Расчет собственных частот ионосферно-магнитосферного альвеновского резонатора (ИМАР) методами теории возмущений

Санкт-Петербургский университет государственной противопожарной службы МЧС России

РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ИОНОСФЕРНО-МАГНИТОСФЕРНОГО АЛЬВЕНОВСКОГО РЕЗОНАТОРА (ИМАР) МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

УДК 550.388.2

А.О. Овчинников

г. Санкт-Петербург,

Московский пр-т, д. 149, 196105, Россия

АННОТАЦИЯ

Ключевые слова: альвеновский резонатор, ионосфера, магнитосфера, собственные частоты, добротности мод, уравнение Риккати, дискретный спектр, непрерывный спектр, индикация ЧС.

Важным инструментом в индикации ЧС различного типа, таких как извержения вулканов, землетрясения, промышленные взрывы; космические, наземные и подземные ядерные взрывы, сигналы от стартов ракет и возникающие при полете ракет с включенными двигателями является ионосферно - магнитосферный альвеновский резонатор (ИМАР). Этот объект в настоящее время мало изучен. В данной работе мы продолжаем развивать физико-математическую теорию ИМАР.

В настоящей работе исследуется спектр собственных частот ионосферно-магнитосферного альвеновского резонатора (ИМАР) методами теории возмущений. Учет первой поправки в уравнении Риккати для сферического импеданса альвеновской волны приводит как к качественной, так и к количественной трансформации спектра. Кроме резонансных частот возникают узкие полосы прозрачности (шириной до одной десятой доли герц). Таким образом, кроме дискретного спектра у ИМАР появляется непрерывный спектр. Оценены добротности мод ИМАР.

Кey words: Alfven resonator, ionosphere, magnetosphere, eigenfrequencies, quality of modes, Riccati equation, discrete spectrum, continuous spectrum, emergency indication.tool in the emergency indication of various types, such as volcanic eruptions, earthquakes, industrial explosions; space, surface and underground nuclear explosions, the signals from the missile launches and emerging the flight of missiles from the engine is ionospheric-magnetospheric Alfven resonator (IMAR). This object is currently poorly understood. In this paper, we continue to develop the physical and mathematical theory of IMAR. study the spectrum of eigenfrequencies of ionospheric-magnetospheric Alfven resonator (IMAR) by the methods of perturbation theory. Allowance is the first correction to the solution of the Riccati equation for the impedance of the spherical Alfven waves. That leads us to both qualitative and quantitative transformation of the spectrum. In addition to the resonance frequencies occur in narrow bands of transparency (up to a width of one tenth of a hertz). Thus, except for a discrete spectrum for IMAR appears continuous spectrum. We also estimated the quality of IMAR modes.

Введение

Важным инструментом в индикации ЧС различного типа, таких как извержения вулканов, землетрясения, промышленные взрывы; космические, наземные и подземные ядерные взрывы, сигналы от стартов ракет и возникающие при полете ракет с включенными двигателями является ионосферно-магнитосферный альвеновский резонатор (ИМАР) [1]. Этот объект в настоящее время мало изучен. В данной работе мы продолжаем развивать физико-математическую теорию ИМАР.

Ранее [2-5] мы рассматривали модель геомагнитного поля, более близкую к реальности по сравнению с работами[5-8], в которых изучалась плоскослоистая модель ионосферы, а угол наклона силовой линии геомагнитного поля полагался постоянным.

В моделях [2-4] силовые линии поля качественно правильно описывали поведение реальных силовых линий, но не достаточно точно описывались многие свойства этих линий, например, длину, густоту и т.п. В настоящей публикации мы более правильно и корректно рассмотрим именно случай дипольного геомагнитного поля.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим магнитное поле Земли в дипольном приближении:

Здесь r - расстояние от центра диполя до точки наблюдения,  - единичный вектор в направлении на точку наблюдения, M=8,19·10²²А·м² - магнитный момент диполя, μ₀ - магнитная постоянная. Если ось z направлена в местный зенит, и ось x лежит в плоскости магнитного меридиана и направлена в сторону юга:

где геомагнитная широта. Введем сферическую систему координат (r, θ, φ) с центром расположенным в центре Земли, а угол θ отсчитывается от направления оси соединяющей южный и северный магнитные полюса, в результате получим:

 (1)

В публикациях [2-4] мы для поля дипольного типа полагали:

Это существенно упрощало вычисления, но не позволяло получить более правильные численные результаты. В настоящей работе мы проведем анализ на основе формулы (1).

