Исследование термосиловой устойчивости тел с покрытиями

Исследование термосиловой устойчивости тел с покрытиями

Реферат

ТРЕНИЕ, КАТАСТРОФИЧЕСКИЙ ИЗНОС, ДАВЛЕНИЕ, ТЕПЛОВОЙ ВЗРЫВ, ТЕРМОСИЛОВАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Целью данной работы является исследование износа покрытия с учетом тепловыделения от трения.

Исследования в работе проводятся аналитическим методом, схема контакта тел через покрытие была максимально упрощена, что сделало возможным рассмотреть большое число явлений, происходящих в зоне контакта.

В результате выполнения данной работы построено решение несвязной задачи термоупругости в квазистатической постановке. Получены формулы, позволяющие рассчитать контактную температуру, напряжения и перемещения в покрытии, а также исследовать связь между давлением и толщиной слоя в зависимости от времени.

Кроме того получены два условия: «теплового взрыва» и термосиловой устойчивости покрытия.

Введение

В работе рассматривается задача об истирании (износе) упругого слоя материала (покрытия). Покрытие нанесено на твердое (недеформируемое) тело. По поверхности покрытия скользит и давит на него жесткий штамп (плита). Схема контакта тел через покрытие максимально упрощена, что сделало возможным рассмотреть большое число явлений, происходящих в зоне контакта. Учитываются тепловыделение от трения в области контакта, неоднородность твердости по глубине слоя, зависимость коэффициентов трения и износостойкости от температуры.

На основе решения несвязанной квазистационарной задачи термоупругости для слоя изучено явление изнашивания покрытий при тепловыделении от трения, определены связь контактной температуры с контактным давлением, определен ресурс трибосопряжения при абразивном режиме износа, определено условие теплового взрыва.

Рассмотренная в работе модель в первом приближении может объяснить износ различных движущихся деталей, например, тонких поршневых колец, вызванный их перегревом.

1. Постановка задачи

Рисунок 1 - Схема контакта плиты (штампа) с материалом покрытия-слоя

Пусть упругий слой начальной толщины  жестко сцеплен с недеформируемым основанием. В поверхность слоя усилием  вдавливается жесткая бесконечная плита. Допустим, что эта плита движется с постоянной скоростью  в направлении оси  (рисунок) и в области контакта плиты со слоем возникают силы Кулоновского трения

,

где  - коэффициент трения, зависящий от времени.

Вследствие трения в области контакта происходит износ поверхности слоя  (то есть толщина слоя меняется со временем) и выделяется в единицу времени на единицу площади контакта количества тепла [1]

 (1.1)

которое приводит к нагреванию поверхности слоя, а также всей плиты до температуры , превышающей температуру нижней грани слоя . Предполагаем, что на нижней грани слоя поддерживается температура окружающей среды, которую принимаем за начало отсчета температур, то есть принимаем .

Таким образом, формируется поток тепла  через слой, равный при [2]

, (1.2)

где  - коэффициент теплопроводности слоя.

Условие баланса тепла при  , то есть на поверхности слоя равно

. (1.3)

Мощность энергии, идущей на износ поверхностного слоя , определяется соотношением

, (1.4)

где  - коэффициент пропорциональности.

Будем считать, что  - медленно меняющаяся функция времени, и процесс теплопроводности через слой является квазистационарным. Тогда уравнение теплопроводности имеет вид [9]

. (1.5)

2. Определение температуры в зоне контакта плиты и слоя

Решением (1.5) является

. (2.1)

Имеем следующие граничные условия

, (2.2)

. (2.3)

Кроме того, в силу соотношений (1.1)-(1.4) имеем при

.

С другой стороны, согласно (1.1) имеем

.

Приравнивая правые части, получим

 (2.4)

где , так как поток тепла положителен.

Подставим решение (2.1) в граничное условие (2.2) , найдем, что .

Из второго граничного условия (2.3) определим

 отсюда .

Следовательно, решение (2.1) примет вид

. (2.5)

Эта функция описывает распределение температуры внутри слоя, если - известно.

Продифференцируем (2.5) и в полученной формуле положим . Тогда формула (2.4) преобразуется к виду

. (2.6)

Предположим, что коэффициент трения  является линейной функцией контактной температуры  ,то есть

. (2.7)

где ,

,

-коэффициент линейного расширения слоя,

-коэффициент Пуассона.

Тогда соотношение (2.6) с учетом (2.7) перепишется в виде

.

Отсюда следует формула для определения температуры в зоне контакта плиты и слоя - покрытия

. (2.8)

Заметим, что должно выполняться условие

 (2.9)

для всех ,

где  - время, необходимое для полного истирания слоя (ресурс трибосопряжения),

- температура поверхностей плиты и слоя в зоне контакта ().

