Дидактические принципы начального обучения математике
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1.
СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
.1
Предматематика как теоретическая основа начального обучения математики
1.2 Цели
начального обучения математике
.3 Содержание
курса математики в начальных классах
.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
.1 Метод как
многомерное явление
.2 Методы
обучения математике
2.3
Условия выбора метода обучения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Современная концепция начального образования школьников
ориентирована на получение новых знаний в сочетании со всесторонним развитием
личностной сферы ребенка. Все модели обучения имеют общую цель - развитие
личности учащегося, формирование у него желания и умения учиться: "Миссия
новой системы образования четко соотносится и с важнейшими социальными
эффектами системы образования - это обеспечение социальной и духовной
консолидации нации, конкурентоспособности и безопасности личности, общества и
государства".
Цели этой работы можно изложить в идее следующих вопросов:
Как донести учебный материал до сознания учащихся? Как вызвать их активную
познавательную деятельность, чтобы дети могли овладеть знаниями, умениями и
навыками? Как вызвать у учащихся положительное отношение к учению и помочь им
превратить знания в убеждения? Как обучить всех: и тех, кто учится с интересом,
и тех, у кого его нет? Эти вопросы учителю приходится решать каждый день при
подготовке урока. Все они так или иначе связаны с поисками наиболее
продуктивных методов обучения. Что же принято понимать под методами обучения?
Методы обучения - это способы совместной деятельности учителя и учащихся,
направленные на решение задач обучения.
Текстовые задачи, включенные в начальный курс математики,
классифицируются по различным основаниям. Это позволяет с методической точки
зрения так построить учебно-воспитательный процесс, что практически любой
младший школьник имеет возможность усвоить связи, правила и законы, лежащие в
основе выбора действий для решения задачи.
Математические методы активно используются в экономике, информатике, маркетинге
и т. Д. Поэтому необходимо решать важнейшую методическую проблему сближения
предмета "Математика" с методами, применяемыми на практике. На уроках
математики необходимо на доступном для учеников языке обеспечивать
действительные взаимосвязи содержания математики с окружающим миром,
рекомендовать применение отдельных тем в системных науках, в профессиональной
деятельности. Важно формировать у учащихся прочные и осознанные математические
навыки - как для дальнейшего изучения математики, так и для решения прикладных
задач. Чтобы активизировать их деятельность, необходимо показать связь предмета
с их будущей специальностью. Для этого можно использовать следующие приемы:
включение в урок материалов из другого предмета;
применение наглядных пособий;
постановка вопросов с использованием содержания смежных предметов.
Вооружение учащихся способами познавательной деятельности -
важнейшая тенденция повышения развивающей функции учебного метода. Создание
обстановки сотрудничества, коллективного сопереживания, отношений взаимопомощи,
ответственности за самостоятельное решение задач - в этом направлении ведутся
поиски дальнейшего совершенствования методов обучения. Метод обучения следует
отличать от средства. Метод тесно связан с деятельностью и вне деятельности не
существует. В качестве средств обучения используются учебники, книги,
справочники, пособия, технические средства, словари, наглядные пособия. Они
могут использоваться для различных целей. Будучи включены в какую-либо
деятельность, они дают возможность осуществлять цель деятельности.
Использование различных средств в процессе обучения меняет сам метод
деятельности. Использование разнообразных средств приводит к изменению
структуры учебного метода. Так, включение в рассказ учителя кинофрагментов
меняет характер деятельности учителя и учащихся. Отдельные детали метода, его
составные элементы называют методическими приемами. Если с помощью метода
происходит овладение основным содержанием учебного материала, те или иные
методические приемы обеспечивают углубленное усвоение отдельных вопросов
предмета или темы. В практике можно встретить большое количество разнообразных
методических приемов. Некоторые из них являются общими для многих предметов,
другие применимы только при обучении данному предмету. Учитель выбирает такие
методы и приемы работы, которые могли бы обеспечить детям необходимые знания,
будили их мыслительную активность, развивали и поддерживали у них интерес к
учению.
.
СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
1.1 Предматематика как теоретическая основа начального
обучения математики
Традиционно в качестве основ обучения принимали
соответствующие математические теории в завершенном виде. Однако завершенная,
дедуктивно построенная математическая теория не может служить теоретической
основой начального обучения математике. Игнорирование этого факта может
привести к недооценке особенностей психологии детей 6-9 лет.
Термин "математика" в узком смысле обозначает уже
построенные математические теории. Математика в широком смысле охватывает и ту
стадию развития математического знания, которая предшествует построенной
математической теории. Эту стадию развития математики называют
"предматематикой". Такое название она получила недавно (около 20 лет
назад). Содержанием предматематики является теория, раскрывающая связь между
свойствами реальных объектов, отношений и математическими понятиями.
Дедуктивно построенная математическая теория состоит из
исходных (неопределяемых) понятий, исходных, принимаемых за истинные без
доказательства предложений (аксиом), определяемых понятий и определений,
доказываемых предложений (теорем) и доказательств, а также логических правил
вывода. Предматематика также состоит из понятий, предложений (истинных
высказываний об этих понятиях) и доказательств. Однако они существенно
отличаются от математических.
Предматематические понятия не разделяются, как в строго
построенной математической теории, на исходные и определяемые. На
предматематическом уровне прообразом понятий являются непосредственно реальные
объекты, ситуации. Существенное отличие предматематики от математики состоит в
том, что в ней применяются лишь одноступенчатая абстракция, в математики же -
многоступенчатая.
Особенность предматематических доказательств состоит в том,
что заключение об истинности может основываться на частных случаях (с
математической точки зрения это неприемлемо). Изложение дедуктивной
математической теории носит формальный характер, изложение предматематики -
содержательный. Дедукция - наиболее важная черта математики - в пердматематики
играет лишь второстепенную роль, носит сугубо локальный характер. В начальном
обучении математике встречаются лишь отдельные "дедуктивные
островки".
Проиллюстрируем сказанное на простом примере. Рассмотрим одно
и то же рассуждение с математической и предматематической точек зрения.
Приведем сначала строгое математическое доказательство
равенства 5+8=13:
На предматематическом уровне оно может выглядеть так:
+8=5+5+3=10+3=13
Различие между приведенными доказательствами состоит не только в том, что
в последнем нет скобок. Даже если бы здесь использовались скобки, это не
означало бы применения некоторого закона. То, что в математике формулируется в
виде закона, в данном случае закона ассоциативности сложения, на предматематическом
уровне считается интуитивно истинным. Это свойство, обоснованное с помощью
интуиции, выделяется в дальнейшем обучении в соответствующий закон.
Предматематика - это не "детская математика". На
предматематическом уровне изучаются некоторые понятия и темы школьного курса
математики и в средних, и в старших классах. Этот уровень часто является
достаточным и для научно - популярной литературы. Что же касается обучения
математике в начальных классах школы, то оно осуществляется исключительно на
предматематическом уровне. Поэтому правомерно говорить о том, что в начальной
школе учащиеся получают "предматематическую" подготовку. Она
позволяет им в последующих классах перейти к изучению систематических курсов
алгебры, геометрии и начала анализа.
Концепция предматематики хорошо согласуется с реальным процессом обучения
в начальных классах, поэтому предматематику естественно рассматривать как
основу такого обучения. На этой основу в обучении легче реализовать
дидактические принципы (научности наглядности и др.), использовать арсенал
средств и методов обучения математике. Необходимо, однако, отметить, что
предматематика до сих пор в полном объеме не разработана.
1.2 Цели начального обучения математике
Цели обучения математике в начальных классах отвечают общим целям
обучения в средней школе в соответствии с требованиями реформы. Средняя
общеобразовательная школа призвана готовить высокообразованных, всесторонне
развитых, активных членов социалистического общества, способных к творческому
труду. Большинство профессий требует определенной математической подготовки. В
современных условиях математические знания, владение характерными для
математики методами и специфическим языком - обязательный элемент общей
культуры. Изучение математики способствует формированию научного мировоззрения
учащихся, воспитанию трудолюбия, честности, дисциплинированности и других
моральных качеств. Навыки мыслительной деятельности, приобретаемые учащимися в
процессе правильно организованного обучения математике, готовность к упорному
труду, преодолению трудностей будут нужны им в будущем независимо от того,
какую профессию изберет каждый из них после окончания школы.
