Разработка методических рекомендаций решения некоторых стереометрических задач векторным методом
Государственное
образовательное учреждение
дополнительного
профессионального образования
(повышения
квалификации)
специалистов
Московской области
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра
математических дисциплин
Особенности
методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс
среднего (полного) общего образования
ПРОЕКТ
«Разработка
методических рекомендаций решения некоторых стереометрических задач векторным
методом»
Учитель математики
МОУ СОШ № 15 г. Пушкино Московской области
Голубева Ирина Альбертовна
Руководитель группы
Бирюкова А.И.
2011 год
ВВЕДЕНИЕ
В демонстрационных материалах ЕГЭ 2010 - 2011
годов содержится значительная доля заданий группы С2, в которых необходимо
найти угол (или тригонометрическую функцию угла) между скрещивающимися прямыми.
Прямые обычно задаются двумя точками, лежащими на рёбрах того или иного
многогранника.
При решении таких задач, во-первых, необходимо
построить этот угол, во-вторых, найти его величину. Чтобы указать искомый угол,
необходимы дополнительные построения, часто совсем не очевидные. Чтобы
вычислить величину угла или его тригонометрическую функцию, требуется
рассмотреть какой-нибудь треугольник, одним из углов которого является искомый
угол. Таким образом, становится понятно, что решение таких задач оказывается
сложным и недоступным для большинства выпускников. Для каждого конкретного
случая нужны свои построения и приёмы решения.
Предлагаемый ниже метод позволяет составить
чёткий алгоритм, следуя которому, можно решить большое количество задач на
нахождение угла между прямыми, заданными точками на рёбрах многогранника.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
алгоритм
задача векторный угол
Оказывается, что решение задачи
значительно упрощается, если заменить угол между прямыми на угол между
векторами. Причем, векторы 
задаются теми же точками, что и
прямые.
Рассмотрим вопрос, насколько
правомерна такая замена понятий.
В действующих школьных учебниках [1,
с.52-53; 5, с. 41-43]понятие угла между прямыми в пространстве формулируется
следующим образом.
Определение 1. Углом между двумя
пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов,
образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Определение 2. Углом между двумя
скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми,
соответственно параллельными данным.
Определение 3. Две прямые называются
перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.
Величина угла между параллельными
прямыми считается равной нулю.
Из выше сказанного следует, что
величина угла между прямыми в пространстве принадлежит промежутку 
.
Рассмотрим теперь, как определяется
понятие угла между векторами [5, с. 122].
Определение 4. Углом между двумя
нулевыми векторами 
и 
называется
угол между равными им векторами 
= и 
= , отложенными от одной точки.
Если векторы сонаправлены, то угол
между ними считается равным нулю; если векторы противоположно направлены, то
угол между ними считается равным 180º; если угол между векторами
равен 90º,
то
векторы называют перпендикулярными.
Сопоставив приведённые выше
определения, видим, что угол между прямыми в пространстве и угол между
векторами определяется практически одинаково. Разница лишь в том, что угол
между прямыми может принимать значения от 0º до 90º, а угол между
векторами - от 0º
до
180º.
Значит,
если при решении задачи мы получаем величину угла между векторами больше 90º, то угол
между прямыми можно считать смежным с полученным углом. Значит, замена понятий
в данном случае вполне правомерна.
Следовательно, для нахождения угла
между двумя скрещивающимися прямыми (или между двумя векторами в пространстве)
можно пользоваться известной формулой скалярного произведения 
=
cos
, где - угол между
данными векторами.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
В кубе A…D1 точки E, F -середины
рёбер A1B1 и B1C1
соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.
Решение.
Введём прямоугольную систему
координат, где точка D - начало координат; ось Ox совпадает с прямой DA; Oy - с
прямой DC; Oz - с прямой DD1. Единичный отрезок равен ребру куба. В заданной
системе координат определим координаты точек: A,B.E,F.
A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), E(1; 0,5; 1),
F(0,5; 1; 1).
Найдём координаты векторов 
и 
.
=
=
; =
=
.
=0∙(-0,5)+0,5∙0+1∙1
= 1
; 
cos=
Ответ: 0,8.
