1

Введение

6

2

Математическое описание использованного для решения задачи     метода

7

3

Описание алгоритма решения задачи и схема алгоритма

8

4

Описание программы

15

5

Результаты решения, их интерпретация и выводы по проделанной   работе

10

5.1

Результаты работы программы

10

5.2

Результаты проверки в пакете «MathCAD»

12

5.3

Интерпретация результатов и выводы по проделанной работе

13

6

Список использованной литературы

14

7

Приложение А

15

8

Приложение В

18

9

Приложение С

25

1.   Введение

В этой работе перед нами ставится цель научиться применять некоторые численные методы при решении метематических задач при помощи ПК. Математическое моделирование процессов и явлений в различных областях науки и техники является одним из основных способов получения новых знаний  и технологических решений. Для решения поставленной в этом курсовом проекте задачи необходи иметь основные навыки программирования на языке «Pascal» и в объектно-ориентированной среде «Delphi». Эти знания могут пригодиться и в будущем, при написании каких-либо программ вычислительного характера.

В данной работе необходимо написать программу, которая бы рассчитала дисперсионную характеристику планарного волновода и построила профили направляемых в нём ТЕ-мод. Для нахождения направляющих углов был использован метод дихотомии (половинного деления). Он наиболее прост в реализации, имеет относительно быструю сходимость и позволяет легко контролировать погрешность вычислений.

2. Математическое описание использованного

для решения задачи МЕТОДА.

Нажождение корня уравнения методом дихотомии.

Считаем, что на отрезке [а, b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погреш­ностью e.

Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [а, b]

Х= (а + b)/2

и вычисляем функцию f(Х). Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f(x) есть непрерывная функция аргумента х, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f(x) имеет разные знаки.Это будет отрезок [а, Х], т.е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в середину отрезка Х и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [а,b].

Итерационный (повторяющийся) процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [а,b] не станет меньше заданной погрешности  e.

Следует учитывать, что функция f(x) вычисляется с некоторой абсолютной погрешностью e₁. Вблизи корня значения функции f(x) малы по абсолютной величине и могут оказаться сравнимыми с погрешностью ее вычисления. Другими словами, при подходе к корню мы можем попасть в полосу шумов 2e₁ и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным. Поэтому надо задать ширину полосы шумов и прекратить итерационный процесс при попадании в нее. Также необходимо иметь в виду, что при уменьшении интервала [а,b] увеличивается погрешность вычисления его длины (b – а) за счет вычитания близких чисел.

Метод дихотомии позволяет значительно уменьшить объем вычислений по сравнению с графическим методом. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень, уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен (b - а)/2ⁿ. За 10 итераций интервал уменьшится в 2 ¹⁰ =1024 раз, за 20 итераций - в 2²⁰=1048576 раз.

3. Описание алгоритма решения задачи и схема алгоритма.

Основная задача, которая решается в этой программе, это решение приведённого далее уравнения относительно :

, (3.1)

где

 - толщина волновода;

 - длина волны запускаемого пучка света;

 - направляющий угол;

 - порядок моды;

 - показатели преломления волновода и окружающих его веществ.

В программе решение данного уравнения реализавано методом дихотомии, схема которого приведена ниже.

Рисунок 3.1 – блок-схема метода дихотомии.

Далее, используя полученные значения направляющих углов, строится график, отображающий профили ТЕ-мод. График, отображающий правую часть уравнения (3.1), практической ценности для решения задачи не имеет и носит чисто иллюстративный характер.

4.   ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.

Вид программы представлен на рисунке 4.1. По своей внешней форме она представляет собой 4 закладки, расположенные на 1 форме. На первой закладке осуществляется ввод исходных данных, на второй строится график дисперсионной характеристики волновода, на третьей выводятся значения направляющих углов, а на чётвертой строятся профили ТЕ-мод.

Рисунок 4.1 - Основной вид программы, закладка для ввода исходных данных.