Если , то  - условие теплового взрыва.

Замечание:

В формуле (2.8) закон изменения толщины слоя  вследствие износа считается неизвестным, если сила  задана. И, наоборот, может быть задана функция , а величина усилия, вдавливающего жесткую плиту в слой-покрытие, вследствие чего происходит истирание, неизвестна. Эти функции будут определены позже.

3. Определение напряженно-деформированного состояния слоя (НДС)

Так как режим рассматривается квазистационарный, то в этих уравнениях пренебрежем инерционными членами  и . В рассматриваемом случае перемещение  вдоль оси  равно нулю, а перемещения  и  вдоль осей  и  являются функциями только времени  и координаты . Поэтому уравнения Ляме-Неймана упрощаются и имеют вид

, (3.1)

. (3.2)

Нормальное напряжение  и касательное  определяются выражениями [9] (Приложение А)

, (3.3)

. (3.4)

Коэффициенты  и  даются формулами

 (3.5)

где  - модуль сдвига слоя,

 - коэффициент Пуассона,

- коэффициент линейного расширения слоя.

Граничные условия задачи

 при , (3.6)

при . (3.7)

Первое условие (3.6) означает, что нижняя грань  слоя-покрытия жестко сцеплена с твердым телом. Второе условие означает, что на поверхности слоя  заданы вертикальные усилия  и касательные усилия , причем согласно условиям задачи  и  связаны соотношением .

Подставим выражение для температуры (2.5) в уравнение (3.1), получим

.

Дважды проинтегрируем это уравнение, определим перемещение точек слоя  в направлении оси

,

.

.

Удовлетворяя граничным условиям (3.6), найдем

.

Из (3.3), (3.4) и граничных условий (3.7) получим

,

отсюда

.

Из второго граничного условия имеем

,

отсюда

.

Решение уравнений (3.1) и (3.2) имеет вид

, (3.8)

. (3.9)

При этом функция  описывается формулой (2.8)

Замечание:

Очевидно, что температура и смещения как внутри, так и на поверхности покрытия зависят от многих параметров: V, p(t), h(t), k(t), ,, , ,, .

Вычислим нормальное и касательное напряжения в точках слоя-покрытия по формулам (3.3) и (3.4) с учетом решений (3.8),(3.9),

 ,

 .

4. Условие термосиловой устойчивости

Условие контакта плиты (штампа) со слоем при  можно представить в виде

, (4.1)

где  - упругое перемещение (3.8) при ,

 - перемещение плиты в направлении оси , вызываемое износом слоя,

 - начальная толщина слоя,

 - толщина слоя, меняющаяся со временем в силу износа.

В случае абразивного износа перемещение  пропорционально работе сил трения [3], то есть

 ,

Подставим сюда , получаем

, (4.2)

где  - коэффициент износостойкости.

Подставим (4.2), (3.8), (2.7) в (4.1), получим

 (4.3)

Подставим теперь (2.8) в (4.3), имеем

, (4.4)

где ,что следует из (2.8).

Введем безразмерные величины

,,

,,

,,

,.

Тогда уравнение (4.4) запишется в виде (в дальнейшем знак «~» опускаем для удобства)

, (4.5)

.

Замечание:

Величину  конкретизируем ниже. Уравнение (4.5) можно рассмотреть при заданных  и  как уравнение относительно неизвестной функции , а при заданных  и  как уравнение относительно неизвестной функции .

В обоих случаях это будет нелинейное интегральное уравнение Вольтерра.

Положим в (4.5) , имеем

, (4.6)

.

Величина  мала и описывает деформацию слоя в момент времени .

Предполагаем, что в любой момент времени  выполняется , тогда из (4.6) с учетом (2.9) и при  вытекает неравенство

.

С учетом , то есть  получаем

. (4.7)

Условие (4.7) называется условием термосиловой устойчивости.

Это условие можно записать в виде

Замечание:

Таким образом, термосиловая устойчивость покрытия зависит от скорости  движения плиты, контактирующей с покрытием, и от свойств материала покрытия: коэффициента Пуассона , модуля упругости слоя , коэффициента линейного расширения  и коэффициента теплопроводности слоя , а также от коэффициента трения.

Решив уравнение (4.5), то есть определив , если  задано, или  при известном , найдем контактную температуру  по формуле (2.8), которую с учетом обезразмеривания, запишем в виде

. (4.8)

5. Вычисление контактного давления

Пусть   и . Так как  (), то . Предположим, что в размерных величинах

. (5.1)

Это означает, что коэффициент износостойкости  является линейной функцией температуры  на контакте.

