Статистические характеристики пространственно-временной изменчивости направления ветра в приземном слое

Статистические характеристики пространственно-временной изменчивости направления ветра в приземном слое

ВСТУПЛЕНИЕ

Земная атмосфера представляет собой неоднородную среду, в которой скорость ветра, температура, влажность и другие гидродинамические и термодинамические величины можно представить как функции, зависящие от координат и от времени.

Наряду с плавными изменениями этих величин, характеризующими зависимость от времени и координат средних метеорологических условий, в реальной атмосфере наблюдаются также беспорядочные флуктуации, обусловленные турбулентностью. Наличие этих турбулентных флуктуаций приводит, в частности, к тому, что перемешивание атмосферы, т.е. обмен воздушных масс теплом, влагой, примесями, количеством движения, ускоряется во много тысяч раз. Помимо того, турбулентность играет важную роль и в ряде других физических процессов, протекающих в атмосфере.

Так как мелкомасштабные пульсации температуры и скорости ветра носят случайный характер, для их описания была развита теория стационарных случайных процессов. Позднее была создана полуэмпирическая теория приземного слоя, которая также целиком опирается на статистическое описание. Это означает, что в ней не предполагается рассмотрение присутствие организованных (когерентных) структур. Развитие методов наблюдения позволило с очевидностью показать, что структуры существуют и именно они ответственны за основную часть переноса импульса, тепла и примесей. Поэтому исследование структур в случайных полях скорости и температуры в приземном слое атмосферы в настоящее время сочетается со статистическим подходом, ставившим своей главной целью изучение осредненных зависимостей статистических характеристик течений от координат в стационарных условиях. Стоит также отметить, что большинство экспериментальных работ основывается лишь на данных одноточечных измерений. Многоточечные же измерения, могут дать много полезной информации, как в рамках статистического описания, так и в особенности в плане обнаружения когерентных структур. Поэтому, хотя многоточечные измерения оказываются очень затратными и трудоемкими, они все более широко применяются на практике. Бурное развитие систем регистрации данных и вычислительных мощностей позволяет справиться с огромными объемами получаемой в ходе эксперимента информации. Настоящее исследование посвящено исследованию пространственно-временной изменчивости направления ветра в приземном слое атмосферы.

ЛОКАЛЬНАЯ ИЗОТРОПИЯ

Современные познания в области законов турбулентных течений в значительной степени базируются на идеях и результатах, содержащихся в нескольких небольших статьях, опубликованных по этому вопросу в 1941 г. Андреем Николаевичем Колмогоровым[с]. Эти статьи явились фундаментальным вкладом в теорию турбулентности, начатую еще классическими работами Рейнольдса 1883 и 1894 гг[d] [d2].

Рейнольдс основное внимание уделил условиям, при которых ламинарное течение в трубах превращается в турбулентное течение. При этом он установил общий критерий динамического подобия двух геометрически подобных течений вязкой несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил: таким критерием является совпадение у этих течений значений так называемого числа Рейнольдса

 , (1)

где  и  - характерные масштабы скорости и длины в рассматриваемых течениях, а  - кинематический коэффициент вязкости жидкости. С динамической точки зрения число  может быть интерпретировано как отношение типичных значений сил инерции и сил вязкости, действующих внутри жидкости. Силы инерции, вызывающие перемешивание отдельных объемов жидкости, движущихся «по инерции» с разными скоростями, осуществляют передачу энергии от крупномасштабных компонент движения к мелкомасштабным и тем самым способствуют образованию в потоке резких (мелкомасштабных) неоднородностей, характерных для турбулентного режима; силы вязкости, наоборот, приводят к сглаживанию мелкомасштабных неоднородностей. Поэтому следует ожидать, что течения с достаточно малыми значениями  будут ламинарными, а течения с достаточно большим  - турбулентными. Этот основной результат был четко сформулирован Рейнольдсом.

Еще в 20-х годах 20-го века английский ученый Л. Ричардсон, отметил, что развитая турбулентность должна представлять собой иерархию «вихрей» (т.е. возмущений или неоднородностей) разных порядков, отличающихся характерными масштабами и скоростями[e]. Самые крупные из этих возмущений - возмущения первого порядка, характеризующиеся масштабом длины  (сравнимым с типичным масштабом всего течения в целом) и масштабом скорости  (по порядку величины сравнимым с изменением средней скорости  на расстояниях порядка ), заимствуют свою энергию непосредственно из осредненного движения и возникают из-за неустойчивости этого движения при достаточно большом . Но при очень большом  число Рейнольдса  «неоднородностей первого порядка» также будет велико; поэтому эти наиболее крупномасштабные возмущения в свою очередь будут являться неустойчивыми и, распадаясь, будут порождать «турбулентные возмущения второго порядка» (масштаба  и с характерной скоростью ), передавая им часть своей энергии. Число Рейнольдса  «вторичных» возмущений меньше чем , но и оно при достаточно большом будет столь велико, что отвечающие ему движения также будут неустойчивыми и будут распадаться на «возмущения третьего порядка» еще меньшего масштаба и с еще меньшей скоростью  и т.д. Таким образом возникает своеобразный «каскадный процесс», при котором энергия крупномасштабных движений последовательно передается все меньшим и меньшим движениям вплоть до движений некоторого минимального масштаба , таких, что отвечающее им число Рейнольдса уже характеризует устойчивое ламинарное движение. Малость числа Рейнолдса для движений масштаба  означает, что в этих движениях вязкость играет существенную роль, т. е. что в них происходит заметный переход кинетической энергии, затрачиваемой на преодоление силы трения, в тепло (диссипация кинетической энергии). Что же касается движений с масштабами , то для них вязкость не играет большой роли и, значит, в них не происходит заметной диссипации энергии.

