Принцип экстремума для параболических уравнений и его применение

Принцип экстремума для параболических уравнений и его применение

Курсовая работа

Принцип экстремума для параболических уравнений и его применение

Содержание

Введение

I . Принцип максимума для уравнений параболического типа

§1. Определения и параболические операторы

§2. Принцип максимума для уравнений параболического типа

§3. Принцип максимума для начальной задачи уравнений параболического типа

II. Практическое применение принципа максимума при математическом моделировании процессов.

§1.Уравнение теплопроводности

§2.Примеры применения принципа максимума в задачах управления процессами

Заключение

Литература

Введение

В связи с интенсивным развитием техники в конце прошлого века возникла необходимость интенсивного изучения предмета уравнения математической физики. Многие задачи математического моделирования физических явлений, связанных с функционированием различных систем и устройств, сводятся к решению и исследованию дифференциальных уравнений. Уравнения, математически описывающие процессы, не всегда известны с достаточной степенью точности и, кроме того, неравноценны при структуре правых частей. Однако наиболее простые по структуре дифференциальные уравнения можно использовать при анализе более сложных систем посредством привлечения таких средств анализа, как дифференциальные неравенства, метод функций Ляпунова и другие методы, связанные с идеями положительности и полуупорядоченности.

В этой работе рассматриваются принципы максимума и вопросы единственности решения задач, связанных с уравнениями в частных производных параболического типа и ее практическое применение. Этот метод в отличие от классического вариационного исчисления позволяет решать многие задачи математического моделирования и управления процессами, в которых на управляющие параметры наложены весьма общие ограничения, хотя обычно заранее предопределяется ряд свойств решения. Благодаря этому принцип максимума является основным математическим приемом, используемым при расчете во многих важных задачах математики, техники и экономики.

I. Принцип максимума для уравнений параболического типа

§1. Определения и параболические операторы

Введем линейный дифференциальный оператор второго порядка в

Rn+1. ,

где ÎDÌRn+1. Предполагается, что функции - ограничены и удовлетворяют следующим требованиям:

Ø                                             (1)

Ø                                                             (2)

Ø                                                   (3)

Ø                                                                   (4)

Ø  с£0                                                                                 (5)

В случае непрерывности коэффициентов уравнения в области D, функции sup и inf заменяются функциями max и min. При выполнении этих условий оператор  является параболическим линейным оператором, так как квадратичная форма, порожденная главной частью оператора, приводится к каноническому виду в области D пространства Rn+1.

Определение 1.

Функция U называется субпараболической, если удовлетворяет неравенству  при всех ÎD.

Определение 2.

Функция U называется суперпараболической, если удовлетворяет неравенству  при всех ÎD.

Для того чтобы сформулировать задачи, которые могут быть поставлены для этих уравнений, введем определения, касающиеся области D. Введем следующие обозначения. - цилиндр, с осью, параллельной оси t, проходящей через точку . Радиус цилиндра R, его нижнее основание лежит в плоскости t = t0, а верхнее - в плоскости t = t1. Обозначение  вводится для боковой поверхности этого цилиндра, а  для его нижнего основания. Используя эти понятия, точки границы области D (обозначается как ¶D) делятся на два вида.

Определение 3.

Точка ζD называется точкой верхней крышки границы области D, если для любых e > 0 и d > 0 выполнено: , а и обозначаются g(D).

Если область D является цилиндрической областью, то верхняя крышка это ее верхнее основание. Это же утверждение справедливо, если в основании цилиндра лежит не круг радиуса R, а любая произвольная область GÎRn.

Определение 4.

Точки ζD, являющиеся дополнением верхней крышки области D до всей границы ¶D называется точками собственной границы области D, и обозначаются G(D).

Пример определения верхней крышки и собственной границы области D рассмотрим в пространстве (x,t). Пусть область D такая, как показано на рис. 1. В этом случае верхней крышкой (g(D)) будут отрезки (a,b) при t=t1 и (a1,b1) при t=t3. Остальные точки границы области D являются точками собственной границы (G(D)).

