Проект цифрового фильтра
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время методы цифровой обработки
сигналов (ЦОС) в радиотехнике, системах связи, управления и контроля приобрели
большую важность и в значительной мере заменяют классические аналоговые методы.
Обработка дискретных сигналов осуществляется,
как правило, в цифровой форме. Каждому отсчету ставится в соответствие двоичное
кодовое слово и, в результате, действия над отсчетами заменяются действиями над
кодовыми словами. Таким образом, дискретная цепь становится цифровой цепью, то
есть цифровым фильтром.
Под цифровым фильтром понимают дискретную
систему, которая описывается уравнением:
и реализованную программным путем на
цифровой ЭВМ или аппаратным путем в виде специализированного цифрового
вычислительного устройства.
Сигналы на входе x(nT) и выходе
y(nT) являются цифровыми, представленными в виде двоичного кода, в цифровом
фильтре в соответствии с заданными алгоритмами выполняются операции пересылки,
сложения, умножения кодов. В курсовой работе также приведены расчеты фильтра во
временной и частотной областях при помощи быстрого дискретного преобразования
Фурье (БПФ) и обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), а также расчет
выходного сигнала. Алгоритм функционирования фильтра реализуется неточно из-за ошибок,
возникающих при квантовании и округлении результатов арифметических операций,
поэтому необходим расчет мощности собственных шумов фильтра.
1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЦИФРОВОГО
ФИЛЬТРА
Для построения структурной схемы фильтра
необходимо записать разностное уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе
цепи и характеризующее заданную цепь во временной области:
,
где (М+1) - число прямых связей;-
число обратных связей;, k, n - целые положительные числа.
Как видно, данная форма разностного
уравнения учитывает в явном виде наличие в системе прямых и обратных связей.
К разностному уравнению можно
перейти, зная передаточную характеристику фильтра H(Z), характеризующую цепь в
частотной области. Передаточная характеристика фильтра в общем виде:
Подставляя в общую формулу заданные
коэффициенты, получаем передаточную характеристику проектируемого цифрового
фильтра:
На основании передаточной функции
определяем выходной сигнал:
Далее переходим к оригиналам и
записываем разностное уравнение:
По разностному уравнению видим, что
значение выходной величины в любой момент времени определяется не только
значением входной величины, но и предыдущим значением выходной величины.
Следовательно, проектируемый фильтр является рекурсивным. Наиболее часто
используют структурные схемы рекурсивных фильтров прямой формы и прямой
канонической формы. Прямая форма рекурсивного фильтра реализуется
непосредственно по разностному уравнению. Эта схема содержит один сумматор,
умножители, соответствующие заданным коэффициентам, и по три элемента задержки
во входной и выходной цепях. Структурная схема рекурсивного фильтра прямой
формы показана на рис.1.
Рис. 1 - Структурная схема рекурсивного фильтра
прямой формы
Структурная схема рекурсивного фильтра прямой
канонической формы представляет больший интерес для реализации, так как
содержит минимальное количество элементов задержки. Структурная схема
проектируемого фильтра, приведенная на рис.2, содержит два сумматора,
умножители и всего три элемента задержки (минимальное число).
Рис. 2 - Структурная схема рекурсивного фильтра
прямой канонической формы
2. РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ФИЛЬТРА
При анализе работы любой цифровой структуры
важное место приобретает вопрос устойчивости. Если по каким-либо причинам цепь
оказывается неустойчивой, то вместо желаемого фильтра получают генератор.
Для того чтобы фильтр был устойчивым, полюсы его
передаточной функции H(Z) должны располагаться внутри единичного круга
плоскости Z.
Приравниваем знаменатель H(Z) к нулю и находим
полюсы заданной передаточной функции по формуле Кардано:
В результате получаем следующие
корни:
Расположение полюсов на комплексной плоскости
показано на рис.2.
Рис. 3 - Расположение полюсов H(Z) на
комплексной плоскости
Так как все три полюса передаточной функции
находятся внутри единичного круга плоскости Z, фильтр является устойчивым.
3. РАСЧЕТ h(n) И H(jk1). ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ h(n) И H(jk1)
При расчете H(jkw1) исходной
последовательностью является импульсная характеристика фильтра h(nT), которая
определяется по передаточной характеристике H(Z).
