Задача определения оптимальной цены реализации продукции

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Самарский Государственный Аэрокосмический университет

Пояснительная записка к курсовому проекту по курсу “Теория принятия решений” Задача определения оптимальной цены реализации продукции. Вариант 98

Выполнил: студентка 632 гр. Фиалко А.М.

Самара 2006

Постановка задачи

Вариант 98

Производственное объединение реализует n видов промышленной продукции на мировом рынке в условиях конкуренции со стороны других фирм. Известно, что объем реализации i-го вида продукции зависит линейно от цены единицы этого вида продукции p_i : V_i = a_i*p_i+b_i : чем меньше цена, тем больший объем продукции можно реализовать.

Возможности объединения по изготовлению продукции i-го вида ограничены величиной d_i, а сумма возможностей ограничена d₀.

Определить оптимальный набор цен, по которым следует реализовывать все виды продукции при условии получения наибольшей стоимости реализованной продукции.

Параметры:₁ = -1.5₂ = -2.1₃ = -0.67₁ = 8500₂ = 7900

b₃ = 13200

d₁ = 4900

d₂ = 5100

d₃ = 11300

d₀ = 15000

Реферат

Курсовая работа.

Пояснительная записка: 13 стр., 2 таблицы, 4 источника.

Ключевые слова: КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, МЕТОД БАРАНКИНА И ДОРФМАНА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ, ОГАРНИЧЕНИЯ - НЕРАВЕНСТВА, ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ.

Исследована задача определения оптимальной цены реализации продукции. При расчете использован метод Баранкина и Дорфмана, а также выполнена программная реализация решения задачи в пакете GINO. Получено оптимальное решение поставленной задачи.

стоимость цена программный

1. Математическое моделирование

_i - объем реализации i-го вида продукции,_i - цена единицы i-го вида продукции,_i - объем производства i-го вида продукции,₀ - общий объем производства продукции,_i, b_i - коэффициенты в заданном уравнении,

i = 1,2,3.

Здесь a_i, b_i, d_i, d₀ являются постоянными величинами, а p_i - управляемые переменные, которые нужно подобрать таким образом, чтобы реализовать все виды продукции с получением наибольшей стоимости. Управляемых переменных 3, а ограничений - 10.

Тогда математическая модель имеет вид:

F = a₁p₁² + b₁p₁ + a₂p₂² + b₂p₂ + a₃p₃² + b₃p₃-> max

1)   -1.5p₁+8500£4900;

2)      -2.1p₂+7900£5100;

)        -0.67p₃+13200£11300;

)        -1.5p₁-2.1p₂-0.67p₃+29600£15000;

)        p₁³0;

)        p₂³0;

)        p₃³0;

)        V₁³0;

)        V₂³0;

)        V₃³0.

Эта задача относится к классу задач квадратичного программирования.

2. Обоснование и выбор метода решения

Данная задача принадлежит к типу задач квадратичного программирования. Это частный случай задачи нелинейного программирования.

Вообще, основной недостаток методов нелинейного программирования заключается в том, что с их помощью не удается найти глобальный экстремум при наличии нескольких локальных экстремумов. Поэтому метод считается теоретически разработанным, если найдены соотношения, являющиеся необходимыми и достаточными условиями оптимума, и алгоритмы поиска экстремума с доказательством их сходимости. Этим требованиям удовлетворяют только методы, рассматриваемые в разделе квадратичного программирования, частично методы решения задач с сепарабельными функциями и в значительно меньшей степени прямые методы.

Задача нелинейного программирования.

Рассмотрим задачу математического программирования:

,                                                                     (1а)

                                                                             (2а)

                                                          (3а)

,   ,                                                                      (4а)

здесь F(x) - целевая функция, выражение (2) - ограничения равенства, выражение (3) - ограничения неравенства, x - вектор переменных, D_j - некоторые множества.

Если хотя бы одна из функций F(x), φ_i(x) - нелинейная, то это модель задачи нелинейного программирования. Решение подобных задач возможно только для некоторых классов функций F(x), φ_i(x), и когда D_j - множество действительных чисел

Задача квадратичного программирования = частный случай задачи нелинейного программирования, в которой целевая функция = сумма линейной и квадратичной функции, а все ограничения линейны:

,                (5а)

,                                                         (6а)

                                                                               (7а)

или в матричном виде (P,x,B - векторы-столбцы):

,                                              (8а)

,                                                                                          (9а)

                                                                                                       (10а)

В выражении (8а) матрица С должна быть симметричной и положительно полуопределенной - это гарантирует выпуклость целевой функции (5а). Известно, что для задачи выпуклого нелинейного программирования справедлива теорема Куна-Таккера, выражающая необходимые условия того, что точка x₀ является решением задачи нелинейного программирования:

                                                                                                                 (11а)

                                                                                                                 (12а)

где Ф=Ф(x,λ) - функция Лагранжа.