Задачу для произвольной области D можно сформулировать следующим образом. Будем предполагать, что функции ÎC(D). Тогда задача формулируется так: Найти функцию {u: uÎC(D)C2(D)}, D - ограниченная область, такую что

,                  (6)

                                                  (7)

Коэффициенты оператора , где ÎDÌRn+1 непрерывны и удовлетворяют условиям (1)-(5).

§2. Принцип максимума для уравнений параболического типа

Наличие экстремальных свойств уравнений позволяет проводить оценки решений и достаточно легко доказывать единственность и устойчивость решений задач, поставленных для этих уравнений. В качестве предварительного замечания напомним, что из курса уравнений математической физики известно, что дифференциальные уравнения второго порядка в каждой точке их области определения в пространстве Rn с помощью не особого преобразования могут быть приведены к каноническому виду. Их главная часть в этом случае представляет сумму вторых производных вида , где di принимает значение или 1, или -1. В зависимость от значений di и соотношений между n и m определяется тип уравнения.

Рассмотрим уравнение

,                  (8)

причем функции оператора L непрерывны и удовлетворяют условиям (1)-(5). Тогда главная часть уравнения (8) в любой точке области D приводится к виду , то есть является уравнением параболического типа.

Теорема 1. (Принцип максимума).

Пусть D ограниченная область в Rn+1 и g(D) ее верхняя крышка, G(D) ее собственная граница. Пусть в Dg(D) определен оператор  причем функции оператора L удовлетворяют условиям (1)-(5) и u субпараболическая (суперпараболическая) функция.

Тогда функция u не положительна (не отрицательна) или достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) на собственной границе G(D) области D.

Доказательство. Доказательство проводится методом от противного в случае субпараболической функции. В самом деле, если функция супрепараболическая, то есть удовлетворяет неравенству  при всех ÎD, то заменой u на -u она становится субпараболической . Предположим, что функция u достигает положительного максимума в некоторой точке (x0,t0)Ì Dg(D). Обозначим , а u(x0,t0)=m и мы предположили, что m > M. Рассмотрим неравенство в точке (x0,t0), приведя в этой точке левую часть к каноническому заменой t=t, x=B виду x, где B неособая матрица:

.                                (9)

Точка (x0, t0) соответствует точке максимума в новых координатах. Так как в точке (x0, t0)Î Dg(D) , то левая часть неравенства (9) неотрицательна. Однако в этом случае противоречия нет, так как допускается равенство нулю. Чтобы исключить равенство нулю левой части неравенства (9), введем вспомогательную функцию. Пусть e=m-M > 0 и  , где плоскость t=T ограничивает область D сверху, то есть для всех t из области D выполнено неравенство t < T. Легко показать, что функция v также является субпараболической. Покажем, что она так же, как и функция u, достигает своего максимума в некоторой точке (x1,t1)Ì Dg(D). Следует отметить, что . Докажем, что  . Это легко видеть, построив следующую цепочку неравенств . Пусть функция v достигает своего максимума в некоторой точке (x1, t1) Ì Dg(D). Заменив в неравенстве (9) u=v - и приводя в полученном неравенстве левую часть к каноническому виду в точке (x1, t1), получаем

,

так как (x1, t1)Î Dg(D) . Полученное противоречие показывает, что исходное утверждение было неправильным и положительный максимум достигается на собственной границе.

Используя принцип максимума, легко доказать единственность решения задачи (6)-(7). В самом деле, если предположить, что задача (6)-(7) имеет два решения u и v, то их разность w=u-v удовлетворяет однородному уравнению и нулевым условиям на собственной границе. Так как уравнение однородное, то функцию w можно рассматривать как суб-, так и как суперпараболическую. Это означает, что максимум и минимум функции достигается на собственной границе и, в силу условий задачи, они равны нулю. Это говорит о том, что исходное предположение о наличии двух разных решений неверно. Эти рассуждения можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 2.

Решение задачи (6)-(7) в случае ограниченной области D единственно.

Лемма 1.

Пусть в Dg(D) определен оператор  причем функции оператора L удовлетворяют условиям (1)-(5). Кроме того, выполнено условие где и , m, A = const > 0. Тогда в  имеет место неравенство |u| £ m + A(t - t0), причем область D расположена выше плоскости t = t0.

Доказательство.

