Использование вязкоупругой модели материала со спектром времен релаксации для анализа экспериментальных данных, полученных с помощью динамического механического анализатора
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
"Пермский
государственный национальный исследовательский университет"
Механико-математический
факультет
Кафедра
механики сплошных сред и вычислительных технологий
Использование
вязкоупругой модели материала со спектром времен релаксации для анализа
экспериментальных данных, полученных с помощью динамического механического
анализатора
Работу выполнила
студентка 3 курса
группы МХП-1,2-2010
Макеева Александра
Витальевна
Руководитель:
доктор
физико-математических наук,профессор
Свистков Александр
Львович
Пермь
2013
Введение
деформация материал вязкоупругий
динамический
Динамический механический анализ (ДМА) - это
методика испытаний и аналитический инструмент, измеряющий физические свойства
твердых тел и полимерных расплавов, определяющий модуль упругости и
амортизацию; также его можно запрограммировать для определения силы,
напряжения, деформации, частоты и температуры. ДМА также служит в качестве реологии
твердых тел и динамического механического термического анализа (ДМТА), при
учете данных температуры.
Инструменты ДМА прилагают колебательную силу
(напряжение) и регистрируют осциллирующее изменение образца. Модуль упругости
рассчитывается исходя из упругого поведения материала; например, образец
изменяется "в фазе" при приложении осциллирующего напряжения.
Механические свойства рассчитывается исходя из вязкого поведения материала;
например, образец изменяется "вне фазы" при приложении осциллирующего
напряжения.
Оборудование
Образец размещается между двумя захватами или
ограничителями. Затем к образцу прилагается колебательное усилие. Его вызывают
с помощью электродвигателя с вращательными движениями (обычно взад-вперед) и
линейными движениями (обычно вверх-вниз), который также характеризуется
частотой (скорость колебаний) и усилием (энергия, прилагаемая к образцу).
Получаемая в результате деформация (перемещение)
обычно измеряется с помощью преобразователя линейного перемещения в цифровой
сигнал, или датчика силы. Строится график зависимости динамического модуля
упругости и тангенса дельта от температуры.
Обычно рассчитывается тангенс угла механических
потерь (по тангенсу угла можно получить информацию о фазовых переходах).
Прибор выдает три величины: модуль сохранения,
модуль потерь и тангенс угла механических потерь. Можно исследовать их
зависимость от амплитуды, температуры и частоты деформирования образца.
В работе рассматривается их связь с
вязкоупругими свойствами материала.
Что такое модуль сохранения и модуль потерь
Модуль упругости 
(модуль
сохранения) показывает эластичность материала, способность образца сохранять
механическую энергию
Модуль вязкости 
(модуль
потерь) - способность материала рассеивать энергию (в виде тепла)
Тангенс 
(коэффициент
механических потерь) характеризует демпфирующие свойства материала. Представляет
собой отношение модуля потерь к модулю сохранения.
Для нормальных напряжений 
,
а для напряжений сдвига 
Фазовый угол δ (угол
механических потерь) - это угол, под которым динамическая сила опережает
динамическую синусоидальную деформацию (рис. 1).
Рис. 1. Синусоидально изменяющиеся
напряжение и деформация при установившейся периодической деформации
вязкоупругого материала
Модель стандартного вязкоупругого
тела. Гармонические деформации
Известно, что для большинства
твердых тел, особенно в случае очень малых деформаций, выполняется закон Гука в
его наиболее простой форме:
где 
, 
- деформации, E - модуль упругости.
Поведение вязких жидкостей обычно
хорошо следует закону Ньютона:
где 
, 
- градиент скорости движения
жидкости, 
-
коэффициент вязкости.
Полимерные материалы, как правило,
проявляют как свойства упругих тел, так и некоторые свойства жидкостей.
Сочетание вязких и упругих свойств в одном материале может быть осуществлено
набором и соединением в единой структуре элементов, каждый из которых обладает
только упругими или только вязкими свойствами. Это приводит к специфической
связи между напряжением и деформацией.
Рассмотрим стандартную вязкоупругую
модель (рис. 2):
Рис. 2. Стандартная вязкоупругая
модель
Напряжение всей модели складывается из
напряжений нижней части системы и верхней пружины:
,
где 
-
напряжение пружины 1 и демпфера 2.
Так как верхняя пружина не дает никаких
временных эффектов, рассмотрим подробнее нижнюю часть системы - модель
Максвелла (рис. 3):
Рис. 3. Модель Максвелла
Составляющими данной модели являются
пружина и демпфер (поршень, движущийся в вязкой жидкости), соединенные
последовательно.
Деформация этой системы представляет
собой сумму деформаций упругой и пластичной частей:
где 
- деформация пружины, 
-
деформация упругой части.
Продифференцируем выражение по t:
(1)
Со стороны упругой части системы
(пружины) напряжения следуют закону Гука:
,
а со стороны вязкой части напряжения принимают
вид:
,
где 
.
Так как рассматривается система в целом
.
Тогда
.
Подставим эти выражения в формулу (1), получим:
(2)
Уравнение (2) - основное дифференциальное
уравнение, описывающее механическую релаксацию полимеров, обладающих
вязкоупругими свойствами. На его основе Максвелл предложил моделировать
вязкоупругие свойства полимеров последовательным соединением простейших
элементов, проявляющих эти свойства за время действия силы.
Из уравнения (2) выразим 
:
Деформируем материал по следующему закону:
, (4)
где t - время, 
-
круговая частота (f - число колебаний в 1 с).
