Численное интегрирование с использованием степенных рядов

Курсовая работа

Численное интегрирование с использованием степенных рядов

1. Постановка задачи и определение основных требований к разрабатываемому программному обеспечению

.1 Введение

Интегрирование - вычисление значения определённого интеграла. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла. Если в конкретном случае для подынтегральной функции сложно или невозможно найти первообразную, удобно воспользоваться разложением функции на ряд однотипных слагаемых, и затем интегрировать каждое слагаемое отдельно до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Данное программное средство было разработано на основе следующего технического задания:

Разработать программное средство позволяющее применить численное интегрирование функции с использованием степенных рядов.

.2 Основание для разработки

Программа разрабатывается на основе учебного плана кафедры «Информационные системы и технологии» по вычислительной математике.

.3 Назначение программного средства

Основной функцией программного средства является численное интегрирование функции с использованием степенных рядов.

1.4 Требования к программному средству

Требования к функциональным характеристикам

После запуска программа предлагает пользователю выбрать из предложенного списка функцию, которую необходимо интегрировать, и необходимые коэффициенты. После этого пользователь вводит пределы интегрирования и требуемую точность вычислений. Нажав на кнопку, пользователь получает ответ или сообщение о некорректно введённых данных или некорректно поставленной задаче.

Требования к надежности

Предусмотреть блокировку некорректных действий.

Требования к условиям эксплуатации

Носитель с программой должен эксплуатироваться в условиях с температурой от -5 до 50⁰С и влажностью воздуха 10-80%.

Требования к составу и параметрам технических средств

Наличие ПК с клавиатурой. Необходимое пространство на жестком диске - около 400 Кб.

Требования к информационно-программной совместимости

Программа должна работать под управление операционной системы семейства DOS (версии не ниже 3.3), либо Win 32 (Windows 95, Windows 98, Windows 2000, Windows XP, Windows Vista Windows 7 и т. п.).

2. Проектирование программного средства и программная реализация

интегрирование модульный алгоритм программный

2.1 Построение математической модели для интегрирования функции с использованием степенных рядов

Пусть нам необходимо вычислить определённый интеграл некоторой функции f(x) на отрезке [a, b]. Введём понятие степенного ряда.

Степенной ряд - это функциональный ряд следующего вида:

C₀+C₁(x-x₀)+C₂(x-x₀)²+…+C_n(x-x₀)ⁿ+…

Здесь С₀,С₁,С₂,…,С_n,… - некоторые фиксированные известные числа, которые называются коэффициентами степенного ряда, они образуют бесконечную последовательность. X₀ - известное число (фиксированное) - центр разложения степенного ряда. X - переменная величина.

Для любого степенного ряда существует интервал (-R;R), в каждой внутренней точке которого ряд сходится, а в каждой внешней точке расходится.

Разложением функции y= f(x) в степенной ряд называется представление этой функции в некоторой области значений переменного x в виде суммы сходящегося степенного ряда. Область, в которой функция представлена в виде суммы степенного ряда, называется областью разложения функции в степенной ряд.

Если данная функция разлагается в степенной ряд, то разложение

называется ряд Тейлора для функции f(x), а при x₀=0 - ряд Маклорена.

Всякой функции, которая в точке x₀ имеет бесконечное число производных, можно сопоставить ряд Тейлора.

Одно из основных свойств степенного ряда выглядит так:

То есть, разложив функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав каждое слагаемое (пока не будет достигнута требуемая точность), а затем просуммировав их, мы проинтегрируем исходную функцию. Интегрировать каждое слагаемое в отдельности безусловно проще, так как здесь мы имеем дело с интегрированием хорошо известной степенной функции.

При вычислениях необходимо учитывать, что отрезок интегрирования должен попадать в область сходимости ряда.

Если нам необходимо проинтегрировать не функцию f(x), а, например, функцию f(x²), то в разложении функции f(x) следует заменить x на x², а затем поступать аналогично.