В силу условия леммы  и . Рассмотрим правые неравенства. Первое из них можно преобразовать так:

.

Так как с £ 0 в области Dg(D) и (t - t0) > 0, то функция u - A(t - t0) является субпараболической и на собственной границе не превышает значения m. Следовательно, u - A(t- t0)<m, то есть u < m+ A(t - t0). Используя левые неравенства, аналогично получаем -m - A(t - t0) < u. Полученные два неравенства доказывают утверждение леммы.

Лемма 1 позволяет оценить решение задачи (6)-(7) в зависимости от значений  и . Если £ A, а £ m, то в силу леммы 1 решение задачи (6)-(7) удовлетворяет неравенству |u| £ m + A(t - t0).

Теорема 3.

Решение задачи (6)-(7) устойчиво по отношению к малым по модулю изменениям правых частей и условий на собственной границе.

Доказательство.

Рассматривается две задачи (6)-(7) и

     d = const.

Тогда, вводя функцию w = v - u имеем для функции w следующую задачу

,

Следовательно, |w| < d(1 + (T - t0)) < e , где область D расположена между плоскостями t = T и t = t0, и при d ® 0 |w| ® 0. Доказательство закончено.

Для дальнейшего уточнения оценки решений уравнений (6) введем понятие подобласти, подчиненной точке (x0, t0) Î D.

Определение 5.

Область D’ Î D называется подобластью, подчиненной точке (x0, t0) Î D, если она расположена под плоскостью t = t0 и для любой точки (x, t) Î D’ существует ломаная линия, соединяющая точки (x0, t0) и (x, t), принадлежащая области D’, и однозначно отображающаяся на ость t.

Например, если области принадлежат двухмерному пространству и имеют вид, показанный на рис.2 , то подобласть, подчиненная точке (x0, t0) отображена штриховкой. Ломаная линия, соединяющая произвольную точку (x,t) Î D’ с точкой (x0,t0), также изображена на рисунке. Используя это понятие, сформулируем строгий принцип максимума, который дает представление о структуре решения уравнении (6), если максимум в области  достигается Dg(D).

Теорема 4. (Строгий принцип максимума).

Пусть D ограниченная область в Rn+1 и g(D) ее верхняя крышка, G(D) ее собственная граница. Пусть в Dg(D) определен оператор , причем функции оператора L удовлетворяют условиям (1)-(5) и u субпараболическая (суперпараболическая) функция.

Тогда, если функция u достигает положительного максимума (отрицательного минимума) в некоторой точке (x0,t0) Î Dg(D), то u = const в подобласти, подчиненной точке (x0,t0).

Доказательство этого утверждения легко получить из двух лемм, приведенных ниже, и оставлено для самостоятельной работы.

Лемма 2.

Пусть в  определен оператор  причем функции оператора L удовлетворяют условиям (1)-(5) u субпараболическая в  функция. Пусть в точке (x0, t2) функция u достигает своего максимального значения. Тогда это значение сохраняется вдоль оси цилиндра.

Доказательство. Доказательство проводится методом от противного. Обозначим u(x0, t2) = M. Предположим, что в некоторой точки оси цилиндра (x0, t’) значение меньше M, то есть u(x0,t’) < M - a, где a > 0. Построим цилиндр , причем r выбираем таким образом, чтобы

< min(R, 1)

и u(t’,x) < M - a, при всех x, удовлетворяющих неравенству

|x - x0| < r.

Введем вспомогательную функцию . Достаточно легко показать, что существует такое достаточно большое b, при котором функция v является суперпараболической, то есть удовлетворяет неравенству . Вычисляя производные по t и по пространственным производным и подставляя в левую часть неравенства, получаем следующее неравенство

где k- const. Учитывая свойство первой суммы, получаем следующую квадратичную форму

при достаточно большом значении b.

Оценим значение функции v на боковой поверхности и нижнем основании цилиндра . При t = t’ v ³ M - a > u (нижнее основание) и v = M ³ u при r = |x - x0| (боковая поверхность). Следовательно, . Рассмотрим значение функции u в точке (x0, t2). . Полученное противоречие доказывает утверждение леммы.

Лемма 3.