Импульсную характеристику рассчитываем путем
решения разностного уравнения, полученного в п.1 из заданной передаточной
функции:
при нулевых начальных условиях и при
условии, что X(nT)=d(t).
n = 0:
= 1:
= 2:
= 3:
= 4:
n = 5:
= 6:
= 7:
В результате получаем:
(nT) = {0,79; -0,3677; 0,106951;
0,92168; 0,154502; -0,174419; 0,27622; 0,219418}
Зная импульсную характеристику, рассчитываем
H(jkw1),
используя алгоритм БПФ.
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) устанавливает
связь между отсчетами во временной и частотной областях. Формула БПФ для
импульсной характеристики:
,
где N - количество отсчетов во
временной и частотной областях; 
- весовая функция.
Так как количество отсчетов N=8, БПФ
производится в три этапа. Определяем для каждого из этапов значения весовых
функций.
Этап 1. Количество взаимодействующих
элементов - 2:
W0=
= 1 .
Этап 2. Количество взаимодействующих
элементов - 4:
=
= 1;W1=
=
= -j .
Этап 3. Количество взаимодействующих
элементов - 8:
=
= 1; W1=
=
= 0,7071 - j
0,7071; W2=
== -j ,W3=
=
= - 0,7071 -
j 0,7071 .
H(jkw1) рассчитывается
по известному алгоритму БПФ “бабочка”. Отсчеты импульсной характеристики подаются
на вход не в естественном порядке. Для получения номеров отсчетов в требуемой
последовательности номера отсчетов исходной последовательности представляем в
двоичной системе счисления, а затем переставляем разряды, записав их в обратном
порядке. Далее, путем сложения и вычитания взаимодействующих элементов,
предварительно умноженных на соответствующие весовые коэффициенты, определяем
значения на каждом этапе. Алгоритм БПФ «бабочка» и результаты вычислений
приведены на рис. 4.
Рисунок 4 - Алгоритм «бабочка» для
расчёта H(jkw1).
(jkw1) = {1,9267; 0,0022-j0,1906; 0,5613+j1,6832;
1,2688-j0,5292; 0,7287; 1,2688+j0,5292; 0,5613-j1,6832; 0,0022+j0,1906}
Построим графики h(n) и модуля H(jkΩ):
Рисунок 5 - График импульсной характеристики
h(n)
Рисунок 6 - График модуля H(jkΩ)
График модуля H(jkΩ) построен
по восьми точкам, соответствующим значениям H(jkw1), в
нормированных частотах Ω. Вне данного интервала график H(jkΩ)
периодически
повторяется.
4. РАСЧЕТ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА
.1 Расчет выходного сигнала методом
свертки
В технических системах применяется три вида
свертки дискретных сигналов:
) Линейная свертка применяется к непериодическим
сигналам и выполняется при небольшом количестве отсчетов x(nT) и h(nT).
цифровой фильтр сигнал шум
.
) Круговая свертка применяется к
периодическим сигналам и определяется на интервале, равном одному периоду.
.
) Секционированная свертка
применяется к сигналам большой длительности. При этом «длинный» дискретный
сигнал разбивают на секции одинаковой длины, вычисляют с помощью эффективного
алгоритма свертки для этих участков и строят результирующую свертку.
Реальным сигналам соответствуют
числовые последовательности конечной длины.
Конечную числовую последовательность
можно продолжить по оси времени путем периодического повторения и получить
периодическую числовую последовательность.
Замена реальных последовательностей
периодическими позволяет повысить эффективность использования вычислительной
техники применительно к дискретным сигналам, поэтому в технических системах
чаще применяется круговая свертка:
.= 0:
= 1:
= 2:
= 3:
= 4:
= 5:
= 6:
= 7:
В результате выполнения круговой свертки имеем
следующие значения выходной последовательности Y(nT):
(nT)={0,0812;-1,0051;0,4254;1,3746;-1,253;-0,4561;0,8552;0,1889}
4.2 Расчет выходного сигнала в
частотной области с помощью алгоритма БПФ и выходного сигнала во временной
области с помощью алгоритма ОБПФ
Для нахождения Y(jkw1)
предварительно, используя алгоритм «бабочка», найдем последовательность
отсчетов входного сигнала в частотной области X(jkw1).
