Расчет на прочность ступенчатого бруса

Расчет на прочность ступенчатого бруса

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уфимский государственный авиационный технический университет

Расчетно-графическая работа

Дисциплина: Сопротивление материалов

Выполнил:

студент группы МА 202Т Хабибуллин Р.Р.

Принял: ст. преподаватель Валиев Р. Ш.

Туймазы 2014

Задача 1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТУПЕНЧАТОГО БРУСА ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

Условие задачи

Ступенчатый брус нагружен равномерно распределенными нагрузками интенсивностью q₁ и q₂ и осевыми сосредоточенными силами F₁ и F₂.

Необходимо:

1) построить эпюру нормальных сил;

) построить эпюру напряжений, отнесенных к площади поперечного сечения;

) найти площадь из условия прочности;

) построить эпюру напряжений;

) построить эпюру перемещений.

Изобразим расчетную схему согласно заданным. На расчетной схеме все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следовательно, в поперечных сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные (нормальные) силы.

Построение эпюры нормальных сил.

Определим нормальные силы с помощью метода сечений. Разобьем брус на три участка, начиная от правого незакрепленного конца. Произвольными сечениями последовательно на каждом участке рассечем мысленно брус на две части. При этом координату проведенного сечения z можно отсчитывать от начала первого участка. Удобнее при построении эпюры нормальных сил пользоваться подвижной системой осей координат, центр которой помещается в начале каждого участка. Тогда координата z на каждом участке бруса отсчитывается от начала этого участка. Отбрасывая закрепленную часть бруса, заменим действие отброшенной части неизвестной нормальной силой N_i (z_i), которую направляем в сторону от рассматриваемого сечения, т.е. считаем положительной (растягивающей). Тогда условие равновесия отсеченной части бруса дает величину и соответствующий знак нормальной силы.

Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на правую его часть и найдем на участке I нормальную силу в сечении.

l₁=1.5 м, l₂=2 м, l₃=2 м, q₁=10 кН/м, q₂=0, F₁=30 кН, F₂=20 кН, сталь 30ХМ.

Участок I.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₁, z₁ изменяется в интервале [0 ≤z₁<l₁]

∑Z=N₁ (z₁)-F₁; N₁ (z₁)= F_=3 кН,

Участок II [0≤z₂<l₂],

ΣZ = N₂ (z₂) -F₁-F₂ - q₁z₂,

отсюда

N₂(z₂ ) = F₁ + F₂ +q₁z₂,

при z₂ = 0:

N₂ (z₂) = F₁ +F₂ = 30+20=50 кН.

при z₂ = l₂:

N₂(z₂ ) = F₁ + F₂ +q₁l₂=30+20+102=70 кН

Участок III [0 ≤z₃<l₃],

ΣZ = N₃ (z₃ ) - F₁- F₂ - q₁ l₂

N₃(z₃) =F₁+F₂+q₁l₂=30+20+102=70 кН.

По полученным данным строим эпюру ЭN.

Построение эпюры напряжений.

Определим нормальные напряжения. Поскольку A₀ неизвестна, построим сравнительную эпюру напряжений (сохраним в знаменателе A₀).

Участок I

Участок II:

при z₂ = 0:

при z₂ = l₂:

На участке III:

Построим сравнительную эпюру напряжений.

Определение площади поперечного сечения.

Для определения площади поперечного сечения А₀, анализируя построенную сравнительную эпюру напряжений, выявим опасное сечение.

Площадь А₀ найдем из условия прочности

σ_max≤[σ],

где [σ] - допускаемое напряжение находится по соотношению (1.3).

Если материал пластичный σ_оп = σ_т, при этом n = 1,5…3.

Если материал хрупкий σ_оп = σ_в , при этом n = 3…5.

Материал ступенчатого бруса сталь 30XM пластичный, так как согласно справочным данным δ >5 %.

Опасным напряжением является предел текучести σ_т = 200МПа; тогда, выбирая коэффициент запаса n = 2, получим допускаемое напряжение

По условию прочности

Тогда минимальный размер площади, обеспечивающий прочность стержня:

Вычислим истинные напряжения по участкам:

Построим эпюру истинных напряжений.

Построение эпюры перемещений.

