Разработка систем автоматического регулирования с использованием логарифмических частотных характеристик

Разработка систем автоматического регулирования с использованием логарифмических частотных характеристик

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной курсовой работы является освоение методики анализа и синтеза систем автоматического регулирования с использованием логарифмических частотных характеристик и уточненных расчетов на ЭВМ.

Проектирование системы автоматического регулирования (САР) выполняется по заданной принципиальной схеме и заданным параметрам элементов основного контура обратной связи. Цель расчета состоит в том, чтобы при заданной структуре построения системы выбрать параметры параллельного корректирующего устройства, обеспечивающие запас устойчивости системы и максимальное ослабление влияния возмущений на регулируемую величину. При этом САР должна обеспечивать требования к ее статической точности и качеству переходного процесса при ступенчатом входном воздействии.

Анализ устойчивости системы и выбор параметров корректирующего устройства выполняются по линеаризованной структурной схеме САР с помощью асимптотических логарифмических частотных характеристик. Затем делается проверка выбранных параметров и формулируются выводы о качестве спроектированной системы путем построения точных частотных характеристик и графиков переходных процессов на ЭВМ.

Итогами работы являются результаты расчёта устойчивости системы, коррекция динамических свойств системы, построенная логарифмическая частотная характеристика и передаточная функция, рассчитанные показатели качества процесса управления, запасоустойчивость по амплитуде и фазе, расчёт показателей качества системы в переходном режиме, расчёт точности системы.

1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ САР

Для составления структурной схемы системы необходимо знать математические модели всех звеньев системы и связи между ними. Эти данные нам известны из технического задания:

дос(p)=Kдос = 17;

Wум(p)=Kум = 28;

Wред(p)=1;

;

.

Для того чтобы линеаризовать характеристики нелинейных элементов пренебрежем наличием нелинейных элементов, то есть будем считать, что усилитель мощности имеет неограниченную зону линейности, а зазор в кинематической связи «выход системы - датчик обратной связи» отсутствует, и коэффициент передачи равен единице.

Каждый функциональный блок с одним входом и выходом изобразим в виде абстрактного однонаправленного структурного блока с заданной передаточной функцией.

Измеритель рассогласования изобразим сумматором с вычитающим вертикальным входом.

Схему линейной модели САР изобразим на рисунке.

Рисунок - Функциональная структура (схема) САР

Определим минимальное допустимое значение коэффициента передачи регулятора Kp. Так как в техническом задании задано ограничение на относительную (по отношению к амплитуде эквивалентного гармонического сигнала) величину допустимой динамической ошибки eдм, то вначале определим минимальное значение требуемой величины коэффициента передачи разомкнутого (по отрицательному входу сумматора) контура:

Kmin = = = 72.

Теперь можно определить соответствующее значение коэффициента передачи регулятора Kp:

Кp== ==8.4.

2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ САР И ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

2.1     Исследование устойчивости САР с пропорциональным регулятором

Исследуем устойчивость САР с пропорциональным регулятором (при Wк(p)=1, Wку(p)=Кр), применяя критерий Гурвица и критерий Найквиста (в логарифмической форме):

Wк(раз)=КрКумКдос= =3998,4= .

Характеристический полином замкнутой САР равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции W(p) разомкнутого контура САР:

А(р)= +71,97=

.

Все коэффициенты полинома A(p) положительны, следовательно, согласно критерию Гурвица, для устойчивости САР необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства : a1(a2a3-a1a4)-a0(a3)2>0.

Проверим: 1(0,000257-0,000002)-0,000323=-0,00005.

Равенство не выполняется, следовательно, система неустойчива.

Для применения критерия Найквиста построим ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы. Из графиков этих характеристик видно, что частота среза для ЛАХ wср = 1,4, критическая частота для ЛФХ wкр = 1,3, то есть, wср> wкр, а значит, система неустойчива.

2.2     Показатели качества переходного процесса заданной САР

Для замкнутой САР с помощью программы VisSim построим график переходной функции h(t) на рисунке. По рисунку видим, что график переходной функции не стремится к постоянному значению, а следовательно, система неустойчива.

Также определим значения характеристических корней pi с помощью программы MathCad:

p1 = -61.909;

p2 = -999.962;

p3 = 0.9352-24.063i;

p4 = 0.9352+24.063i.

Расположение характеристических корней pi на комплексной плоскости отображено на рисунке. По рисунку мы видим, что два корня характеристического полинома расположены в правой полуплоскости, а значит, система неустойчива.

В результате анализа системы мы выяснили, что полученная САР неустойчива, значит, простейший пропорциональный закон регулирования (при Wк(p)=1, Wку(p)=Кр) не может обеспечить устойчивость системы. Поэтому необходимо усложнить закон регулирования и расчета Wк(p). Для этого воспользуемся методом типовых асимптотических ЛАХ.