В безразмерных переменных (5.1) с учетом (4.8) примет вид

,. (5.2)

Подставим (5.2) в (4.5) и, пренебрегая малой величиной  в сравнении с единицей, получим интегральное уравнение для определения .

. (5.3)

Учли, что .

Продифференцируем (5.3), приходим к дифференциальному уравнению

. (5.4)

Начальное условие получим из (5.3), полагая

. (5.5)

Разделим в (5.4) переменные

Решим это уравнение методом неопределенных коэффициентов. Представим

где А,В - неизвестные пока коэффициенты.

Приведем к общему знаменателю

.

Имеем

,

Раскроем скобки

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях p

,

.

Отсюда следует

,

.

Таким образом

, B =1,

.

Интегрируя, получаем

.

Положим в этой формуле t=0, из последнего выражения найдем постоянную C в виде

,

.

Окончательно давление будет определятся выражением

где

Перепишем это решение уравнения (5.4) в виде

, (5.6)

где функция М(t) описывается формулой

.

Здесь учли условие (5.5).

Замечание:

Из этой формулы следует, что контактное давление  при  экспоненциально убывает, если .

Таким образом, чтобы толщина покрытия оставалась постоянной (износ отсутствовал) необходимо, чтобы контактное давление ослабевало с течением времени.

6. Нахождение закона изменения толщины покрытия вследствие износа

Пусть  и . Допустим, что твердость материала слоя изменяется по толщине. Коэффициент износостойкости  приблизим линейной функцией .

В размерных величинах

. (6.1)

. (6.2)

Подставим (6.2) в (4.5), получим интегральное уравнение для определения

,

. (6.3)

Продифференцируем (6.3) по времени t

. (6.4)

Начальное условие имеет вид

. (6.5)

Это условие получим из (6.3), полагая .

Из начального условия (6.5) единственное значение  может быть определено, если выполняется неравенство

. (6.6)

В этом можно убедиться, если найдем корни квадратного уравнения (6.5) , .

Уравнение (6.4) перепишем в виде

,

Вычислим интегралы получаем

Упростим полученное уравнение

В результате имеем

Обозначим

,

тогда

Решением уравнения (6.4) является

, (6.7)

,

а  определяется из начального условия (6.5).

Значение  определяется из начального условия (6.5). Подставляя найденное значение  в (6.7), получим

 (6.8)

Полагая в (6.8)  и учитывая , находим ресурс трибосопряжения

. (6.9)

-время, необходимое для полного истирания покрытия.

Рассмотрим случай, когда ,

Полагая в (6.4) g=0, имеем

Раскроем скобки

Интегрируем это выражение

После вычисления интегралов, имеем

 (6.10)

В последнем выражении полагая t=0, находим

Подставляя найденное значение C в (6.10), получаем

При ,

.

Учитывая условие (6.5) последнюю формулу можно переписать в виде

или в размерных величинах

.

Учитывая, что [5]

,

Получим

,

где  - интенсивность линейного изнашивания,

.

Замечание:

Отметим, что формулы (6.7), (6.9) сохраняют силу и в случае, если вместо (6.1) принять для  зависимость (5.1). Необходимо только в них принять , где  имеет вид (5.2).

Для твердосмазочного покрытия ВНИ ИНП-219 толщины , нанесенного на стальную основу и находящегося в контакте с движущейся подложкой (сталь 1Х17Н2) в условиях трения без смазки, когда

определим .

Вычислим значение  в безразмерном виде

Подставляя значения:

,

,

,

,

Найдем

=6.

7. Численные расчеты

В предположениях п.5 () будем считать, что коэффициент износостойкости материала покрытия .

Уравнение (5.3) примет вид (в безразмерных параметрах)

, (7.1)

Продифференцируем это уравнение, получим

. (7.2)

Начальное условие для уравнения получим, полагая в (7.1)

. (7.3)

Решением уравнения (7.2) является

.

Отсюда находим

. (7.4)

Неизвестную  найдем из начального условия (7.3)

.

Вычислим значение

.

Подставляя значения параметров для твердосмазочного покрытия [9]

,

,

,

,,

,,

,

Найдем величину

.

Получили

График функции

 (7.5)

представлен на рисунке Б.1.

Температура в зоне контакта определяется формулой

,

график которой построен на рисунке Б.2.

Смещения в безразмерном виде в зоне контакта плиты и покрытия

,

.

Графики построены на рисунках Б.3 и Б.4 соответственно.

В предположениях п.6 () будем также считать, что коэффициент износостойкости материала покрытия не зависит от времени

.

Тогда уравнение (4.5) примет вид (в безразмерных параметрах)

. (7.6)

Решение может быть определено, если

.

Решая (7.6), получим

.

Из этих двух решений следует выбрать то, которое удовлетворяет условию .