Для построения эпюры продольных перемещений ЭΔl необходимо определить перемещения Δl любых точек оси бруса.

Так как брус имеет ступенчато-переменное сечение, то в условиях рассматриваемого примера, участков, в пределах которых проводят интегрирование, три. Рассмотрим участки в отдельности.

Участок III. Перемещение любого сечения участка может быть выражено соотношением согласно формуле:

Соотношение для нормальной силы примет вид

N₃ (z) = F₁+F₂+q₁l₂,

Δl_III (z₃ = 0) = 0; Δl_III(z₃ = l₃) - удлинение третьего участка или перемещение левой границы третьего участка бруса.

Участок II.

Найдем перемещение произвольного сечения на расстоянии z₂ от правой границы участка, выбирая за начало координат левую границу участка II.

l_II(z₂=l₂) - удлинение второго участка.

Dl = Dl_III (l₃ ) +Dl_II (l₂ ) = 0.59+0.86= 1.45 мм.

Участок I.

Найдем перемещение произвольного сечения на расстоянии z₁ от правой границы участка, выбирая за начало координат левую границу участка I.

так как за начало координат выбрана левая граница участка I, соотношение для нормальной силы примет вид

N₁(z) = F₁ ,

Dl = Dl_III (l₃ ) +Dl_II (l₂ ) +Dl_I (l₁) = 0.59+0.86+0.27 = 1.72 мм.

По найденным значениям необходимо построить эпюру перемещений.

Задача 2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТУПЕНЧАТОГО БРУСА ПРИ КРУЧЕНИИ

Условие задачи

Ступенчатый брус нагружен равномерно распределенным моментом интенсивностью m и сосредоточенными скручивающими моментами М₁, М₂ и М₃. Принять, что сечение, где возникает реактивный момент М₄, неподвижно.

Необходимо:

1) определить реактивный момент М₄, возникающий в неподвижном сечении бруса;

) построить эпюру крутящих моментов;

) выбрать опасное сечение бруса из условий прочности;

) определить диаметр поперечных сечений бруса;

) построить эпюру максимальных касательных напряжений;

) построить эпюру относительных углов закручивания;

) построить эпюру углов закручивания.

Определение реактивного момента.

Исходя из условия равновесия вала, составим уравнение

∑M_z = - M₁ + M₂ - ml₃ + M₃ -М₄ = 0.

Получаем реактивный момент

M₄ = -M₁ + M₂ - ml₃ + M₃.

При указанных выше исходных данных ₄ = -15 + 0 - 0⋅0,4 +20 = 5 кНм.

Реактивный момент M₄ вращает вал в направлении, указанному на схеме.

Изобразим расчетную схему согласно заданным силам и соотношениям. Покажем на расчетной схеме фактическое направление действия момента M₄.

Выберем подвижную систему осей координат y, z, при этом первоначально расположим ее в неподвижном сечении.

Рассмотрим участки в отдельности, каждый раз составляя уравнения равновесия рассматриваемой части бруса.

Участок I

Мысленно проведем сечение в начале участка I и из условия равновесия левой отсеченной части вычислим крутящий момент в этом сечении. z₁ изменяется в интервале [0 ≤ z₁ ≤ l₁]

∑M_z = M_к1-М₁;

М_к1 = М₁ = 15 кН.

Участок II

В пределах участка z₂ изменяется в интервале [0 ≤ z₂ < l₂]

∑ M_z = M_к2-М₁+М₂=0

M_к2=М₁-М₂=15-0=15 кНм.

Участок III ₃ изменяется в интервале [0 ≤ z₃≤ l₃]

∑ M_к3-М₁+М₂+М₃=0

M_к3=М₁-М₂-М₃

M_к3=15-0-20= -5 кНм.

Определение опасного сечения.

Найдем моменты сопротивления сечений и значения напряжений по участкам.

Участок I [0 ≤ z₁≤ 1₁]

D_нар=d, D_внут.=0

Участок II [0 ≤ z₂ ≤ l₂]

D_нар=1.2d, D_внут.=0.8d

Участок III [0 ≤ z₃ ≤ l₃]

D_нар=0.8d, D_внут.=0.5d

Эпюра максимальных значений касательных напряжений, выраженных через параметр d³, показана на рисунке. Наиболее опасными по величине напряжений будут сечения на участке I [0 ≤ z₁ ≤ l₁], где  .