2.3     Построение желаемой ЛАХ

Построим асимптотическую желаемую ЛАХ разомкнутой САР, обеспечивающую выполнение заданных ТЗ требований и инженерных рекомендаций по сложности реализации. Для этого предварительно определим ограничения на показатель колебательности М и базовую частоту w0, соответствующие заданным в техническом задании прямым показателям качества s% и tp. Таблица для такого перехода приведена ниже. Базовая частота для желаемой ЛАХ должна быть не меньше найденного значения.

Таблица 1 - Переход от прямых показателей качества s% и tp к ограничению на показатель колебательности М

При заданной величине s£35%; tp£ 0.3с получаем М=1,42.

Полученной величине М=1,42 соответствует произведение tp=3,36, следовательно, =3,36/0,3=11,2.

При построении желаемой асимптотической ЛАХ выполним следующие вычисления:

(1)

Следовательно, = 2 = 11,22=125.

 (2)

из формулы (2): =.

Теперь из формулы (1) получаем: .

Зная, что , найдем минимальное значение

.

Теперь можно найти остальные постоянные времени, используя нижеприведенные формулы:

; (3)

 (4)

. (5)

По формуле (4) определим минимальное значение :

Зная , можно найти значение  по формуле (3):

.

Так как в нашем случае первоначально желаемая ЛАХ имеет наклон 20 дб/дек., а конечный наклон она должна иметь -80дб/дек, как и начальная ЛАХ, то при построении симметричной ЛАХ с типовыми наклонами асимптот (-20-40-20-40-60…) необходимо найти еще три точки перелома. Сумму их значений можно определить по формуле (5):

Учитывая, что малые постоянные времени, для которых частоты сопряжения больше частоты среза wср, желательно назначать так, чтобы возможно большее их количество совпадало с постоянными времени заданной части САР, то выберем Т3=0,02, Т5=0,001.

Найдем Т4=0,03-0,021=0,009.

В результате вычислений получили

Т1=0,84; lg  = 0.1

Т2=0,16; lg  = 0.8

=0.05 lg = 1.3

Т3=0,02; lg = 1.7

Т4=0,009; lg  = 2

Т5=0,001; lg = 3

Построим желаемую ЛАХ и сформулируем желаемую передаточную функцию разомкнутого контура:

2.4 Построение ЛАХ корректирующего звена

Получим передаточную функцию корректирующего звена Wк(p) и соответствующие ей асимптотические ЛАХ корректирующего звена. Передаточная функция Wк(p) определяется как частное от деления желаемой передаточной функции скорректированной системы на передаточную функцию не скорректированной САР:

Асимптотическую ЛАХ корректирующего устройства получим графическим способом, вычитая ЛАХ нескорректированной системы из желаемой ЛАХ (см. рисунок 3).

. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ САР

3.1 Показатели качества переходного процесса скорректированной САР

Для скорректированной САР определим прямые, частотные и корневые показатели качества переходного процесса (ПП) и сравним их с ранее полученными для случая, когда Wк(p)=1. Для этого получим приведем передаточную функцию разомкнутой САР, замкнутой САР и характеристический полином:

Передаточная функция для разомкнутой САР:

Передаточная функция для замкнутой САР:

(p) =

Характеристический полином

(p) =

3.1.1  Прямые показатели качества ПП

Для определения прямых показателей качества ПП построим график переходной функции САР в программе VisSim. По графику переходной функции можно судить о том, что система устойчива.

Определим по графику максимальное значение функции hmax=1,3, а также установившийся уровень h()=1.

Следовательно, перерегулирование

s% =

Так как в результате проведенного анализа мы получили перерегулирование намного меньше, чем задано в задании (30%<35%), то можно увеличить его значение, то есть увеличить склонность системы к переходным процессам в пользу точности проектируемой САР. Для этого изменим величину Т4 до значения 0,011с.

Тогда передаточная функция разомкнутой САР примет вид:

Передаточная функция для замкнутой САР:

W(p) =

Характеристический полином

(p) =

Построим график переходной функции модифицированной САР (рисунок 7) в программе VisSim. Листинг программы приведен в приложении Г.

Определим по графику максимальное значение функции hmax=1,35,

а также установившийся уровень h()=1.

Перерегулирование

s% =

Значит, теперь перерегулирование полностью удовлетворяет условию.

