Уравнения свертки. Обобщенные функции

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

. Обобщенные функции

.1 Основные понятия

.2 Пространство обобщенных функций

.3 Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

.4 Свойства обобщенных производных

.5 Обобщенные функции, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами

. Операции над обобщенными функциями

.1 Свертка обобщенных функций

.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций

.3 Преобразование Фурье обобщенных функций

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение А Нахождение решения уравнения изгиба балки в математическом пакете Maple

Введение

Со времен Огюстена Коши понятие функции постоянно уточнялось и претерпевало все более широкие обобщения и расширения. Обобщенные функции являются крупнейшим достижение математики XX века. Обобщенные функции получают сейчас все более широкое распространение в различных разделах математики и физики.

Понятие обобщенной функции с одной стороны, дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физические величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, понятие обобщенной функции учитывает эту двойственную природу измерений и потому служит адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. В литературе обобщенные функции часто называют распределением.

В конце 20-х годов П. Дирак ввел так называемую -функцию, обладающую следующим свойством  для , если  - любая непрерывная функция, то . Конечно и самому Дираку было ясно, что с математической точки зрения это определение бессмысленно, что  функция не есть функция, понимаемая в классическом смысле. У О. Хевисайда в его операционном исчислении  функция выступает как результат применения оператора  к единичной ступеньке. В середине 30-х годов С.Л. Соболев заложил основы теории обобщенных функций как линейных непрерывных функционалов над пространством достаточно «хороших» функций и успешно применял их в исследовании задачи Коши для уравнения гиперболического типа. В послевоенные годы Л. Шварц, опираясь на созданную школой Н. Бурбаки теорию линейных локально выпуклых топологических пространств дал систематическое изложение теории обобщенных функций в его знаменитой двухтомной монографии и указал на ряд важных ее применений.

Отдельные классы сингулярных обобщенных функций по существу рассматривались в пионерских работах С. Бохнера, Ж. Адамара и М. Рисса в связи с задачами «регуляризации» расходящихся рядов и интегралов.

И.М. Гельфанд и Г.Е. Шилов расширяют понятие обобщенной функции включая в рассмотрение целую шкалу пространств основных функций как бесконечно дифференцируемых, так и аналитических. В 50-е годы Н.Н. Боголюбов впервые показал фундаментальную роль обобщенной функции в описании процессов локального взаимодействия элементарных частиц и применил их для построения аксиоматической квантовой теории поля. В это же время методами теории обобщенных функции были установлены фундаментальные результаты для произвольных дифференциальных операторов с постоянными и аналитическими коэффициентами. Следует подчеркнуть, что обобщенные функции обладают рядом замечательных свойств и преимуществ, расширяющих возможности классического математического анализа. Например, любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой, т.е. сходящиеся ряды и последовательности их обобщенных функций можно почленно дифференцировать бесконечно число раз. Поэтому использование техники обобщенных функций существенной расширяет класс рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, формализуя элементарные операции.

Целью курсовой работы является исследование обобщенных функций и их применение на практике, в частности, на примере нахождения решения изгиба балки в математическом пакете Maple. Поставленная цель определила постановку следующих задач:

–       анализ существующих видов обобщенных функций;

–       изучение пространства обобщенных функций;

–       решение уравнений в обобщенных функциях.

Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе рассматривается понятие обобщенных функций и их виды, пространство обобщенных функции, дифференциальные уравнения в них. Вторая глава посвящена операциям с обобщенными функциями, применение свертки к обобщенным функциям, исследование преобразований Лапласа и Фурье, этапам вычислений в пакете Maple с краткими сведениями о работе.

В заключении приводится пример нахождения решения уравнения изгиба балки с применением обобщенных функций в математическом пакете Maple.

1. Обобщенные функции

.1 Основные понятия

Обобщенные функции - математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Обобщенные функции были введены впервые в конце 20-х гг. XX в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и ее производных. Основы математической теории обобщенных функций были заложены С.Л. Соболевым в 1936 году при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории обобщенных функций. Важную роль в формировании теории обобщенных функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в связи с изучением фундаментальных решений волновых уравнений рассмотрены сходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса.

С другой стороны, к теории обобщенных функций вплотную подводит теория С. Бохнера преобразований Фурье функций степенного роста. Эти преобразования Фурье являются по существу обобщенными функциями и выступают у С. Бохнера как формальные производные непрерывных функций. Обобщенные функции необыкновенно быстро, буквально за два-три года, приобрели чрезвычайно широкую популярность. Достаточно указать хотя бы на тот факт, что количество математических работ, в которых встречается дельта-функция, возросло во много раз.