Определение диаметра бруса.

Размер d найдем, приравнивая выражение для максимального касательного напряжения в

опасном сечении значению допускаемого напряжения по формуле:

=[t] .

Для заданного материала нержавеющей стали Д16 имеем

σ_0,2 =340 МПа и σ_в= 435 МПа.

Так как  выбираем запас_т = 2.

Тогда τ_0,3 = 0,5 × σ_0,2 = 170 МПа согласно,

 МПа.

Принимая максимальное значение касательного напряжения t_max,max равным допускаемому, получим

=[t] ,

= ,

отсюда

 ,

d=0.097 м.

Построение эпюры максимальных касательных напряжений.

С помощью полученного значения диаметра d найдем максимальные касательные напряжения по длине бруса. Участок I [0 ≤ z₁≤ 1₁]

Па= 85 МПа

Участок II [0 ≤ z₂ ≤ l₂]

Участок III [0 ≤ z₃ ≤ l₃]

.

По найденным значениям построим эпюру максимальных касательных напряжений по длине вала.

Построение эпюры относительных углов закручивания.

Эпюру относительных углов закручивания θ получаем из эпюры крутящих моментов М_к.

Для материала сталь Д16, где E = 0.72⋅10⁵ МПа и µ = 0,33, определим G по формуле

эпюра брус сечение напряжение

МПа.

Для сечений данного бруса значения полярных моментов инерции и относительных углов закручивания при d = 0.097 м имеют вид: Участок I [0 ≤ z₁≤ 1₁]

D_нар=d=0.097 м, D_внут.=0

М_к1=15 кНм

 1/м

Участок II [0 ≤ z₂ ≤ l₂]

D_нар=1.2d=0.116 м, D_внут.=0.8d=0.078 м

 1/м

Участок III [0 ≤ z₃ ≤ l₃]

 1/м

По найденным значениям построим эпюру относительных углов закручивания по длине вала.

Построение эпюры углов закручивания.

Рассмотрим участки в отдельности. Неподвижное сечение находится в месте, где возникает реактивный момент М₄, поэтому начнем с участка III и найдем угол закручивания левой границы участка, выбирая за начало координат правый торец.

Участок III.

Угол закручивания любого сечения участка может быть выражен соотношением:

 .

M_к3=М₁-М₂-М₃

Участок II.

Угол закручивания второго сечения участка может быть выражен соотношением:

 .

Уравнение для крутящего момента М_К2(z) имеет вид:

M_к2=М₁-М₂,

Угол закручивания правого сечения второго участка бруса:

Общий угол закручивания сечения на конце второго участка бруса будет равным

 рад.

Участок I.

Угол закручивания третьего сечения участка может быть выражен соотношением:

 .

Уравнение для крутящего момента М_К1(z) имеет вид:

M_к1=М₁,

Угол закручивания правого сечения третьего участка бруса:

Найдем общий угол закручивания правого сечения на правом конце III участка:

j=

 рад.

Итак, по найденным значениям построим эпюру углов закручивания.

Задача 3. РАСЧЕТ СТАЛЬНОЙ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ И ПОДБОР СЕЧЕНИЯ

Условие задачи

Стальная балка нагружена сосредоточенной силой F равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q и сосредоточенным изгибающим моментом М.

Принять допускаемое напряжение для материала профиля [σ]=16⋅10⁴ кН/м².

Необходимо:

1) определить реакции опор - только для балки с шарнирным закреплением;

) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

) проверить правильности построения эпюр по дифференциальным зависимостям при изгибе между Мх, Q и q;

) найти опасное сечение и определить момент сопротивления балки из условия прочности по нормальным напряжениям;

) определить требуемый номер профиля поперечного сечения.

Сравнить в опасном сечении максимальные нормальные напряжения с допускаемыми.

Определить, на сколько процентов балка недогружена или перегружена. Перегрузка при этом не должна превышать 5 %.

Вычертить сечение в масштабе 1:2.

l₁=1.0 м,

l₂=0.5 м,

l₃=0.4 м,

m=0 кНм,

F=10 кН,

q=20 кН/м.