Удовлетворяющие нашему условию является следующее решение

.

Из этой формулы видно, что когда , то , то есть покрытие-слой полностью износится.

Заключение

В работе рассматривается задача об истирании (износе) упругого слоя материала (покрытия).

Изучена задача о контакте двух твердых тел через упругое покрытие (слой), при этом одно тело жестко сцеплено с покрытием, а другое - скользит по покрытию с некоторой скоростью.

Рассмотрено явление изнашивания покрытий при тепловыделении от трения.

При этом предполагается, что все процессы во времени медленно меняются, то есть, рассмотрена несвязная задача термоупругости в квазистатической постановке. Построено решение указанной задачи. Получены формулы, позволяющие рассчитать контактную температуру, напряжения и перемещения в покрытии, а также связь между давлением и толщиной слоя в зависимости от времени.

Получено условие термосиловой устойчивости покрытия и условие при котором наблюдается явление «теплового взрыва».

Список использованных источников

1.   Александров В.М. О термосиловом взаимодействии деформируемых

2.      перекрытий тел с учетом износа / В. М. Александров // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1995. - № 5. - С. 70 - 75.

.        Александров В.М. Абразивный износ тонкого мягкого покрытия при нелинейном законе трения с учетом тепловыделения / В.М. Александров // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Техн. науки. - 2001. - Спецвыпуск. - С. 11 - 13.

.        Александров В.М. Контактная задача для тел с покрытиями с учетом нелинейного трения, износа и тепловыделения от трения / В.М. Александров. Изв. РАН. МТТ. - 2003.- № 4. - С. 128 - 135.

.        Хрущов М.М. Абразивное изнашивание / М.М. Хрушов, М.А. Бабичев. - М.: Наука, 1970. - 251 с.

.        Крагельский И.В. Основы расчетов на трение и износ / И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, В.С. Комбалов. М.: Машиностроение, 1977. - 528 с.

.        Подстригач Я.С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя / Я.С. Подстригач // Инж. - физ. журнал. 1963. - Т. 6. - № 10. - С. 129 -136.

.        Александров В.М. Взаимодействие покрытий тел с учетом деформируемости, износа и тепловыделения от трения / В.М. Александров, Г.К. Аннакулова // Трение и износ. - 1992. - Т. 13. - № 1. С. 154 - 160.

.        Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко. - Киев: Наук. думка, 1970. - 380 с.

.        Полянин А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев. - М.: Физматлит, 2002. - 432 с.

Приложение А

Вспомогательные формулы

Полная система дифференциальных уравнений, описывающая движение термоупругой среды [9]

 , (А. 1)

 , (А. 2)

 . (А. 3)

Уравнение теплопроводности с учетом связанности полей [9]

 . (А. 4)

Здесь

,

,

где  - параметры Ляме,

 - коэффициент линейного расширения,

 - плотность среды,

 - коэффициент теплопроводности,

 - начальная температура, за которую обычно принимают температуру окружающей среды,

 - перемещения точек среды,

 - температура.

Граничные условия задачи

,

;

.

Эти граничные условия для задачи о колебаниях полуограниченного слоя толщины . Нижняя грань слоя жестко сцеплена с недеформируемым основанием и теплоизолирована, на верхней границе заданы нормальные , касательные  напряжения и тепловой поток .

Здесь  - коэффициент теплопроводности,

 - нормальная компонента вектора теплового потока.

Рассмотрим случай, когда перемещение  вдоль оси  равно нулю, а перемещения  и  вдоль осей  и  зависят только от координаты . Если рассматривается квазистационарная задача, то в уравнениях Ляме-Неймана (1)-(3) можно пренебречь инерционными членами  и . Тогда получим вместо уравнений (1)-(3) два уравнения

 , (А. 5)

 (А. 6)

(ось  перпендикулярна поверхности среды).

Рассмотрим также несвязанную задачу, то есть вторым слагаемым в уравнении (4) (вкладом упругих волн) можно пренебречь.

Кроме того, считаем, что тепловой процесс является квазистационарным, то есть третьим слагаемым в уравнении (4) также можно пренебречь. В результате получим

. (А. 7)

Дифференциальные уравнения (5)-(7) являются основными дифференциальными уравнениями, описывающими исходную задачу.

Граничными условиями при данных предположениях являются

,

.

Заметим, что

,

,

где  - коэффициент Пуассона.

То есть граничные условия примут вид

,

.

Приложение Б

Графики

Рисунок Б.1 - Контактное давление p(t)

Рисунок Б.2 - Температура поверхностей T*(t)

плита слой термосиловой устойчивость

Рисунок Б.3 - Горизонтальное перемещение v(h,t)

Рисунок Б.4 - Вертикальное перемещение вдоль w(h,t)