Пусть в наклонном цилиндре t1 £ t £ t2, |x - (x0 + b(t - t2)| определен оператор  причем функции оператора L удовлетворяют условиям (1)-(5) u субпараболическая в этом цилиндре функция. Пусть в точке (x0 + b(t2 - t1), t2) функция u достигает своего максимального значения. Тогда это значение сохраняется вдоль оси цилиндра.

Доказательство легко проводится с помощью замены переменных x’= x0 + b(t - t1), t’ = t и остается для самостоятельной работы.

Доказательство теоремы 4 основывается на последовательном применении лемм 2 и 3 и тем, что любая точка подобласти, подчиненная точке (x0,t0) соединяется с ней ломаной линией, однозначно отображающейся на ось t.

§3. Принцип максимума для начальной задачи уравнений параболического типа

Начальная задача для уравнений параболического типа ставится следующим образом. В полупространстве t > t0 определено уравнение

Оператор , где ÎDÌRn+1. Предполагается, что функции - удовлетворяют требованиям (1)-(4).

Определение 6.

Функция u(x,t) называется функцией медленного роста, если при любых t Î (t, T] она удовлетворяет неравенству .

Теорема 5.

В классе функций медленного роста начальная задача (10)-(11) имеет единственное решение.

Доказательство теоремы следует из принципа максимума для начальной задачи для уравнений параболического типа.

Теорема 6 (Принцип максимума).

Пусть u(x,t) субпараболическая (суперпараболическая) функция, определенная в слое t Î (t0, T), то есть  , , где ÎDÌRn+1. Предполагается, что функции - удовлетворяют требованиям (1)-(4). При t = t0 u неположительна (неотрицательна) при t = t0 и принадлежит классу функций медленного роста. Тогда u £ 0 (u ³ 0) при всех t Î (t0, T].

Доказательство. Доказательство проведем для субпараболических функций, так как случай суперпараболическх функции сводится к нему заменой u ® -u.Покажем, что u £ 0 на плоскости t = t0 + e. Для доказательства введем функцию типа потенциала Fsb со значениями , . При таком выборе параметров функция Fsb является суперпараболической. Введем малое e и введем функцию  C2 - задается определением функций медленного роста. Связь между значениями M > 0 и e определим ниже. При t ³ t0 функция является суперпараболической, так как особые точки подинтегрального выражения лежат ниже плоскости t = t0 (рис.4). Величину R также выберем ниже. Оценим значение функции vR на плоскости t = t0 и на боковой поверхности цилиндра . На плоскости t = t0 функция vR удовлетворяет неравенству, тогда как . Выбираем M таким образом, чтобы при |x| = R функция vR удовлетворяла неравенству при t0 £ t £ t0 + e, где C1 и C2 задаются в определении функций медленного роста. Так как u принадлежит классу функций медленного роста, то она удовлетворяет неравенству . Следовательно, на боковой поверхности и нижнем основании цилиндра  vR - u ³ 0. Так как функция vR - u является суперпараболической, то это неравенство справедливо при всех t0 £ t £ t0 + e. Правомерность такого выбора M обоснуем следующими выкладками. Оценим значение функции vR снизу

,

где а > 0 - const. Выбирая , получим искомое неравенство.

Для доказательства неравенства выбираем произвольную точку (x’,t’) из слоя (t0, t0 + e). Выбирая R > 2|x’|, имеем

,

где wn - поверхность сферы единичного радиуса в Rn. Выбирая , получаем , то есть u(x’, t’) £ 0 при всех t0 £ t £ t0+ e.

Рассматривая интервал t0 + e.£ t £ t0 + 2e, аналогичным образом показываем, что u(x’, t’)£ 0 при всех t0 £ t £ t0+ 2e и так далее. За конечное число шагов интервал (t0, T) будет полностью покрыт. Доказательство закончено.

II. Практическое применение принципа максимума при математическом моделировании процессов

§1.Уравнение теплопроводности

К классическим уравнениям параболического типа относятся уравнение теплопроводности.

Теорема (принцип максимального значения): .

Функция u(x,t) непрерывная в Ĝ и удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности:

(*) utt = a2uxx в G + H принимает наибольшее и наименьшее значения на границе Г (т.е. при х = 0, x = l или t = 0).

