Многочлен Жигалкина
Краткие теоретические сведения о
многочлене Жигалкина
Для любой функции алгебры логики существует ее
представление в виде многочлена Жигалкина.
Причем для системы Жигалкина {+, ^, 1}
используются следующие тождества:
+x=0, x^x=x,+x=1, x^x=0,+0=x, x^0=0,+1=x, x^1=x,
Замечание: Знак конъюнкции «^» будем заменять
невидимой точкой - умножением.
Определение: Многочленом Жигалкина называется
многочлен, являющийся суммой константы и различных одночленов, в которые все
переменные входят не выше, чем в первой степени.
Многочлен Жигалкина константы равен самой
константе:
Многочлен Жигалкина функции одной переменной:
Многочлен Жигалкина функции двух переменных:
.
Многочлен Жигалкина функции трех переменных:
.
Теорема Жигалкина: Каждая булева функция может
быть представлена в виде многочлена Жигалкина и притом единственным образом, с
точностью до порядка слагаемых.
Пример решения заданий:
Привести к виду многочлен Жигалкина функцию
.
Решение. 1 Способ (метод цепочки).
Избавимся от операций «~» и «→» по
формулам алгебры логики
~B=AB˅AB, A→B=A˅B.
далее используем
законы де Моргана.
˅B=A B, AB=A˅B;
=xy(y˅z) xy(y˅z)˅x˅yz=
=(xy˅(y˅z))(xy˅y˅z)˅x˅yz=
=(x˅y˅y˅z)(xy˅y˅z)˅x˅yz=
В обеих скобках применяем закон полного
поглощения A˅AB=A;
=(x˅y)(y˅z)˅x˅yz=
раскроем скобки;
=xy˅xz˅yy˅yz˅x˅yz=
Первое и второе слагаемое поглотит-x, третье
слагаемое yy=0 (закон противоречия), в четвертом и шестом слагаемых вынесем
общий множитель z-за скобки;
=x˅z (y˅y) = x˅z=
В скобках (y˅y) = 1 (закон исключения
третьего), z·1=z;
Полученный результат подводим под систему
Жигалкина и раскрываем скобки;
=xz = x(z+1)+1 = xz+z+1.
Полученное выражение - есть Многочлен Жигалкина.
Решение. 2 способ (метод неопределенных
коэффициентов).
Построим таблицу истинности для
(x, y, z)=(xy~(y˅z))→(x˅yz)
x
|
y
|
z
|
xy
|
y˅z
|
xy~(y˅z)
|
x
|
yz
|
x˅yz
|
f
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Построим ещё одну таблицу, в «шапке» которой
входящие переменные x, y, z, результирующее f, найденное в предыдущей таблице и
стандартное выражение многочлена Жигалкина для трех переменных.
На каждом наборе переменных подставляем в
выражение многочлена вместо x, y, z соответствующие значения, учитываем
значение f на данном наборе и, используя свойство 1+1=0, последовательно делаем
вывод о каждом числовом коэффициенте a.
жигалкин тождество многочлен
x
|
y
|
z
|
f
|
|
Вывод
|
0
|
0
|
0
|
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
|
Таким образом, получим f(x, y, z) = 1+x+xz.
Результаты, полученные 1 и 2 способами
одинаковы.
Пример решения задач.
Привести к виду многочлен Жигалкина S= (x ~ y) →
xz.
способ решения.
=(x ~ y) → xz = xy ˅ xy ˅ xz =
xy xy xz =
= ((xy+1)((x+1)(y+1)+1)+1) (xz+1)+1=
= ((xy+1)(xy + x + y + 1 +1) +1)(xz + 1)-+ 1 = +
xy + xy + xy + x + y + 1) (xz +1) + 1 =
= xz + x + xyz + y + xz + 1 + 1 = x + y +xyz
2 способ решения.
x
|
y
|
z
|
x~y
|
xz
|
S
|
|
Вывод
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
|
= x + y + xyz
Результаты, полученные 1 и 2 способами,
одинаковы.
Список использованной литературы
1. Акимов
О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. - М: Лаборатория базовых
знаний, 2003.
2. Аляев
Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. - М: Финансы и
статистика, 2006.
. Блиялкина
Г.Н. Дискретная математика: Методические рекомендации к курсу. - Орск:
Издательство ОГТИ, 2004.
. Галушкина
Ю.И., Марьямов А.Н. Конспект лекций по дискретной математике. - М: Айрис -
пресс, 2007.
. Горбатов
В.А., Горбатов А.В., Горбатова М.В. Дискретная математика: Учебник для
студентов вузов. - М: ООО «Издательство АСТ», ООО «Издательство Астрель»,2003.
. Канцедал
С.А. Дискретная математика: учебное пособие. - М: НД «Форум»: ИНФРА - М, 2007.
. Нефедов
В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. - М: Издательство МАИ, 1992.
. Новиков
Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник для вузов. - СПб: Питер,
2005.