 7 tables, 21 pictures.
Оглавление
Введение
. Построение
эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе
.1 Первая
балка
.2 Вторая
балка
.3 Третья
балка
.4 Четвертая
балка
. Расчет
статически неопределимой стержневой системы
.1 Расчет
усилий от внешних сил
.2
Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления (
)
.3 Подбор
сечений элементов системы
Вывод
Список
используемой литературы и источников
Введение
Цель данной курсовой работы состоит в том, чтобы научить будущих
специалистов правильно выбирать конструктивные формы, обеспечить высокие
показатели надежности, создавать эффективные и экономичные конструкции.
Задачей выполнения курсовой работы является привитие студентам навыков
расчета статически неопределимых стержневых конструкций, работающих в условиях
одноосного растяжения - сжатия при изменении температуры окружающей среды, с
учетом неточностей изготовления отдельных элементов конструкции, вызывающих
появление монтажных напряжений до приложения активной внешней нагрузки, а также
горизонтальных балок при любом сочетании внешних нагрузок и разных видах
закрепления концов балки, строить эпюры перерезывающих сил и изгибающих
моментов и по полученным данным выбирать рациональные размеры сечений балок.
1. Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений
балок при изгибе
.1 Первая
балка
Исходные данные для балки круглого сечения (рис.3) приведены в таблице 3.
Таблица 3
Исходные данные для первой балки.
|
1
|
2
|
P
|
|
a
|
b
|
с
|
|
кН/м
|
кН/м
|
кН
|
МПа
|
м
|
м
|
м
|
|
10
|
5
|
15
|
160
|
3
|
2
|
2
|
Рис. 3. Балка круглого сечения.
Определим опорные реакции:
Для определения неизвестных реакций связи составим уравнение статики.
А) 
Б) 
Решив эту систему уравнений, получаем следующие значения опорных реакций:
(кН∙м)"+", 
(кН) "+"
В) Проверка:
Определение внутренних усилий по методу сечений:
Рис. 4. Первый участок.
а)
Ia 0<z1<3
б) 
2 участок (рис. 5).
) 
<z2<2
Рис. 5. Второй участок.
б) 
3 участок (рис. 6).
Рис. 6. Третий участок.
а)
б) 
По полученным данным строим эпюры Q и M для балки круглого сечения (рис.
7):
Рис. 7. Эпюры Q и M. для балки круглого сечения.
Подбор сечения
Подбор сечения по нормальным напряжениям:
Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 152,5 кН∙м.
Тогда необходимый момент сопротивления
Момент сопротивления круглого поперечного сечения относительно
центральной оси равен
=
.
Проверяем сечение по касательным напряжениям:
Построим эпюры σ и τ для круглого сечения (рис.8):
Рис. 8. Эпюры σ и τ для круглого сечения.
Подберём сечение для кольца:
Осевой момент инерции для кольца с золотым сечением равен:
Осевой момент сопротивлений равен:
Исходя из условия прочности, получаем:
Построим эпюры σ и τ для кольцевого сечения (рис. 9)
Рис. 9. Построим эпюры σ и τ для кольцевого сечения.
.2 Вторая
балка
Исходные данные для балки прямоугольного сечения (рис.10) приведены в
таблице 4.
Таблица 4
Исходные данные для второй балки.
|
|
P
|
М
|
|
a
|
b
|
|
кН/м
|
кН
|
кН∙м
|
МПа
|
м
|
м
|
15
|
25
|
160
|
3
|
4
|
Рис. 10. Балка прямоугольного сечения
Определим опорные реакции
Для определения Q и M в любом сечении балки необходимо знать все внешние
силы, действующие на балку, т.е. приложенные нагрузки и опорные реакции.
Для определения неизвестных реакций связи составим уравнение статики.
а) 
б) 
Решив эту систему уравнений, получаем следующие значения опорных реакций:
в) Проверка:
Строим эпюру Q по методу следования за силой и эпюру M по правилу
контроля и методу характерных сечений.
