Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского
Курсовая
работа
по теме
Модель
Кэли-Клейна геометрии Лобачевского
Выполнил:
студент 3 курса 4 группы
Дмитриев Е.В.
Введение
Геометрия - это одна из древнейших наук. Со
временем, традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову - геометрию
Лобачевского.
С момента появления геометрии Лобачевского,
часто возникали вопросы о непротиворечивости системы аксиом этой геометрии. При
доказательстве непротиворечивости геометрии Лобачевского необходимо построить
модель в терминах евклидовой планиметрии и тем самым решить этот вопрос.
Геометрия Лобачевского помогает взглянуть
по-другому на окружающий нас мир, это необычный и прогрессивный раздел
геометрии. Открытие русского ученого Николая Ивановича Лобачевского дало
решающий толчок развитию науки, способствовало и способствует поныне более
глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
Не смотря на то, что эта геометрия несколько
удивительна для нас, но в логическом отношении данная геометрия не уступает
геометрии Евклида.
Нам известна одна из моделей геометрии
Лобачевского - модель Пуанкаре. Но кроме неё, существует и другая модель данной
геометрии - модель Кэли-Клейна.
Модель Кэли - Клейна (иногда называется просто
моделью Клейна) планиметрии Лобачевского - одна из первых моделей геометрии
Лобачевского.
Лондонский адвокат, а позднее профессор
Кембриджского университета, Артур Кэли был одним из создателей теории
инвариантных алгебраических форм; при этом в своих работах он широко
пользовался геометрической интерпретацией. В 1859 году в своей работе «A
sixth memoir
upon the
quantics» он ввел понятие о
проективной метрике на плоскости. Однако сам Кэли не усмотрел связь
определенных им метрик с геометрией Лобачевского.
Связь результатов Кэли с геометрией Лобачевского
была установлена профессором в Гёттингенском и Эрлангенском университетах -
Феликсом Клейном в 1872 году в работе «О так называемой неевклидовой
геометрии». Поэтому данная модель и носит имя обоих математиков.
С помощью этой модели удалось доказать
непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости
Евклидовой геометрии.
Целью работы является изучение модели
Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.
В работе рассматриваются:
· Модель Кэли-Клейна геометрии
Лобачевского;
· Точки и прямые в данной модели;
· Расстояние и углы, выполнение группы
аксиом расстояния;
· Перемещение плоскости и выполнение
аксиомы подвижности плоскости;
· Угол параллельности,
перпендикулярные прямые и эквидистанту;
· Наиболее важные теоремы в модели
Кэли-Клейна: теорема косинусов, теорема о сумме углов треугольника и четвертый
признак конгруэнтности.
Глава 1. Модель Кэли-Клейна геометрии
Лобачевского
1.1 Геометрия Лобачевского
Планиметрия Лобачевского стоится на основе пяти
групп аксиом, из
которых первые четыре те же, что и в планиметрии
Евклида, а единственная аксиома V
группы является отрицанием аксиомы параллельности Евклида. Эту аксиому будем
называть аксиомой параллельности Лобачевского и обозначать Vл.
Определение:
Пусть а - некоторая прямая. Полуплоскостью, ограниченной прямой а, называется
множество точек со следующими свойствами: 1) это множество содержит прямую а;
2) если точки А и В, не лежащие на прямой а, принадлежат этому множеству, то
отрезок [АВ] не имеет с а общих точек; 3) если же точка А принадлежит эту
множеству, а точка С нет, то отрезок [АС] имеет с а общую точку.
Определение:
Флагом называется объединение открытой полуплоскости и луч на её границе.
Определение:
Движением плоскости называется отображение плоскости в себя, сохраняющее
расстояние между точками.
Приведем аксиоматику геометрии Лобачевского.
[2], [3]
· Аксиомы принадлежности:
Аксиома I.1:
Всякая прямая содержит, по крайней мере, две точки;
Аксиома I.2:
Существует, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой;
Аксиома I.3:
Через всякие две точки проходит прямая и притом только одна.
· Аксиомы порядка:
Аксиома II.1:
Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя
другими;
Аксиома II.2 (аксиома разбиения
плоскости): Для любой прямой существует ровно две
полуплоскости, ограниченные этой прямой;
Аксиома II.3:
Для любых двух точек А и В существует такая точка С, что точка В лежит между А
и С.