Будем описывать распространение гидромагнитных волн в ионосфере и магнитосфере (околоземном космическом пространстве) используя систему уравнений Максвелла для временных спектральных компонент принимая зависимость от времени в форме exp (-iωt), тогда

rot E = iωμ₀H,

rot H = σ₁₁E₁₁+σ_┴E_┴+σ_H(E_┴×h). (2)

Здесь, E и H электромагнитные поля волны, h - единичный вектор в направлении геомагнитного поля, E₁₁ и E_┴ компоненты электрического поля волны параллельные и перпендикулярные по отношению h; σ₁₁, σ_┴ , и σ_H компоненты тензора проводимости плазмы.

Будем рассматривать низкочастотный диапазон f=(0,01 - 10) Гц. В этом диапазоне мы считаем, что | σ₁₁| → ∞, E₁₁=0 (σ₁₁E₁₁≠0). Таким образом, E_r=-(E_θh_θ+E_φh_φ)/h_r в сферической системе координат (r, θ, φ).

Мы полагаем, что свойства среды, так же как и свойства полей не зависят от угла φ, распространение происходит в плоскости геомагнитного меридиана, ∂/∂φ=0, h_φ=0. Чтобы сделать решение этой проблемы более наглядной именно в том аспекте, который для нас наиболее интересен - развитие концепции ИМАР, мы будем пренебрегать величиной компоненты тензора проводимости σ_H. Взаимодействие мод волновода и резонатора возникающее на гиротропном Е-слое ионосферы было ранее проанализировано нами в монографии [8]. Там, было показано, что это взаимодействие экспоненциально мало. Поле моды БМЗ-волновода сосредоточено (max-поля) в области F2 и выше. При этом слой Е, особенно в ночных условиях, мало влияет на свойства этой моды и в первом, и даже во втором приближении его можно не учитывать. Можно ввести, конечно, коэффициент слабой связи между модами ИМАР и БМЗ-волновода, но влияние при этом на свойства мод ИМАР будет мало.

Тогда систему уравнений (2) можно записать в форме:

 (3)

Здесь введены следующие обозначения:   и т.д., σ_┴, k - волновое число среды. Уравнения (3), соответствующие поляризации , описывают распространение быстрой магнитозвуковой волны. Именно влияние сферичности на распространение этой волны, в ионосферном МГД-волноводе, было проанализировано нами в публикации [9].

Решение системы уравнений (3), которое описывает распространение волны Альвена, имеющей поляризацию , и является предметом настоящей работы.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Введем модифицированный сферический импеданс для альвеновской волны в соответствии с формулой

здесь L - константа, имеющая размерность длины. Будем предполагать в дальнейшем, что σ_┴ зависит только от координаты r и не зависит от координаты θ. Далее после некоторых преобразований, в частности, используя тождество , мы получим для волн рассматриваемой поляризации, вместо (3), одномерное уравнение вдоль силовой линии геомагнитного поля для определения импеданса:

 (4)

Здесь h - координата вдоль силовой линии геомагнитного поля, отсчитываемая от поверхности Земли, β=cosα/cosθ, α - угол, который составляет силовая линия геомагнитного поля по отношению к вертикали (радиальному направлению).