А) 
Б) Смотрим слева
По полученным данным строим эпюры Q и M для балки прямоугольного сечения
(рис. 11).
Рис. 11. Эпюры Q и M для балки прямоугольного сечения.
Подбор сечения
Подбор сечения по нормальным напряжениям:
Проверим сечение по нормальным напряжениям:
Проверим сечение по касательным напряжениям:
Построим эпюры σ и τ для прямоугольного сечения (рис. 12).
Рис. 12. Эпюры σ и τ для прямоугольного сечения
1.3 Третья
балка
Исходные данные для двутавровой балки (рис. 13) приведены в таблице 5.
Таблица 5
Исходные данные для третьей балки.
|
 1
|
|
M
|
|
a
|
b
|
с
|
|
кН/м
|
кН
|
кНм
|
МПа
|
м
|
м
|
м
|
|
10
|
15
|
25
|
160
|
3
|
3
|
1
|
Рис. 13. Двутавровая балка.
Определим опорные реакции.
Для определения Q и M в любом сечении балки необходимо знать все внешние
силы, действующие на балку, т.е. приложенные нагрузки и опорные реакции.
Для определения неизвестных реакций связи составим уравнение статики.
Решив эту систему уравнений, получаем следующие значения опорных реакций:
, 
.
Строим эпюру Q по методу следования за силой и эпюру M по правилу
контроля и методу характерных сечений.
А) 
Б) Смотрим слева
По полученным данным строим эпюры Q и M для двутаврочной балки (рис 14.).
Рис. 14. Эпюры Q и M для двутаврочной балки
Подбор сечения
Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 30 кН∙м.
Тогда необходимый момент сопротивления
Исходя из таблицы стандартов ГОСТ 8239-89, выбираем двутавр №20 (
).
Построим эпюры σ и τ для двутаврочного сечения (рис. 15).
Рис. 15. Эпюры σ и τ для двутаврочного сечения.
1.4 Четвертая балка
Исходные данные для балки швеллерового сечения (рис.16) приведены в
таблице 6.
Таблица 6
Исходные данные для четвертой балки.
|
1
|
|
M
|
|
a=b
|
c
|
|
кН/м
|
кН
|
кНм
|
МПа
|
м
|
м
|
|
10
|
15
|
25
|
160
|
2
|
4
|
Рис. 16. Балка швеллерового сечения.
Разделим балку на 2 участка: AB и BD (подвесной и основной участки
соответсвенно).
Рассмотрим балку АВ:
Определим опорные реакции
Проверка:
Строим эпюру Q по методу следования за силой и эпюру M по правилу
контроля и методу характерных сечений.
Смотрим слева.
МА = -М = -25 
МВ =
Рассмотрим балку BD:
Определим опорные реакции
Проверка:
Строим эпюру Q по методу следования за силой и эпюру M по правилу
контроля и методу характерных сечений.
Смотрим слева.
МB=0
По полученным данным строим эпюры Q и M швеллеровой балки (рис. 17).
Рис. 17. Эпюры Q и M швеллеровой балки.
Подбор поперечного сечения по нормальным напряжениям
Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 170 (кН∙м).
Тогда необходимый момент сопротивления
Исходя из таблицы стандартов ГОСТ 8240-89, выбираем швеллер №36 (
).
Построим эпюры σ и τ для швеллерового сечения (рис. 18).
Рис. 18. Эпюры σ и τ для швеллерового сечения
2. Расчет
статически неопределимой стержневой системы
.1 Расчет
усилий от внешних сил
Составим расчетную схему для определения усилий от внешних сил (рис. 19).
Рис.19. Расчетная схема.
;
Составим уравнения статики:
;
Или
Таким образом, степень статической неопределимости системы 
, т.к. имеем два неизвестных усилия 
и одно уравнение равновесия статики.