Подставим последнее в (3). Решение
дифференциального уравнения будем искать в виде:
Проверим, удастся ли это сделать. Предыдущее
равенство умножим и разделим на 
:
Подставим в выражение (2) с учетом (4):
Из второго равенства выразим B:
Подставим найденную константу в первое
равенство:
Найденные константы:
В выражении для напряжений:
(5)
ввели обозначения 
и
,
где 
,
.
Подставляем константы А и В, получаем конечные
выражения:
Обозначим 
,
получим:
где 
- характерное
время процесса (об этом будем говорить ниже).
Построим графики зависимостей 
и
от
при
,
(рис.
4):
Рис. 4. Зависимость модулей от lg
ω: 1 - модуль сохранения 
,
2 - модуль потерь 
в модели Максвелла
Модуль потерь 
имеет
точку перегиба при 
, а кривая 
имеет
максимум при 
.
Тогда в стандартной вязкоупругой модели имеют
место равенство (5) и выражение:
,
С учетом предыдущих равенств напряжение равно:
,
Выражение 
обозначим
,
а обозначим
как .
В результате получим выражение для напряжения:
Построим графики зависимостей и
от
при
,
(рис.
5):
Рис. 5. Зависимость модулей от lg ω:
1 - модуль
сохранения Е', 2 - модуль потерь Е'' в стандартной вязкоупругой модели
Характерное время в модели стандартного
вязкоупругого тела. Релаксация напряжений
Для демонстрации релаксации напряжений
используют образец материала, деформированный на фиксированную длину 
.
Образец сжимают или растягивают, создавая соответственно напряжение сжатия или
растяжения, с возможностью измерения напряжения, и оставляют в зафиксированном
виде на длительное время. Постепенная деформация образца приводит к снижению
созданного напряжения во времени по экспоненциальному закону. Время, за которое
напряжение снизится в е раз, называют «временем релаксации напряжений»,
присущим данному материалу.
Таким образом, релаксация напряжений - падение
напряжения со временем в напряженной детали.
Скорость изменения общей деформации по формуле
(2):
Релаксационные явления по этой модели
проявляются как в изменении напряжения, так и в деформации со временем. Если
растянуть модель и затем зафиксировать достигнутую деформацию, то скорость
дальнейшего изменения деформации обращается в нуль, и мы приходим к
дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными
(8)
(9)
Интегрируя в пределах от 0 до t и от 
до
,
получим
(10)
Следовательно, достигнутое в системе напряжение 
релаксирует
от своего первоначального значения экспоненциально
как функция времени t. Приняв 
, получим
(11)
где - время релаксации
системы (характерное время), т.е. время, в течение которого напряжение в
системе уменьшается в e раз. Отсюда видно, что согласно модели Максвелла в
полимерном теле, подвергнутом быстрой деформации, напряжение убывает или
релаксирует по экспоненциальному закону (рис. 6).
Рис. 6. Релаксация напряжения
Математическая модель с несколькими упругими и
вязкими элементами. Как в ней рассчитываются модули сохранения и потерь
Стандартная вязкоупругая модель не всегда
описывает, что происходит в действительности, поэтому модели усложняют.
Далее будем рассматривать более сложную вязкоупругую
модель (рис. 7):
Рис. 7. Вязкоупругая модель с тремя характерными
временами
где модули упругости пружин соответственно равны
,
а коэффициенты вязкости - 
. Данная модель
отличается от стандартной наличием в ней трех характерных времен (три
вязкоупругих элемента).
В этом случае получим систему из 12 уравнений с
12 неизвестными:
Отсюда находим:
где 
,
.
Выразим 
Соответственно: 
.
Из равенств 
с
учетом получившихся выражений находим:
где
Для данной модели график зависимости и
от
при
,
выглядит
так (рис. 8):
Рис. 8. Зависимость модулей от lg ω:
1 - модуль
сохранения Е', 2 - модуль потерь Е'' в вязкоупругой модели с тремя характерными
временами
Возьмем значения коэффициентов вязкости,
различающиеся в сто раз.
Построим графики зависимостей модулей сохранения
и потерь от при ,
(рис.
9):
Рис. 9. Зависимость модулей от lg ω:
1 - модуль
сохранения Е', 2 - модуль потерь Е''
Далее рассмотрим модель, в которой модули
упругости различаются в два раза. Графики зависимостей модулей сохранения и
потерь от при 
,
имеют
вид (рис. 10):
Рис. 10. Зависимость модулей от lg ω:
1 - модуль
сохранения Е', 2 - модуль потерь Е''
, графики
зависимостей и от
имеют
вид (рис. 11):
Рис. 11. Зависимость модулей от lg ω:
1 - модуль
сохранения Е', 2 - модуль потерь Е''
Из графиков видно, что при одинаковых модулях
упругости и коэффициентах вязкости, различающихся в десять раз, можно увидеть,
что на интервале частот приблизительно от 0,5 до 50 для модуля сохранения
зависимость получается почти линейной, а для модуля потерь образуется
практически ровная площадка;
когда коэффициенты вязкости различаются в десять
раз, а модули упругости - в два раза, получается асимметричная зависимость для
модуля потерь. При убывании значений модулей упругости график (рис. 10)
получается схожим с графиком для стандартной вязкоупругой модели (рис.5). При
этом возрастание зависимости для модуля потерь происходит быстрее, чем
убывание. А при возрастании модулей упругости зависимость для модуля потерь,
наоборот, медленно возрастает и быстро убывает;
при увеличении разницы между значениями
коэффициентов вязкости до ста раз четче просматриваются характерные времена. На
графике хорошо видны три пика.
Заключение
В данной работе была рассмотрена стандартная
вязкоупругая модель и модель с тремя характерными временами. Исследовано
влияние параметров модели на вязкоупругие свойства материала.