Физический смысл: если температура на границе или в начальный момент времени меньше K, то при отсутствии источников тепла, внутри тела не может создаваться температура, большая К.

Доказательство: от противного.

Обозначим М наибольшее значение u(x,t) в Ĝ = G + H + Г, а через m - наибольшее значение u(x,t) на Г:

.

Допустим, что существует такое решение u(x,t), для которого M > m, т.е. где не выполняется условие теоремы.

Пусть эта функция принимает значение М в некоторой точке (x0,t0) є G + H; т.е. u(x0,t0) = M.

Замечание: всякая непрерывная функция в замкнутой области достигает своего максимального значения. Достаточным условием существования относительного минимума функции в точке x0 є (0;l ) являются:) ;

б) ;

тогда для максимума:

) ;

б) не может быть f'' (x0)>0; т.е. .

Сравним знаки левой и правой частей уравнения в точке М, где по предположению u(x,t) достигает максимума: ; так как u(x0,t) достигает максимума при t = t0, то .

Получаем, что в точке (x0,t0): .

Однако, это еще не есть противоречие, так как может быть равно 0.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

(**)

Функция υ(x0,t0) = u(x 0,t0) = M и значит, наибольшее значение υ(x,t) в Ĝ не меньше, чем М:

Но на границе Г для υ(x,t) имеем (на Г max(x - x0)) = l:

(так как m < M).

Следовательно, функция υ(x,t) также как и u(x,t) не принимает наибольшего значения на Г. Пусть υ(x,t) принимает наибольшее значение в точке (x1,t1) є G (внутренняя точка).

Согласно необходимым условиям максимума в точке (x1,t1) для υ(x,t) должно быть: , т.е в точке (x1,t1): .

Тогда в этой же точке для функции u(x,t) из (**):

;

;

Тогда для функции u(x,t) в точке (x1,t1) получаем:

.

т.е. уравнение (*) во внутренней точке (x1,t1)є G не удовлетворяется.

Замечание: при доказательстве изначально мы не требуем, чтобы u(x,t) удовлетворяла уравнению теплопроводности, мы только изучаем ее поведение (max и min) и показываем, что, если максимум u(x,t) достигается внутри G, то u(x,t) - не удовлетворяет уравнению.

Следствие1. Если два решения уравнения теплопроводности u1(x,t) и u2(x,t) удовлетворяют условиям:

; , то

для всех .

Доказательство: пусть υ(x,t) = u2(х ,t) - u1(х ,t): f(x,t) = 0, отсюда u max, min;

, отсюда неотрицательный max достигается на границе, тогда в Ĝ u(x,t) - неотрицательна, т.е. в G.

Следствие2. Если три решения уравнения теплопроводности ů, u, ũ, удовлетворяют условиям: при t = 0; x = 0; x = l, то эти неравенства выполняются тождественно, т.е. (x,t) є Ĝ.

Доказательство: применяя следствие1 сначала к функциям u(x,t), ũ(x,t), а затем ů(x,t) и u(x,t) получим требуемые соотношения.

Следствие3. Если для двух решений уравнения теплопроводности u1(х ,t) и u2(х ,t) имеет место:

для t = 0; x = 0; x = l, то тождественно в Ĝ.

Доказательство: к функциям:

ů(x,t) = - ε(x,t) = u1(х ,t) - u2(х ,t)

ũ(x,t) = ε

применим следствие2, тогда получим то, что требовалось доказать.

Это следствие доказывает устойчивость решения 1ой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

§2.Примеры применения принципа максимума в задачах управления процессами

Принцип максимума является основным математическим приемом, используемым при расчете оптимального управления во многих важных задачах математики, техники и экономики.

Принцип максимума применяется к общей задаче управления, имеющей вид

+F(x1, t1),

x= f(x, u, t), x(t0) = x0, x(t1) = x1, {u(t)}ÎU.    (1)

уравнение параболический максимум экстремальный

Здесь I(…), F(..) и f(…) - заданные непрерывно дифференцируемые функции, t0, x0 - фиксированные параметры, t1 или x1 - фиксированные параметры (либо с помощью уравнения T(x, t)=0 определяется конченая поверхность). Траектория управления {u(t)} должна принадлежать фиксированному множеству управлений U, причем u(t) - кусочно-непрерывная функция времени, значения которой должны принадлежать некоторому фиксированному множеству W, являющемуся непустым компактным подмножеством пространства Er.