Факт перехода энергии в турбулентном потоке из области малых частот спектра в область больших частот может быть объяснен нелинейностью уравнений гидромеханики; в линейной колебательной системе обмена энергии между различными частотами не происходит. Рейнольдс первый указал на нелинейность уравнений гидромеханики как на причину трансформации энергии в турбулентном потоке.

Колмогоров значительно развил эти качественные представления. Он предположил, что вследствие хаотичности процесса передачи энергии от движений данного масштаба к более мелкомасштабным движениям ориентирующее влияние среднего течения (т.е. геометрии всего потока в целом) должно сказываться лишь на возмущениях нескольких первых порядков, все более ослабляясь при переходе от одного порядка к следующему. Поэтому, несмотря на то, что среднее течение и наиболее крупные неоднородности движения, вообще говоря, будут неоднородными и анизотропными, статистический режим достаточно мелкомасштабных пульсаций в любой турбулентности с очень большим числом Рейнольдса можно считать однородным и изотропным. Более того, естественно думать также, что характерные периоды пульсаций разных порядков будут тем меньше, чем выше соответствующий порядок. Но в таком случае, какова бы ни была зависимость среднего течения от времени, все равно характерный период пульсаций достаточно высокого порядка (т.е. очень мелкомасштабных) будет много меньше времени заметного изменения этого среднего значения и, следовательно, режим таких пульсаций будет практически стационарным в течение промежутков времени, содержащих много периодов (свойство квазистационарности мелкомасштабных пульсаций). Таким образом, статистический режим пульсаций с масштабами  должен быть однородным, изотропным и стационарным и не должен зависеть от конкретных особенностей крупномасштабных пульсаций.

Опираясь на эти предположения, А.Н. Колмогоров создал свою теорию подобия для локально-изотропной турбулентности[f]. Теория подобия для турбулентного режима в приземном слое воздуха, развитая в работах А.М. Обухова и А.С. Монина, также опирается на предположения о локальной изотропии[g]. Следствия обоих теорий блестяще подтверждаются экспериментальными данными, и законы «пяти третей» и «двух третей» сейчас мало у кого вызывают сомнения. Более подробно о них будет рассказано далее. Однако исходные предположения однородности и изотропности такого экспериментального подтверждения не имеют. Более того, в работе[h] показано, что турбулентные пульсации являются анизотропными вплоть до самых мельчайших масштабов.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ

При математической трактовке турбулентного движения удобно подразумевать, что поля метеорологических величин являются случайными полями в смысле, принятом в теории вероятностей, при этом осреднение различных характеристик случайного поля понимается как теоретико-вероятностное осреднение по множеству всевозможных «реализаций» метеорологических полей. Естественно, что для интерпретации результатов наблюдений, позволяющих обычно определить лишь простейшие временные средние значения приходится, как и всегда в статистической физике, использовать дополнительное предположение об эргодичности.

Полное описание турбулентных полей требует задания всех многомерных распределений вероятностей для значений метеорологических полей в различных совокупностях точек пространства-времени. Экспериментальные данные, однако, как правило касаются лишь значений некоторых одноточечных или двухточечных моментов распределений, т.е. средних значений произведений некоторых метеорологических полей, взятых в одной либо двух пространственно-временных точках.

Самыми важными двухточечными моментами являются двухточечные моменты второго порядка

, (2)

черта сверху здесь и всюду ниже является символом статистического осреднения.

Функция  называется пространственно-временной корреляционной функцией полей  и . Существуют также чисто временные или пространственные корреляционные функции

, (3)

.

Однако взаимные корреляционные функции неудобны в том отношении, что они в основном определяются относительно крупномасштабными компонентами турбулентности. Чтобы выделить вклад мелкомасштабных пульсаций, проще всего, следуя Колмогорову [j], перейти к системе координат, движущейся вместе с фиксированной жидкой частицей, и рассматривать вместо самих значений метеорологических полей разности этих значений в относительно близких пространственно-временных точках. Для этого вводится так называемая структурная функция

 , (4)

характеризующая мелкомасштабную структуру полей  и . Частным случаем функции (4) являются пространственные структурные функции одного поля

 (5)

Другой общий метод выделения локальных характеристик турбулентности состоит в использовании преобразований Фурье. Общий пространственно-временной взаимный спектр полей  и  можно определить так:

 , (6)

где интегрирование распространяется по всему четырехмерному пространству , . Применение преобразования Фурье от корреляционной функции также позволяет выделить локальные характеристики турбулентности. Трехмерный пространственный спектр  можно получить, интегрируя  по всем , одномерный пространственный спектр  - интегрируя  по всем и , а временной спектр  - интегрируя  по всему пространству волновых чисел.

Автоспектр  стационарного случайного процесса  c  обладает следующим свойством:

, (7)

то есть интеграл спектральной плотности по всем частотам равен дисперсии случайной величины. Аналогично, для коспектра двух случайных величин  и  () справедливо

. (8)

Для определения вклада различных частот в корреляционую функцию двух случайных стационарных процессов можно использовать спектральный коэффициент корреляции

. (9)

ЗАМОРОЖЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Для определения пространственных корреляционных или структурных функций по данным наблюдений требуется, вообще говоря, производить измерения сразу во многих точках пространства, что сильно затрудняет их получение. Пространственный спектр после этого можно получить с помощью численного преобразования Фурье.