Таким образом, из сказанного видно, что обучение математике в школе, в
том числе в начальных классах, преследует достижение четырех взаимосвязанных
целей: общеобразовательных - овладение учащимися определенным объемом
математических знаний, умений и навыков в соответствии с программой; воспитательных
- формирование марксистко-ленинского мировоззрения, важнейших моральных
качеств, готовности к труду; развивающих - развитие логических структур
и математического стиля мышления; практических - формирование умения
применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении
практических задач.
Изучение математики в 5-11 классах базируется на математической (а,
точнее предматематической) подготовке, полученной учащимися при обучении в
начальных классах.
Согласно Типовой программе по математике для 1-4 классов, школьники,
оканчивающие 4 класс, должны знать: таблицу сложения (однозначных чисел) и
соответствующие случаи вычитания; таблицу умножения однозначных и
соответствующие случаи деления; названия и обозначения единиц важнейших величин
- длины (км, м, дм, см, мм), массы (кг, г), площади(м2, дм2,
см2), скорости (км/ч, м/с), времени(ч, мин, с).
Школьники, оканчивающие 4 класс, должны уметь: читать, записывать и
сравнивать числа в пределах миллиона; выполнять несложные устные вычисления;
производить устные вычисления; производить письменные вычисления(сложение и
вычитание чисел в пределах миллиона, умножение двузначного и трехзначного чисел
на однозначное, двузначное и трехзначное числа, деление трех-, четырех-,
пятизначного числа на однозначное и двузначное числа); называть компоненты
арифметических действий и читать простейшие числовые выражения (сумму,
разность, произведение и частное); вычислять значение числового выражения (в
том числе выражения со скобками), содержащего 3-4 арифметических действия, с
помощью правил порядка выполнения действия и свойств арифметических действий;
решать простые текстовые арифметические задачи, раскрывающие смысл каждого
действия и смысл отношений "меньше на", "больше на",
"меньше в", "больше в"; решать составные задачи и задачи,
требующие знания зависимости между важнейшими величинами (скоростью, временем и
расстоянием при равномерном прямолинейном движении, ценой, количеством и
стоимостью товара, площадью прямоугольника и длинами его смежных сторон и др.);
распознавать и изображать (с помощью циркуля, угольника и линейки) простейшие
геометрические фигуры (точку, отрезок, ломаную, окружность, круг,
прямоугольник); измерять длину отрезка, длину ломаной; строить отрезок данной
длины; вычислять периметр и площадь прямоугольника.
Перечисленными знаниями и умениями должны овладеть все учащиеся 4 класса.
Исходя из этого заданного результата обучения, знания и умения
"распределяются" по классам, годам обучения в соответствии с
программой. Многие из перечисленных знаний и умений формируются постепенно в
течение четырех лет обучения.
Например, умение читать, записывать и сравнивать числа в пределах
миллиона ученик приобретает начиная с первого класса.
Параллельно с этим учащиеся овладевают умениями устных и письменных
вычислений, решения арифметических задач. В процессе начального обучения
математике у учащихся формируется также некоторые черты математического и
логического стиля мышления.
1.3 Содержание курса математики в начальных классах
Общие положения:
Содержание начального курса математики определяется целями обучения. С
этой точки зрения рассмотрим его важнейшие элементы. Курс математики для
младших школьников должен обеспечивать преемственность в изучении математики в
средних и старших классах. Это может достигаться по следующим направлениям.
. Некоторые математические знания и умения (с учетом особенностей
механизма запоминания, характерных для детей младшего школьного возраста) могут
быть качественно усвоены именно в начальных классах. Здесь в первую очередь
имеются в виду табличные случаи сложения (вычитания), умножения (деления), а
так же умения, в основе которых лежат несложные алгоритмы.
Одним из важнейших классов алгоритмизируемых умений являются устные и
письменные вычисления. Отработанные в младшем школьном возрасте навыки
вычислений на множестве натуральных чисел позволяют учащимся в дальнейшем достаточно
легко овладеть более сложными алгоритмами вычислений на множестве рациональных
и действительных чисел. Поэтому приемы устных и письменных вычислений
(сложение, вычитание, умножение, деление) являются естественными элементами
программы по мА тематике для начальных классов.
. С некоторыми базовыми математическими понятиями средней школы
учащихся начальных классов можно легко ознакомить на пропедевтическом уровне,
используя житейский опыт учащихся, их наглядно-образные представления.
Так, манипулирование множествами хорошо известных учащимся предметов
служит основой для формирования у них понятия числа, арифметической операции.
Наблюдения за окружающим миром дают возможность выделить наиболее часто
встречающиеся в действительности формы. Таким образом, целый ряд геометрических
фигур становится предметом изучения в начальной школе.
. Важным условием полноценного обучения математике является
формирование у учащихся навыков математической деятельности.
В методике под термином "математическая деятельность" понимают
деятельность, сходную по своей сути с математическим познанием. Выделяют три
вида математической деятельности, выступающих в органическом единстве:
математическую организацию эмпирического материала, логическую организацию
математического материала, применение математических теорий.
В начальных классах возможно целенаправленное формирование у учащихся
навыков математической организации эмпирического материала. Однако при этом
учебный материал должен удовлетворять определенным условиям.
Существуют два подхода к формированию математических понятий:
генетический и аксиоматический. Аксиоматический подход предполагает, в
частности, высокий уровень владения учащимися языком, на котором ведется
преподавание. Естественно, что языковая культура младших школьников только
формируется, поэтому аксиоматический подход в начальных классах нереален.
Генетический подход заключается в том, что житейские, эмпирические
понятия и представления учащихся "переводятся" на язык математики и
закрепляются в форме математических понятий. Такой процесс называется
математизацией эмпирического материала (математизацией) и соответствует
возможностям младших школьников.
В практике обучения организации деятельности учащихся по математизации и
управление ею осуществляются учителем. Однако при рациональной методике
учащиеся в состоянии не только усваивать результаты математизации, но и
накапливать опыт ее осуществления. Понятно, что такая методика требует, чтобы
вопросы, включенные в программу по математике, имели многочисленные (исходя из
жизненного опыта детей) интерпретации в реальном мре. Исходя из этих позиций, в
программу для начальной школы может быть включен весьма необычный с точки
зрения традиций этой школы математический материал.
. Программа по математике должна предусматривать также овладение
учащимися математическим языком - средством математизации. Математический язык
учащихся начальных классов с синтаксической точки зрения не должен отличаться
от языка старшеклассников. Например, предложение *+**=3 ("к одному яблоку
прибавить два яблока…") не является математическим ни для математика, ни
для старшеклассника, ни для ученика 1 класса. Что же касается смыслового
значения математических терминов, знаков, используемых в младших классах, то
оно, конечно, беднее соответствующих языковых средств учащихся старших классов,
однако не противоречит ему.
Остановимся на более характерных особенностях действующей программы по
математике для начальной школы. В содержании программы можно выделить
арифметический, геометрический и алгебраический материал, а также материал,
связанный с изучением величин. Такое разделение условно, поскольку в младших
классах в отличие от средних и старших ни арифметика, ни геометрия, ни алгебра
не являются систематическими курсами. Соответствующие понятия не образуют
строгой логической системы.
Арифметический материал.
Этот материал занимает в программе центральное место. Целью его изучения
является знакомство учащихся с понятием числа - целыми неотрицательными числами
обыкновенными дробями. В средних и старших классах это важнейшее понятие
последовательно расширяется.