Определим по графику время регулирования, т.е. время, за которое h(t) целиком заходит в 5%-ную зону относительно установившегося уровня h(¥):

а также время нарастания процесса до уровня h(¥):

tн = 0,09с

3.1.2 Корневые показатели качества ПП

Корневые показатели - это параметры области расположения характеристических корней pк. Основными из них будут: а) h=min|Re pк| и б) m = max|Im pк/Re pк|. Для нахождения корневых характеристик определим корни характеристического полинома в программе MathCad:

A(p) = =

+

Также определим значения характеристических корней pi с помощью программы MathCad:

p1 = -8,59

p2 = -124,501

p3 = -999,866

p4 = -14,7+21,12j

p5 =-14,7-21,12j

Расположение характеристических корней pi на комплексной плоскости отображено на рисунке. По рисунку мы видим, что все корни характеристического полинома расположены в левой полуплоскости, а значит, система устойчива.

Определим коэффициент быстродействия, или степень устойчивости системы: h=min|Re pк| =-8.59. По этой величине можно приближенно судить о времени затухания переходного процесса в САР

где tk - время затухания.

Определим также коэффициент колебательности: m = max|Im pк/Re pк|=1.4. Знание этой величины дает представление о колебательных свойствах САР в переходном процессе Nm = max nk= m/2=0.7.

3.1.3 Частотные показатели качества ПП

К частотным показателям качества ПП относятся:

а) запасы устойчивости по модулю ( Lз) и по фазе (jз)

Определим эти показатели по ЛАХ разомкнутой САР. Запас устойчивости по модулю Lз определяется как расстояние ЛАХ до оси 0 дБ на критической частоте. Запас устойчивости по фазе jз определяется как расстояние ЛФХ до критического уровня -180° на частоте среза.

Получаем:

Lз = 12 дБ;

jз = 45 град.

По данным значениям можно судить о достаточном запасе устойчивости полученной САР.

б) параметры графика АЧХ замкнутой системы

Построим график АЧХ замкнутой системы в программе MathCad.

·  показатель колебательности М

Определим следующие значения:

M(0) = 1

Mmax = 1.41

·  На основе полученных данных определим показатель колебательности М:

M =

Полученная величина М=1,41 характеризует склонность системы к колебаниям. Она меньше заданной в задании М=1,42, следовательно, требования, предъявленные к системе выполняются.

·  частота амплитудного резонанса wр - значение частоты, при котором график АЧХ принимает максимальное значение:

wр = 17,8 рад/с

·  граница полосы пропускания wпр - определяется по уровню 0.707 от начального значения АЧХ замкнутой системы:

wпр = 37 рад/с

Полученные значения wр и wпр характеризуют быстродействие системы.

в) параметры графика ВЧХ замкнутой системы

Построим график ВЧХ замкнутой системы в программе MathCad. Листинг программы приведен в Приложении Ж.

По полученному графику определим:

·        диапазон положительности ВЧХ - характеризует быстродействие системы:

wп=23,2

Полученная величина достаточно высокая, следовательно, затухание переходного процесса будет происходить достаточно быстро.

·        максимум Pmax = 1,18 и минимум Pmin =0,55- характеризуют склонность системы к колебаниям в переходном процессе. Полученные значения невысоки, значит, обеспечивается требуемое качество системы.

3.2     Реакция САР на линейный и квадратичный сигналы

Построим реакцию САР на линейный (y=26t) и квадратичный (y= 26t + 27t2) сигналы в программе VisSim.

Построим также графики вынужденных реакций, рассчитанных с помощью коэффициентов ошибок С0, С1 и С2. Коэффициенты ошибок С0, С1 и С2 рассчитаем с помощью разложения в ряд в программе MathCad. Получаем:

С0=0

С1= 0,0098039

С2= 0,006884

Найдем вынужденную составляющую ошибки:

·    для линейного сигнала

F=26t: E1(t) = С0х(t)+ С1

E1(t) = 0+0,098039·26=0,2548

·    для квадратичного сигнала F=26t+27t2:

E2(t) = С0х(t)+ С1 + С2

E2(t) = 0+0,098(26+54t)+0.065*54=0.62+0.53t

3.3 Построение области устойчивости

анализ логарифмический частотный параллельный

На плоскости параметров корректирующего звена «коэффициент передачи К - постоянная времени T2» построим область устойчивости с отметкой расчетной точки.

A(p)=+= + .

Для построения границ области устойчивости воспользуемся методом D-разбиения в программе MathCad. Используем равенство нулю функции Михайлова A(jw, К, Т2)=0 как параметрическое уравнение границы Д разбиения. Решая это уравнение относительно К, Т2 при различных значениях w из некоторого диапазона, найдем точки основной границы. Значение w=0 будет соответствовать особой границе. Все границы отметим штриховкой: двойная - для основной и одинарная, направленная в сторону (встречно) штриховке основной границы, - для особой границы. Так как график определителя на рисунке 13.1 отрицательный, то штриховка основной границы будет располагаться справа от графика.