Гораздо легче в экспериментах иметь дело с временными спектрами, поскольку для их осреднения требуется проводить измерения лишь в одной точке. В этом случае пульсации преобразуются с помощью соответствующего датчика в пульсации электрического напряжения. Временной спектр можно определить с помощью преобразования Фурье временной корреляционной функции

 (10)

или родственного преобразования временной структурной функции

. (11)

Нахождение  может производиться численно. Вероятностное осреднение во всех операциях с временными функциями приходится заменить на временное. Однако временные характеристики неудобны в том отношении, что основные выводы теории турбулентности относятся не к ним, а к чисто пространственным статистическим характеристикам. Дело в том, что временные характеристики зависят от средней скорости ветра . В связи с этим возникает вопрос о возможности связать временные характеристики с пространственными.

Если предположить, что турбулентные возмущения только переносятся средним течением, не изменяясь при этом (т.е. являются как бы «замороженными»), то такая связь получается очень простой. В этом случае

 (12)

и, следовательно

 (13)

В применении к однородным и стационарным полям это означает, что

. (14)

Гипотеза, выдвинутая в 1938 г. Дж. Тэйлором [k], и утверждающая, что равенство (14) справедливо и в реальных условиях в некотором диапазоне значений , называется гипотезой о замороженной «турбулентности».

В применении к спектральным характеристикам равенство (14) (если считать его верным при всех  или, по крайней мере, на достаточно большом интервале значений ) означает что

, (15)

где  - одномерный спектр в направлении средней скорости ветра.

Гипотеза Тейлора была выдвинута первоначально в применении к турбулентности за решетками в аэродинамических трубах, где скорость постоянна и обычно гораздо больше, чем типичное значение пульсационной скорости. Эксперименты в трубах хорошо подтвердили ее применимость. В применении же к атмосфере, где пульсации могут составлять значительную часть от средней скорости, и скорость ветра обычно изменяется с высотой, гипотеза Тейлора кажется более сомнительной. Тем не менее, результаты ряда экспериментов указывают на ее широкую применимость[l].

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ

Прежде чем рассматривать спектры турбулентных пульсаций, необходимо дать некоторое описание приземного слоя. При теоретическом анализе процессов в приземном слое атмосферы мы будем исходить из общепринятой схемы потока над безграничной шероховатой поверхностью, свойства которой предполагаются достаточно однородными по горизонтали. Осредненные характеристики течения в этой схеме зависят только от вертикальной координаты . Наиболее важными характеристиками являются потоки импульса, тепла и влаги.

Поток импульса можно трактовать как напряжение турбулентного трения. Вместо турбулентного трения

, (16)

где и  - пульсации горизонтальной и вертикальной компонент ветра, - плотность воздуха, а черта сверху означает осреднение, удобно рассматривать динамическую скорость

. (17)

В пределах приземного слоя и турбулентный поток тепла можно считать практически не зависящими от высоты .

Условие постоянства потоков импульсаи тепла(в пределах данного допуска) может служить определением самого понятия приземного слоя. Обухов в своей работе [m] дает примерную оценку высоты приземного слоя на основе анализа возможных изменений . Исходить следует из осредненных уравнений гидромеханики в поле силы Кориолиса. Соответствующее уравнение для координаты  (направление скорости ветра у Земли) в квазистационарном случае имеет следующий вид:

 , (18)

где  - градиент давления,  - параметр Кориолиса, ­ - компонента осредненной скорости ветра по направлению оси .

Проинтегрируем обе части уравнения по высоте в пределах слоя толщиной  и оценим правую часть:

. (19)

Отбрасывание члена  приводит к усилению неравенства, так как сила Кориолиса частично компенсирует силу градиента давления. Вводя динамическую скорость  и скорость геострофического ветра , можно записать полученное неравенство в следующей форме:

 (20)

Определим  так, чтобы относительное изменение  в слое толщиной  не превосходило допуска , т.е.

 (21)

В силу неравенства (20) для выполнения (21) достаточно, чтобы

Отношение скорости трения к скорости геострофического ветра можно оценить величиной порядка 0,05:

,

откуда следует, что

.

При  и  получаем (м):

При допуске  получаем искомую оценку высоты приземного слоя: . В пределах этого слоя можно считать практически постоянным и пренебречь действием силы Кориолиса (вращением ветра с высотой). Полученная оценка достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений.

При различных условиях погоды значения той или иной характеристики турбулентности оказываются, вообще говоря, различными. Условия погоды в значительной степени определяются скоростью ветра и вертикальным градиентом температуры (характеризующим степень устойчивости термического расслоения воздуха). Известно, что при сильном ветре и в случае неустойчивой стратификации турбулентность оказывается много более интенсивной, чем при слабом ветре и устойчивой стратификации. Однако такая качественная характеристика зависимости турбулентности от условий погоды является, конечно, совершенно недостаточной, и нам предстоит установить количественную зависимость от условий погоды всех характеристик структуры полей скорости ветра и температуры.

Случай безразличной стратификации. Начнем с рассмотрения самого простого (но относительно редкого) случая безразличной (нейтральной) термической стратификации. В этом случае турбулентный поток тепла равен нулю и турбулентный режим приземного слоя определяется единственным размерным параметром - вертикальным турбулентным потоком импульса (т.е. напряжением трения) .

При условиях безразличной стратификации процессы турбулентного перемешивания в приземном слое могут быть описаны схемой логарифмического пограничного слоя. Соответствующие закономерности детально изучены в экспериментальной аэрогидродинамике и широко используются в метеорологии.