Из курса математики для факультета педагогики и методики начального
обучения (в дальнейшем для краткости будем называть его вузовским курсом
математики) известно, что существует два подхода к определению целых
неотрицательных чисел - количественный и аксиоматический. В начальных классах
реален первый из названных. Понятие натурального числа вводится через
рассмотрение свойств конечных множеств. Множества служат основой для
формирования у учащихся представлений об упорядоченности целых неотрицательных
чисел, арифметических операциях.
Важное место в курсе математики начальных классов занимают законы
арифметических операций: коммутативности и ассоциативности сложения и
умножения, дистрибутивности умножения относительно сложения.
Арифметический материал изучается концентрически. Поскольку он составляет
основу программы по математике, то элементы геометрии и алгебры распределены по
соответствующим концентрам. Необходимость знакомства учащихся с понятием числа
по концентрам выявляется при логико- дидактическом анализе арифметического
материала. В нем можно выделить два основных элемента - нумерацию и
арифметические операции.
Рассмотрим сначала логическую последовательность изучения нумерации целых
неотрицательных чисел. При этом будем исходить из того, что нумерация изучается
в десятичной позиционной системе счисления.
. Нумерация чисел первого десятка (0, 1,…, 9). Изучается
"алфавит" десятичной системы счисления - написание и название цифр.
. Нумерация чисел второго десятка (11, 12, …, 19).Названия этих
чисел образуются по особому правилу: 11 - "один - на - дцать", 12 -
"две - на - дцать", …, 19 - "девять - на - дцать". При
изучении нумерации используются понятие "десяток" и знания,
полученные в концентре 1.
. Нумерация круглых десятков (20, 30, …, 90). Названия этих чисел
имеют сходство: "два - дцать", "три - дцать" (вместе с тем
"сорок", "девяносто"). Для их нумерации используются
понятие "десяток" и знания, полученные в концентре 1.
Порядок изучения концентров 1, 3, 4 должен строго соблюдаться - сначала
1, затем 3, затем 4. Изучать концентры 2 и 3 можно в разной последовательности.
. Нумерация круглых сотен (100, 200, …, 900). Названия этих чисел
имеют сходство: "сто", "две - сти", "три - ста",
…, "девять - сот". Для изучения нумерации этих чисел используются
понятие "сотня" (разряд сотен) и знания, полученные в концентре 1.
. Нумерация остальных трехзначных чисел (101, 102, …, 999). Здесь
используются знания полученные в концентрах 1 - 5.
. Нумерация чисел класса тысяч (1000, 2000, …, 999 999). Вводятся
понятия "класс" и "тысяча". Обобщаются знания о разрядах.
Используются знания, полученные во всех предыдущих концентрах.
. Нумерация чисел свыше 999 999.Сообщаются названия новых классов
(миллион, миллиард, триллион и т.д.). Устная и письменная нумерация этих чисел
производится по уже известным правилам.
Итак, логика изучения нумерации целых неотрицательных чисел определена.
Однако учащиеся должны усваивать нумерацию в органической связи с изучением
арифметических операций.
Поэтому с методической точки зрения концентры 1 - 8 далеко не равноценны.
В самом деле, при изучение нумерации чисел в пределах десяти, например,
учащиеся знакомятся с операцией сложения на множестве чисел первого десятка.
Процесс усвоения табличного сложения (в пределах 10) весьма сложный и
длительный. Однако знание учащимися таблицы сложения существенно облегчается
изучение операции сложения в концентрах 3 и 5: эти суммы - 20 + 30, 200 + 300
рассматриваются как 2 дес. + 3 дес., 2 сот. + 3 сот., т.е. как суммы
однозначных чисел. Поэтому на изучение нумерации круглых десятков и сотен
отводится считанные уроки.
Геометрический материал
Пространственные представления формируются у детей в раннем возрасте,
задолго до школы, что позволяет начать уже с первого класса математическое описание
некоторых основных геометрических фигур. Слово "основные" имеет здесь
совсем не то смысл, который вкладывается в него в старших классах при изучении
систематического курса геометрии. Там основными называют неопределяемые
понятия, которые вместе с аксиомами составляют базу аксиоматической теорию
Употребляя выражение "основные понятия" по отношению к начальному
курсу математики, имеют в виду, что соответствующие геометрические фигуры
широко и ярко представлены в окружающем мире. К ним относятся: прямая, точка,
отрезок, угол, многоугольник (прямоугольник, квадрат), окружность и круг.
Отметим, что к числу таких фигур было бы естественно отнести и прямоугольный
параллелепипед, куб (эти фигура до 60 - х годов изучались в начальной школе).
Содержание и структура программы предполагают изучение геометрических понятий в
тесной связи с арифметическим материалом, а также с изучением величин.
Последнее достигается за счет того, что при знакомстве с геометрическими
фигурами большое место отводится измерениям. Кроме того, программой не
предусмотрено раскрытие логических связей между геометрическими понятиями,
поэтому от учащихся не требуется знания определений. Содержание понятий
раскрывается через построение соответствующих геометрических фигур,
эмпирическое исследование их моделей.
Тот факт, что ученик начальных классов усвоил то или иное геометрическое
понятие, означает, что он, во - первых, может находить соответствующую
геометрическую фигуру среди других фигур, вычленять ее из более сложных фигур,
указывать реальные объекты, имеющие соответствующую форму, во - вторых, умеет
строить эту фигуру, в третьих, может определять некоторые численные
характеристики: количество углов, сторон, вершин, длину, радиус, периметр,
площадь.
Важное место при изучении геометрических фигур играет знакомство учащихся
с чертежными и измерительными инструментами: линейкой, угольником, циркулем,
рулеткой, палеткой.
Алгебраический материал
Основными алгебраическими понятиями, включенными в программу, являются
переменная, выражение с переменной, уравнение. Пропедевтическое значение этих
понятий невелико. При изучение систематического курса алгебры алгебраические
понятия вводятся на качественно другой основе. В курс начальной школы
включаются только те элементы алгебры и на таком уровне, который необходим для
качественного усвоения учащихся арифметики целых неотрицательных чисел.
Уже при изучении чисел первого десятка у учащихся должно быть выработано
представление об отношении порядка на множестве натуральных чисел. В связи с
этим в систему упражнений включаются, например, такие задания: "назови
числа, которые можно подставить в "окошечко": *>4, 7<* и т.
д." Позже, когда у учащихся формируются знания о связи между компонентами
и результатами арифметических действий , могут использоваться более сложные
упражнения: *+4>7, 7-*<3, *Х3>8, 12:*>2 и т. д. По форме эти
задания являются неравенствами с переменной, однако говорить об обучении
учащихся начальных классов решению неравенства, очевидно, нельзя.
Для того чтобы учащиеся запомнили таблицы сложения и умножения,
используются следующие упражнения: *=3=7, 5-*=2, 6+*=8, *х3=24, 5х*=45, 64 :
*=8, * : 7=6 и т. д. В последующем "окошки2 заменяются буквами латинского
алфавита. Уравнения учащиеся решают методом подбора, используя знания о связи
между компонентами и результатами арифметических операций.
Буквенные обозначения широко применяются при отработке у школьников
вычислительных навыков: ими обозначают термины - "слагаемое",
"сумма", "разность", "множитель" и т. д. Примером
может служить упражнение: найти неизвестное число:
|
а
|
5
|
|
7
|
|
9
|
|
в
|
4
|
5
|
|
7
|
|
|
а+в
|
|
9
|
9
|
9
|
9
|
Особенности изучения математических понятий
Особенности развития мышления и речи учащихся начальных классов
определяют требования к методике введения начальных математических понятий.
Важнейшим из них является формирование математических понятий через
рассмотрение реальных, житейских ситуаций, хорошо знакомых детям из
повседневной жизни. Иначе говоря, каждому математическому понятию должна
соответствовать система целесообразных текстовых содержательных задач. Эта
особенность находит свое отражение в программе по математике: интенсивное
обучение учащихся решению содержательных задач предусмотрено с первых уроков
математики. Программой определена последовательность знакомства учащихся с
основными типами задач.