Формула БПФ для входного сигнала:
,
где N - количество отсчетов во
временной и частотной областях; - весовая функция.
Последовательность отсчетов во
временной области X(nT) имеет вид:(nT) = {0,83; -0,9; -0,39; 0,68; -0,21; 0;
-0,17 ;0,27}
Нахождение последовательности X(jkw1) производится аналогично
расчету H(jkw1). Метод
«бабочки» для нахождения X(jkw1)
показан на рис.7.
Рисунок 7 - Алгоритм «бабочка» для
расчёта X(jkw1).
В результате расчетов получили
следующую последовательность:
(jkw1) = {0,11; 0,1137+j0,5665; 1,18+j1,85; 1,9663+j0,1265;
0,01; 1,9663-j0,1265; 1,18-j1,85; 0,1137-j0,5665}
(jkw1) определяем из выражения для передаточной
функции:
, 
.
Последовательности H(jkw1) и X(jkw1) были определены ранее:
(jkw1) = {0,11; 0,1137+j0,5665; 1,18+j1,85;
1,9663+j0,1265; 0,01; 1,9663-j0,1265; 1,18-j1,85; 0,1137-j0,5665}(jkw1) = {1,9267; 0,0022-j0,1906;
0,5613+j1,6832; 1,2688-j0,5292; 0,7287; 1,2688+j0,5292 ; 0,5613-j1,6832;
0,0022+j0,1906}
Перемножив почленно X(jkw1) и H(jkw1) найдем Y(jkw1):
Y(jkw1)= {0,2119;
0,1082-j0,0205; -2,4516+j3,0246; 2,5618-j0,8801; 0,0073; 2,5618+j0,8801;
-2,4516-j3,0246; 0,1082+j0,0205}
Зная последовательность отсчетов выходного
сигнала в частотной области Y(jkw1) с помощью
алгоритма ОБПФ найдем выходной сигнал во временной области Y(nT). Таким
образом, мы осуществим проверку правильности нахождения выходного сигнала по
формуле круговой свертки.
Формула ОБПФ для выходного сигнала:
,
где N - количество отсчетов во
временной и частотной областях; 
- весовая функция.
При расчете Y(nT) исходной
последовательностью будет являться последовательность отсчетов входного сигнала
в частотной области Y(jkw1).(jkw1) была определена ранее с
помощью алгоритма БПФ.
Количество отсчетов N=8, поэтому
ОБПФ, как и БПФ производится в три этапа. Определяем для каждого из этапов
значения весовых функций.
Этап 1. Количество взаимодействующих
элементов - 2:
=
= 1 .
Этап 2. Количество взаимодействующих
элементов - 4:
=
= 1 ; W1=
=
= +j
Этап 3. Количество взаимодействующих элементов -
8:
W0=
= 1 ; W1=
=
= 0,7071 + j
0,7071 ; W2=
=
= +j ,=
=
= - 0,7071 +
j 0,7071 .
Алгоритм ОБПФ аналогичен алгоритму
БПФ. Результаты вычислений приведены на рис.8.
Рисунок 8 - Алгоритм «бабочка» для расчёта Y(jkw1)
по ОБПФ
Полученные в результате вычислений ОБПФ значения
Y(nT) должны быть разделены на N.
При N=8 получаем следующую последовательность:
(nT)={0,082;-1,0053;0,4254;1,3748;-1,253;-0,4559;0,8552;0,1886}
Как видно последовательность отчетов выходного
сигнала во временной области с учетом неизбежной погрешности округления
совпадает с последовательностью, рассчитанной методом круговой свертки.
5. РАСЧЕТ МОЩНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ШУМОВ
СИНТЕЗИРУЕМОГО ФИЛЬТРА
В основе процессов преобразования аналогового
сигнала u(t) в цифровой сигнал x(t) лежит сравнение последовательности отсчетов
мгновенных значений аналогового сигнала с некоторым набором эталонов, каждый из
которых содержит определенное число уровней квантования.