Та область Д-разбиения, для которой все границы имеют штриховку, направленную вовнутрь области, является областью-претендентом. Так как номинальная точка (при Т2=102, К=0,16) принадлежит этой области, то это и будет искомая область устойчивости. Полученная область устойчивости отображена на рисунке 13.

Определим по графику диапазоны значений К и Т2, при которых САР остается устойчивой:

·    для фиксированного значения К=102 диапазон значений Т2 может меняться от 0.023 до 0.92, САР при этом будет устойчива.

·        для фиксированного значения Т2 =0.16 диапазон значений К может меняться от 0 до 493, САР при этом будет устойчива.

По графику найдем точку максимума области устойчивости: Кmax= 790 при Т2 = 0.057.

4       
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ НА ВОЗМОЖНОСТЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОДНОЧАСТОТНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ

С помощью метода гармонической линеаризации исследуем влияние нелинейностей на возможность возникновения одночастотных автоколебаний и их устойчивость в замкнутой автономной САР.

Предположим, что в автономной САР существуют периодические колебания, при которых вход нелинейного безынерционного звена изменяется во времени по закону, близкому к гармоническому с неизвестной амплитудой А= Ап и частотой w=wп. Нелинейное звено заменим на гармонически линеаризованное звено с комплексным коэффициентом передачи J(A). Искомые параметры автоколебательного режима найдем графоаналитическим способом по методу Гольдфарба. В плоскости ЛФХ построим фазовую границу устойчивости (ФГУ).

Для нелинейности «люфт» ФГУ состоит из множества точек, для которых при одинаковых частотах выполняются условия равенства модулей и фаз для W(jw) и для (-J-1(A)). При построении ФГУ будем использовать таблицу 2.

Таблица 2 - Расчетная таблица для всех характеристик нелинейности типа «люфт»

Произвольно выбирая значение относительной амплитуды гармонического сигнала на входе нелинейного звена, будем отмечать на графике соответствующие ей значения логарифмической амплитудной характеристики и фазовой характеристики ОЭКПП (обратного эквивалентного комплексного коэффициента передачи) нелинейного звена. В результате получим множество точек, формирующих искомую ФГУ. Для нелинейности типа «люфт» ФГУ отмечается штриховкой снизу.

По графику мы видим, что ФГУ и ЛФХ пересекаются. Точка пересечения с ФГУ имеет относительную амплитуду гармонического сигнала на входе нелинейного звена А = a·=1.5·0.02=0.03 дБ и частоту w=7.82 с-1. В точке пересечения с ЛФХ ФГУ переходит из заштрихованной в не заштрихованную область, следовательно, соответствующие автоколебания устойчивы.

Для нелинейности «ограничение» ФГУ имеет вид отрезка прямой, совпадающей с критическим уровнем -p в диапазоне частот до частоты среза, т.е. в диапазоне положительности ЛАХ линейной части. Пересечений ЛФХ с ФГУ нет, следовательно, одночастотные периодические колебания в контуре САР отсутствуют.

Для САР с люфтом результат проведенного исследования проверим моделированием в среде VisSim. Воспользуемся упрощенной моделью в виде структуры с единичной отрицательной обратной связью. В прямой цепи этой структуры последовательно включены: 1) безынерционное нелинейное звено типа «зона нечувствительности» (величина зоны равна 2D) и 2) интегратор с достаточно большим ( равным 1000) значением коэффициента передачи. Из графика мы можем определить амплитуду гармонического сигнала на входе нелинейного звена А=0.04 дБ, следовательно, погрешность вычислений, приведенных выше, составляет 1%.

В результате моделирования можно сделать вывод, что при нулевых внешних воздействиях в системе существуют периодические колебания. При учете нелинейности типа «люфт» с интегратором с достаточно большим значением коэффициента передачи эти автоколебания устойчивы относительно нуля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненной работы было осуществлено исследование исходной системы, выбор параметров корректирующего устройства, проверка выбранных параметров и корректировка системы в соответствии с заданными требованиями.

Работа содержит достаточно информативные графики и рисунки, которые совместно с текстовым пояснением и формулами помогают легко разобраться в сути данного исследования.

В ходе корректировки удалось достичь заметного улучшения САР. Скорректированная и оптимизированная САР была исследована на качество и устойчивость и показала неплохие результаты, то есть цель коррекции и оптимизации была выполнена.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Зырянов, Г.В. Динамический синтез САУ: Учебное пособие по выполнению курсовой работы/ Г.В.Зырянов, А.А Кощеев. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001.

Бесекерский, В.А.Теория автоматического управления/ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - Спб.: Профессия, 2003.