Например, с терминами "задача", "условие задачи",
"вопрос задачи", "решение задачи" учащиеся знакомятся при
изучении операций сложения и вычитания на множестве чисел первого десятка. Это
дает возможность решить с учащимися целую систему задач. В частности, это могут
быть задачи, в которых рассматриваются множества реальных объектов: стая птиц,
группа мальчиков, флотилия кораблей, яблоки, лежащие в корзинке. Над каждым из
этих множеств производится соответствующая операция: прилетает еще одна птица,
прибегает еще один мальчик, подплывает еще один корабль, кладут еще одно
яблоко.
В каждой задаче спрашивается: "сколько стало всего?" Анализируя
условие и вопрос этих задач, учащиеся выполняют математизацию реальных
ситуаций: "прилететь", "прибежать", "приплыть",
"положить еще" означает, что стало больше, т. е. прибавили.
Широкое включение содержательных задач в программу по математике
преследует также цель обогащения словарного запаса учащихся, пополнение их
представлений об окружающем мире. Так, понятие "иметь меньшую длину"
с помощью задач переводится на обыденный язык по - разному: "уже",
"короче", "ниже", "тоньше", "мельче".
Важную роль играют задачи и в развитии логического мышления учащихся.
Целенаправленное обучение аналитико-синтетическому методу решения задач ведет к
формированию у них логических операций анализа и синтеза. Школьники учатся
рассуждать, доказывать, делать выводы.
2. ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Общие положения
Дидактические принципы - исходные положения теории обучения, выражающие
основные закономерности процесса обучения. Они определяются целями обучения и
воспитания, потребностями общественного развития, особенностями учебной
деятельности учащихся различных возрастов.
Дидактические принципы (принципы обучения) взаимно связаны и образуют
систему. В педагогической литературе встречаются различные варианты системы
дидактических принципов, различающейся укрупнением или объединением отдельных
принципов или, наоборот, их детализацией, разделением одного принципа на
несколько.
Рассмотрим систему, в основе которой - семь принципов: воспитывающее
обучение, научность, сознательность усвоения, активность учащихся, наглядность
обучения, прочность знаний, индивидуальный подход. Эти принципы детально
изучаются в курсе педагогики, поэтому ограничимся лишь кратким рассмотрением
сущности каждого из принципов, обращая главное внимание на особенности
реализации их в начальном обучении математике.
Принцип воспитывающего обучения
Всякое обучение должно быть воспитывающим, т. е. наряду с определенными
обучающими функциями должны осуществляться и воспитательные функции. Отсюда,
однако, не следует, что все воспитание сводится к обучению. Наоборот,
по-видимому, правильнее будет считать, что обучение является составной частью системы
воспитания.
Воспитание в процессе обучения вообще, и математике в частности, имеет
своей основной целью формирование у школьника мировоззрения и морали. Как
решается эта задача при начальном обучении математике? На этом этапе обучения
необходимо прежде всего показать, что всем изучаемым понятиям и фактам
соответствуют реальные объекты, свойства и отношения между ними. Именно в
начальном обучении иллюстрируется на многочисленных примерах известное
утверждение Ф. Энгельса о том, что натуральные числа и геометрические фигуры
взяты из реального мира, а не возникли из чистого мышления. Мы неоднократно
обращаемся к реальным прообразам количественных отношений и пространственных
форм. т. е. начинаем по существу формирование правильных представлений о
предмете математики, о том, что математика, как и другие науки, изучает
окружающий нас реальный мир.
Мораль - это совокупность норм и правил поведения людей во всех сферах
общественной жизни. В математике существует много правил, которые нужно строго
выполнять. Воспитание строгости соблюдения разного рода математических правил
(алгоритмов) способствует и воспитанию правил поведения в обществе, соблюдению
норм, регулирующих отношения между людьми.
На уроках математики учитель имеет большие возможности для воспитания у
учащихся честности, трудолюбия, стремления к преодолению трудностей и т. д.
Важнейшим средством воспитания этих качеств являются арифметические задачи,
текст которых выполняет воспитательную функцию. Воспитывающий характер обучения
в значительной мере зависит также от методов преподавания.
Научность в обучении
В соответствии с этим принципом учебный материал должен излагаться в
последовательности, сохраняющей связи между понятиями, темами, разделами в
рамках отдельного предмета, а также межпредметные связи. Таким образом, принцип
научности в обучении включает систематичность и последовательность (иногда в
педагогической литературе этот принцип называют принципом научности,
систематичности и последовательности в обучении).
Научность в обучении математике не означает, что в учебную программу
включается система математических знаний в том виде, в котором она существует в
науке математике. Применительно к начальному обучению математике принцип
научности следует понимать как отражение в нем определенных математических
идей, позволяющее осуществить их раннюю пропедевтику. Такими фундаментальными
математическими идеями являются идеи числа, функциональной зависимости,
геометрической фигуры, измерения величин, алгоритма.
В начальных классах формируется представление о натуральном ряде как об
упорядоченном, дискретном множестве с первым и без последнего элемента. Такие
используемые в практике обучения выражения, как "соседние числа",
"сосед справа", "сосед слева", соответствуют отношениям,
рассматриваемым в науке математике, "непосредственно следует за",
"непосредственно предшествует".
Свойства натурального ряда - "для каждого числа имеется единственный
сосед справа", "для каждого числа, кроме 1, имеется единственный
сосед слева", "сосед справа получается прибавлением 1",
"сосед слева получается вычитанием 1" - отражают идеи порядковой
теории натурального ряда и значения функции прибавления 1 для формирования
этого ряда.
В первом классе смысл операции сложения раскрывается через объединение
множеств конкретных предметов. При этом неявно используется известное положение
количественной теории натуральных чисел:
"Открываемая"
младшими школьниками зависимость между результатами и компонентами арифметических
операций служит пропедевтикой идеи функциональной зависимости.
В
начальных классах важно сформировать представление о замкнутости множества
натуральных чисел относительно отдельных операций: для любых двух натуральных
чисел можно найти их сумму, их произведение, но не для любых двух натуральных
чисел можно найти натуральное число, равное их разности или их частному.
Ознакомление
учащихся с процедурой измерения отрезков служит подготовкой к усвоению ими в
дальнейшем более общих вопросов теории измерения величин.
Сознательность усвоения
Сознательность
усвоения понимается как такое овладение учащимися знаниями, которое включает
глубокое понимание усвоенного и умение применять его в новых конкретных
ситуациях.
Трудности,
связанные с реализацией принципа сознательности, обусловлены отчасти тем, что
механизм понимания недостаточно изучен. Однако можно все же утверждать, что
если ученик понял, какой - то материал, то он должен уметь отвечать на такие
вопросы, решать какие - то задачи (важно правильно подобрать соответствующие
вопросы и задачи). Если же ученик не справляется с этими вопросами и задачами,
значит, он не понял данный материал.
В
процессе обучения учитель должен постоянно получать информацию о качестве
усвоения учащимися изучаемого материала. Это особенно важно при начальном
обучении математике, так как непонимание последующего материала. Чтобы
выяснить, заучен материал или же понят , нужна педагогически целесообразная
система вопросов и задач. Считают, что вопрос "педагогически целесообразно"
поставлен, если он вызывает активную мыслительную деятельность учащегося и не
допускает ответа заученными словами из учебника.
Сознательное
усвоение знаний исключает догматическое преподавание, результатом которого
являются "формальные знания". Формализм чаще всего встречается при
обучении математики, в частности широким использованием в ней искусственного
символического языка. Учащиеся иногда ориентируются на запоминание внешнего
символического выражения содержательного математического факта. Формальные
знания бесполезны, так как их невозможно применять на практике. Так, ученик
может знать таблицы сложения и умножения чисел, но не понимать, в каких задачах
применяются действия сложения и умножения чисел от конкретных, реальных
интерпретаций этих записей в процессе их изучения.