Все вычисления и построения графиков производятся при смене закладки с первой на любую другую (событие объекта TPageControl «OnChange»). Перед сменой (событие «OnChanging») осуществляется проверка на полноту исходных данных: если хоть в одном из окон осталось стоящее по умолчанию число «0», то смены закладки не произойдёт, зато возникнет информационное окно, которое укажет пользователю на его ошибку. При повторном переходе с первой закладки на другую будет произведён перерасчёт.

Вычисление направляющих углов осуществляется с указанной в задании точностью – 0,001.

Полная схема  и листинг программы находятся в приложении А и В соответственно.

5. Результаты решения, их интерпретация и выводы по проделанной работе.

5.1. результаты работы программы.

Расчёты проводились при следующих исходных данных:

Рисунок 5.1 – ввод исходных данных в программу.

При таких введённых параметрах программа рассчитала следующую дисперсионную характеристику:

Рисунок 5.2 – дисперсионная характеристика волновода.

Подсчитанные направляющие углы составили:

Рисунок 5.3 – направляющие углы ТЕ-мод.

И при этих углах программа построила вот такие профили ТЕ-мод:

Рисунок 5.4 – профили ТЕ-мод.

5.2. Результаты проверки в пакете «MathCAD».

При аналогичных исходных данных «MathCAD» выдал следующие результаты:

Рисунок 5.5 – график дисперсионной характеристики, полученный при помощи пакета «MathCAD».

Рисунок 5.6 – график с профилями ТЕ-мод, полученный при помощи пакета «MathCAD»

Полный листинг решения поставленной задачи в пакете «MathCAD» приведён в приложении С.

5.3. Интерпретация результатов и выводы по проделанной работе.

Проведя сравнительный анализ результатов, полученных при помощи написанной в «Delphi» программы и пакета «MathCAD», мы видим их полное совпадение в пределах заданной погрешности. Кроме того, конечные результаты, а именно профили ТЕ-мод, совпадают со справочными:

Рисунок 5.7 – три низшие ТЕ-моды асимметричного планарного волновода и соответствующие им зигзагообразные лучи.

Из этого можно сделать вывод, что поставленная задача была решена мною верно и в полном объёме. Я не только создал конечный програмный продукт, ограниченно пригодный для практического использования, но и получил практические навыки программирования в объектно ориентированной среде «Delphi».

6. Список используемой литературы:

1.  «Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль». А.Е.Мудров – МП «Раско», Томск, 1992г, 270с.

2. «Оптические волны в кристаллах». А. Ярив, П. Юх – издательство «Мир», Москва, 1987г, 616с.

Приложение А.

Блок-схема тела основной программы.

Рисунок А.1 – блок-схема тела основной программы.

nn1,nn2,nn3 – показатели преломления, исходные данные, вводимые пользователем;

dd – толщина волновода, вводится пользователем;

wll – длина волны используемого света, вводится пользователем.

Блок-схема Процедуры «OnChanging».

Рисунок А.2 – блок-схема процедуры «OnChanging».

AllowChange – свойство объекта TPageControl, отвечающее за разрешение/неразрешение смены закладки;

mtInformation – информационное окно, уведомляющее пользователя о том, что он ввёл не все исходные данные.

Блок-схема Процедуры «OnChange».

Рисунок А.3 – блок-схема процедуры «OnChange».

i – переменная типа boolean, которая отвечает за то, будет ли при смене закладки осуществлён пересчёт;

chart1 – график, отображающий дисперсионную характеристику волновода;

chart2 – график, отображающий профили ТЕ-мод;

stringgrid1 – таблица, которая по ходу выполнения программы заполняется значениями направляющих углов;

n – переменная типа byte, соответствующая порядку моды;

a, b – переменные, задающие диапазон, на котором производится уточнение направляющих углов;

dwl – функция, задающая дисперсионную характеристику волновода (численно равна правой части уравнения (3.1));

dix – процедура, осуществляющая одну итерацию метода дихотомии;

k – вспомогательная переменнная типа integer, используемая для построения графика;

f(k), g(k) – функции от k, выступающие в роли аргумента для других функций;

e1, e2, e3 – функции, определяющие профиль моды в различных средах.

Блок-схема процедуры «dix».

Рисунок А.4 – блок схема процедуры «dix».