Теоретически наиболее широко и детально в нелинейном программировании разработан раздел выпуклого программирования, называемый квадратичным.

Методы квадратичного программирования можно разделить на три группы:

-        Алгоритмы, использующие симплекс-метод;

-        Градиентные методы;

         Прочие специальные методы.

3. Метод Баранкина-Дорфмана

Задача формулируется следующим образом (в матричном виде):

P’x+x’Cx -> min,£ b,

x ³ 0

Исходя из теоремы Куна-Таккера, обозначим:

В данном случае условия Куна - Таккера запишутся в виде:

Ax + y = b;                                                                              (1)

Cx - v + A’l = -p;                                                                    (2)

x ³ 0, Y ³ 0, V ³ 0, l ³ 0;                                                         (3)+ Yl = 0.   (4)

Отметим, что последнее равенство (4) может выполняться только для допустимого базисного решения системы, которое характеризуется той особенностью, что из

(n + m) ограниченных по знаку переменных x, V, Y, l самое большое N переменных, где N = n + m - число равенств в этой системе, отличны от нуля.

Идея метода Баранкина и Дорфмана заключается в том, что процедура последовательного отыскания решения начинается с базисного решения системы (1)-(3), которое не обязательно удовлетворяет условию (4). Затем с использованием симплекс-метода добиваются равенства нулю выпуклой функции xv + yl.

а) алгоритм:

Для удобства изложения все переменные представим в виде 2N - мерного вектора

= ||x,y,v, l|| .

Можно поставить в соответствии каждому вектору z вектор z’, определяемый соотношением

’ = ||v, l,x,y||,

такой, что

z’_I=z_i+N, z’_I+N=z_i, = 1,2,..,N,

xV+Yl = 1/2zz’.

С помощью этих векторов, условия (1) - (4) запишутся в виде:

       (5)(z) = zz’ = 0, z ³ 0.

Исходя из некоторого допустимого базисного решения системы (5), совершим последовательность симплекс преобразований, с помощью которых будем уменьшать выпуклую функцию T(z) = zz’, пока не достигнем значения T = 0.

Допустим, имеется некоторое допустимое базисное решение системы (5). Симплекс - таблица в данном случае должна задавать входящие в базис переменные z_g как функцию от N небазисных переменных z_vh=t_h, не входящих в базис:

, g=1,2,..,2N.        (6)

эту запись можно использовать и для небазисных переменных из числа z_g. Для этого симплекс-таблица дополняется строками, все элементы которой (кроме одного, равного единице) равны нулю. В этих строках для небазисной переменной z_{g =} t_j будет d_gh = 0, h =j, a d_gj = 1. функциональную зависимость (6) можно записать в векторном виде:

 .   (7)

При небазисных переменных t_h = 0 формула (7) перепишется в виде

= d₀ ≥ 0, T=d₀d’₀.

Далее t_j=θ>0 и z = d₀+ θd_j. Увеличиваем переменную t_j пока некоторая j-ая из базисных переменных не обратится в нуль. Она определяется из условия:

при d_gi<0.

Тогда новое базисное решение: z’ = d₀ + θ_id_j, а величина T соответственно

_j = T + θ_jk_j,

где  K_j=2α_j+ θ_jβ_j,

где α_j=d_jd’₀ и β_j=d_jd’_j.

Очевидно, что k_j<0. Если таких несколько, то выбирается то, которому соответствует наименьшее отрицательное произведение θ_jk_j.

б) вычислительная схема

После определения допустимого базисного решения строят симплексную и дополнительную таблицы в виде табл.1.

Таблица 1.

В отличие от стандартной симплекс-таблицы здесь добавлена таблица для дополнительных переменных α _0, α _j, βj, θj, k_j, которые вычисляются по следующим формулам:

α ₀ = T = d₀d’₀=2∑d_i0d_i+N,0

При α ₀ = 0 сразу получаем оптимальное решение. В противном случае дополнительно находим:

α _j = ∑(d_ijd_i+N,0      + d_i+N,jd_i,0), j = 1,…,N.

Далее для j , для которых α _j < 0, определяются:

β_j = 2∑d_ijd_i+N,j;

 при d_gj < 0.

Для определения элемента j вычисляются:

_j = 2 α _j + β_jθ_j .

В качестве заменяющего столбца выбирается такой, для которого отрицательное произведение θ_j K_j наименьшее. Элемент d_gj , по которому определено θ_j , становится опорным, и из базиса удаляется соответствующая ему g-я переменная, которая встает на место переменной заменяющего столбца. Затем все его элементы делятся на опорный, который при этом становится равным единице. Тем самым получаем заменяющий столбец с новыми элементами. Для получения остальных столбцов новой таблицы, из соответствующих столбцов старой вычитаем уже построенный заменяющий столбец, умноженный на элемент, стоящий на пересечении преобразуемого столбца старой таблицы и заменяющей строки.

