Теория Хиппеля-Каллена

Теория Хиппеля-Каллена

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ

по дисциплине Физика пробоя конденсированных сред

на тему Теория Хиппеля-Каллена

Томск 2015 г.

Оглавление

Введение

1.      Первое доказательство теоремы Хиппеля

.        Второе доказательство теории Хиппеля

.        Теория Каллена

Заключение

Список использованных источников

Введение

Теория Хиппеля основана на двух предположениях. Первое предположение состоит в том, что необходимую для ионизации энергию электроны приобретают не за один приём, а в течение нескольких пробегов.

Второе предположение - что энергия, приобретаема электронами в электрическом поле, при некоторых условиях больше теряемой ими при столкновениях с решёткой. Та напряжённость поля, при которой начинают удовлетворяться эти условия, принята Хиппелем за пробивную.

Так как энергия электронов, при которой начинает удовлетворяться второе условие, невелика - порядка 0,1-0,2 эв, то теория Хиппеля была названа теорией ионизации медленными электронами.

Если между двумя столкновениями электрон приобретает в среднем энергию, меньшую величины , соответствующей максимуму рис.1, то электрон может расходовать энергию, приобретённую в поле, только на раскачку атома. При увеличении напряжённости поля средняя энергия, приобретаемая электроном между столкновениями, увеличивается и превышает в то же время энергия, расходуемая электроном на раскачку атома, уменьшается. Появляется возможность накопления энергии. Таким образом, если на длине пробега  электрон приобретает в среднем энергию, меньшую , то ионизация невозможна. Если же средняя энергия, приобретаемая электроном в течение одного пробега, хотя и меньше  - энергии ионизации, но больше , то ионизация возможна. Следовательно, по мнению Хиппеля, критическую напряжённость поля, могущую вызвать ионизацию и, как дальше будет показано, пробой, имеет поле, в котором электрон в течение одного пробега приобретает среднюю энергию, равную , соответствующую максимуму кривой вероятности потери энергии на раскачку атома. В действительности напряжённость поля может быть несколько меньше.

Рис.1.

При ионизации электрон отрывает от отрицательного иона или нейтрального атома электрон, который в свою очередь вместе с первым ускоряется и ионизует. Постепенно образуется лавина электронов, которая движется от катода к аноду и оставляет по пути положительный объёмный заряд. Вследствие этого связь между структурными элементами диэлектрика (атомами или ионами), существовавшая до ионизации, нарушается и возникает механическое напряжение между ними. Если структура диэлектрика недостаточно эластична, что имеет место при низких температурах, происходит скалывание и появляется трещинка. По мере продвижения лавины электронов к аноду вслед за ней растёт трещинка. Рост трещинки происходит не непрерывно, а скачками, наступающими тогда, когда напряжение, вызывающее скалывание, достигает определённой величины. Последнее зависит от величины и распределения объёмного заряда.

Из предложенного механизма можно сделать следующие заключения:

. Критическая пробивная напряжённость поля приближённо равна

пробой диэлектрик ток ионизация

Причём единственным условием наступления пробоя является начало ионизации.

. В диэлектриках с кристаллической решёткой должны существовать предпочтительные направления пробоя, а именно те направления, по которым сила связи между частицами меньше и, следовательно, вероятность потери энергии на раскачку меньше.

. Сила тока, сопровождающая пробой, должна расти по экспоненциальному закону, характерному для процесса образования лавины.

. Для начала пробоя необходимо ограниченное число начальных свободных электронов. Воспроизводства начальных электронов не требуется.

. Основными активными агентами ионизации являются медленные электроны.

1. Первое доказательство теоремы Хиппеля

Доказательство справедливости своей теоремы Хиппель видит в следующем.

В твердом или жидком диэлектрике частицы находятся достаточно близко друг к другу. Электрон находится под воздействием не только поля собственного атома, но и поля соседних атомов. Ионизационный потенциал гораздо меньше, чем в случае изолированного атома. Он примерно такой же, как потенциал возбуждения. Начало свечения диэлектрика может быть принято в первом приближении за начало ионизации. Поэтому для диэлектриков поля, при которой начинается свечение диэлектрика, умноженная на постоянную решётки, должна быть пропорциональна частоте излучения. Эта закономерность подтверждается опытами автора.

В основе этой аргументации лежит утверждение автора о том, что электрон с энергией ниже , соответствующий максимуму потерь на раскачку, возбуждать не может. Это утверждение неочевидно и нуждается в более подробном рассмотрении.