· Аксиомы
расстояния:
Аксиома III.1: Для любых
точек А и В выполняется условие , при этом тогда и
только тогда, когда А=В;
Аксиома III.2: Для любых
точек А и В выполняется равенство ;
Аксиома III.3(неравенство
треугольника):
Для любых точек А, В и С выполняется условие ;
Аксиома III.4: Равенство выполнятся
тогда и только тогда, когда точка С принадлежит отрезку [АВ];
Аксиома III.5: Каковы бы
не были точки M и N, существует единственная функция - расстояние между точками
- удовлетворяющая аксиомам III.1-III.4 и принимающая
значение 1 для точек M и N;
Аксиома III.6: Если задан
единичный отрезок, то для любого положительного числа а на всяком луче с
началом О найдется такая точка А, что
· Аксиома подвижности плоскости:
Аксиома IV.1:
Для любых двух флагов F и F' существует движение плоскости, отображающее флаг F
на флаг F'.
· Аксиома параллельности Лобачевского:
Аксиома Vл:
Существует такая прямая а и такая не лежащая на ней точка А, что через точку А
проходит не меньше двух прямых, не пересекающих прямую а.
1.2 Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского
Определим модель Кэли-Клейна геометрии
Лобачевского. Договоримся, что в нашей работе вместо л-точек, л-прямых мы будем
говорить просто точки и прямые.
Плоскостью в этой модели служит внутренность
единичного круга с центром в начале координат.
Определение:
Точками данной плоскости назовем точки, лежащие внутри круга (без точек
ограничивающей его окружности).
Определение:
Прямыми данной плоскости назовем всевозможные хорды данной единичной окружности
(без концов).
На рис.1 приведены примеры двух точек А и В и
прямых L1 и
L2.
Рис.1
Определим, как с геометрической точки зрения
будут выглядеть параллельные прямые.
Определение:
Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек. На рисунке 1 и
2 прямые L1 и
L2 параллельны.
рис. 2
Замечание:
На рис. 2 прямые действительно не пересекаются, потому что мы рассматриваем
прямые в нашей модели, как прямые хорды без концов, следовательно, прямые L1
и
L2,
с нашей новой точки зрения, не пересекаются.
Выполнение аксиомы параллельности Лобачевского
ясно из построения модели. Действительно, на рисунке 3 показана точка А и
прямая L, не проходящая через точку А. Мы можем предъявить, хотя бы две прямые L1
и
L2,
проходящие через точку А и не пересекающие прямую L. В действительности, мы
можем предъявить бесконечно много таких прямых.[5]
Рис. 3
.3 Определение перемещений
С любой точкой Р, не лежащей на
окружности, мы можем связать некоторое отображение нашего
круга на себя: нужно через точку С круга провести произвольную хорду АВ,
построить хорду А'В', соответствующую хорде АВ относительно выбранной точке Р,
и образом точки С считать точку С'=(СР)∩А'В' (см. рис. 4).
Таким образом: .
Определение: Назовем
отображение элементарным
перемещением первого или второго рода, в зависимости от того, внутри или вне
круга находится точка Р.
Рис. 4
Причислим к элементарным
перемещениям второго рода также отображения, являющиеся осевыми симметриями
относительно любого диаметра d нашего круга. Обозначим это отображение через .
Замечание: оставляет
неподвижной единственную точку - Р, а оставляет неподвижными все точки
хорды, соединяющие точки касания двух касательных к окружности, проведенных из
точки Р.
Будем теперь считать перемещением
любое отображение, получающееся в результате последовательного выполнения
нескольких элементарных перемещений.[5]
Теперь необходимо проверить
справедливость группы аксиом подвижности плоскости. Для этого введем
прямоугольную систему координат XоY.
Плоскостью в модели служит
внутренность единичного круга с центром в начале координат (см. рис. 5).
Рис. 5
Тогда точки в нашей модели - это
точки (x,y) с
условиями:
(1.1)
Прямые - это хорды без концов,
которые определяются линейными уравнениями
с условием (1.1) на x и y.
Перемещение, или «наложение»,
определяется как произвольные композиции двух видов преобразований внутренности
круга:
(I) Вращение вокруг центра и отражения в
диаметрах;
(II) «Смещения» вдоль оси Ox:
преобразования, сопоставляющие точкам (x,
y) точки (x',
y') по формулам:
(1.2)
Докажем, что композиция указанных преобразований
(I), (II)
удовлетворяют аксиомам подвижности плоскости, т.е. что они:
(А) Отображают плоскость на себя и прямые на
прямые, сохраняя на них порядок точек;
(Б) Образуют группу;
(В) Для каждых двух флагов F и F' существует
перемещение, переводящее один флаг на другой.