Определение реакций опор.

Определим опорные реакции, для этого обозначим опоры левую - А, правую - В.

Выберем систему координатных осей y, z. Ось у направим по вертикали вверх; ось z - по оси бруса AВ вправо. В соответствии с видом каждой опоры приложим неизвестные опорные реакции R_Аy и R_Аz, R_В.

Направление неизвестных в ту или иную сторону назначается произвольно.

Запишем условия равновесия бруса АВ:

Из полученных уравнений определим неизвестные реакции опор:

Проведем проверку правильности определения опорных реакций, для этого должно удовлетворяться условие равновесия

8.2×10³-10×10³-20×10³×0.5+11.8×10³=0

Найденные величины опорных реакций проставляются на схеме.

Построение эпюры поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе.

Разобьем балку на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (активные или реактивные) сосредоточенные силы или моменты, а также сечения, где начинается или оканчивается распределенная нагрузка или изменяется закон ее интенсивности по длине балки q = q(z). Участок I.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₁.

z₁ изменяется в интервале [0≤ z₁<l₁].

Q(z₁)=R_A^y=8.2 кН

М(z₁)= R_A^y×z₁

М(z₁=0)= R_A^y ×=0

М(z₁=l₁)= 8.2×= 8.2 кНм

Аналогично по другим участкам.

Участок II.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₂.

z₂ изменяется в интервале [0≤ z₂<l₂].

Q(z₂)= R_A^y-F-q×z₂

при z₂=0 Q(z₂=0)=8.2-10-20×0= - 1.8 кН

при z₂=0.5 м Q(z₂=0.5)=8.2-10-20×0.5= - 11.8 кН

М(z₂)= R_A^y×l₁+z₂-Fz₂-qz₂²/2

М(z₂=0)= 8.2×1-0=8.2 кНм

М(z₂=l₂)= 8.2×.5-10×0.5×20×0.5²/2= 4.7 кНм

Участок III.

Расстояние от свободного конца до сечения обозначим z₃.

z₃ изменяется в интервале [0≤ z₃<l₃].

Q(z₃)= -R_B= -11.8 кН

М(z₃)= R_B×z₁

М(z₃=0)= 0

М(z₃=l₃)= 11.8×0.4= 4.7 кНм

Определение опасного сечения и момента сопротивления балки.

Так как стальная балка по условию одинаково сопротивляется растяжению и сжатию [σ]_р=[σ]_cж=[σ]=16⋅10⁴ кН/м², то условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

, где

W_x - осевой момент сопротивления опасного сечения.

Для подбора сечения балки и проектного расчета из условия прочности определяют требуемую величину осевого момента сопротивления

.

Итак, опасным сечением будет сечение, где действует М_{x max}.

Для балки видно, что М_{x max} = 8.2 кНм. Определяем требуемую величину осевого момента сопротивления:

Определение требуемого номера профиля поперечного сечения.

Так как заданное сечение составное, то для нахождения размеров одного профиля (его номера), необходимо определить его момент сопротивления:

, где

I_x - осевой момент инерции составного сечения, находится по зависимостям, полученным при параллельном переносе осей

Тогда

   (*)

По таблице сортамента для заданного стандартного профиля-двутавра находим номер профиля, для которого условие (*) выполняется.

Выбираем двутавр №10.

 см³, что больше W_x=51 см³.

Следовательно, прочность балки обеспечена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов: Учеб. для техн. Вузов. -5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1989. - 624 с.

. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: Учеб. для техн. Вузов. - 10-е изд., перераб. -М.: Наука, 1998. - 420 с.

. Гафаров Р. Х., Жернаков В. С. Что нужно знать о сопротивлении материалов: Учеб. пособие / Под ред. В. С. Жернакова. - М.: Машиностроение, 2001. - 276 с.

. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для техн. вузов / И. Н. Миролюбов, С. А. Енгалычев, Н. Д. Сергиевский и др. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1985. - 399 с., ил.

. Сборник задач по сопротивлению материалов/ Под ред. В. К. Качурина. - Гл. ред. Физ.-мат. литературы изд. «Наука». - М., 1972. - 432 с.