Отложим по оси ординат напряжённость электрического поля, а по оси абсцисс - энергию W, которую электрон приобретает в поле в течение одного пробега (рис. 2). Зависимость между этими величинами изображается прямой линией, обозначенной на рис. 2 буквой Е. На том же рисунке дана зависимость между энергией Q, теряемой электроном на раскачку атома при каждом соударении, и энергией электрона W. Для Q и W выбран одинаковый масштаб. Кроме этого проведём на рисунке прямую А под углом 45°.

Допустим, что диэлектрик находится в поле с напряжённостью  и в течение каждого пробега электрон приобретает энергию . После первого соударения у электрона останется энергия , равная длине отрезка . После второго пробега энергия электрона будет , а после второго соударения - , измеряемая длиной отрезка . После третьего пробега электрон будет обладать энергией , а после третьего соударения - . Нетрудно видеть, что после каждого очередного соударения энергия электрона будет либо больше, либо меньше  и будет стремиться к последнему значению.  определяется пересечением кривой Q с прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку . Когда энергия электрона станет равной , электрон будет в равновесном состоянии: в среднем при каждом соударении электрон будет терять на раскачку атома столько энергии, сколько он в среднем приобретает в течение одного пробега. С увеличением напряжённости поля увеличивается энергия, которую электрон приобретает в течение одного пробега, и следовательно, энергию равновесного состояния. При некоторой величине напряжённости поля равновесное состояние становится невозможным. Это, очевидно, будет тогда, когда остаток энергии после каждого соударения будет непрерывно увеличиваться.

Наибольшая энергия , которую электрон может передать атому при столкновении, равна СВ - ординате у максимума кривой Q. Та напряжённость поля , при которой электрон набирает такую энергию в течение одного пробега, является предельной, при которой ещё возможно равновесное состояние. Однако это равновесное состояние не будет устойчивым. Все равновесные состояния, при которых средняя энергия электрона меньше , являются устойчивыми. Следовательно, всем значениям напряжённости поля ниже  соответствует равновесное состояние, в котором электрон не может приобрести большой энергии, достаточной для возбуждения. При значении , не может быть равновесного состояния; после каждого пробега энергия электрона будет непрерывно увеличиваться. Таким образом, критическая напряжённость поля, при которой начинается возбуждение, будет равно  и . В этой формуле  - постоянная решётки,  - постоянная Планка, a  - частота начального свечения. Эта зависимость, как было указано, подтверждена опытами Хиппеля.

Если кривая Q изображает суммарные потери на раскачку и возбуждение, то аналогичными рассуждениями можно показать, что при напряжённости поля, соответствующей максимуму, начнутся ионизационные процессы. Эта напряжённость поля будет больше, чем напряжённость, соответствующая началу возбуждения. Можно поэтому согласиться с доводами автора, что эксперименты подтверждают теорию начала ионизации. Однако это не может служить подтверждением того, что начало ионизации обязательно ведёт к пробою. Последнее подтверждается другими косвенными экспериментальными данными. Представление об ионизации как о единственном условии возникновения пробоя приводит к заключению о независимости пробивной напряжённости поля от толщины диэлектрика. Это положение приближённо подтверждается экспериментом.

. Второе доказательство теории Хиппеля

Вторым аргументом в пользу справедливости своей теории Хиппель считает экспериментальные данные о существовании предпочтительных направлений пробоя в диэлектриках с кристаллической решёткой. В кристалле каменной соли ближайший одноимённый ион расположен по диагонали квадрата (расстояние между ними ), затем по диагонали куба () и по ребру куба (). Чем ближе расположены частицы, тем ниже потенциальный барьер между ними, тем меньше сила связи и тем ниже максимум потерь на раскачку, а следовательно (см. рис.2), тем меньше . Поэтому в кристаллах каменной соли следует ожидать сначала появление пробоев в направлении плоской диагонали. При повышении напряжения должны возникать пробои в направлении диагонали куба и затем, при ещё более высоком напряжении, - по всем направлениям. Эти ожидания оправдываются экспериментами Хиппеля.

Однако опыты Вальтера и Инге не подтверждают данных Хиппеля. По данным этих авторов направление распространения пробоя в кристаллах зависит от характера поля и температуры. В кристаллах каменной соли при низких температурах и положительном постоянном напряжении пробой распространяется преимущественно по диагонали куба.

Следует также отметить, что предпочтительность пробоя в направлении ближайшей частицы вытекает и из других ионизационных теорий и не является исключительным признаком справедливости теории ионизации медленными электронами.

. Теория Каллена

Математическая теория для ионных кристаллов, базирующаяся на предположениях Хиппеля, также была предложена Калленом.