Доказательство:
А) Свойство (А) для преобразования I очевидно.
Докажем то же для (II).
Заметим, что . Тем самым
каждая точка внутренности нашего круга переходит в точку тоже внутри в него,
т.е. плоскость отображается в себя.
Выразим из 1.2 x' и y':
(1.3)
Для выражений (1.3) вывод такой же
как и для (1.2), т.е. каждая точка (x', y') внутри
круга служит образом какой-либо точки (x, y). Таким
образом перемещение отображает плоскость на плоскость.
Прямые так же переходят в прямые. Действительно,
прямые в модели задаются уравнениями с условием . Подставим
в это выражение (1.3):
(1.4)
Оно также представляет прямую. А так
как круг отображается на себя, то и вся лежащая в нем часть прямой, т.е. хорда,
отображается на хорду с уравнением (4).
Теперь проверим, что отображение
сохраняет последовательность точек на прямой.
Из (1.2) имеем:
(1.5)
Если , то и . Таким
образом, что на всякой прямой порядок точек сохраняется.
Б) Свойство (Б) состоит в том, что
композиции преобразований (I) и (II) образуют
группу. Композиция двух таких композиций есть их композиция. Преобразование,
обратное композиции преобразования (I) и (II). Эти два
свойства и означают, что композиция преобразований (I) и (II) образуют
группу.
В) Пусть F0 - это флаг, у
которого точка - центр круга О, луч - радиус a0 на
положительной полуоси x, полуплоскость б0 - тот полукруг, где y>0
(см. рис. 6).
Рис. 6
Пусть F - произвольный флаг (А, а, б
). Преобразуем его во флаг F0.
Поворотом вокруг центра О переведем
радиус, идущей через точку А, в радиус a0. Точка А
перейдет в какую-то точку А1. Её мы переведем в точку О смещением
вдоль оси Ox. Полухорда - луч а - в результате этих преобразований перешла в
некоторую полухорду - луч а1 с началом в О, т.е. в некоторый радиус.
И, наконец, поворотом вокруг центра О переводим его в радиус a0.
Таким образом, в результате этих
преобразований полуплоскость б отобразится на полукруг, ограниченный осью Ох.
Если это полукруг, где у>0, то мы получили плоскость б0, т.е. мы
преобразовали флаг F(А, а, б ) в F0(О, a0, б0 ).
А если получился полукруг, где y<0, то произведем отражение в оси Ох. И
тогда флаг F перейдет полностью во флаг F0.
Итак, мы доказали, что всякий флаг F
можно перевести во флаг F0 с помощью композиций преобразований (I) и (II).
Пусть теперь дано два флага F1
и F2. Мы хотим перевести первый флаг во второй. Пусть f1 и f2 -
преобразования, переводящие F1 в F0 и F2 в F0.
Рассмотрим композиция двух преобразований:
где - обратное преобразование
Так как композиция преобразований (I) и (II) образует
группу, то полученное преобразование есть так же композиция преобразований (I) и (II).
Таким образом, любой флаг F1
преобразуется в любой другой флаг F2 композицией преобразований (I) и (II). Что и
требовалось доказать.[1]
1.4 Расстояние и углы в модели
Пусть С и D - две точки на нашей
плоскости. Проведем через них прямую - хорду (АВ). Соединим точки A, C, D, B с некоторой
точкой P, не лежащей
на окружности. Обозначим углы, образовавшиеся при точке P, через б, г и в (см.
рис. 7).
Рис. 7
Введем обозначение:
Рассмотрим отношение . Имеем:
(1)
Заметим, что данное отношение
зависит только от углов б, в и г. Поэтому, если мы рассмотрим точки C' и D':
,,
где
то заметим, что , т.к. углы
б, в и г не меняют свои величины, и, следовательно, элементарное перемещение.,
а значит, и перемещения вообще, сохраняют это отношение.
Теперь определим расстояние между
точками С и D.
Определение: , где q>1
- некоторое фиксированное число.
Замечание: При
определении расстояния существенен порядок точек на прямой АВ, т.е. если мы
ищем расстояние , то точка А
- соседняя с точкой С, а точка В - соседняя с D. Если же мы ищем , то А -
соседняя с D точка, В - соседняя с С.
Теперь осталось ввести величину угла
в модели Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.