Вывод логарифмического закона распределения ветра осуществляется на основе гипотез подобия. Предположим, что для значений , где  - высота травостоя (характерный масштаб микронеоднородностей подстилающей поверхности), статистические характеристики для относительных движений в потоке инвариантны по отношению к преобразованиям подобия , , , . При этих преобразованиях полупространство  переходит само в себя, а уравнения движения остаются неизменными. Это обстоятельство является теоретическим основанием для принятой гипотезы подобия. Заметим также, что естественный масштаб скорости  остается инвариантным по отношению к указанным преобразованиям. Рассмотрим стационарный режим и составим отношение разности осредненных скоростей на двух уровнях ,  к динамической скорости . Соответствующая безразмерная величина является функцией и  и в силу предположения о самоподобии потока может зависеть только от отношения :

. (23)

Определим вид функции . Очевидно, что для трех высот

 (24)

и вместе с тем

. (25)

Отсюда следует, что функция  удовлетворяет функциональному уравнению

, (26)

, .

Естественным решением этого функционального уравнения является логарифмическая функция . Полагая , получаем:

 , (27)

где  - известная постоянная Кармана. Эта формула впервые была выведена еще около 1930 г. Л.Прандлем и Т. Карманом [n]. По эмпирическим данным [o].

Уравнение (27) можно записать в обычной дифференциальной форме, рассматривая бесконечно близкие значения  и :

. (28)

Уравнения (27) и (28) не содержат характеристик подстилающей поверхности и могут быть отнесены к любой подстилающей поверхности, если выполняется условие . Вместе с тем формула (28) определяет только изменения средней скорости ветра с высотой. Определение абсолютного значения  требует учета свойств подстилающей поверхности.

Предположим теперь, что наблюдения за скоростью ветра проводятся на фиксированной высоте  над некоторой определенной подстилающей поверхностью. Допустим, что мы располагаем возможностью проводить независимые измерения величины турбулентного трения и, следовательно, можем в каждом отдельном случае определять . Значение  может быть определено, например, из наблюдений за пульсациями  и  или суммарно на основании измерения напряжения трения у поверхности Земли. Последний метод практически используется при изучении турбулентного движения в трубах. В условиях атмосферы попытка применения динамического метода измерения была сделана Шеппардом [p].

Сравнение рядов наблюдений за  и  позволит нам определить зависимость между этими величинами. Опыт аэродинамики учит, что при больших числах Рейнолдса и «шероховатой» поверхности зависимость  от  имеет квадратичный характер, и, следовательно,

, (29)

где  - безразмерный коэффициент, зависящий от свойств подстилающей поверхности. При фиксированной высоте  «коэффициент трения»  может служить объективной характеристикой свойств подстилающей поверхности, описывающей ее динамическое воздействие на поток. Однако недостаток использования  заключается в том, что мы связаны с определенным выбором высоты наблюдения. Зависимость  от высоты наблюдения легко установить, подставив  в формулу (29). Для любых двух высот мы будем иметь

. (30)

Из уравнения (30) следует, в частности, что  убывает с высотой. Потенциируя и объединяя величины, содержащие соответственно  и , получаем:

, (30)

т.е. величину, не зависящую от высоты. Таким образом, величина , имеющая размерность длины, определяется только свойствами подстилающей поверхности; она носит название «динамической шероховатости». Выразим коэффициент трения  через :

. (31)

Тогда на основании формулы (31) можно получить искомое распределение скорости ветра:

. (32)

Преимущество приведенного выше способа введения понятия шероховатости подстилающей поверхности заключается в том, что он опирается исключительно на свойства потока на достаточно больших высотах, где с достаточным основанием можно пользоваться универсальными законами развитой турбулентности.

Случай термически стратифицированного приземного слоя. Одной из важнейших характеристик турбулентного режима в приземном слое атмосферы является вертикальный турбулентный поток тепла

, (33)

где  - удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении,  - плотность,  и  - пульсации вертикальной составляющей скорости ветра и температуры соответственно, обусловленные прохождением через данную точку турбулентных «элементов», а черта сверху означает осреднение. Величина представляет собой среднее количество тепла, переносимое турбулентными пульсациями через единичную площадку в единицу времени. С достаточным основанием можно считать, что в приземном слое при стационарных условиях турбулентный поток тепла практически не зависит от высоты (если не рассматривать потоки лучистой энергии). Вместо величины  можно пользоваться также «потоком температуры»

. (34)

Величина турбулентного потока тепла может быть определена экспериментально на основе малоинерционных измерений пульсаций температуры  и вертикальной составляющей скорости ветра . Современная техника позволяет без труда проводить подобные измерения. Для исследования связи характеристик турбулентности  и  с распределениями средней скорости ветра и температуры воспользуемся методами подобия и постараемся установить систему минимального числа параметров, описывающих турбулентный режим в температурно-неоднородной среде.

Неоднородности турбулентного поля, носящие систематический характер (изменение температуры с высотой), оказывают определенное влияние на общий режим турбулентности (действие архимедовых сил). При условии, что температурные пульсации малы по сравнению со средней температурой слоя , уравнения динамики температурно неоднородной среды могут быть записаны в следующей форме:

, (35)

 ,

,

,

В этой системе  и - отклонения от стандартных значений. Упрощения, сделанные при выводе системы уравнений, сводятся к пренебрежению силой Кориолиса и радиационным притоком тепла, а также к линеаризации относительно стандартного статистического распределения давления и температуры. Последнее означает, что пренебрегается изменениями плотности за счет изменений давления, и допускается, что отклонения плотности и температуры от стандартных значений пропорциональны[q]. Эти упрощения, принятые в теории конвекции, позволяют описать архимедову силу слагаемым . Таким образом, в уравнения входит размерная константа , которую в дальнейшем должны учесть при составлении критериев подобия.