Приведем некоторые задачи оптимального управления, которые, благодаря их типичности, часто встречаются во многих учебниках по теории оптимальных процессов. Эти задачи относятся к различным областям человеческой деятельности: технике, экономике, экологии и др. Но в то же время они являются "учебными" и служат, в основном, для иллюстрации некоторых теоретических положений. Очевидно, задачи и модели, представляющие непосредственный практический интерес, должны быть более подробными, глубокими и сложными. Учебные задачи - это первое приближение к реальным практическим задачам, их упрощенный аналог.

Максимизация дальности полета аппарата в атмосфере. Рассматривается летательный аппарат, положение которого описывается следующими параметрами: дальность и высота полета, величина и угол наклона к горизонту вектора скорости. Роль управлений играют угол атаки и функция, отвечающая возможности изменять в полете геометрию крыльев (т.е. их эффективную площадь). Требуется найти такие управляющие функции, которые доставляют максимум дальности полета.

Задача ракетодинамики в однородном поле (задача об оптимальном в смысле расхода топлива движении ракеты в пустоте). Рассматривается управляемый ракетный аппарат, состояние которого задается координатами в трехмерном пространстве, вектором скорости и значением массы. Управление осуществляется выбором направления и абсолютного значения тяги ракеты. Требуется так управлять ракетой, чтобы в фиксированный момент времени она достигла заданной точки, имея определенную скорость и израсходовав минимум топлива (т.е. имея максимально возможную массу).

Задача о максимальной высоте подъема вертикально взлетающей в атмосфере ракеты-зонда. Состояние ракеты задается значениями высоты, скорости и массы. Задача состоит в выборе тяги, которая максимизировала бы высоту подъема при свободной продолжительности полета.

Задача об оптимизации мясозаготовок. На ферме имеется стадо скота. Ежегодно часть стада отправляется на мясозаготовки, причем доход фермы зависит от количества проданного скота. Фазовой переменной выступает количество скота на ферме в конце каждого года после мясозаготовок, управляющим параметром - количество проданного на мясо скота. Требуется определить, каким образом ферма может получить максимальный доход за несколько лет при определенном минимуме ежегодных мясозаготовок и заданном значении поголовья скота на конец планового периода.

Оптимальное распределение ресурсов. Некоторая заданная начальная сумма денег затрачивается на приобретение оборудования двух типов А и В. С помощью этого оборудования организуется производство. Распределяя имеющиеся средства между различными типами оборудования, к концу срока эксплуатации получают определенный экономический эффект. Затем амортизированное оборудование реализуют, а вырученные средства используют как начальную сумму для следующего цикла, и т.д. Требуется найти такую стратегию распределения средств для покупки оборудования типов А и В в каждом цикле, чтобы обеспечить наибольший экономический эффект после фиксированного числа производственно-экономических циклов.

Заключение

Большинство физических законов природы можно сформулировать на языке уравнений с частными производными. Во всех уравнениях, описывающих физические явления, эти описания происходят на языке пространственных и временных производных. В курсовой работе приведены некоторые примеры применения принципа максимума при решении уравнений параболического типа именно при моделирование таких реальных процессов, как распространение тепла в стержне и в управлении процессами.

Работа начинается с рассмотрения теории принципа максимума для уравнений параболического типа: проводится оценка решений, доказывается единственность и устойчивость решений задач.

Во второй главе рассматриваются классический пример принципа максимума для уравнения теплопроводности: теорема максимального значения, его физический смысл и следствия из теоремы и т.д. А также приводится примеры из области управления различными процессами относящиеся к различным областям человеческой деятельности: технике, экономике, экологии и др.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной курсовой работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Литература

1.      Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. М., Наука. 2009

2.      Владимиров В.М. Уравнения математической физики

3.      А. Фридман. Уравнения с частными производными параболическоrо типа. Издательство «МИР» _Москва 2008

4.      Кузнецова О.Б. Лекции «Уравнения математической физики», Урал- ский федеральный университет.