Согласно теории Борна и Кармана, Каллен описывает колебательные движения ионов волнами. Колебания ионов лежат в двух областях: "оптической" и "акустической", а в каждой области колебания подразделяются на две группы поперечных и одну группу продольных. Таким образом, всего волн 6 N, где N-число ячеек в кристалле (объём ячейки ,  - постоянная решётки).

Смещение ионов в процессе колебаний от положения равновесия автор рассматривает как поляризацию с соответствующей плотностью заряда. Только для продольных колебаний эта плотность отлична от нуля.

Так как существенное значение имеют "оптические" колебания, то автор пренебрегает "акустическими" и принимает, что все N продольных "оптических" колебаний имеют одну частоту , равную частоте наиболее длинной волны.

Полагая, что относительное смещение разноимённых соседних ионов равно разности амплитуд их колебаний, автор определяет напряжённость электрического поля, связанную с этой поляризацией. Поскольку в зоне проводимости очень мало электронов, Каллен пренебрегает взаимодействием электронов между собой и определяет энергию взаимодействия электрона с решёткой как взаимную энергию поля электрона с полем поляризации. Это взаимодействие Каллен рассматривает как возмущение и определяет квантовомеханическими методами вероятности передачи энергии, равной , за одну секунду. Если энергия электрона меньше чем , то передача энергии от электрона решётке невозможна, возможен только обратный процесс. Если энергия электрона больше чем , то вероятность передачи электроном энергии  решётке больше, чем вероятность её получения.

Количество энергии , которую электрон с энергией  передаёт решётке в единицу времени, оказывается равным

Где

Здес  - эффективный заряд иона, меньший его действительного заряда, вследствие смещения электронных орбит и электронной поляризации, вызванной в свою очередь смещением ионов,  - эффективная масса электрона,  - приведённая масса ионов.

Таким образом  является только функцией  и  и имеет пологие максимумы в зависимости от  при разных значениях .

Далее Каллен определяет энергию, которую электрон приобретает в электрическом поле в единицу времени. Эта энергия равна

Врем релаксации определяется Калленом следующим образом:

Где  - средняя направленная по полю скорость электрона, а  - среднее направленное ускорение.

Это среднее ускорение автор определяет как разность в приращении направленной скорости в единицу времени под действием поля и торможения вследствие столкновения с решёткой. Эту разность автор усредняет по всем возможным направлениям скорости и возможным отклонениям электрона после столкновения, учитывая при этом вероятность соответствующих скоростей и отклонений. Для  получается следующая зависимость:

Из этого выражения видно, что является также функцией только  и ·

Таким образом, приобретаемая электроном в электрическом поле в единицу времени энергия зависит от энергии электрона, от температуры и, в квадратичной степени,- от напряжённости поля. Энергия, теряемая электроном в единицу времени при соударениях с решёткой, зависит также от температуры и энергии электрона, но не зависит от напряжённости поля. Следовательно, существует равновесная напряжённость поля, при которой теряемая энергия равна приобретаемой.

Приравнивая А к В, Каллен находит равновесную напряженность поля

Где .

Отношение  также зависит только от  и . Зависимости  от  при разных значениях  имеют максимумы (рис. 3).

Рис.3.

Обозначим значение Е, соответствующее максимум  при определённой температуре Т, через . Пусть энергия электрона  и соответствующая ему равновесная напряжённость поля . Если действительная напряжённость поля  больше чем , то баланс энергии для электрона положителен, его энергия увеличится до значения  , соответствующего напряжённости . Если  больше , то равновесное состояние невозможно и электрон будет непрерывно набирать энергию и может ионизовать. Каллен, согласно предположению Хиппеля, принимает, что напряжённость поля , соответствующая максимуму кривой , равна пробивной.

При  отношение  оказывается равным единице, следовательно,  есть пробивная напряжённость поля при температуре абсолютного нуля.

По этим формулам Каллен, приняв  , вычислил пробивные напряжённости для ионных кристаллов. Эти данные, впервые опубликованные в работе Хиппеля, приведены в таблице II.