Для составления условия совместимости деформации необходимо рассмотреть
схему перемещений элементов системы (рис. 20).
Рис. 20. Схема перемещений элементов системы.
Составим условие совместности деформаций, используя подобие треугольников
.
Откуда определим:
; 
Подставив равенства (1.3) в формулу (1.2), получим условие совместности
деформаций для заданной стержневой системы:
где 
- безразмерный коэффициент, учитывающий особенности
геометрической конфигурации системы.
Используя закон Гука для каждого из стержней, из уравнения (1.4) получим:
Учитывая, что 
, 
последнее соотношение можно переписать следующим образом:
Далее решаем совместно систему уравнений (1.1) и (1.5):
(растяжение)
(сжатие).
Проверка:
.2
Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления ()
Так как первый стержень изготовлен с неточностью по длине (на 
длиннее его номинального размера),
то при сборке конструкции в стержнях появятся внутренние напряжения. Расчетная
схема будет выглядеть, как показано на рис. 21.
Рис. 21. Расчетная схема для определения внутренних напряжений.
На рис. 5 
;
Уравнение равновесия для рассматриваемого случая будет иметь следующий
вид:
Из схемы перемещений получим:
; 
Составим условие совместности деформаций, используя подобие треугольников
.
Откуда определим:
;
Подставив равенства (2.4) в формулу (2.3), получим условие совместности
деформаций для заданной стержневой системы:
Подставим выражения (2.2) в равенство (2.5), получим условие
совместимости деформаций:
Используя закон Гука для каждого из стержней, из уравнения (2.6) получим:
Перейдем в уравнении (2.7) к новым переменным, в качестве которых выберем
монтажные напряжения
; 
Учитывая, что 
, 
последнее соотношение можно переписать следующим образом:
Перепишем уравнение (2.1) в напряжениях:
Решим систему уравнений (2.8) и (2.9) относительно неизвестных
напряжений:
(сжатие)
(сжатие)
2.3 Подбор
сечений элементов системы
Таблица 7
|
Внутренние усилия от сил P
и q, МН
|
Напряжения, МПа
|
|
|
допускаемые
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия прочности для каждого из стержней
Тогда
Учитывая заданное отношение 
, находим площади 1 и 2 стержня
соответственно:
; 
.
Равенству (4.2) удовлетворяет только 
.
Следовательно, берем
Очевидно, что при этом напряжения во втором стержне будут меньше
допустимых, а в первом равны.
Вывод
В результате проделанной работы были построены эпюры перерезывающих сил и
изгибающих моментов и по полученным данным выбраны рациональные размеры сечения
балок. Также был получен навык расчета статически неопределимых стержневых
конструкций, работающих в условиях одноосного растяжения - сжатия при изменении
температуры окружающей среды, с учетом неточностей изготовления отдельных
элементов конструкции, вызывающих появление монтажных напряжений до приложения
активной внешней нагрузки, а также горизонтальных балок при любом сочетании
внешних нагрузок и разных видах закрепления концов балок.
Для первой части курсового проекта (построение эпюр перерезывающих сил,
изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе) получены следующие
данные:
) Для первой балки: d=21,3 см.
) Для кольца: D=23,38 см, d=16,37 см
) Для второй балки: h=9,8 см., b=4,95 см.
) Для третей балки: двутавр №20 (ГОСТ 8239-89).
) Для четвертой балки - швеллер №36 (ГОСТ 8240-89).
Для второй части курсового проекта (расчет статически неопределимой
стержневой конструкции) получены следующие данные:
.
Список
используемой литературы и источников
1. Беляев
Н.М. Сопротивление материалов: Учебник. М.: Наука, 1976.
. Яковлев
А.А., Гореликов В.Г.. Сопротивление материалов: Методические указания к
расчетно-графической работе / Национальный минерально-сырьевой университет
"Горный". СПб, 2012. 51 с.