В дальнейшем теорию обобщенных функций интенсивно развивали многие математики, главным образом из-за потребностей математической физики. Теория обобщенных функций имеет многочисленные применения и все шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально обобщенные функции определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространством основных функций . Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или точнее топологией). При этом обычные локально суммируемые функции  отождествляются с функционалами (регулярными обобщенными функциями) вида:

. (1)

Произвольная обобщенная функция  определяется как функционал , задаваемый равенством:

. (2)

Следовательно, каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций , так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве обобщенных функций вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования обобщенных функций непрерывна, а сходящаяся последовательность обобщенных функций разрешает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и другие операции над обобщенными функциями, например свертка, преобразование Фурье и Лапласа. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия обобщенных функций, расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование обобщенные функции существенно расширяет круг рассматриваемых задач и приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Примеры:

-       -функция Дирака: , описывает плотность массы (заряда), сосредоточенной в точке , единичный импульс;

-       - функция Хевисайда: , при , , при , ; производная от этой функции равна единичному импульсу;

-       - плотность диполя момента в точке , ориентированного вдоль оси ;

-       - плотность простого слоя на поверхности  с поверхностной плотностью ;

-       плотность двойного слоя на поверхности  с поверхностной плотностью момента  диполей, ориентированных вдоль направления нормали ;

-       свертка ньютонов, потенциал с плотностью , где  - любая обобщенная функция (например, из первых пяти пунктов);

-       общее решение уравнения колебаний струны задается формулой , где  и  любые обобщенные функции.

1.2 Пространство обобщенных функций

обобщенный функция преобразование фурье

Совокупность обобщенных функций, порождаемых основным пространством , образует пространство . Рассмотрим подпространство обобщенных функций  пространства , состоящее их обобщенных функций, равных нулю вне некоторого конечного интервала принадлежащего . Применим в этом пространстве операцию умножения двух функций в виде свертки этих функций. Если , то и  Кроме того свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицы в  играет функция , так как для  .

Пусть существует  такая что  тогда  называется обратной обобщенной функцией . Пространство  с введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.

Пусть существует алгебра со сверткой . Обобщенная функция , так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль. Обобщенная функция сосредоточена вначале координат, поэтому  Далее,

 поэтому

Теорема. Пусть для  существуют обратные функции  и , тогда свертка  имеет обратную функцию вида .

Действительно, .

Есть определенное в  уравнение в свертках . Свертка существует для любой обобщенной функции , так как .

Следовательно,  является фундаментальным решением уравнения . В частности, фундаментальное решение уравнения  с оператором  принадлежит алгебре со сверткой . Следовательно,

. (3)

Существует операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение:

, (4)

где . Среди эффективных методов решения этого уравнения возьмем метод преобразования Лапласа. Применяя преобразование Лапласа к левой и правой части этого уравнения, получается:

. (5)

Отсюда следует: .

Если для функции  существует оригинал, принадлежащий , то он и является искомым решением. В качестве примера можно рассмотреть уравнение . С помощью преобразования Лапласа, следует: .

Следовательно,

. (6)

Поэтому

.(7)

Существуют регулярные и сингулярные обобщенные функции. Обобщенные функции, определяемые локально интегрируемыми в  функциями по формуле , называются регулярными обобщенными функциями. Остальные обобщенные функции называются сингулярными обобщенными функциями.

Производные обобщенной функции: пусть . Тогда при всех  справедлива формула интегрирования по частям: . Это равенство будет (обобщенной) производной  обобщенной функции : . В частности, при  данное равенство принимает вид: .

Первообразная обобщенной функции: пусть n=1. Всякая непрерывная функция  имеет (единственную с точностью до аддитивной постоянной) первообразную: . Обобщенная функция  из  называется первообразной обобщенной функции  из , если , т.е. .

Обобщенные функции не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее, можно говорить об обращении в нуль обобщенной функции в области.

Говорят, что обобщенная функция  равна нулю в области , если  для всех . Этот факт будем записывать так:  или . В соответствии с этим определением обобщенные функции  и  называются равными в области , если , при этом: . В частности, обобщенные функции  и  называются равными , если  для всех .

Пусть обобщенная функция  равна нулю в области . Тогда она, очевидно, равна нулю и в окрестности каждой точки этой области. Справедливо и обратное.

1.3 Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

Пусть существует уравнение . Если  - обычная функция, то ее решение есть первообразная, то есть . Пусть теперь  - обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция  называется первообразной обобщенной функцией , если . Если  - сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная - регулярная обобщенная функция. Например, первообразная  является ; первообразная  является функция , а решение уравнения  можно записать в виде: , где .

Есть линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

, (8)

где  - обобщенная функция. Пусть  - дифференциальный полином -го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (8) называется обобщенная функция , для которой выполняется соотношение:

.

Если  - непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (8) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (8) называется любая обобщенная функция  такая, что .

Функция Грина - фундаментальное решение, удовлетворяющее граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (8) существует и имеет вид:

, (9)

если только свертка определена.

Пример: .

Нетрудно увидеть, что фундаментальным решением этого уравнения является , так как

 (10)

и

. (11)

Поэтому

.    (12)

1.4 Свойства обобщенных производных

-       Операция дифференцирования  линейна и непрерывна из  в :

 в  , если  в  ;

-       каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Действительно, если , то ; в свою очередь  и т.д.;

-       результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, ;

-       если  и , то справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения . Например, ;

-       если обобщенная функция , то ;

-       если ряд , составленный из локально интегрируемых функций , сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные ряды будут сходится в .