Пусть дан некоторый угол с вершиной
в точке С. Возьмем любое перемещение, переводящее точку С в центр данного
круга. Положим величину угла С равной евклидовой величине угла (с вершиной в
центре круга), в который угол С переходит при этом перемещении.[5]
Теперь рассмотрим справедливость
аксиом расстояния для заданного расстояния. Справедливость аксиома III.1
следует из равенства (1). Причем равно нулю, когда точки С и D
совпадают, т.е. г=0.
Справедливость аксиомы III.2 так же
выполняется, если мы распишем расстояние по определению из 1.4 и учтем
замечание из 1.4:
Осталось проверить неравенство
треугольника.
Если точки С, D и E лежат на одной
прямой, то
.5 Дополнительные сведения в модели
Кэли-Клейна
.5.1 Перпендикулярные прямые
Пусть в нашей модели заданы две
пересекающиеся прямые h и p (см. рис. 8).
Рис. 8
Угол Q - это угол, образующийся при
пересечении прямых p и h.
Определение: Угол Q
называется прямым, если он равен своему смежному углу, а сами прямые h и p -
перпендикулярными.
Тогда мы можем интерпретировать
понятие прямого угла и перпендикулярных прямых в нашу модель.
Определение: Два угла
называются прямыми, если существует отображение, переводящее один угол в
другой.
Определение: Две прямые
называются перпендикулярными тогда и только тогда, когда они изображаются
хордами окружности, лежащими на прямых, каждая из которых проходит через полюс
другой.
Замечание: Понятие
полюса прямой используется в привычном для нас смысле. Например, на рис. 8
полюс для прямой p является точка Р.[4]
.5.2 Угол параллельности
Пусть M - произвольная точка на оси
абсцисс внутри круга (см. рис. 9). Обозначим евклидово расстояние OM через a,
через x - длину того же отрезка в модели. Проведём через точку M перпендикуляр
к оси абсцисс, который пересечёт окружность в точках K и L. Очевидно, что угол
MOK есть угол параллельности р(x).[4]
Рис. 9
.5.3 Эквидистанта
Пусть G1 - овальная линия второго
порядка, расположенная в внутренней круга и касающаяся окружности в точках её
пересечения с прямой p (рис.10).
Рис. 10
Тогда при гиперболическом зеркальном
отражении относительно любой прямой, проходящей через точку P, являющуюся
полюсом прямой p относительно абсолюта, линия G1 отобразится на себя. Поэтому
линия G1 с точки зрения нашей модели представляет собой эквидистанту с осью
p.[4]
Вывод к Главе 1
В первой главе мы ввели аксиоматику
геометрии Лобачевского и рассмотрели модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.
Мы описали, как определяются точки и
прямые в этой модели.
Кроме этого, определили расстояние
между точками, меру угла и перемещения. Так же, проверили справедливость аксиом
расстояния и подвижности плоскости. Рассмотрели перпендикулярные прямые, угол
параллельности и эквидистанты в модели.
Глава 2. Теоремы в модели
Кэли-Клейна геометрии Лобачевского
.1 Теорема косинусов
Прежде всего, введем обозначение.
Пусть дан некоторые отрезок l, тогда:
,
где q>1 - основание логарифма из
определения расстояния с
Замечание: Величина [l] всегда
меньше единицы, но больше нуля.
Рассмотрим треугольник АВС, у
которого вершина С совпадает с центром круга (см. рис 10).
Рис. 10
Пусть , , и r - радиус круга.
Продлим сторону АВ до пересечения с
окружностью в точках M и N. Соединим точки M и N с вершиной С и обозначим
образовавшиеся углы через б, в и г, как показана на рис. 11. Угол г - это угол
С в треугольнике АВС.
Тогда
.
По обычной теореме синусов имеем:
(2)
(3)
Далее распишем {a}:
.
Тогда:
(4)
(5)
Воспользуемся равенством (1) из
Главы 1:
.
Тогда,
. (6)
Рассмотрим отношение и применим
равенства (4), (5) и (6):
.
Теперь применим равенства (2) и (3),
имеем:
Раскрыв скобки и немного
преобразовав выражение, получаем:
.
Теперь заметим, что можно заменить в
этом равенстве оба отношения косинусов используя равенства (2) и (3):
.
Воспользовавшись равенствами (4) и
(5), получаем:
.