Активность учащихся
Сознательность
усвоения предполагает активность учащихся в процессе обучения. Без активной
мыслительной деятельности не может быть достигнуто сознательного усвоения
знаний. Различают активность в широком и узком смысле. Активность в широком
смысле при обучении математике существенно не отличается от активности учащихся
в процессе обучения их другим предметам, т. е. она не затрагивает специфику
учебного предмета. Активность же в узком смысле можно понимать как проявление специфической
мыслительной деятельности, характерной для ученого - математика и называемой
потому "математической" деятельностью.
На
первый взгляд сама постановка проблемы обучения математической деятельности
может показаться неправомерной. Действительно, способен ли ученик младших
классов школы к математической деятельности? Очевидно, что к математической
деятельности на высоком логическом уровне не способен ни ученик 3-го, ни ученик
10-го класса. Но к какой - то математической деятельности, адекватной уровню
мышления, способен и первоклассник. Все зависит от того, что мы понимаем под
"математической деятельностью".
Когда
первоклассник (или дошкольник) образует пары элементов из двух множеств и
приходит к выводу, что в одном множестве больше предметов, чем в другом, он уже
осуществляет некоторую, хотя и весьма примитивную, математическую деятельность.
Усваивая понятие арифметической операции, ученик переходит от действия над
множествами конкретных предметов к операциям над соответствующими
числами.(числами элементов этих множеств), отвлекаясь при этом от природы
предметов. Это тоже математическая деятельность, но на более высоком уровне.
Открывая законы действий над числами, отвлекаясь при этом от конкретных чисел,
заменяя их буквами (или пустыми окошками различной формы), он осуществляет
математическую деятельность на еще более высоком уровне.
Обучение
математике может и должно строиться так, чтобы начиная с первого класса ученик
последовательно переходил от одного уровня математической деятельности к
другому, более высокому.
Известный
математик-педагог Д. Пойа так формулирует принцип активного учения: лучший
способ изучить что-нибудь - это открыть самому. Хотя ученик третьего класса
"открывает", то, что уже давно открыто, он мыслит при этом как
первооткрыватель. Важная задача методики преподавания - стимулировать открытия
учащихся.
Наглядность обучения
Наглядное обучение, по словам К. Д. Ушинского, - такое обучение, которое
строится не на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах,
непосредственно воспринятых ребенком. Наглядность очень важна при начальном
обучении математике в связи с особенностью конкретно-образного мышления младших
школьников. В средних и старших классах широко используется символическая
деятельность (чертежи, графики, графы, схемы, таблицы и др.). При начальном же
обучении математике применяются все виды наглядности: натуральная,
символическая и особенно изобразительная. Например, приступая к изучению числа
и цифры 5, показывают различные картинки, на каждой из которых изображено
множество каких - либо предметов, причем общим для всех этих множеств является
лишь то, что каждое состоит из пяти элементов (карандашей, птиц, рыб,
мальчиков, автомашин и т. д.). Широкое использование изобразительной
наглядности связано с тем, что на начальном этапе обучения математике
математические понятия абстрагируются от их реальных прообразов. Используется
также символическая наглядность, сначала в сочетании с изобразительной. Так,
например, желая показать, что девочек на одной картинке столько же, сколько
мячиков, изображенных на другой картинке, проводят стрелки от каждой девочки к
одному из мячиков так, чтобы никакие две стрелки не оканчивались у одного
мячика. Конечно, эти стрелки можно истолковать, как обозначения выбора мячика
девочкой. При формировании представлений об отношениях "меньше",
"больше" рассматриваются случаи, когда всем девочкам не хватает
мячиков ("Леночка плачет, ей не достался мячик") и когда остаются
лишние мячики. От этой изобразительно-символической наглядности до чисто символической
наглядности один шаг. Можно и девочек и мячик обозначать какими-нибудь
фигурами, например треугольниками, кружочками или просто точками.
Часто символическая запись, например 5 х 3=15, может иллюстрироваться с
помощью геометрической модели, например прямоугольника, изображенного на
бумаге, длина которого 5, а ширина 3 клеточки. В таком случае легко определить
произведение - число клеточек, содержащихся в изображенном прямоугольнике,
легко "доказать" свойство коммутативности (переместительности)
умножения, сосчитав число клеточек по рядам и столбцам (слово
"доказать" взято в кавычки, так как это предматематическое
доказательство на частном случае, модели).
Важную роль играет наглядность при формировании математических понятий.
Обычно различают две ступени этого процесса: чувственную, состоящую в
формировании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся
в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.
Прочность знаний
Сохранение у учащихся в течение длительного времени систематизированных
знаний, умений и навыков возможно лишь при осознанном усвоении знаний. Сознательность
усвоения обеспечивается активной мыслительной деятельностью, поэтому
необходимым условием прочности знаний является приобретение их активным
способом. Однако наряду с сознательностью и активностью необходима также
соответствующая организация обучения, учитывающая особенности механизма
запоминания. Существуют следующие общедидактические положения: а) запоминание
находится в прямой зависимости от повторения; б) память имеет избирательный
характер - запоминается преимущественно то, что для нас существенно, интересно;
в) материал запоминается лучше, когда раскрываются возможности применения его
на практике; г) запоминанию способствует разделение изучаемого материала на
небольшие порции по смысловому содержанию с выделением опорных пунктов в форме
заголовков, вопросов, математических соотношений; д) эмоционально окрашенный
материал запоминается лучше.
Вопрос о том, что должен запомнить ученик из изучаемого материала,
гораздо сложнее, чем может показаться на первый взгляд. Совершенно очевидно,
что запомнить все невозможно да и не нужно, если имеется в виду весь школьный
курс математики. В курсе же математики начальных классов почти все подлежит
запоминанию: таблицы сложения и умножения однозначных чисел, алгоритмы
выполнения четырех арифметических действий над многозначными числами и т. д.
Повторение ранее изученного материала перед изучением новой темы является
одним из важнейших видов повторения при обучении математике вообще и в
начальных классах в частности. Оно способствует лучшему запоминанию как старого,
так и нового материала.
Индивидуальный подход в обучении
При обучении необходимо учитывать особенности мышления каждого ученика,
свойства его памяти, отдельных анализаторов (зрение, слух) и т. д. Даже у
учащихся одного возраста они различны, поэтому один и тот же материал одни
учащиеся усваивают быстрее, а другие медленнее. Все это и обуславливает
необходимость индивидуального подхода в обучении.
Если бы можно было как-то "измерить" скорость усвоения
математического материала различными учащимися, то разброс был бы намного
больше, чем по другим предметам. Ориентирование на "среднего" ученика
приводит к отрицательным последствиям. Слабые учащиеся, находящиеся ниже уровня
"среднего", становятся неуспевающими, а сильные начинают скучать на
уроках и теряют интерес к предмету. Поэтому в условиях классно-урочной системы,
когда в классе одновременно обучается 30-40 человек, необходимо осуществлять
принцип индивидуального подхода, использовать различные приемы, учитывающие
особенности усвоения материала различными учащимися (дифференцированные
задания, опережающие, выравнивающие занятия, дополнительные индивидуальные
занятия, кружковые занятия и т. д.). Одно из возможных решений проблемы
индивидуального подхода связано с использованием в обучении персональных компьютеров.
.1 Метод как многомерное явление
Поиск ответа на традиционный дидактический вопрос - как учить - выводит
нас на категорию методов обучения. Без методов невозможно достичь поставленной
цели, реализовать намеченное содержание, наполнить обучение познавательной
деятельностью. Метод - сердцевина учебного процесса, связывающее звено между
запроектированной целью и конечным результатом. Его роль в системе "цели -
содержание - методы - формы - средства обучения" является определяющей.
Метод обучения (от греч. metodos - буквально: путь к чему-либо) - это
упорядоченная деятельность педагога и учащихся, направленная на достижение
заданной цели обучения. Под методами обучения (дидактическими методами) часто
понимают совокупность путей, способов достижения целей, решение задач
образования. В педагогической литературе понятие метода иногда относят только к
деятельности педагога или к деятельности учащихся. В первом случае уместно
говорить о методах преподавания. А во втором - о методах учения. Если же речь идет
о совместной работе учителя и учащихся, то здесь, несомненно, проявляются
методы обучения. В структуре методов обучения выделяются приемы. Прием - это
элемент метода, его составная часть, разовое действие, отдельный шаг в
реализации метода или модификация метода в том случае, когда метод небольшой по
или простой по структуре.