На первом этапе преобразования формируется
последовательность отсчетов ni=u(ti). При равномерной дискретизации интервал
дискретизации постоянен.
D = 2-b ,
где b - разрядность кодовых слов.
Значение младшего разряда кодовых слов численно
равно шагу квантования.
Разность между истинным числом и ближайшим
уровнем квантования называется ошибкой квантования e(n).
ïe(n)ï £
0,5D-
при округлении чисел,
ïe(n)ï £
D-
при усечении кодовых слов.
На выходе цифровой системы ошибки квантования
воспринимаются в виде шума, который называется шумом квантования.
Источниками шумов квантования являются АЦП и
умножители. На выходе умножителей длину кодовых слов приходится ограничивать,
так как разрядность результата перемножения кодовых слов возрастает и равна
сумме разрядностей множимого и множителя.
Расчет уровня шума квантования осуществляется по
шумовой модели, которая отличается от исходной цепи наличием источников шума
квантования на выходе из АЦП и каждого из умножителей. Шумовая модель
проектируемого фильтра приведена на рис.6.
е0(n) - источник шума от АЦП,
е1(n) - е7(n)- источники шума от каждого из 7-ми
умножителей.
Уровень шума квантования можно оценить по
величине максимального шума (оценка шума по условию наихудшего случая) или по
величине усредненной энергии шума (вероятностная оценка шума).
Рис. 9 - Схема шумовой модели
фильтра
Оценка шума по максимуму приводит к
значительному превышению расчетного уровня шума по отношению к реальному,
поэтому чаще применяется вероятностная оценка.
Шум квантования имеет характер
случайной последовательности типа «белый шум». Поэтому дисперсия шума на выходе
цепи:
,
где hi(n) - импульсная
характеристика участка цепи от i-го источника шума до выхода цепи;
- дисперсия шума на выходе i-го
источника шума, которая определяется следующим образом:
- при округлении чисел,
- при усечении кодовых слов.
В основном применяется процедура
округления чисел, так как оно дает меньшую ошибку квантования. Следовательно,
при округлении чисел:
.
Дисперсия шума от всех источников на
выходе цепи, при условии отсутствия корреляции между источниками шума,
определяется суммой дисперсий шума от всех источников:
,
где L - количество умножителей;
- дисперсия шума на выходе АЦП;
- дисперсия шума на выходе каждого
из умножителей;(n) -импульсная характеристика ЦФ;(n) -импульсная характеристика
участка цепи от выхода источника шума до выхода цепи.(nT) была определена в
п.3:
(nT) = {0,79; -0,3677; 0,106951;
0,92168; 0,154502; -0,174419; 0,27622; 0,219418}
Передаточная функция от выходов
умножителей а0, а1, а2, а3 до выхода цепи:(Z) = 1 .
В результате h1(nT) = {1}.
Учитывая заданные значения
L(разрядность входного воздействия) и M(разрядность обрабатываемых
результатов):=8; M=24;
получаем значения шумов квантования
для АЦП и каждого умножителя:
,
,
Как видно, при значении разрядности
обрабатываемых результатов много большей, чем разрядность входного воздействия,
шумами от умножителей можно пренебречь. В данном случае решающее значение имеет
шум от АЦП.
В реальных условиях не исключены кратковременные
скачки помехи относительно расчетного значения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения курсовой работы был
произведен расчет цифрового рекурсивного фильтра третьего порядка.
В ходе курсовой работы были рассчитаны
характеристики фильтра во временной и частотной областях (импульсная
характеристика фильтра h(nT) и H(jkw1)) при помощи
быстрого преобразования Фурье (БПФ), выходной сигнал в частотной области,
выходной сигнал во временной области с помощью обратного быстрого
преобразования Фурье (ОБПФ), а также мощность собственных шумов фильтра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гольденберг
Л.М., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. -
М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.
2. Бизин
А.Т. Введение в цифровую обработку сигналов: Учебное пособие. - Новосибирск:
СибГУТИ, 1998. - 52 с.
. Малинкин
В.Б., Кулеша О.П., Журихин В.И. Учебное пособие по курсу «Цифровая обработка
сигналов». Часть 2. - Новосибирск: СибГУТИ, 1999.-16 с.