Заметим, что линеаризация уравнений относительно колебаний скорости недопустима, так как при этом была бы потеряна турбулентность. Кроме того, в уравнениях опущены члены, содержащие вязкость и теплопроводность. В условиях развитого турбулентного режима эти члены следует учитывать только при исследовании очень тонких деталей микроструктуры ветрового и температурного поля. Вертикальный перенос импульса и тепла обусловлен неоднородностями некоторого «среднего масштаба», для которых непосредственное влияние вязкости и теплопроводности достаточно мало. Естественно предположить, что изменения средней скорости и температуры с высотой могут быть выражены через координату , параметр и «внешние параметры» и , причем соответствующие уравнения допускают запись в безразмерной форме и не содержат других размерных констант. Принятая нами гипотеза подобия находится в согласии с уравнениями (35) и эквивалентна предположению, что система уравнений (35), вместе с уравнениями

, (36)

,

являющимися аналогом граничных условий, однозначно определяют статистические характеристики турбулентного режима. Таким образом, три параметра:,  и  -можно считать исчерпывающими характеристиками турбулентности приземного слоя атмосферы. Из этих параметров можно однозначно (с точностью до числового множителя) построить масштаб температуры  и масштаб длины , которые будут иметь следующий вид:

, (37)

, (38)

Полученный масштаб длины  впервые был введен Обуховым в работе [r] и впоследствии назван его именем. Для определения масштаба Обухова по данным пульсационных измерений удобно представить формулу (38) в виде

. (39)

СПЕКТР ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ

приземный слой турбулентный ветер

Спектры турбулентных пульсаций делятся на несколько резко различающихся по своему характеру участков. Важный вклад в изучение структуры турбулентности был сделан А.Н. Колмогоровым и А.М. Обуховым. Как уже было сказано, ими была предложена теория локально-изотропной турбулентности. Согласно общим положениям этой теории, совокупность турбулентных возмущений с достаточно малыми масштабами всегда является статистически однородной и изотропной. Статистический режим таких возмущений зависит лишь от средней скорости диссипации механической энергии в теплоту и кинематической вязкости . При этом область совсем малых вихрей, на движение которых непосредственно влияет вязкость, можно выделить в отдельную подобласть, называемую вязким интервалом или интервалом диссипации. Остальную же часть изотропного интервала, где единственным существенным параметром является , называют инерционным интервалом.

Размер неоднородностей, на движение которых оказывают непосредственное влияние вязкие силы, можно оценить на основе размерностей. Из параметров и  можно составить единственную комбинацию размерности длины

. (40)

Этот масштаб называют колмогоровским микромасштабом или внутренним масштабом турбулентности. В качестве границ инерционного интервала принимают обычно величину , примерно на порядок большую внутреннего масштаба. Примерно с этого масштаба влияние вязкости становится заметным. Величина , в атмосфере имеет значение в среднем около 1 см.

Понятие инерционного интервала применимо также и к возмущениям поля температуры. Здесь под инерционным интервалом следует понимать интервал масштабов, в котором статистический режим является однородным и изотропным и не зависит ни от конкретных особенностей средних полей  и , ни от молекулярных коэффициентов вязкости и теплопроводности.

В силу предположения о локальной изотропии структурная функция имеет вид:

, (41)

где  - единичный тензор, а  - проекции единичного вектора  на координатные оси. Если направить одну из координатных осей вдоль вектора , то получим

, (42)

где  - средний квадрат разности проекций скорости на направление, перпендикулярное базе , а  - на направление базы. Что касается взаимных структурных функций поля скорости какого-либо скалярного поля (например, температуры), то при выполнении условия несжимаемости и условий локальной изотропии они оказываются тождественно равными нулю(43).

Если жидкость несжимаема, то, как нетрудно показать,

Обычно направление базы совмещают с направлением среднего ветра. При этом условие (44) принимает вид

. (45)

Согласно гипотезе А.Н. Колмогорова, структурные функции в инерционном интервале могут зависеть, кроме , только от . Соображения размерности показывают, что в этом случае

, (46)

где - безразмерная константа. Тогда согласно (45)

, (47)

где  - так называемая структурная характеристика поля вертикальной компоненты скорости ветра.

Применяя преобразование, обратное преобразованию Фурье, к этим структурным функциям, можно получить одномерные спектры для инерционного интервала

,. (48)

Данное соотношение - так называемый «закон пяти третей» для спектра турбулентности - точно эквивалентно «закону двух третей» для структурных функций, причем

, . (49)

Трехмерный спектр в инерционном интервале дается равенством

, (50)

где .[s]

Таким образом, и спектр, и структурные функции поля скорости ветра в инерционном интервале однозначно определяются величиной  и одной из констант, в качестве которой можно выбрать любой из коэффициентов, входящих в (48)(49).

Вообще говоря, можно было бы ожидать, что при наличии термической стратификации архимедовы силы (характеризуемые параметром плавучести ) будут влиять на структуру турбулентности в области всех масштабов, так что теория локально-изотропной турбулентности Колмогорова-Обухова будет применима к атмосферной турбулентности лишь при безразличной стратификации. Однако эксперименты показывают, что одномерные пространственные спектры скорости и температуры (по горизонтальному направлению, во всяком случае) в области малых масштабов подчиняется «закону пяти третей» даже при неравновесной температурной стратификации.

Со стороны малых масштабов (т.е. больших волновых чисел) к инерционному интервалу примыкает так называемая вязкая подобласть - совокупность наиболее мелкомасштабных возмущений поля скорости, на которые уже непосредственно влияет молекулярная вязкость. В этой подобласти все статистические характеристики поля скорости определяются двумя размерными параметрами  и .