Метод обучения - сложное, многомерное, многокачественное образование.
Если бы нам удалось построить его пространственную модель, то мы бы увидели
причудливый кристалл, сверкающий множеством граней и постоянно меняющий свою
окраску. Именно такую конфигурацию предлагают и высвечивают на экранах
современные ЭВМ при попытке наглядного моделирования метода. В методе обучения
находят отражение объективные закономерности, цели, содержание, принципы, формы
обучения. Диалектика связи метода с другими категориями дидактики
взаимообратная: будучи производным от целей, содержания, форм обучения, методы
в то же время оказывают обратное и очень сильное влияние на становление и
развитие этих категорий. Ни цели, ни содержание, ни формы работы не могут быть
введены без учета возможностей их практической реализации, именно такую
возможность обеспечивают методы. Они же задают темп развития дидактической
системы - обучение прогрессирует настолько быстро, насколько позволяют ему
двигаться вперед применяемые методы.
В структуре методов обучения выделяются прежде всего объективная и
субъективная части. Объективная часть метода обусловлена теми постоянными,
незыблемыми положениями, которые обязательно присутствуют в любом методе,
независимо от его использования различными педагогами. В ней отражаются общие
для всех дидактические положения, требования законов и закономерностей,
принципов и правил, а также постоянные компоненты целей, содержания, форм
учебной деятельности. Субъективная часть метода обусловлена личностью педагога,
особенностями учащихся, конкретными условиями. Очень сложным и не вполне еще
разрешенным является вопрос о соотношении объективного и субъективного в
методе. Диапазон мнений по данному вопросу очень широк: от признания метода
чисто объективным образованием до полного отрицания объективных начал и
признания метода личным, а поэтому неповторимым произведением педагога. Истина,
как всегда, находится между крайностями. Именно наличие в методе постоянной,
общей для всех объективной части позволяет разрабатывать теорию методов,
рекомендовать практике пути, являющиеся наилучшими в большинстве случаев, а
также успешно решать проблемы логического выбора, оптимизации методов.
Справедливо и то, что в области методов больше всего проявляется собственное
творчество, индивидуальное мастерство педагогов, а поэтому методы обучения
всегда были и всегда останутся сферой высокого педагогического искусства.
.2 Методы обучения математике
Общие и специальные методы
В дидактической литературе встречаются различные определения понятия
"метод обучения". Будем исходить из достаточно широко
распространенного представления о методах обучения как об упорядоченных
способах взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленных на
достижение целей обучения как средства образования и воспитания. Описание
каждого метода обучения должно раскрывать: 1) обучающую деятельность учителя;
2) содержание учебной (познавательной) деятельности ученика; 3) связь между
ними, т. е. способ, с помощью которого учитель управляет познавательной
деятельностью учащихся.
В дидактике рассматриваются, однако, лишь общие методы обучения, т. е.
методы не учитывающие специфики отдельных предметов. Исследование возможностей
конкретной реализации общих методов в начальном обучении математике путем их
модификации, адаптации с учетом специфики математики и мыслительной
деятельности учащихся начальных классов является предметом методики начального
обучения математике. Используются также специальные методы обучения, отражающие
особенности математического познания.
Специальные методы обучения, и прежде всего метод моделирования
(построения математических моделей), в наибольшей степени влияют на
формирование и развитие математического стиля мышления.
Репродуктивные и продуктивные методы
Методы обучения разделяют на две группы: одни из них ориентированы в
основном на передачу учащимися готовых знаний, другие стимулируют
познавательную деятельность по приобретению новых знаний. Используя методы
первой группы, учитель излагает, объясняет учебный материал, привлекает
различные средства наглядности и другие дидактические средства, а ученики
воспринимают информацию, усваивают ее, а затем воспроизводят по требованию
учителя. Такие методы называют репродуктивными. Развивающий эффект их
использования в обучении недостаточно высок, так как они не вызывают активной
мыслительной деятельности учащихся. Приведение методов обучения в соответствие
с требованиями реформы школы означает целесообразное сочетание оправдавших себя
на практике репродуктивных методов с методами, ориентированными на обучение
деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, называемыми также
продуктивными.
Продуктивные методы не противопоставляются репродуктивным. Речь идет о
дидактически целесообразном сочетании этих методов на различных этапах обучения
в зависимости от целей и содержания обучения.
В начальном обучении математике ведущую роль играют репродуктивные
методы, так как у учащихся формируется база знаний и умений, на основе которой
уже можно строить обучение простейшей познавательной деятельности.
Общеизвестна роль задач в обучении математике и развитии математического
мышления учащихся. Уровень усвоения математических знаний и математического
мышления учащихся проверяется с помощью задач. Поэтому методы обучения решению
задач следует отнести к специфическим методам обучения математике.
Эмпирические методы
Наблюдение, опыт, измерения - эмпирические методы, используемые при
изучении экспериментальных естественных наук, - не являются специфичными для
математики. Однако в начальном обучении математике эти методы должны широко
применяться в качестве эвристических. Например, изучение понятия
"квадрат" учащиеся начинают с рассмотрения множества предметов,
отличающихся друг от друга формой, размерами, окраской, материалом, из которого
они сделаны. Дети, после того как им показывают одну из этих фигур и говорят,
что это квадрат, безошибочно отбирают из множества предметов те, которые имеют
такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размеров, окраски,
материала. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по
одному, возможно, еще неосознанному признаку - по форме. Такое распознавание
встречается уже у дошкольников. Дальнейшая работа по формированию понятия "квадрат"
состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств.
Опытным же путем учащиеся "открывают" практически все свойства
арифметических операций (переместительности и сочетательности сложения,
свойство распределительности умножения относительно сложения), функциональных
зависимостей (прямой и обратной пропорциональности), геометрических фигур.
Сравнение и аналогия
Сравнение и аналогия - логические методы, используемые как
в научных исследованиях, так в обучении. В результате сравнения выявляются
сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих
(различных) свойств. Например, сравнивая квадрат и прямоугольник, мы
обнаруживаем общие свойства: четыре стороны, четыре вершины, четыре угла, все
углы прямые, а также различия: в квадрате все стороны равны, в прямоугольнике -
только противоположные (имеется в виду разносторонний прямоугольник). При
сравнении равенств 3+5=5+3 и 4+6=6+4 обнаруживается очень важное их свойство,
которое служит основой для дальнейшего обобщения: в каждом равенстве знаком
"=" связаны две суммы, различающиеся только порядком слагаемых.
Правильный вывод можно получить, если выполняются следующие условия: а)
сравниваемые понятия однородны; б) сравнение осуществляется по существенным
признакам. Оба эти условия выполняются в приведенных выше сравнениях: а)
квадрат и прямоугольник - однородные понятия (четырехугольники), записи 3+5=5+3
и 4+6=6+4 - равенства арифметических выражений; б) сравнение произведено по
существенным признакам, служащим основой для определения квадрата и
прямоугольника в первом случае, и для обобщения и открытия закона
коммутативности сложения во втором. Сравнение подготавливает почву для
применения аналогии. Сущность вывода заключения по аналогии состоит в
следующем. Если у объектов а и в имеются общие признаки р1,
р2, …, рn а у объекта а обнаружено, кроме того, свойство рn+1, утверждают, что и в обладает
свойством рn+1. Правильное использование аналогии предполагает следующее: 1) число
общих свойств объектов а и в должно быть как можно большим; 2)
необходимо, чтобы общие признаки р1, р2, …, рn были специфичными для
рассматриваемых объектов и по возможности более разнородными, максимально
отличающимися друг от друга; 3) свойство рn+1, о котором говорится в заключении,
полученном с помощью аналогии и свойства р1, р2, …, рn должны быть однотипными; 4)
переносимый признак рn+1 не должен иметь специфического характера. Например, сложение обладает
свойствами переместительности и сочетательности, умножение - свойством
переместительности. Это наводит на мысль, что и умножение обладает свойством
сочетательности.