Замечание
При вычислении угла между векторами
нет необходимости находить нужный угол на чертеже. Следовательно, не нужно
выполнять никакие дополнительные построения. Это существенно облегчает задачу.
Рассмотрим задачу, при решении
которой введение системы координат неудобно.
Задача 2
Непересекающиеся диагонали двух
смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда образуют с плоскостью его
основания углы α
и
β.
Найдите
угол между этими диагоналями.
Решение
Пусть
0+
+0+0+
; 
, где -угол между векторами 
и 
.
Тогда cos=sinαsinβ.
Ответ: arccos(sinαsinβ).
Рассмотрим задачи, в которых прямые
заданы точками, лежащими на гранях правильно треугольной и правильной
шестиугольной призмы. В этих случаях возможно решение как с использованием системы
координат, так и без неё.
Задача 3
В правильной треугольной призме, все
рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Решение
способ
,
.
, так как отрезки AB1и BC1 -
диагонали квадрата.
где α - угол между
рассматриваемыми векторами, или угол между данными прямыми.
Ответ: 
.
способ
Значение скалярного произведения
можно вычислить, не используя систему координат.
Представим каждый из векторов 
и 
как сумму
векторов, заданных рёбрами многогранника:
; 
;
.
Далее искомый угол находим также,
как и при решении 1 способом.
Очевидно, что каждый из
рассмотренных способов имеет свои достоинства и недостатки. В первом случае
возникают сложности при нахождении координат точек, во втором - при определении
углов между векторами.
Задача 4
В правильной шестиугольной призме A…F1, все рёбра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми BA1 и CB1.
Решение
способ
Введём систему координат с началом в
точке A (см. рисунок), единичный отрезок равен ребру призмы.
В заданной системе определим
координаты точек:
(см. рисунок)
Вычислим косинус угла между
векторами:
Ответ:
.
способ
Представим рассматриваемые векторы
как сумму векторов, заданных рёбрами призмы:
=
Далее заканчиваем решение задачи,
как в первом случае.
Рассмотрим случай, когда введение
системы координат не оправдано.
Задача 5
В правильной четырёхугольной
пирамиде SABCD все рёбра которой равны 1, точка Е - середина ребра SC, точка F - середина
ребра SD. Найдите
косинус угла между прямыми AF и BE.
Решение
Рассмотрим суммы векторов:
.
Вычислим их скалярное произведение:
=
,так как AF-
медиана равностороннего треугольника ABS.
.
Ответ:
.
Следует заметить, что нахождение
угла между векторами заслуживает особого внимания и обсуждения, особенно, если
векторы отложены от разных точек. Рассмотрим рисунки. В данном случае удобно заменить
вектор
на вектор 
, а векторы 
и 
- на 
и 
соответственно.
Полученные углы отмечены на рисунке.
Замечание. Согласно
тематическому планированию [2, с. 122], на изучение темы «Скалярное
произведение векторов в пространстве» отводится два урока. Очевидно, что такой
объём заданий за это время выполнить невозможно. В этом случае более подробно
данную тему можно отработать на факультативных занятиях и при итоговом
повторении.
Рассмотрев несколько задач, решённых
методами аналитической геометрии, можно составить план, или алгоритм для
решения задач на нахождение угла между прямыми в пространстве. Опыт показывает,
что, имея чёткий алгоритм, с задачами справляются даже не очень сильные
ученики.
Алгоритм 1
1. Введите прямоугольную систему координат
в пространстве, привязав её к данному многограннику.
. Определите координаты точек, задающих
прямые.
3. Вычислите координаты
векторов и 
, которые
задаются теми же точками, что и прямые.
. Вычислите скалярное
произведение векторов и через их
координаты.
. Вычислите модули векторов и .
. Вычислите косинус угла
между данными векторами по формуле:
Указанный угол и будет углом между
заданными прямыми.
Алгоритм 2
1. Обозначьте векторы, задаваемые теми же
точками, что и прямые.
. Представьте каждый из заданных векторов
как сумму двух других, совпадающих с рёбрами многогранника.