х1, х2, хm – крайние и среднее значения интервала, на котором производится уточнение корня;

y1, y2 ym – значения уточняемой функции от x1, x2  и xm соответственно;

xx1, xx2 , xxm – новые крайние и среднее значения интервала, полученные после его уменьшения вдвое.

Приложение В.

Модуль формы Form1.

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, jpeg, ComCtrls, TeEngine, Series, TeeProcs,

  Chart,math, Grids, Menus;

type

  TForm1 = class(TForm)

    PageControl1: TPageControl;

    TabSheet1: TTabSheet;

    TabSheet2: TTabSheet;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Label3: TLabel;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    Label6: TLabel;

    Image1: TImage;

    Image2: TImage;

    Edit1: TEdit;

    Edit2: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    Edit4: TEdit;

    Edit5: TEdit;

    TabSheet3: TTabSheet;

    Chart1: TChart;

    TabSheet4: TTabSheet;

    Chart2: TChart;

    StringGrid1: TStringGrid;

    MainMenu1: TMainMenu;

    File1: TMenuItem;

    Exit1: TMenuItem;

    Help1: TMenuItem;

    About1: TMenuItem;

    Label7: TLabel;

    Label8: TLabel;

    Label9: TLabel;

    Label10: TLabel;

    Label11: TLabel;

    Label12: TLabel;

    procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure Edit2KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure Edit3KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure Edit4KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure Edit5KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

    procedure PageControl1Changing(Sender: TObject;

      var AllowChange: Boolean);

    procedure PageControl1Change(Sender: TObject);

    procedure FormActivate(Sender: TObject);

    procedure Exit1Click(Sender: TObject);

    procedure About1Click(Sender: TObject);

    private

    { Private declarations }

  public

  i:boolean;

  nn1,nn2,nn3,dd,wll:real;

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

implementation

uses Unit4;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9', chr(8): ;

'-': if length(edit1.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(45);

'.': if pos(',',edit1.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

',': if pos(',',edit1.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

else key:=chr(0);

end;

end;

procedure TForm1.Edit2KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9', chr(8): ;

'-': if length(edit2.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(45);

'.': if pos(',',edit2.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

',': if pos(',',edit2.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

else key:=chr(0);

end;

end;

procedure TForm1.Edit3KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9', chr(8): ;

'-': if length(edit3.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(45);

'.': if pos(',',edit3.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

',': if pos(',',edit3.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

else key:=chr(0);

end;

end;

procedure TForm1.Edit4KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9', chr(8): ;

'-': if length(edit4.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(45);

'.': if pos(',',edit4.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

',': if pos(',',edit4.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

else key:=chr(0);

end;

end;

procedure TForm1.Edit5KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

case key of

'0'..'9', chr(8): ;

'-': if length(edit5.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(45);

'.': if pos(',',edit5.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

',': if pos(',',edit5.text)<>0 then key:=chr(0) else key:=chr(44);

else key:=chr(0);

end;

end;

  var AllowChange: Boolean);

begin

allowchange:= tschng(strtofloat(edit1.text),strtofloat(edit2.text),strtofloat(edit3.text),strtofloat(edit4.text),strtofloat(edit5.text));

end;

procedure TForm1.PageControl1Change(Sender: TObject);

//основная процедура программы, привязанная к смене закладки

//по её ходу и осуществляются все вычисления и построение графиков

var

n:byte;

k:integer;

a,b,c,f:real;

begin

nn1:=strtofloat(edit1.text);

nn2:=strtofloat(edit2.text);

nn3:=strtofloat(edit3.text);

dd:=strtofloat(edit4.text)/1000000;

wll:=strtofloat(edit5.text)/1000000000;

if pagecontrol1.activepage=(tabsheet1) then

begin

i:=false;

chart1.RemoveAllSeries;

chart2.RemoveAllSeries;

stringgrid1.rowcount:=(2);

stringgrid1.Height:=(52);

stringgrid1.Cells[0,1]:=(' ');

stringgrid1.Cells[1,1]:=(' ');

end

else

begin

        if i=false then

        begin

                n:=0;

                while dwl(n,(arcsin(nn1/nn2)+0.00005),nn1,nn2,nn3)<(dd/wll) do

                begin

                        a:=(arcsin(nn1/nn2)+0.001);

