Исследование статистической зависимости изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Факультет ЕиИН

Кафедра прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО «Теории вероятности и математической статистике»

ТЕМА: Исследование статистической зависимости изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений

Выполнил: Иноземцева Н. Г.

Дубна 2012 г.

Содержание

Введение

Исходные данные и их обработка

Корреляционная таблица

Гистограммы для признаков X и Y

Полигоны для признаков X и Y

Эмпирические функции для признаков X и Y

Линейная регрессия

Параболическая регрессия

Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х

Метод доверительных интервалов

Заключение

Список литературы

Введение

В данной курсовой работе проводится исследование статистической зависимости изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений.

Изменения свойств коллектора и пластовых флюидов в результате разработки нефтяных месторождений, для объектов, находящихся в длительной и поздней стадии разработки, полно изучены и освещены в научно-технической литературе. Они вызваны изменением ФЕС(фотоэлектрическое сопротивление) пористой среды под воздействием различных термодинамических процессов, связанных с применением химических реагентов в различных технологических схемах, закачкой пресных и сточных вод, с нестационарностью изменения давления в пористых средах. Так наибольшее влияние на характеристику ФЕС могут оказывать нарушение равновесия минерального состава вод, отложение солей в порах, набухание глинистых включений, размыв и перенос цемента и зерен коллектора фильтруемой жидкостью, изменение температуры пласта при закачке холодной воды, разгазирование нефти, химические реакции и др. Исследование и оценка данных негативных явлений представляет значительную актуальность, так как термодинамические процессы, происходящие на единичных месторождениях, индивидуальны и существенно влияют на состояние разработки, хотя они имеют общую закономерность их возникновения в отдельных направлениях техногенного воздействия и для других месторождений, разделенных по признакам их протекания на обратимые и необратимые.

Наибольшее влияние на характеристики ФЕС оказывают изменение температуры и давления в пласте, приводящее к нарушению термодинамического равновесия насыщающих коллекторов флюидами, в результате которого происходит выпадение твердой фазы, асфальтено-смоло-парафиновых отложений (АСПО) из нефти, усиливаются процессы переноса данных частиц, способствуют протеканию сорбции, суффозии. Обобщая все виды техногенных изменений ФЕС, отметим, что они напрямую связаны с изменением коэффициента извлечения нефти (КИН), влиянием на численные значения остаточных запасов нефти и эффективность доразработки нефтяного месторождения.

Цель и задачи курсовой работы.

Исследование влияния техногенного воздействия на структуру порового пространства, фильтрационно-емкостные свойства нефтенасыщенных коллекторов и на коэффициент извлечения нефти.

Постановка задачи.

. Подобрать пример объекта, для которого X_i , Y_i могли бы быть значениями двух признаков, связанных статистической зависимостью. Дать теоретическое обоснование.

. Построить диаграмму рассеивания. Вычислить выборочные параметры: выборочные средние, выборочные и исправленные дисперсии, средние квадратические отклонения, моды и медианы выборки по X и по Y , корреляционный момент и коэффициент корреляции (по несгруппированной выборке).

. Построить корреляционную таблицу (7 на 7). Построить полигоны, гистограммы нормированных относительных частот, эмпирические функции распределения по X и по Y, вычислить выборочные параметры (см. п.2) по корреляционной таблице (по сгруппированной выборке).

. Вычислить параметры для уравнения линейной регрессии Y на X , построить линию регрессии на диаграмме рассеивания.

. Вычислить параметры для уравнения параболической регрессии, построить найденную параболу на диаграмме рассеивания.

. Проверить гипотезу о нормальном распределении признака Х.

. Построить доверительный интервал для математического ожидания по Х.