Практически во всех теоретических работах изучающих ионосферный альвеновский резонатор ИАР (см., например, [6,7]) этот угол считается постоянным. В настоящей работе мы рассмотрим существенно более реалистическую модель геомагнитного поля (1) полагая

  (5)

РЕШЕНИЕ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО РАДИУСА ЗЕМЛИ

Сделаем замену переменных в уравнении (4) полагая , тогда имеем:

 (6)

Построим решение, основываясь на уравнении (6). В общем случае, например, если величина k (h) или σ_┴ (h) заданы в форме таблицы, уравнение (6) может быть решено численно. Тем не менее, аналитическое исследование решений этого уравнения представляет несомненный интерес. Для выполнения этого исследования рассмотрим модель среды, включающую в себя следующие элементы: бесконечно проводящую поверхность Земли (r=a); анизотропный слой с комплексным волновым числом k=const, учитывающим джоулевы потери, расположенный в области a≤r≤b (b-a=l) (ионосфера); и анизотропное пространство, без джоулевых потерь, с волновым числом k₁=const заполняющее область r≥b (магнитосфера).

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИМПЕДАНСА

Рассмотрим асимптотическое разложение решения уравнения (6) по параметру 1/а при а→∞,  и в главном приближении уравнение (6) принимает вид:

Исследуем решения этого уравнения для модели среды описанной выше, аналогично тому, как это было сделано в работе [4].Тогда учитывая, что  имеем:

Здесь h₂ - постоянная определяемая из граничных условий, θ_a и θ_b координаты пересечения силовой линией поля окружностей радиусами r = a и r = b; h₀ - длина отрезка силовой линии геомагнитного поля в ионосфере и h₁ - длина части силовой линии расположенная в магнитосфере (θ_b ≤ θ ≤ π-θ_b). При расчетах будем полагать, а=6400 км, b=7000 км. Нетрудно показать, что для выбранной модели геомагнитного поля уравнение силовой линии, проходящей через точку с координатами (a, θ_a), имеет вид r =a (sin θ)² / (sin θ_a)². Предыдущая, более простая модель [4], давала зависимость r =a sin θ / sin θ_a . Координата h вдоль силовой линии геомагнитного поля в рассматриваемом случае определяется по формуле:

(Сравним для предыдущей модели , что существенно упрощало решение задачи.) Удовлетворяя граничным условиям при θ=θ_b (h=h₀) и θ=π-θ_b (h=h₀+h₁), из уравнений (8) и (9) получим:

 (11)

Из уравнений (11) найдем дисперсионное уравнение для собственных частот ионосферно-магнитосферного альвеновского резонатора (ИМАР) в форме

 (12)

Здесь c_A1= ω/k₁ - альвеновская скорость в магнитосфере, c_A= ω/k - альвеновская скорость в ионосфере. Решения уравнений (8), (9), (12) - будут приняты нами в качестве исходного приближения. Очевидно, что при |M|→∞ уравнение (12) имеет две независимых серии корней. Первая находится из уравнения и определяет собственные частоты магнитосферного альвеновского резонатора (МАР), корни второй серии являются двукратно вырожденными и определяются из уравнения . Эти корни соответствуют спектру собственных частот ИАР. При конечном значении параметра |M| (обычно ~100 - 200) вырождение снимается, и частоты расщепляются. При этом более корректно рассматривать единый объект ИМАР, и определять его собственные частоты, решая уравнение (12) численно.

Следующее приближение решения нелинейного уравнения Рикатти (6) в тех характерных областях можно построить, формально разлогая это решение по параметру, ε вводимому в соответствии с формулой

α(h)=

Тогда собирая члены одинаковыми степенями ε, с точностью до поправок первого приближения имеем:

Здесь  

Очевидно (13) совпадает с (7), а решение (14) может быть найдено по формуле:

Решение проходит через точку(h₀,U₁(h₀)). В трех характерных областях для поправок первого приближения получим:

Здесь п=0, 1; h₂=2h₀+h₁, h₄= h₂/2. Потребовав непрерывности модифицированного импеданса  на границах сферических слоев, получим дисперсионное уравнение (два уравнения) для определения собственных частот ИМАР. Эти уравнения, при переходе от интегрирования по h к интегрированию по θ, имеют вид:

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

Комплексное трансцендентное дисперсионное уравнение (21) решалось методом Ньютона для характерных параметров задачи соответствующих условиям ночной ионосферы. Эти параметры выбраны нами следующим образом c_A1= 5160 км/с, M = 144(1+iν_in/ω), где M=k²/k₁²=с_A1²/c_A² - большой параметр (|M|>>1), ν_in=0,03с^-1(некоторая средняя эффективная частота соударений ион - нейтрал в ионосфере), θ_a=60^о (магнитная широта 40^о). Мы выбрали случай средних и низких широт, так как именно здесь концепция ИМАР работает наиболее эффективно [10]. Результаты вычислений сведены нами в таблицу.

Таблица

При учете первой поправки резонансные частоты начинают сгущаться в полосы границы которых показаны в таблице. Здесь же приведены частоты ИМАР рассчитанные при аналогичных условиях в соответствии с уравнением (12), а так же частоты ИАР (ионосферного альвеновского резонатора) и МАР (магнитосферного альвеновского резонатора) полученные из (12) при М→∞. Эти результаты сопоставлены с расчетами резонансных частот ИМАР+ - резонатора с добавленными поправками от теории возмущений. В таблице приведены так же добротности мод и относительный сдвиг резонансных частот при переходе от ИМАР к ИМАР+.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

спектр частота ионосферный резонатор

1.   Методами теории возмущений показано, что сдвиг резонансных частот в уточненной модели может достигать заметной величины.

.     Спектр изменяется не только количественно, но и качественно.

.     Появляются узкие полосы прозрачности, что эквивалентно формированию сплошного спектра ИМАР наряду с наличием дискретного.

4.      Полученные результаты могут быть отправным пунктом для численного решения задачи о нахождении резонансных частот ИМАР при сферически слоистой модели околоземного космического пространства.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Артамонов В.С., Овчинников А.О., Шилин К.Ю. Применение гидромагнитной диагностики к решению фундаментальной проблемы индикации и предсказаний ЧС. Материалы II-ой Международной научно-практической конференции: Сервис безопасности в России. 29-31 октября 2009 года. Т.1. Санкт-Петербург. 2009. с. 92-95.

2. A.O.Ovchinnikov. The joined theory of the ionospheric and the magnetospheric Alfven resonators. XXV th GA URSI. Abstracts, p. 647. Lille. France. 1996.

. A.O.Ovchinnikov Ionospheric-magnetospheric Alfven resonator (IMAR). AMEREM 2002. International symposium. Abstracts. Annapolis. Maryland. USA. P. 46. 2002.

. Овчинников А.О. Ионосферный альвеновский резонатор в случае сферической модели поверхности Земли. // Геомагнетизм и аэрономия. Т. 39. № 1. С. 67 - 71. 1999.

. Поляков С.В., Раппопорт В.О. Ионосферный альвеновский резонатор // Геомагнетизм и аэрономия. Т. 21. № 5. С. 816 - 822. 1981.

. Руденко Г.В. Численное исследование альвеновского резонатора в ионосфере // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. Т. 33, № 2. С. 155-163. 1990.

. Prikner K., Vagner V. The ionosphere as an Alfven resonator in the Pc 1 micropulsation range // Studia geop. Et geod. Vol. 34. P. 342 - 361. 1990.

. Овчинников А.О., Островский В.Н. Теория ионосферного МГД - волновода. (Монография) СПб. 1992. Изд. С.-Петербургского университета. 188 с.

. Овчинников А.О. Сферический ионосферный МГД-волновод. // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. Т. 34. № 8. С. 863-871. 1991.

. T. Bosinger, A.G. Demekhov, V.Y. Trakhtengerts. Fine structure in ionospheric/magnetospheric Alfven resonator spectra at low latitudes // Geophys. Res. Lett., Vol. 31, L 18802, doi: 10.1029/2004 GL020777, 2004.