                        b:=(pi/2-0.001);

                        c:=(a+b)/2;

                        while (abs(dwl(n,a,nn1,nn2,nn3)-dwl(n,b,nn1,nn2,nn3))>0.001) or (abs(a-b)>0.001) do

                        begin

                        dix(a,b,c,(dwl(n,a,nn1,nn2,nn3)-(dd/wll)),(dwl(n,b,nn1,nn2,nn3)-(dd/wll)),(dwl(n,c,nn1,nn2,nn3)-(dd/wll)),a,b,c);

                        end;

                stringgrid1.Cells[0,n+1]:=floattostr(n);

                stringgrid1.Cells[1,n+1]:=floattostr(a);

                stringgrid1.RowCount:=(stringgrid1.RowCount+1);

                if n<14 then stringgrid1.Height:=(stringgrid1.Height+26);

                n:=n+1;

                end;

        stringgrid1.RowCount:=(stringgrid1.RowCount-1);

        stringgrid1.Height:=(stringgrid1.Height-26);

        for n:=0 to (stringgrid1.RowCount-2) do

        begin

                Chart1.AddSeries( TlineSeries.Create( Self ) );

                chart1.Serieslist[n].SeriesColor:=chart1.getfreeseriescolor(false);

                for k:=0 to 269 do

                begin

                f:=(arcsin(nn1/nn2)+k*(((pi/2)-0.001-arcsin(nn1/nn2))/300));

                chart1.Series[n].AddXY(k,dwl(n,f,nn1,nn2,nn3),'',clteecolor);

                end;

        end;

        Chart1.AddSeries( TlineSeries.Create( Self ) );

        for k:=1 to 269 do

        begin

        chart1.Series[chart1.SeriesCount-1].AddXY(k,(dd/wll),'',clteecolor);

        end;

        for n:=0 to (stringgrid1.RowCount-2) do

        begin

                Chart2.AddSeries( TlineSeries.Create( Self ) );

                chart2.Serieslist[n].SeriesColor:=chart2.getfreeseriescolor(false);

                for k:=(-99) to 0 do

                begin

                        chart2.Series[n].AddXY(k,e1(wll,dd,nn1,nn2,nn3,strtofloat(stringgrid1.Cells[1,n+1]),(k*dd/100)),'',clteecolor);

                end;

                for k:=0 to 99 do

                begin

                        chart2.Series[n].AddXY(k,e2(wll,dd,nn1,nn2,nn3,strtofloat(stringgrid1.cells[1,n+1]),(k*dd/100)),'',clteecolor);

                end;

                for k:=100 to 199 do

                begin

                        chart2.Series[n].AddXY(k,e3(wll,dd,nn1,nn2,nn3,strtofloat(stringgrid1.Cells[1,n+1]),(k*dd/100)),'',clteecolor);

                end;

        end;

label7.Caption:=floattostrf(arcsin(nn1/nn2),ffgeneral,3,3);

label8.caption:=floattostrf((pi/2-0.001-(pi/2-arcsin(nn1/nn2))/300),ffgeneral,3,3);

label10.Caption:=floattostr(-dd*1000000);

label11.Caption:=floattostr(2*dd*1000000);

i:=true;

end;

end;

end;

procedure TForm1.FormActivate(Sender: TObject);

begin

i:=false;

stringgrid1.Cells[0,0]:=('Порядок');

stringgrid1.Cells[1,0]:=('Угол (рад)');

end;

procedure TForm1.Exit1Click(Sender: TObject);

begin

close;

end;

procedure TForm1.About1Click(Sender: TObject);

begin

messagedlg('Курсовая работа по информатике, ТУСУР,'

+#13+'              1 курс, специальность 210405.'

+#13+'             Выполнил студент группы 164'

+#13+'                        Филатов Александр.', mtinformation, [mbOK],0);

end;

end.