Пример. Пусть

Функция  называется функцией Хевисайда или единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Можно найти ее производную. Согласно определению, , т.е. .

1.5 Обобщенные функция , отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами

До сих пор рассматривались исключительно квадратичные формы с вещественными коэффициентами. В этом пункте исследуется пространство всех квадратичных форм  с комплексными коэффициентами.

Задачей является определение обобщенной функции , где  - комплексное число. Однако в общем случае  не будет однозначной аналитической функцией от . Поэтому в пространстве всех квадратичных форм  выделяют «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью и определяют для них функцию . А именно, если квадратичная форма  принадлежит этой «полуплоскости», то пологается , где . Такая функция  является однозначной аналитической функцией от .

Можно сопоставить теперь функции  обобщенную функцию :

, (13)

где интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (13) сходится при  и является в этой полуплоскости аналитической функцией от . Продолжая аналитически эту функцию, определяется функционал  для других значений .

Для квадратичных форм  с положительно определенной мнимой частью находятся особые точки функций  и вычисляются вычеты этих функций в особых точках.

Обобщенная функция  аналитически зависит не только от , но и от коэффициентов квадратичной формы . Тем самым,  является аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида , где  есть положительно определенная форма. Следовательно,  однозначно определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм вида , где  - положительно определенная форма.

2. Операции над обобщенными функциями

.1 Свертка обобщенных функций

Пусть  и  - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций  и  определяется соотношением:

,

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной . Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену .

Если ,  - регулярные обобщенные функции и , то можно записать:

Произведение  и  можно рассматривать как прямое произведение , так что:

.

Это соотношение определяет свертку обобщенных функций , в том числе и сингулярные обобщенные функции.

Свертка обобщенных функций имеет следующие свойства:

-       ;

-       ;

-       ;

-       если , то

 (14)

Доказательство последнего соотношения. Действительно, для

или

Примеры:

-       ;

-       .

2.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций

Пусть  - обобщенная функция из . Если  имеет компактный носитель, то есть , то, выражение  имеет смысл для любого  и представляет собой целую аналитическую функцию. Она называется преобразованием Лапласа обобщенной функции  и обозначается .

Определение. Комплекснозначная функция  действительного переменного  называется оригиналом, если:

-       для ;

-       - кусочно-дифференцируема;

-       .

Тогда функция  называется преобразованием Лапласа функции . Функция  бесконечно дифференцируема в полуплоскости  и для нее справедливо следующее соотношение:

.

Если , то , где  - скачок функции  в начале координат. Обратное преобразование Лапласа  равно .

Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:

-       ;

-       ;

-       ;

-       .

Определение. Преобразование Лапласа обобщенной функции  определяется соотношением: .

Свойства:

-       ;

-       ;

-       .

В данном случае производные нужно рассматривать как производные обобщенных функций.

Заметно, что:

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

Можно найти преобразование Лапласа свертки обобщенных функций  и :

.

Получается: . Так как  то . Также можно написать

.

Преобразование Лапласа часто используемых обобщенных функций:

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       ,

где  - функция Бесселя нулевого порядка.

2.3 Преобразование Фурье обобщенных функций

Пусть основное пространство  состоит из бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций  действительного переменного , равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции  определяется соотношением: .

Если рассматривать  как комплексную переменную , то

и  - бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получится:

.

В общем случае можно записать:

.

Далее, если  - дифференциальный полином с постоянными коэффициентами , то .

Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции  называется обобщенная функция , определяемая соотношением:

,

которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.

Свойства преобразования Фурье:

-       ;

-       ;

-       ,

где  - оператор, обратный , удовлетворяющий соотношению

;

-       ;

-       .

Преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций:

-       ;

-       ;

-       ;

-       ;

-       .

Пример. Найти преобразование Фурье обобщенной функции Дирака. По определению:

.

Заключение

Новые задачи физики и математики, появившиеся в XX столетии, привели к появлению нового понятия функции - обобщенной функции или распределения.

Обобщенные функции получают сейчас все более широкое распространение в различных разделах математики. В некоторой форме обобщенные функции по существу уже давно применялись физиками.

Обычное понятие функции, которое ставит в соответствие каждому значению  (из некоторой области определения этой функции) соответствующее ему значение , оказалось абсолютно недостаточным.

Потребность в подобном обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Обобщенные функции дают возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д.

В понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в малых окрестностях данной точки. Поэтому, техника обобщенных функций служит удобным и адекватным средством для описания многих распределений различных физических величин.

В курсовой работе в качестве примера применения обобщенных функций на практике была взята задача на нахождение решения уравнения изгиба балки . Вычисления проводились в математическом пакете Maple. В вычислениях применялись: -функция Дирака, функция Хевисайда , их производные. Таким образом, было найдено решение и построен график.

Приложение А

Нахождение решения уравнения изгиба балки в математическом пакете Maple

Рисунок А.1 - Построение функции Хевисайда

Рисунок А.2 - Описание уравнений нагрузки

Рисунок А.3 - Уравнение изгиба балки и его граничные условия