Исходные данные и их обработка

Нам дана выборка (объемом n = 100) зависимости числа Y от числа X

Таблица 1. Исходные данные

Построим диаграмму рассеивания (см. рисунок 1):

Рис. 1 Диаграмма рассеивания

Найдем выборочные параметры:

По X:

ü  выборочное среднее:

5,49753;

ü  выборочную дисперсию:

*(x) = 8,658877;

ü  исправленную дисперсию:

(x) = 8,746341;

ü  среднеквадратичное отклонение:

σ*(x) = 2,942597;

ü  оценку среднеквадратичного отклонения:

, s* (x) = 2,957421;

По аналогии найдём и для Y:

ü  выборочное среднее: 11,8293;

ü  выборочную дисперсию: 35,07875;

ü  исправленную дисперсию: 35,43308;

ü  среднеквадратичное отклонение: 5,922732;

ü  оценку среднеквадратичного отклонения: 5,952569;

ü  Найдем корреляционный момент:

=17,217096;

ü  Найдем выборочный коэффициент корреляции:

= 0,987887.

Найдем также моду и медиану для X и Y.

 9,93,  17,3.

Медианой называется такое значение варьирующего признака, которое приходится на середину упорядоченного ряда:

 5,825, 13.

коллектор рассеивание корреляционный доверительный

Корреляционная таблица

Разобьем значения X и Y на 7 интервалов (см. табл. 2, табл. 3) и построим корреляционную таблицу (см. табл. 4).

Таблица 2. Интервалы разбиения Х

Таблица 3. Интервалы разбиения Y

Таблица 4. Корреляционная таблица

С помощью метода произведений найдём условные моменты различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

Для этого понадобится расчётная таблица, которая составляется так:

)        В первый столбец таблицы записывают выборочные варианты, располагая их в возрастающем порядке;

)        во второй столбец записывают все частоты вариант и объём выборки n записывают в нижнюю клетку столбца;

)        в третий столбец записывают условные варианты  причем в качестве ложного нуля C выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически третий столбец заполняют так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный куль, пишут 0; в клетках над нулём пишут последовательно -1,-2,-3 и т.д.

)        умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения  в четвёртый столбец; сложив все полученные числа, их сумму  помещают в нижнюю клетку столбца;

)        умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения  в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму  помещают в нижнюю клетку столбца;

)        Умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения  в шестой столбец; сложив все полученные числа, их сумму  помещают в нижнюю клетку столбца. После того как расчётная таблица заполнена вычисляют условные моменты, выборочные среднюю и дисперсию по формулам:

.

,

,

ü  исправленную дисперсию -

;

8,34875;

ü  среднеквадратичное отклонение -

;

2,874938;

ü  оценку среднеквадратичного отклонения -

;

2,88942.

Найдем так же оценки для Y.

ü  Выборочное среднее :

ü  выборочную дисперсию :

35,397553

ü  исправленную дисперсию -

;

ü  35,755104;

ü  среднеквадратичное отклонение -

;

5,949584;

ü  оценку среднеквадратичного отклонения -

;

5,979557.

ü  Выборочный корреляционный момент:

;

= 17,217096;

ü  Выборочный коэффициент корреляции :

;

= 0,987887;

ü  Мода по сгруппированной выборке:

где  - нижняя граница модального интервала; h - ширина интервала группировки; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, последующего за модальным.

(x) =9,93

ü  Медиана по сгруппированной выборке:

Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше n/2 (n - объем выборки) или накопленная относительная частота - больше 0,5 и медиана определяется по следующей формуле:

+ ;

где  - нижняя граница медианного интервала; 0,5n - половина объема выборки;

 - ширина медианного интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего медианному,;  - частота медианного интервала.

5,825.

Гистограммы для признаков X и Y

Рис. 2 Гистограмма нормированных относительных частот по Y

Рис. 3 Гистограмма нормированных относительных частот по X

Полигоны для признаков X и Y

Рис. 6 Полигон нормированных относительных частот по X

Рис. 7 Полигон нормированных относительных частот по Y

Эмпирические функции для признаков X и Y

Рис. 8 Эмпирическая функция по X

Рис. 9 Эмпирическая функция по Y

Линейная регрессия

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y.