5. Использование метода для решения задачи

В настоящее время подобные задачи легко решаются при помощи современных ЭВМ. Для решения данной задачи воспользуемся пакетом программ Gino. Но прежде решим ее вручную.

Решение задачи.

Поиск решения задачи начинается с приведения составленной целевой функции к минимуму:

L’ = 1.5p₁² -8500p₁ + 2.1p₂² - 7900p₂ + 0.67p₃² - 13200p₃-> min

)-1.5p₁+9500 £ 4900;

)-2.1p₂+7900 £ 5100;

)-0.67p₃+13200 £ 11300;

)-1.5p₁-2.1p₂-0.67p₃+29600 £ 15000;

)p₁ ³ 0;

)p₂ ³ 0;

)p₃ ³ 0;

)V₁ ³ 0;

9)V₂ ³ 0;

)V₃ ³ 0.

Составим следующие матрицы:

n = 3, m = 4, N = 7, 2N = 14.

Откуда можно получить следующие уравнения:

-1.5*p1 + Y1 = -3600;

.1*p2 + Y2 = -2800;

.67*p3 +Y3 = -1900;

.5*p1 -2.1*p2 - 0.67*p3 + Y4 = -14600;  (8)

*p1 - V1 -1.5* λ1 -1.5* λ4 = 8500;

.2*p2 - V2 - 2.1*λ2 - 2.1*λ4 = 7900;

.34*p3 - V3 - 0.67*λ3 - 0.67*λ4 = 13200.

Для получения допустимого базисного решения (опорного решения) можно использовать любой метод отыскания опорного решения задачи ЛП. Для системы (8) достаточно выбрать p1,p2,p3,Y1,Y2,Y3,Y4 базисными, тогда:

Значит P1 = 8500/3, P2 = 7900/4.2, P3 = 13200/1.34, Y1 = 650, Y2 = 1150, Y3 = 4800, Y4 = 200- опорное решение. Составим симплекс-таблицу, учтя, что знаки коэффициентов при свободных переменных (в отличии от симплекс-таблицы задачи ЛП) не меняются. Пустые клетки соответствуют нулевым коэффициентам.

Таблица 2

Т.к. α₀=0, то сразу получаем оптимальное решение:

P1 = 2833.33;= 1880.95;= 9850.746;=650, Y2=1150,Y3=4800,Y4=200; =0, V2=0,V3=0;

λ1=0, λ2=0, λ3=0, λ4=0.

6. Использование компьютерных средств для решения задачи

Сравним полученное решение с решением на пакете программ GINO.- система для решения задач нелинейного, квадратичного программирования, разработанная для широкого круга пользователей.

С другой стороны, GINO используется для решения промышленных нелинейных, квадратичных программ значительного размера (более 10000 строк и несколько тысяч переменных).

Чтобы решить данную задачу нужно составить программную модель. Эта модель имеет следующий вид:

MODEL:

1) max=-1.5*X1^2-2.1*X2^2-0.67*X3^2+8500*X1+7900*X2+13200*X3;

) -1.5*X1+7900 < 4900;

) -2.1*X2+7900 < 5100 ;

) -0.67*X3+13200 < 11300;

) -1.5*X1-2.1*X2-0.67*X3+29600 < 15000;

) X1>0 ;

) X2 > 0 ;

) X3 > 0;

Программу можно набрать вручную, либо загрузить из файла c помощью команды take<имя файла>. Командой Look all можно просмотреть весь этот файл. Чтобы получить решение задачи нужно выполнить команду go.

В результате работы на пакете программ GINO было получено оптимальное решение. Оно совпало с решением задачи “вручную”.

TOTAL FRACTIONAL CHANGE IN OBJECTIVE LESS THAN 1.00000E-04 FOR 4 CONSECUTIVEFUNCTION VALUE

) 84486352.615718VALUE REDUCED COST2833.181956 .0000001880.886440 .0000009850.676452 .000000SLACK OR SURPLUS PRICE

2) 1249.772933 .000000

) 1149.861344 .000000

) 4699.953387 .000000

) 199.587665 .000000

) 2833.181956 .000000

) 1880.886440 .000000

) 9850.676452 .000000

Список использованной литературы

1.   Есипов Б.А. Лекции по курсу “Теория принятия решений”, 2001

2.       Решение задач по курсу “Исследование операций”: нелинейное программирование. / методические указания, составитель Есипов Б.А., Куйбышев, 1988, 42с.

.        Линейное и нелинейное программирование / под ред. Е.Е. Караваева. - М.: Наука, 1999, 190 с.

.        Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.Н., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980, 190 с.