Как видно, рассуждение по аналогии имеет лишь правдоподобное, вероятное,
но не достоверное заключение, поэтому аналогия служит эвристическим приемом для
формулировки гипотез, открытия новых свойств изучаемых объектов. Она может
привести и к неверным предположениям, поэтому заключение по аналогии подлежит
проверке. В начальном обучении математике имеются возможности для применения
аналогии. Выявление сходства и различия между реальными ситуациями позволяет
описать их с помощью одних и тех же или различных математических соотношений.
Например, на одной картинке изображено 5 красных цветков и 4 синих. По этой
картинке можно составить такие задачи: "На сколько больше красных цветков,
чем синих? ", "На сколько меньше синих цветков, чем красных?",
"Сколько всего цветков?" и др.
На другой картинке изображено 7 больших птичек и 3 маленькие. Сходство
условий подсказывает нам возможность распространения этого сходства и на
задачи, т. е. по аналогии учащиеся составляют задачи и ко второй картинке.
Иногда говорят, что это - деятельность по образцу. В действительности же
здесь имеет место рассуждение по аналогии. Не нужно опасаться ложных аналогий.
Анализ ошибочных заключений представляет собой полезный прием обучения. Так
ученик, зная, что
х (4+5)= 3 х 4+3 х 5, (1)
Написал по аналогии:
х (4+5)= (3 + 4)х(3 + 5).(2),
Т. е. свойство распределительности умножения относительно сложения
распространил на сложение относительно умножения. Путем вычисления устанавливается,
что равенство (2) неверно. Эту ошибку и необходимо использовать для того, чтобы
подчеркнуть, что свойство распределительности имеет место только для умножения
относительно сложения, но для сложения относительно умножения. Иными словами,
чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое
слагаемое и полученные произведения сложить, но чтобы сложить число с
произведением двух чисел, нельзя складывать его с каждым сомножителем и
полученные суммы перемножить.
Обобщение, абстрагирование, конкретизации
Логические приемы (обобщение, абстрагирование, конкретизация) находят
ограниченное применение в начальном обучении математике. Это объясняется тем,
что обобщение и абстрагирование используются почти всегда почти всегда
совместно при переходе от представлений к понятиям. В начальном же обучении во
многих случаях мы остаемся на уровне представлений, т. е. не доводим процесс
познания до формирования понятий.
Однако применение этих приемов, пусть ограниченное, в начальном обучении
во многих случаях мы остаемся на уровне представлений, т. е. не доводим процесс
познания до формирования понятий.
Однако применение этих приемов, пусть ограниченное, в начальном обучении
математике возможно. Например, приемы обобщения и абстрагирования могут использоваться
при рассмотрении частных случаев переместительности сложения. В результате
учащиеся приходят к общей закономерности "а+в=в+а для любых а,в
". В свою очередь эта закономерность конкретизируется для частных случаев.
Понятие натурального числа формируется у учащихся в несколько приемов.
Сначала учитель предоставляет детям возможность сравнивать множества различных
предметов по их численности обнаруживается, что между элементами некоторых
множеств удается установить взаимно однозначное соответствие. Выделяются классы
равночисленных множеств, которым в качестве характеристик приписываются
определенные натуральные числа. Здесь ученик уже имеет дело с абстракцией от
абстракции: от множества предметов он переходит к классу равночисленных
множеств, а затем - к свойству класса ( численность принадлежащих классу
равночисленных множеств).
Индукция и дедукция
Восхождение от частного к общему, от фактов установленных с помощью
наблюдения и опыта, к общим закономерностям имеет логическую форму рассуждения
"от частного к общему". Вывод общего заключения из частных посылок
называется индукцией. В начальной школе возможно использование индукций двух
видов: полной и неполной. Индукция бывает полной, если частные посылки
исчерпывают все возможные случаи, и неполной. Говоря об использовании индукции
в обучении, имеют в виду, как правило, неполную индукцию. Например, сколько бы
мы ни приводили равенств, отражающих переместительность сложения или умножения,
невозможно исчерпать все частные случаи, так как пар натуральных чисел
бесконечно много. Неполная индукция не может, разумеется, служить методом
доказательства в математике. Но она является мощным эвристическим методом.
Сколько же надо рассмотреть частных посылок, чтобы подвести учащихся к
открытию общей закономерности, общего правила, алгоритма? На этот вопрос,
очевидно, нельзя дать исчерпывающего ответа. Необходимо, чтобы частное
содержание, которое выражается в посылках и не входит в общее заключение,
варьировалось, т. е. видоизменялось от посылки к посылке. Это помогает
школьникам выявить то общее, неизменное, что должно составлять содержание
заключения. Использование индукции иногда бывает мало эффективным, например
когда учащимся предлагаются однотипные, малоразличимые посылки. Так, известный
алгоритм умножения многозначного числа на однозначное, как и другие алгоритмы,
изучаемые в начальных классах, мы не можем описать в общем виде. В процессе его
изучения рассматривается следующая система частных случаев: все цифры
многозначного множителя значимые, многозначный множитель оканчивается нулем
(нулями), этот множитель содержит нуль (нули) в середине. Если эта система
рассматривается не в полном объеме, учащиеся могут столкнуться с серьезными
трудностями.
При формировании простейших геометрических понятий наряду с наблюдением,
опытом, измерениями используется и индукция. Чтобы абстрагировать общую форму,
необходимо рассматривать не один, а много квадратов, различающихся размерами,
окраской, материалом, из которого они изготовлены. В каждом из квадратов
школьники обнаруживают четыре равные стороны, четыре прямых угла, затем по
индукции приходят к заключению, что во всяком квадрате четыре стороны и четыре
прямых угла.
Дедуктивное рассуждение, которое определяет как рассуждение от общего к
частному, отличается от индуктивного (в смысле неполной индукции)
достоверностью заключения, которое истинно по крайней мере тогда, когда истинны
все посылки. В дедуктивном рассуждении нельзя получить ложное заключение из
истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических
доказательствах.
Дедукция как метод обучения математике включает обучение дедуктивным
доказательствам и преобразованию совокупности предложений, полученных опытным
путем либо с помощью аналогии, индукции или других эвристических методов, в систему
предложений, упорядоченных отношением следования, которая расширяет уже
известный фрагмент теории. Какова же роль дедукции в начальном обучении
математике? Имеет ли какое-то отношение пресловутая математическая строгость к
начальному обучению? Какие учебные или воспитательные цели оправдывают или,
наоборот, отвергают ориентацию на какой- то уровень строгости в начальном
обучении? Целесообразность раннего обучения детей точным рассуждениям и
убедительным обоснованиям не вызывает сомнений. Однако возможно ли обучение
доказательству младших школьников? Не предполагают ли математические
доказательства недоступного для учащихся 1-4 классов уровня абстракции? Ответы
на поставленные вопросы зависят от того, что понимают под доказательством на
начальном этапе обучения математике, или под предматематическим
доказательством.