. Найдите скалярное произведение
векторов, перемножив полученные суммы.
. Вычислите модули векторов.
. Вычислите косинус угла между данными
векторами по формуле:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Не секрет, что разделы школьной
программы, связанные с аналитической геометрией для большинства учащихся
являются самыми «нелюбимыми». Причин для этого несколько. Во- первых,
аналитическая геометрия сильно отличается от той геометрии, к которой ученики
привыкли с 7 класса. Очень часто задаётся вопрос: а чем мы занимаемся -
алгеброй или всё-таки геометрией? Во-вторых, в действующих учебниках для
общеобразовательных школ аналитический метод изучается как бы сам по себе.
Предлагаются задачи очень специфического характера, например: найти расстояние
между точками, найти координаты середины отрезка, вычислить скалярное
произведение векторов тем или иным способом, и так далее. К решению же
традиционных «нормальных» геометрических задач координатно-векторный метод
практически не применяется. Поэтому ученики (а часто и учителя) даже не
догадываются, что в некоторых случаях применение методов аналитической
геометрии существенно облегчает решение задач.
Достаточное внимание этой теме
уделяется лишь в учебниках для профильных классов и школ [5. с. 103-168].
Разумеется, многие вопросы
аналитической геометрии выходят за рамки программы общеобразовательной школы.
Тем не менее, те разделы, которые входят в программу, должны обязательно
применяться для решения геометрических задач. Тогда усвоение материала будет
происходить более осознанно, и вопрос «Зачем нам это надо?» отпадёт сам собой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Геометрия. 10 - 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. - Москва:
Мнемозина, 2003.
. Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Геометрия 10 - 11 класс: Методические рекомендации для учителя. В двух частях.
- Москва: Мнемозина, 2003.
. Смирнов В.А. Геометрия,
Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко.
- Москва: МЦНМО, 2009. -(Готовимся к ЕГЭ).
. Единый государственный экзамен
2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ -
Москва: Интеллект-Центр, 2010. Авторы составители: Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д.,
Захаров П.И. и др.
. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и
профильным изучением математики. - Москва: Дрофа, 2004.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Ниже приводится подготовительная система
упражнений для решения подобного рода задач. Очевидно, что такая система
упражнений необходима для того, чтобы учащиеся приобрели навык решения простых
задач, которые являются частью более сложных, и не затруднялись в «мелочах».
.Угол между векторами
По рисунку найдите угол между указанными
векторами
ABCDEF -
правильный шестиугольник
2.Задачи на вычисление угла (тригонометрической
функции угла) между прямыми
Куб
А) В кубе A…D1
найдите косинус угла между прямыми AB и СА.
Ответ: 
Б) В кубе A…D1 найдите
тангенс угла между прямыми AB и DB1.
Ответ:
В) В кубе A…D1 точка Е -
середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BD1.
Ответ: 
.
Правильная треугольная призма
А) В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1, все рёбра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и CB1.
Ответ: 
.
Б) В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1, все рёбра
которой равны 1, точки D и E - середины рёбер А1В1 и В1С1 соответственно,
найдите косинус угла между прямыми AD и BE.
Ответ: 0,7.
В) В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1, все рёбра
которой равны 1, точка D - середина ребра А1В1, найдите косинус угла между
прямыми AD и BС1.
Ответ: 
.
Правильная шестиугольная призма
А) В правильной шестиугольной призме
A….F1, все рёбра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и CD1.
Ответ: .
Б) В правильной шестиугольной призме
A….F1, все рёбра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и CЕ1.
Ответ: .
В) В правильной шестиугольной призме
A….F1, все рёбра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AС и ВЕ1.
Ответ: 
Пирамида
А) В правильной четырёхугольной
пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, точка Е - середина ребра SC. Найдите
тангенс угла между прямыми SA и BE.
Ответ: .
Б) В правильной четырёхугольной
пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, точка Е - середина ребра SC. Найдите
косинус угла АВЕ.
Ответ: 
.
В) В правильной четырёхугольной
пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, точки Е и F- середины рёбер
соответственно SC и SD. Найдите косинус угла между прямыми AF и BE.
Ответ: .