Колебания сферы Шварцшильда

Колебания сферы Шварцшильда

1. Сфера Шварцшильда

Черной дырой называют область в пространстве - времени, в которой гравитационное притяжение настолько сильно, что даже свет неспособен покинуть эту область.

Граница этой области называется горизонтом событий <#"669274.files/image001.gif">d (1.1)

Координаты t, r, θ, в которых записано выражение (1), носит название координат Шварцшильда, а системы отчета, образуемая ими - системы отчета Шварцшильда. В малой окрестности каждой точке пространства можно ввести для обычных измерений длин локальную систему координат:

Физическое время  , текущее в данной точке r пространства, определяется выражением

Временная координата  будет идти медленнее удалённой t (r→∞, θ=const, ) в  раз за счёт гравитационного замедления времени <#"669274.files/image011.gif"> можно, как говорят, «продолжить за горизонт», и если там тоже считать пространство везде пустым, то при этом возникает бо́льшее пространство-время , которое называется максимально продолженным пространством Шварцшильда.

2. Квантовые колебания гравитационного радиуса

Возможные проявления квантовой природы физических полей и частиц, в полной мере применимы при рассмотрении квантовых эффектов в черных дырах. Качественно оценить значение флуктуационных процессов в черных дырах можно с помощью простых рассуждений. Предположим , что в области пространства-времени с характерным размером L произошла флуктуация метрики и ее значение g отклонилось от среднего значения <g> на величину δg. При этом кривизна в этой области изменится на величину  , а значения действия S для гравитационного поля испытывает изменение порядка

S ~ (2.1)

Вероятность подобной флуктуации значительна только в том случае, когда S~ℏ. Поэтому для величин флуктуации метрики в пространственно-временной области размером L получается следующая оценка

 (2.2)

Где квадрат планковской длины  ≈2,56 10^-70 см². Таким образом, флуктуации метрики, достигающие значения =1 на планковских масштабах, малы и, вообще говоря несущественны для значительно больших масштабов. Можно ожидать, что описанные квантово-гравитационные флуктуации приведут к своеобразному квантовому «дрожанию» горизонта событий. Для сферической черной дыры с массой М амплитуда колебания  гравитационного радиуса имеет на основании (2.2) следующий вид:

 ~  (2.3)

Величина амплитуды колебания  крайне мала для черных дыр с размерами r_g >>L_p. Однако не стоит сбрасывать этот эффект, потому что он приводит к интересным результатам.

Под действием квантовых флуктуаций вакуума на поверхности горизонта событий появляются колебания  радиуса Шварцшильда r_g. Эти колебания могут стать причиной распространения гравитационных волн на горизонте событий. шварцшильд гравитационный квантовый колебание

Эти волны можно определить как отклонения от среднего значения гравитационного радиуса

Волны u(t, r, θ,) на поверхности черной дыры не должны гаснуть, так как постоянно действуют квантовые флуктуации вакуума на сфере Шварцшильда (2.3) . Под действием эти флуктуаций колебания гравитационного радиуса будут появляться в любой точке на сфере А=4.

3. Волновое уравнение сферы Шварцшильда

Рассмотрим задачу о нахождении волнового уравнения колебаний сферы Шварцшильда. Метрику g^ik(t, r, θ,) на горизонте событий будем рассматривать на границе:

θ={0;}, , r =r_g=, (3.1)

Горизонт событий в вакуумных решениях уравнений ОТО:

R_ik=0, ds² =g^ikdx_idx_k=0 (3.2)

Флуктуации метрики g^ik на сфере горизонта событий будем рассматривать как малые возмущения :

g^ik=g^ik(0)_+h^ik , (3.3)

где g^ik(0) _-- статическая метрика пространства-времени на горизонте событий.

Тогда условия (3.2) и (3.3) дают рассматривать гравитационные волны на сфере Шварцшильда:

Где

Оператор Лапласа в сферических координатах Шварцшильда,

=

На горизонте событий r =r_g= радиальная часть оператора Лапласа = 0.

Уравнение колебания горизонта событий или сферы Шварцшильда будет:

 (3.4)

Причем образуются стоячие колебания на горизонте событий черной дыры.

Поэтому метрику колебаний определим как независимую от времени:

( θ,)·

Где  - собственная частота колебаний сферы Шварцшильда с точки зрения удаленного внешнего наблюдателя.

В этом случае уравнение колебания сферы Шварцшильда имеет вид с учетом граничных условий (3.1) :

 (3.5)

Решению этого уравнения (3.5) соответствуют собственные значения колебаний сферы в виде выражения:

При n=0,1,2,…N.

4. Квантовые энергии сферы Шварцшильда

Решению уравнения (3.5) соответствуют собственные значения:

 (4.1)

Отсюда собственные частоты колебаний сферы Шварцшильда при r_g= будут:

 (4.2)

Квантовые флуктуации вакуума действуют наиболее сильно на поверхности горизонта событий, где энергия нулевых колебаний определяется по формуле:

 (4.3)

Где m-количество квантовых осцилляторов на сфере Шварцшильда. Энергия соответствующая колебаниям горизонта событий будет иметь вид:

 (4.4)

Получаем уровни энергии (4.4) для горизонта событий черной дыры . Следовательно, сфера Шварцшильда или горизонт событий не просто геометрический объект, а квантовая система, обладающая квантовыми состояниями .

При n>>1 энергия сферы Шварцшильда:

Горизонт событий при переходе из одного энергетического состояния в другое излучает или поглощает энергию в виде:

 Е_ik =E_i - E_k= ; i,k>>1 (4.5)

При переходе (4.5) изменяется энергия черной дыры

Е = М с²=

Соответственно изменяется размер черной дыры, то есть площадь горизонта событий:

= где  (4.6)

Вычислим вероятность перехода сферы Шварцшильда, как физической системы из одного макросостояния (i) в другое (k) при излучении энергии (4.5) . Для этого воспользуемся формулой спонтанного квантового излучения для макросистемы (без внешних воздействий на горизонт событий):

 (4.7)

 - число квантовых осцилляторов на сфере Шварцшильда в состоянии k ,

b =,  - коэффициент квантового перехода.

Воспользуемся золотым правилом Ферми для расчета квантового перехода:

 (4.8)

где  - возмущение гамильтониана квантовой системы Н,  - количество состояний n квантовой системы на единицу энергии Е.

На сфере Шварцшильда действуют квантовые флуктуации физического вакуума, поэтому возмущение гамильтониана квантового осциллятора на горизонте событий определяется принципом неопределенности гейзенберга:

Тогда коэффициент запишется в следующем виде:

 (4.9)

Воспользуемся формулами (4.7) и (4.9), определим вероятность перехода сферы Шварцшильда из макросостояния (i) в другое(k):

= (4.10)

S=k=  (4.11)

В нашем случае количество состояний n уменьшается при излучении энергии на величину .

Тогда формулы (4.6) и (4.11) для энтропии горизонта событий дают формулу Бекенштейна для черной дыры:

S=

Литература

1. В.Фролов и И.Новиков, книга Физика Черных Дыр, Москва «Наука» 1986.

. Б. Пальцев, пособие Сферические Функции, УДК 517.586