Вспомогательный модуль, содержащий математические процедуры и функции.

unit Unit4;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, jpeg, ComCtrls, TeEngine, Series, TeeProcs,

  Chart,math;

function tschng(n1,n2,n3,d,wl:real):boolean;

function dwl(m:byte; tetta,n1,n2,n3:real):real;

function q(wl,tetta,n2,n1:real):real;

function h(wl,tetta,n2:real):real;

function p(wl,tetta,n2,n3:real):real;

function e1(wl1,d1,n11,n21,n31,tetta1,x1:real):real;

function e2(wl2,d2,n12,n22,n32,tetta2,x2:real):real;

function e3(wl3,d3,n13,n23,n33,tetta3,x3:real):real;

procedure dix(x1,x2,xm,y1,y2,ym:real; var xx1,xx2,xxm:real);

implementation

function tschng(n1,n2,n3,d,wl:real):boolean;

//осуществляет проверку исходных данных на полноту

begin

if (n1=0) or (n2=0) or (n3=0) or (d=0) or (wl=0) then

begin

messagedlg('Вы должны ввести значения всех параметров!', mtinformation, [mbOK],0);

tschng:=(False);

end

else

tschng:=(True);

end;

function dwl(m:byte; tetta,n1,n2,n3:real):real;

//функция дисперсионной характеристики волновода

var

aa,bb,cc,dd: real;

begin

aa:= sqrt(1-sqr(sin(tetta)));

aa:= 1/(2*pi*n2*aa);

bb:= sqrt(sqr(n2*sin(tetta))-sqr(n3));

cc:= sqrt(sqr(n2*sin(tetta))-sqr(n1));

dd:= n2*sqrt(1-sqr(sin(tetta)));

dwl:=aa*(arctan(bb/dd)+arctan(cc/dd)+pi*m);

end;

function q(wl,tetta,n2,n1:real):real;

//функция, вычисляющая волновое число q

begin

q:=(2*pi*sqrt(sqr(n2*sin(tetta))-n1*n1))/wl;

end;

function h(wl,tetta,n2:real):real;

//функция, вычисляющая волновое число h

begin

h:=(2*pi*cos(tetta)*n2)/wl;

end;

function p(wl,tetta,n2,n3:real):real;

//функция, вычисляющая волновое число p

begin

p:=(2*pi*sqrt(sqr(n2*sin(tetta))-n3*n3))/wl;

end;

function e1(wl1,d1,n11,n21,n31,tetta1,x1:real):real;

//функция, задающая профиль Еу ТЕ моды при условии х<=0

begin

e1:=exp(q(wl1,tetta1,n21,n11)*x1);

end;

function e2(wl2,d2,n12,n22,n32,tetta2,x2:real):real;

//функция, задающая профиль Еу ТЕ моды при условии 0<х<d

begin

e2:=(q(wl2,tetta2,n22,n12)/h(wl2,tetta2,n22))*(sin(x2*h(wl2,tetta2,n22))+(h(wl2,tetta2,n22)/q(wl2,tetta2,n22,n12))*cos(h(wl2,tetta2,n22)*x2));

end;

function e3(wl3,d3,n13,n23,n33,tetta3,x3:real):real;

//функция, задающая профиль Еу ТЕ моды при условии х>=d

begin

e3:=(q(wl3,tetta3,n23,n13)/h(wl3,tetta3,n23))*(sin(d3*h(wl3,tetta3,n23))+(h(wl3,tetta3,n23)/q(wl3,tetta3,n23,n13))*cos(h(wl3,tetta3,n23)*d3))*exp(-p(wl3,tetta3,n23,n33)*(x3-d3));

end;

procedure dix(x1,x2,xm,y1,y2,ym:real; var xx1,xx2,xxm:real);

//процедура, осуществляющая 1 итерацию метода дихотомии

begin

if (y1*ym)<0 then

begin

        xx1:=x1;

        xx2:=xm;

        xxm:=(x1+xm)/2;

end;

if (ym*y2)<0 then

begin

        xx1:=xm;

        xx2:=x2;

        xxm:=(xm+x2)/2;

end;

end;

end.

Приложение c.