Со стороны больших масштабов (т.е. малых волновых чисел) к инерционному интервалу примыкает область турбулентных возмущений, горизонтальные размеры которых в атмосфере могут меняться от нескольких десятков метров до сотен километров. Крупномасштабные компоненты вносят основной вклад в турбулентные потоки тепла и количества движения, поэтому изучение их структуры необходимо для ряда практических задач. Кроме того, крупномасштабные характеристики существенно зависят от геометрии границ потока и характера внешних воздействий и поэтому оказывается весьма различными для различных типов течений. При этом спектры турбулентности перестают удовлетворять универсальным «законам 5/3», а структурные функции - «законам 2/3»; одномерный спектр продольной компоненты начинает отклоняться от спектра вертикальной или боковой компоненты, умноженного на 3/4; пульсации вертикальной скорости начинают коррелировать с пульсациями горизонтальной скорости и температуры, что приводит к появлению турбулентных потоков тепла и количества движения и т.д. Каждое из этих следствий может быть принято за характерный признак анизотропии возмущений; поэтому граница инерционного интервала со стороны больших масштабов может быть определена многими различными способами, часто приводящим к очень различным результатам. С точки зрения теории наиболее естественным кажется принять за границу инерционного интервала масштаб , отвечающий волновому числу , начиная с которого спектральный тензор поля скорости становится существенно анизотропным, а функция  существенно отклоняется от .

За границей инерционного интервала спектр турбулентности начинает возрастать с убыванием волнового числа медленнее, чем ; в дальнейшем же он обычно даже начинает убывать (пройдя через максимальное значение при некотором значении ). Масштаб, отвечающий значению , также является важной характеристикой турбулентности: он определяет характерные размеры возмущений, содержащих основную часть турбулентной энергии.

ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Измерения производились в августе 2012 года на полигоне ИФА РАН недалеко от города Цимлянск. Полигон характеризуется очень ровным рельефом и отсутствием крупных препятствий, способных сильно возмущать воздушный поток. Высота травы, как правило, не превышает 10-15 см. Система регистрации состоит из пяти флюгарок (F1, F2, F3, F4, F5), каждая их которых закреплена на вершине двухметровой штанги. На рис. 1 изображена схема расположения всех приборов, задействованных в эксперименте, отдельная флюгарка изображена на рис. 2. Флюгарки выстроены в линию вдоль направления север-юг. Такая ориентировка продиктована преобладающими в это время года в данном регионе восточными ветрами. В дни ясной погоды ветер может долгое время дуть практически в одном направлении, что сильно упрощает проведение эксперимента. Расстояния между первой и каждой из последующих флюгарок равны 1, 3,10 и 20 метров соответственно. Нелинейная расстановка позволяет реализовать большее количество комбинаций расстояний при построении пространственной корреляционной функции.

Между флюгарками F4 и F5 была установлена мачта, оснащенная шестью малоинерционными термометрами сопротивления переменного тока (T1, T2, T3, T4, T5, T6), размещенными на высотах 0.3, 0.6, 1.2, 2.5, 8.0 метров. Один из датчиков изображен на рис. 3. В трех метрах западнее флюгарки F4 располагалась еще одна мачта. На мачте, на высоте 5 метров был установлен трехкомпонентный акустический анемометр (A) , он изображен на рис. 4. Такое расположение анемометра связано с тем, что он одновременно участвовал еще в одном эксперименте во время данной экспедиции. В пяти метрах от мачты располагался пиранометр (P) на полутораметровом штативе, рис. 5. Все используемые приборы и датчики имели аналоговые выходы и были подключены к одному 32-канальному АЦП для синхронной записи данных.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Более подробно следует рассмотреть устройство флюгарок. Принцип работы такого датчика основан на использовании механизма индукционной связи - сельсина. Сельсин состоит из статора с трехфазной обмоткой и ротора с однофазной обмоткой. При повороте ротора, его обмотка «подстраивается» под ту обмотку статора, к которой она ближе повернута в данный момент. С ротором сельсина соединяется ось флюгарки, а статор закрепляется на опорной штанге. На две фазосдвигающие цепочки, соединенные с контактами статора сельсина, с генератора подается синусоидальный сигнал частотой 2,5 кГц. Тот же самый сигнал подается и напрямую к одному из выходов фазометра. Сопротивления R1, R2 и емкости C1, C2 подобраны таким образом, чтобы в точках А, В и С фазы напряжения относительно «земли» отличаются на 120 градусов, напряжение с этих точек поступает на контакты статора сельсина. При повороте флюгарки линейно изменяется фаза ЭДС, наводимой в катушке ротора. Таким образом, положение флюгарки можно отследить по разности фаз между исходным сигналом и сигналом, прошедшим через сельсин. Для этого оба сигнала подаются на фазометр. На рис. 6 изображена схема датчика.

Рисунок 6

Фазометр основан на использовании триггера с двумя устойчивыми состояниями. Вначале каждый входящий синусоидальный сигнал преобразуются в прямоугольный меандр. Каждый переход такого сигнала через нулевое положение генерирует импульс, способный переключить триггер из одного устойчивого состояния в другое. Напряжение на триггере зависит от отношения времен пребывания в каждом состоянии. Чем сильнее один из входящих сигналов отстает от другого по фазе, тем больше времени проходит между переключением триггера, и тем выше становится напряжение на выходе.

Флюгарка может совершать неограниченное число оборотов в любую сторону. Напряжение на выходе фазометра будет при этом иметь пилообразный вид.