Рассмотрим случайную двумерную величину (X, Y), где  - зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением величины  в виде линейной функции величины X:

где  - параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами: наиболее употребительный из них - метод наименьших квадратов. Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X. Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X.

где F - суммарное квадратичное отклонение.

Подберем a и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Для того, чтобы найти коэффициенты a и b, при которых F достигает минимального значения, приравняем частные производные к нулю:

Находим a и b. Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно a и b:

,

где - объём выборки.

В нашем случае A = 3888; B =549; C =8224; D = 1182;N = 100.

Найдём a и b из этой линейной. Получим стационарную точку  для  где 1,9884; 0,8981.

Следовательно, уравнение примет вид:

y = 1,9884x + 0,8981

Рис. 10 Линейная регрессия y=f(x)

Параболическая регрессия

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение кривой линии среднеквадратичной (параболической в нашем случае) регрессии. Воспользуемся методом наименьших квадратов для определения p, q, r.

Ограничимся представлением величины Y в виде параболической функции величины X:

где p, q, и r - параметры, подлежащие определению. Это можно сделать с помощью метода наименьших квадратов.

Подберем параметры p, q и r так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров:

Для отыскания минимума приравняем к нулю соответствующие частные производные:

Находим p, q и r. Выполнив элементарные преобразования, получим систему трех линейных уравнений относительно p, q и r:

Решая эту систему методом обратной матрицы, получим: p = -0,0085; q = 2,0761;=0,7462.

Следовательно, уравнение параболической регрессии примет вид:

y = -0,0085x² + 2,0761x + 0,7462

Построим график параболической регрессии. Для удобства наблюдения график регрессии будет на фоне диаграммы рассеивания (см. рисунок 13).

Рис. 13 Параболическая регрессия y=f(x)

Теперь изобразим линии линейной регрессии  и параболической регрессии на одной диаграмме, для наглядного сравнения (см. рисунок 14).

Рис. 14 Параболическая и линейная регрессии

Линейная регрессия изображена красным цветом, а параболическая - синим. По диаграмме видно, что отличие в данном случае больше, чем при сравнении двух линий линейных регрессий. Требуется дальнейшее исследование, какая же регрессия лучше выражает зависимость между x и y, т. е. какой тип зависимости между x и y.

Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х

Для проверки гипотезы о нормальном распределении признака Х, нам потребуется вычислить  - теоретические частоты нормального распределения. Как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Ниже приведён один из способов решения этой задачи.

1.       Весь интервал наблюдаемых значений Х(выборки объема n) делаят на s частичных интервалов) (табл. 2). Находят середины частичных интервалов ; в качестве частоты  варианты  принимают число вариант, которые попали в i-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

В частности для исходной выборки(табл. 1) , где s=7:

2.       Вычисляют выборочную среднюю  и выборочное среднее квадратическое отклонение .

, 2,874938;

3.       Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине Z= и вычисляют концы интервалов ():

,

Причем наименьшее значение , пологают равным -∞, а наибольшее, , полагают равным ∞.

.        Вычисляют теоретические вероятность  попадания X в интервалы ) по равенству (Ф(z) - функция Лапласа)

и, наконец, находят искомые теоретические частоты

Для проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения, проверим нулевую гипотезу, при помощи специально подобранной случайной величины - критерий согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Для нашего случая, ограничимся описанием применения критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Поэтому будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.

Для проверки нулевой гипотезы , вычислим наблюдаемое значение критерия:

,;

и по таблице критических точек распределения , по уровню значимости α=0,01; α=0,025; α=0,05; и числу степеней свободы k=s-3=4 (s- число частичных интервалов) найти критическую точку .