Для большинства кристаллов теория Хиппеля по данным этих вычислений даёт величины, превышающие экспериментальные в 2-4 раза. Такое несогласие опыта с теорией Хиппель объясняет рядом причин. Прежде всего тем обстоятельством, что Каллен пользовался методом возмущений в области, где его применимость является незаконной. Далее, Каллен предположил наличие совершенной ионной решётки, в то время как в действительности гетерополярный характер ионных кристаллов очень быстро уменьшается с увеличением размеров ионов. Поэтому полярное нарушение потенциала и связь между электроном и решёткой преувеличены. Кроме того, нельзя идентифицировать максимум в кривой потерь с пробивной напряжённостью. Вторичные электроны получают некоторую энергию от ионизующих, и существует заметная вероятность передачи энергии от решётки электронам. Поэтому пробой может произойти при напряжённости поля несколько ниже максимальной. Впрочем, неопределённость из-за наличия у электронов некоторой начальной энергии не может быть заметной вследствие очень пологой формы кривой у максимума, как показал Каллен. С другой стороны, вычисление Зейтца для неполярной решётки показали, что максимум лежит при заметно больших энергиях и имеет величину, которой нельзя пренебречь. Поэтому, по мнению Хиппеля, нельзя ожидать хорошего совпадения вычисленных величин с экспериментальными при современном положении знания, учитывая к тому же сложность явления и ряд упрощений, которые приходится делать при расчётах.

Позже Калленом были опубликованы другие данные, приведённые в той же таблице II. Последние величины гораздо меньше тех, которые были опубликованы Гиппелем. Новые данные Каллена для пробивной напряжённости ионных кристаллов, если не считать LiF, как видно из таблицы II, превышают экспериментальные данные не более чем на 60%; для большинства же приведённых кристаллов не более чем на 30%. Очень резкое несогласие теоретического и опытного значений пробивной напряжённости поля для LiF можно объяснить, как полагает автор, наличием большого числа аномальных гомогенных связей у LiF, не учтённых теорией. Учёт этих связей должен сблизить теоретическую величину с экспериментальной.

Учитывая ряд упрощений и приближений, принятых Калленом в выводах, следует признать, что данные его теории довольно удовлетворительно согласуются с экспериментальными. Всё же предсказанные его теорией пробивные напряжённости всегда больше экспериментальных. Автор полагает, что превышение теоретических величин над экспериментальными следует объяснить наличием флуктуации в энергиях электронов, не учтённых теорией.

Рис.4.

Формальность хиппелевского критерия особенно хорошо видна при рассмотрении зависимости пробивной напряжённости поля от температуры. Согласно теории Каллена-Хиппеля пробивная напряжённость поля для ионных кристаллов растёт с температурой. Имеющиеся экспериментальные данные разноречивы. Так, опыты Мальмлоу показали независимость пробивной напряжённости поля для КВr от температуры. Опыты Астена и Уайтхеда показали, что пробивная напряжённость поля для КВr растёт с температурой, сначала медленно, затем при температуре около 20° С резко возрастает и, наконец, снова растёт более медленно. Хиппель, пробивая КВr постоянным и 60-периодным напряжением и постоянным напряжением со скоростью подъёма за время  ,  и  сек. до пробоя (рис. 4). В последнем случае получилась растущая температурой линейная зависимость; во всех других случаях пробивная напряжённость поля сначала растёт с температурой, а потом падает. Такую же кривую с максимумом получил Хиппель при пробое NaCl постоянным напряжением.

Заключение

Рассмотрев данную теорию о развитии ионизации диэлектрика, более ясными становятся процессы, происходящие во время данного явления. Из теории Хиппеля-Каллена понятно, что на напряженность ионизации влияет множество таких факторов, как величина напряжённости, материал диэлектрика, влияние роста температуры диэлектрика на рост количества электронов. Хиппель считал, что энергия электрона, необходимая для ионизации диэлектрика и его дальнейшего пробоя приобретается не за один пробег, а за несколько.

Можно согласиться с предположениями Хиппеля, что при медленном повышении напряжения сказывается высоковольтная поляризация или другие подобные явления, не позволяющие правильно определить действительную напряжённость поля. При быстром подъёме напряжения за время  сек. имеют место наиболее чистые условия и зависимость пробивной напряжённости поля от температуры линейна, как этого требует теория Каллена. Однако, экспериментальная прямая для этого случая лежит значительно ниже теоретической и, главное, она более пологая. Более крутой характер теоретической прямой иллюстрирует формализм Хиппелевского критерия, не учитывающего увеличение с температурой числа электронов, способных ионизовать.

Список использованных источников

1) А. С. Зингерман. Механизм и теория пробоя твёрдых диэлектриков. 1952.

) А.А. Воробьёв, Г.А. Воробьёв. Электрический пробой твёрдых диэлектриков. - М.: Высшая школа, 1966 - 224 с.

) С. Уайтхед. Пробой твёрдых диэлектриков. - М.;Л.: 1957. - 272 с.