Выходной сигнал с фазометра оцифровывается и сохраняется на компьютере. Оцифровка осуществляется 32-х канальным АЦП L-card, на который приходили сигналы не только с флюгарок, но и со всех остальных датчиков, используемых в эксперименте. Частота опроса составляла 32 кГц.

Калибровка установки производилась путем поворота флюгарки на заданные углы и параллельным измерением напряжения на выходе фазометра. Калибровочный коэффициент оказался равен 36 град/В.

Еще один способ градуировки флюгарок заключается в сравнении их показаний с данными, полученными с акустического анемометра. Анемометр может представлять выходные данные как в виде трех компонент скорости ветра, так и в виде направления и модуля скорости ветра. Так как флюгарки находились на значительном (от 3 до 10 м.) расстоянии от анемометра, приходится предполагать, что среднее значение направления ветра и дисперсия отклонений от среднего значения были одинаковыми для всех точек полигона.

Прировняв показания акустического анемометра (в градусах) и показания флюгарок (в условных единицах), можно найти калибровочные коэффициенты. Для каждой флюгарки коэффициент будет свой. Кроме того, этот коэффициент будет разным для разных экспериментов, если между измерениями производилась подстройка фазометра.

Следует отметить, что для основных операций по обработке результатов (построение пространственных и временных корреляционных функций, спектров, распределений вероятности) вообще не требуется калибровка. Единственным необходимым условием для корректной обработки является линейность датчиков.

Следует отметить, что данная схема является не далеко не единственным способом регистрации направления ветра. Вместо сельсина можно использовать линейное переменное сопротивление. В этом случае направление ветра отслеживается простым измерением сопротивления цепи. Возможно также использование цифрового датчика угла поворота - энкодера.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Регистрация производилась практически круглосуточно сериями продолжительностью до 4 часов. Большой интерес для обработки представляют, в первую очередь, стационарные случаи, когда температура воздуха и среднее направление ветра практически не изменялись.

Для обработки была выбраны данные, полученные 12 августа в период времени с 13:16 по 17:16. На рис. 7 представлена двухчасовая запись, полученная с одной из флюгарок. Как можно заметить, ветер практически все это время был восточно-северо-восточный. Среднее значение направления ветра было примерно 117,5 градусов (следует напомнить, что отсчет идет от направления на север против часовой стрелки), а среднеквадратичное отклонение от среднего значения не превышало 10 градусов, что говорит о хорошей стационарности потока.

Рисунок 7

На рис. 8 представлен участок записи продолжительностью одну минуту. Здесь уже видна более мелкомасштабная структура потока. Также можно оценить, на пульсации какого временного масштаба способна откликаться флюгарка. Более точно определить инертность флюгарок можно, если построить временной спектр колебаний направления ветра (рис. 9). Спектры турбулентных пульсаций обычно строят в двойном логарифмическом масштабе. При таком представлении степенные участки, которые обычно имеют место в подобных спектрах, преобразуются в линейный вид. На данном спектре хорошо виден такой линейный участок с коэффициентом наклона . Эта область соответствует инерционному интервалу, ее можно сравнить с аналогичной зависимостью «минус пяти третей» для спектра пульсаций скоростей ветра. Завал в области высоких частот можно объяснить инертностью флюгарки, которая не успевает точно отслеживать колебания направления ветра частотой больше 1 Гц. На рис.10 изображен участок записи с показаниями всех флюгарок.

Рисунок 8

Рисунок 9

Рисунок 10

На режим турбулентности так или иначе влияет величина потока солнечной радиации. Для регистрации этой величины использовался пиранометр, на рис. 11 представлена запись показаний этого прибора. Провалы и подъемы на графике объясняются прохождением облаков. Во время эксперимента наблюдалась практически сплошная облачность с редкими просветами, суточное изменение потока солнечного тепла не так ярко выражено, как при ясной погоде.

Температура воздуха и модуль скорости ветра измерялись с помощью аккустического анемометра (рис.12,13). Средняя температура воздуха была равна 35, а средняя скорость ветра составляла 7,5 м/с. По данным пульсационных измерений температуры, вертикальной и горизонтальной компонент скорости ветра были найдены величины и . Подставив эти результаты в формулу (37), получим оценку для масштаба Обухова

Рисунок 11

Рисунок 12

Рисунок 13

По данным с флюгарки была построена временная корреляционная функция (рис. 14). Радиус корреляции оказался равен  с. Временную корреляционную функцию можно преобразовать в пространственную по формуле (14), используя данные о среднем значении скорости ветра в данный период. Для скорости 7,5 м/с пространственный радиус корреляции  м. Это расстояние можно принять за характерный продольный размер структур в потоке воздуха.

Рисунок 14

Для оценки поперечного размера структур использовались показания, снятые со всех пяти флюгарок, и была построена пространственная корреляционная функция. Датчики были специально расставлены таким образом, чтобы получить большое количество комбинаций расстояний между ними. Предполагается, что коэффициент корреляции зависит лишь от расстояния между двумя флюгарками, и не зависит от того, где эти флюгарки расположены. Справедливость такого предположения можно проверить, сравнив коэффициенты корреляции для флюгарок F1, F3 и F3, F5. Флюгарки F1 и F5равноудалены от флюгарки F3, и отличие коэффициентов корреляции для этих двух случаев можно принять за величину доверительного интервала при построении корреляционной функции. Так как линия, вдоль которой располагались флюгарки, была практически перпендикулярна среднему направлению ветра, полученную пространственную корреляционную функцию можно использовать для оценки поперечного размера структур в воздушном потоке, рис. 15. Радиус корреляции оказался равен 9 м.