Таким образом, мы получили следующее
равенство:
(7)
Равенство (7) является аналогом
теоремы косинусов обычной геометрии. Так как при перемещениях величины {a}, {b}, {c}, а
следовательно, [a], [b], [c], не меняются, то этим соотношением оправдывается
определение величины угла, данное в главе 1.[5]
.2 Теорема о сумме углов
треугольника
Теорема: Сумма
углов любого треугольника меньше р.
Доказательство:
) Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник
АВС, с прямым углом С () (см. рис.
11)
Рис. 11
(8)
Это действительно так, потому что
cos=0.
Раскрыв скобки и преобразовав (8)
имеем:
.
Применив снова теорему косинусов,
можно получить:
Подставим в получившееся равенство
выражение для из (8):
,
откуда
Отсюда выразим cosв:
,
то есть
.
Аналогично,
.
Тогда мы получаем:
Так как , то
выражение, стоящее под знаком арккосинуса, можно преобразовать:
. (9)
Так как 0<[a]<1 и
0<[b]<1 (см. замечание в 2.1 ), то (9) положительно, значит арккосинус от
него строго меньше , и мы
получаем, что , т.е.
.
) Рассмотрим теперь произвольный
треугольник АВС и пусть {c} его самая длинная сторона. Опустим из тоски С на
сторону АВ перпендикуляр CD. Он разбивает наш треугольник АВС на два
прямоугольных треугольника: треугольник АСD с острыми углами б и г и
треугольник ВСD с острыми углами д и в (см. рис. 12).
Рис. 12
По доказанному в пункте 1):
и .
Откуда сумма углов треугольника АВС:
.
Что и требовалось доказать.[5]
.3 Четвертый признак конгруэнтности
треугольников
Определение: Две фигуры
называются конгруэнтными, если существует перемещение, переводящую одну из них
на другую.
Теорема: Если углы
одного треугольника соответственно конгруэнтны углам другого треугольника, то
эти треугольники конгруэнтны.
Доказательство: Прежде
всего, введем обозначения: [a]=x; [b]=y; [c]=z; косинусы
углов, соответственно лежащих против сторон a, b, c - через m, n, p.
Использую теорему косинусов (7),
получим систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z:
Замечание: значения
m, n, p нам заданы, т.к. нам известны величины углов.
Данная система имеет единственное
положительное решение:
;
;
.
Следовательно, задание углов
однозначно определяют стороны треугольника, и теорема доказана.[5]
Вывод к главе 2
В этой главе мы рассмотрели наиболее
интересные теоремы, справедливые для модели Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.
Во-первых, это теорема аналогичная
теореме косинусов обычной геометрии. Во-вторых, теорема отличная от аналогичной
теоремы обычной геометрии, но справедливая для геометрии Лобачевского - сумма
углов треугольника меньше р. И наконец, рассмотрели четвертый признак
конгруэнтности треугольников.
Заключение
геометрия лобачевский
теорема
В нашей работе мы изучили одну из
моделей геометрии Лобачевского - модель Кэли-Клейна. Построив эту модель в
терминах евклидовой геометрии, мы проверили непротиворечивость геометрии
Лобачевского и Евклидовой геометрии.
В первой главе мы вспомнили
аксиоматику геометрии Лобачевского. Вспомнили, что эта аксиоматика отличается
от аксиоматики Евклидовой геометрии только пятой аксиомой - аксиомой
параллельности. Затем мы определили модель в терминах евклидовой геометрии,
объяснили, что есть л-точка и л-прямая в этой модели.
Кроме того, мы определили расстояние
между точками в модели по заданному правилу и величину угла, после чего
проверили выполнение аксиом расстояния.
Также определили перемещение, или
отображение, в данной модели и проверили выполнение аксиомы подвижности
плоскости.
Следующим нашим шагом было
рассмотрение таких понятий, как перпендикулярные прямые, угол параллельности и
эквидистанта.
Во второй главе, мы рассмотрели и
доказали наиболее интересные теоремы, справедливые в этой модели. Это теорема
косинусов, теорема о сумме углов треугольника и четвертый признак конгруэнтности
треугольников.
Таким образом, цель работы
выполнена.
Список используемой литературы
1. Александров А.Д. «Основания
геометрии». М.: Наука, 1987.
2. Вернер А.Л., Кантор Б.Е.,
Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1., Санкт-Петербург, 1997.
. Вернер А.Л., Кантор Б.Е.,
Франгулов С.А. Геометрия. Ч.2., Санкт-Петербург, 1997.
. Ефимов Н.В. Высшая
геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
. Ширшов А. «Модель
Кэли-Клейна геометрии Лобачевского» «Квант» №3 1976.