Если < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

=13,3;=11,1;=9,5;

Так как  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Т.е., расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Метод доверительных интервалов

Оценка  как и , , , , , ,  являются точечными оценками, но наряду с ними при изучении выборки используются интервальные оценки, так как полезно не только построить оценку, но и охарактеризовать величину возможной при её использовании ошибки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Величина  характеризует точность оценки, если выполняется неравенство , где  - оценка некоторого параметра  генеральной совокупности. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по  называют вероятность , c которой осуществляется неравенство . Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,9; 0,999. Доверительным называют интервал , , который покрывает известный параметр с заданной надежностью .

Рассмотрим доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности. Известен объем выборки n = 100;  исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение 2,88942.

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания по X с надежностями  = 0,95; 0,99; 0,999.

Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение, но ее среднеквадратичное отклонение нам неизвестно, то мы можем построить доверительный интервал по распределению Стьюдента с  степенями свободы, то есть должно быть справедливо неравенство:

;

где  определим по заданным  и . Это соотношение выражает доверительный интервал для , определяемый с помощью распределения Стьюдента. Найдем доверительные интервалы для математического ожидания X. При ; : 4,907439 <  < 6,053961.

При ;  4,721649 <  < 6,239751.

При ;  4,5 <  < 6,46.

Заключение

Отмечено, что изменение фильтрационно-емкостных свойств пористой среды при воздействии различными термодинамическими полями (в частности, в результате заводнения с добавкой различных химических агентов) приводит к практически важным последствиям. Наиболее ярко проявляемым процессом является снижение (повышение) начального пластового давления в результате работы добывающих и нагнетательных скважин. К изменению ФЕС могут привести нарушение равновесия минерального состава вод (отложение солей в пористой среде, набухание глинистых включений, размыв и перенос цемента и зерен коллектора и др.), изменение температуры пласта (при закачке холодной воды, разгазировании нефти, химических реакциях, при тепловом воздействии на коллектор).

Исследование и оценка данных фактов особенно важны для разработки неоднородных многопластовых месторождений нефти и газа, находящихся в поздней стадии. Для большинства таких месторождений разработка начиналась с весьма высокими темпами разбуривания и добычи нефти. При этом система поддержания пластового давления (ППД) вводилась через несколько лет, а иногда и десятилетий с момента массового разбуривания месторождения. В результате происходило существенное снижение начального пластового давления. После ввода системы ППД снижение пластового давления в малопроницаемых слоях (пластах) многопластовых объектов продолжалось и далее, поскольку при совместной с высокопроницаемыми пластами закачке воды они под нагнетание не осваивались. При разукрупнении объектов и выделении низкопроницаемых пластов в отдельные объекты удавалось активизировать добычу нефти из них, однако при этом возникали новые проблемы, в частности, при освоении их под закачку и эксплуатации. Изменение пластового давления приводило к изменению внутрипорового давления и, как результат этого, к изменению эффективного давления на породу. Это в свою очередь изменяло ФЕС коллектора, причем восстановление начального пластового давления не сопровождалось полным восстановлением первоначальных параметров ФЕС. Таким образом, налицо необратимые упругие и неупругие (пластичные) деформации коллектора .

Т.е. однозначно наличие необратимых деформаций коллектора в межскважинном пространстве от техногенного воздействия на пласт, в частности, на изменение и восстановление значений пористости и проницаемости не установлено.

Список литературы

1.       В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. - Изд. 7-е, стер. - М.: Высшая школа, 2001.

.        В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. - М.: Высшая школа, 2001.

.        П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II : Учебное пособие для втузов. - 5-е изд., испр. - М .: Высшая школа, 1996.

.        Л.А. Баданина. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/Л.А. Баданина, Г.В.Серова. - Архангельск: Изд-во ФГАОУ ВПО «Северный федеральный университет имени М.В. Ломоносова», 2011

.        А.Т. Росляк. Физические свойства колекторов и пластовых флюидов: учебное пособие - Томск: Изд-во Томского политехнического университета,2012.