Пространственная корреляционная функция сильно зависит от долгопериодных изменений, которые охватывают сразу все датчики, даже если они находятся на значительном расстоянии друг от друга. Изменение среднего ветра, одинаково фиксируемое сразу всеми флюгарками, не позволит корреляционной функции стремиться к нулю. Поэтому очень большое значение имеет стационарность исследуемого потока и соответствующий выбор участка записи для обработки.

Рисунок 15

Рисунок 16

Измерения производились и ночью. Для обработки была выбрана реализация, записанная в ночь на 13 августа в промежуток времени с 22:50 по 2:50. Средняя температура воздуха за это время была равна 30,6 . Средняя скорость ветра была 6,8 м/с. Поток тепла (как и поток температуры) был слабее чем днем и направлен вниз, что характерно для ночных условий. ..

Временной радиус корреляции оказался равен 3 сек (рис. 17). Для данной скорости ветра такой сдвиг во времени соответствует примерно 20 м. Пространственный радиус составил примерно 6 м (рис. 18). Радиусы корреляции уменьшились по сравнению с дневными значениями. Автоспектр также немного изменился. Степенной участок, имеющий линейный вид при использовании логарифмической шкалы, имеет коэффициент наклона примерно -0,84 (рис. 19).

Рисунок 17

Рисунок 18

Рисунок 19

По данным с шести малоинерционных термометров, расположенных на шестиметровой мачте, была построена карта температуры (рис. 20). На вертикальной оси здесь отмечена высота над поверхностью земли, по горизонтали отмечено время, а цвет означает температуру воздуха. Так как конвективные образования переносятся ветром практически без искажений, временная шкала может быть заменена пространственной по формуле (9). На карте можно различить конвективные структуры, подробно описанные в работе [t].

Таким же образом можно визуализировать данные с флюгарок (рис. 21). Вертикальная ось графика соответствует направлению «север-юг», по горизонтали отложено время (которое, как и в предыдущем случае, может быть переведено в расстояние), цветом на этот раз отмечено направление ветра. Участки с более теплыми цветами соответствуют отклонению направления ветра против часовой стрелки, с холодными цветами - по часовой стрелке.

На рис. 22 вместе показаны записи, сделанные и флюгарками, и термометрами сопротивления. Взаимное расположение мачты с термометрами относительно флюгарок можно посмотреть на рис 1. В промежуток времени между 13:40:25 и 13:40:30 наблюдается прохождение конвективной теплой массы воздуха. Одновременно с прохождением этой воздушной массы наблюдается синхронное отклонение нескольких флюгарок. Кроме того есть участки, на которых потоки воздуха направлены навстречу друг другу, что должно приводить к образованию восходящих воздушных масс.

Однако для регистрации отдельных воздушных вихрей датчики предпочтительней расставлять равномерно. Основной же целью данной работы было вычисление корреляционных функций.

Рисунок 20

Рисунок 21

Рисунок 22

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.При подготовке эксперимента было сделано следующее:

А) изготовлены фазосдвигающие цепочки для сельсинов.

Б) выполнена калибровка флюгарок путем сопоставления угла поворота флюгарки с выходным напряжением фазометра

.В ходе эксперимента было установлено

А) Для реализации 12 августа при восточном ветре со скоростью 7,5 м/с поперечный радиус корреляции составил 9 м. Временной радиус корреляции составил 6,8 сек, что соответствует приблизительно 51 м.

Б) для реализации в ночь на 13 августа поперечный радиус корреляции составил 6 м при ветре 6,8 м/с. Продольный радиус корреляции приблизительно равен 20 м.

В) автоспектр вариаций направления ветра имеет степенной участок с наклоном -1 для дневной реализации и -0,84 - для ночной.

Г) участок спектра Гц характеризуется быстрым спадом спектральной плотности, который характеризует инерцию флюгарки.

. Вычислены спектральные коэффициенты корреляции вариаций направления ветра для различных расстояний между датчиками в направлении поперек потока

. Были построены вертикальные карты температуры

. Были построены горизонтальные карты направления ветра

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[a] теория стационарных случайных процессов

[b]полуэмпирическая теория приземного слоя

[c] 1941 г. Колмогоров А.Н. «Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнолдса», Докл. АН СССР, 30, №4, 299-303

[d] 1894 г. Reynolds O. «On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion», Phil. Trans. Roy. Soc., London, 186, 123-161 (русский перевод в сб. «Проблемы турбулентности», М.,ОНТИ, 1936г, 185-227)

[d2] 1883 г. Reynolds O. «An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and the law of resistance in parallel channels», Phil. Trans. Roy. Soc., London, 174, 935-982

[e]1920 г. Richardson L.F. The supply of energy from and to atmospheric eddies, Proc. Roy. Soc., A97, No. 686, 354-373

[f]теория подобия Колмогорова

[g]теория подобия Обухова

[h]работа по определению изотропности

[j]работа Колмогорова, введение структурной функции

[k]гипотеза замороженности Тейлора

[l]применение гипотезы Тейлора к реальной атмосфере

[m] Обухов. Оценка высоты приземного слоя

[n] 1930 г. Kбrmбn <http://www.google.ru/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Theodore+Von+K%C3%A1rm%C3%A1n%22> Th. von «Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz», Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl., 58-76 (русский перевод в сб. «Проблемы турбулентности», М.-Л., ОНТИ, 1936, 271-286)

[p]1947 г. Sheppard P.A. The aerodynamic drag of the earth’s surface and the value of von Karman’s constant in the lower layer, Proc. Roy., A188, No. 1013, 208-222

[q] Ландау 14 гл 5

[r]масштаб Обухова

[s]закон 5/3, 2/3, место после С=55/11 С1

[t] конвективные структуры