2.3
Условия выбора метода обучения
Многообразие
методов обучения, их постепенное совершенствование ставит перед учителем
сложный вопрос: какие методы использовать на данном конкретном уроке? Большое
значение при выборе метода обучения имеет глубокое понимание учителем целей и
задач советской школы. "Цель, - писала Н. К. Крупская, - создает
внутреннюю увязку между всеми предметами, между всеми методами". Однако
цель не существует абстрактно, она находит свое воплощение в содержании
образования. Содержание каждого предмета определяет в значительной степени и
методы его изучения. Одним способом надо преподавать математику, подчеркивала
Н. К. Крупская, другим - естествознание. Но при выборе метода проведения
каждого отдельного урока учителю приходится глубоко продумывать, какими
методами лучше изучить ту или иную тему. Каждый классный коллектив
характеризуется определенным уровнем развития и воспитанности. Один методы
используются в спокойном, хорошо организованном классе, в котором большинство
учащихся обладает значительным запасом знаний, сообразительностью, совсем
по-другому строится работа в классе со слабой дисциплиной, где многие учащиеся
быстро отвлекаются. В таком классе при выборе метода учителю приходится думать
над тем, как овладеть вниманием детей. Выбор метода зависит также от
особенностей учителя и прежде всего от уровня его методического мастерства. В
начале своей педагогической работы учитель чаще всего использует те методы обучения,
которыми он лучше владеет. В этот период данный критерий выбора метода является
решающим. И это понятно. У учителя нет полной уверенности в себе, он не рискует
сразу использовать все многообразие методов и включает их в учебный процесс
постепенно, один за другим, по мере их освоения. Так, из словесных методов
молодые учителя предпочитают шире использовать рассказ и реже прибегают к
беседе. Определенные трудности для начинающего учителя представляет организация
самостоятельных наблюдении учащихся, поэтому молодые учителя пользуются
демонстрациями. Такое предпочтение одних методом друшм допустимо только как
временное явление. Трафарет в методах работы учителя порождает трафарет,
шаблон в познавательной деятельности учеников. Поэтому постоянный поиск новых
методов обучения, их совершенствование - важнейшее условие успеха в работе
учителя. Критерии выбора метода обучения четко определены в следующих словах
Н. К. Крупской: "Методика, правильно поставленная, должна вытекать из
самой сущности предмета, базироваться на научении истории развития данной
отрасли знаний, определяться целями школы, базироваться на достижениях научной,
материалистической психологии, на всестороннем знании ребенка, его возрастных
особенностей и того, как эти особенности преломляются в среде, соответствующей
данной эпохе". Все это показывает, что как при построении урока, так и при
выборе метода обучения учитель руководствуется общей целью воспитания и
конкретной дидактической целью данного урока, учитывает характер материала урока,
возраст учащихся, их особенности и уровень готовности к изучению учебного
материала. Большое влияние на выбор метода оказывает уровень методического
мастерства учителя. Взаимосвязь методов осуществления педагогического процесса
и условия их оптимального выбора.
Между различными методами существует органическая взаимосвязь
и взаимопроникновение. Руководствуясь принципом оптимальности при выборе
методов, необходимо исходить из того, что каждый метод ориентирован на решение
определенного круга педагогических задач, но при этом косвенно способствует
решению и других, но не в той мере, в какой эти другие задачи могут быть решены
с помощью иных методов. Отсюда вытекает необходимость оценки возможностей
каждого метода, знания его сильных и слабых сторон и выбора на этой основе их
оптимальных сочетаний. В практической деятельности учитель, выбирая методы
педагогической деятельности, обычно руководствуется целями воспитания и его
содержанием. Исходя из конкретной педагогической задачи, учитель сам решает,
какие методы взять себе на вооружение. Будет ли это показ трудового умения,
положительный пример или упражнение, зависит от многих факторов и условий, и в
каждом из них педагог отдает предпочтение тому методу, который считает наиболее
приемлемым в данной ситуации. Метод сам по себе не может быть ни хорош, ни
плох. В основу педагогического процесса кладутся не сами методы, а их система.
Методы педагогической деятельности, при помощи которых достигаются ожидаемые
результаты, оставаясь принципиально одинаковыми, бесконечно варьируются в
зависимости от множества обстоятельств и условий протекания педагогического
процесса. Педагогическое мастерство приходит только к тому учителю, который
находит оптимальное соответствие методов закономерностям возрастного и
индивидуального развития учащихся. Будучи очень гибким и тонким инструментом
прикосновения к личности, метод педагогической деятельности вместе с тем всегда
обращен к коллективу, используется с учетом его динамики, зрелости,
организованности. Скажем, на известном уровне его развития наиболее
продуктивным способом педагогического воздействия является решительное,
неукоснительное требование, но неуместными будут лекция или диспут. Таким
образом, выбор методов педагогической деятельности не есть произвольный акт. Он
подчиняется ряду закономерностей и зависимостей, среди которых первостепенное
значение имеют цели и конкретные образовательно-воспитательные задачи,
содержание и принципы, уровень подготовленности класса и его развитие как
коллектива, возрастные и индивидуальные особенности учащихся, особенности
личности самого педагога.
предматематика дидактический репродуктивный алгебраический
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Дать законченное среднее образование всему подрастающему
поколению - такую задачу решают в настоящее время все типы средних учебных
заведений. Сама постановка этого вопроса является новаторской, революционной.
Она опровергает сложившееся веками и продолжающее бытовать убеждение в том, что
не все учащиеся могут получить образование в установленные сроки.
Оптимистический подход нашей педагогики к ребенку доказан многолетним опытом
советской школы. Обеспечить образование и развитие всему подрастающему
поколению можно за счет постоянного повышения эффективности обучения. Повысить
эффективность - это значит с меньшими затратами сил достичь больших
результатов. В определении понятия эффективность обучения необходимо исходить
из принятого в советской дидактике понятия сущности образования.
Обучение в советской школе направлено на вооружение учащихся
системой знаний, умений и навыков, формирование их сознания и поведения,
развитие познавательных способностей учащихся. Во всем этом советская дидактика
придает большое значение собственной активности обучаемых. Исходя из такого
понимания обучения, можно утверждать, что эффективное обучение предполагает
такую организацию и методику учебного процесса, которая обеспечивает вовлечение
всех учащихся в активную познавательную деятельность. В ходе этой деятельности
достигается максимальный результат в овладении знаниями, во всестороннем
развитии и воспитании учащихся.
Социальный опыт - это совокупность деятельностей, накопленных
человечеством в процессе познания объективного мира, т.е. в результате его
"распредмечивания". Социальный опыт, будучи аналогом содержания
образования, представляет собой систему четырех видов содержания: 1) знаний о
природе, обществе, технике, человеке и способах деятельности; 2) опыта
осуществления способов деятельности, т.е. реализации знаний о них; 3) опыта
творческой деятельности; 4) опыта эмоционально-чувственного отношения к миру и
его объектам. Поэтому и содержание образования состоит из тех же
взаимосвязанных элементов.
Деятельность учителя в обучении, с одной стороны, обусловлена
целью
обучения (содержанием образования), закономерностями усвоения
и характером познавательной деятельности учащихся, а с другой - сама
обуславливает деятельность учения, реализацию закономерностей усвоения и
результат усвоения.
Виды содержания образования, его функции в формировании
личности, способы его обусловливают и методы обучения данному виду содержания
или его части. Таким образом, общедидактические методы обучения не
изобретаются, не конструируются, а выводятся как следствие объективных свойств
содержания образования и способов его усвоения. Всего методов обучения пять:
) информационно-рецептивный,
) репродуктивный,
) проблемного изложения,
) эвристический,
) исследовательский.
Каждый из методов отличается сочетанием деятельности учителя
и учащихся, а также способами их деятельности. Это не классификация методов, а
их номенклатура, выступающая как систематизация всего многообразия приемов
обучения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Выбор
методов обучения в средней школе. / Под ред. Ю.К.Бабанского. - М.: Педагогика,
2011.
. Методы
обучения в современной общеобразовательной школе. Ю.К.Бабанский.- М.:
Просвещение, 2009.
. Педагогика.
И.П. Подласый. - М.: Владос, 2009.
. Дидактика
средней школы. /Под ред. М.Н. Скаткина. 2-е изд. М., 2002.
. Куписевич
Ч. Основы общей дидактики. М., 2012.
. Данилов
М.А. К вопросу о методах обучения в советской школе. - Советская педагогика,
2005, №10.
. Перовский
Е.П. Проблема методов в обучении. - Советская педагогика,
, №12.
. Райков Б.Е.
Общая методика естествознания. - М., 2011.
. Методика
начального обучения математике./под ред. А.А. Соляра, В. Л. Дрозда. М.: 2009.