Для основных элементарных функций составлены типовые разложения:

) ,

) ,

) ,

) ,  при ;  при .

) ,

) ,

) ,

) ,

) ,

) ,

Для знакочередующихся рядов вычисление приближённого значения интеграла следует прекратить тогда, когда абсолютное значение очередного слагаемого станет меньше требуемой точности e. Для знакопостоянных рядов необходимо оценить сумму членов, отброшенных после n-ого слагаемого. Как только эта сумма станет меньше e, вычисления можно прекратить.

.2 Ручное интегрирование функции с использованием степенных рядов

Найти интеграл , e=0,0001.

Решение.

Разложим функцию cosx в степенной ряд:

Проинтегрируем получившийся ряд:

Так как программа производит вычисления с большим количеством знаков после запятой, она даёт более точный результат, равный 0,841468.

Вычислим данный интеграл вручную:

Таким образом, мы видим, что наш метод работает верно и точность вычислений соблюдается.

.3 Разработка модульной структуры программы

Рис. 1. Модульная структура программы

2.4 Разработка алгоритма программы

Блок-схема программы

1.      Основная программа - процедура Button1Click(Sender: TObject).

Назначение: основная процедура программы, производит проверки на корректность данных и выводит результат работы программы. (см. Рис. 2).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 2.1.. Процедура Button1Click

Рис. 2.2. Процедура Button1Click

Рис. 2.3. Процедура Button1Click

2.      Процедура proc0.

Назначение: считает значение интеграла функции e^(kx). (см. Рис. 3).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 3.1. Процедура Proc0

Рис. 3.2. Процедура Proc0

3.      Процедура proc1.

Назначение: считает значение интеграла функций sin(kx), arctg (kx) (см. Рис. 4).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 4.1.. Процедура Proc1

Рис. 4.2. Процедура Proc1

4.      Процедура proc2.

Назначение: считает значение интеграла функций cos(kx). (см. Рис. 5).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 5.1. Процедура Proc2

Рис. 5.2. Процедура Proc2

5.     
Процедура proc4.

Назначение: считает значение интеграла функции (1+kx)^m. (см. Рис. 6).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 6. Процедура Proc4

6.     
Процедура proc5.

Назначение: считает значение интеграла функций 1/(1+kx). (см. Рис. 7).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 7. Процедура Proc5

7.      Процедура proc6.

Назначение: считает значение интеграла функции 1/(1-kx). (см. Рис. 8).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 8.1. Процедура Proc6

Рис. 8.2. Процедура Proc6

8.      Процедура proc7.

Назначение: считает значение интеграла функции ln(1+kx). (см. Рис. 9).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 9 Процедура Proc7.

9.     
Процедура proc9.

Назначение: считает значение интеграла функции sh(kx). (см. Рис. 10).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 10.1. Процедура Proc9

Рис. 10.2. Процедура Proc9

10.    Процедура proc10.

Назначение: считает значение интеграла функции ch(kx). (см. Рис. 11).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Рис. 11.1. Процедура Proc10

Рис. 11.2. Процедура Proc10

2.5 Описание структур, типов данных и глобальных переменных

На главной форме присутствуют объекты:- объект для осуществления выбора функции.

Edit2 - поле для ввода коэффициента k.

Edit4 - поле для ввода коэффициента m.

Edit5 - поле для ввода предела интегрирования a.

Edit6 - поле для ввода предела интегрирования b.

Edit7 - поле для ввода точности вычислений e.

Edit8 - поле для вывода ответа.

Button1 - кнопка «Ответ».

В программе используются следующие глобальные переменные:

real fb2 - значение интеграла в точке b на текущем шаге.

real fa1 - значение интеграла в точке a на предыдущем шаге.

real fa2 - значение интеграла в точке a на текущем шаге.

real k - коэффикиент перед x.

real m - параметр функции.

real a - верхний предел интегрирования.

real b - нижний предел интегрирования.

real e - точность.

boolean f - определяет алгоритм вычиисления схожих функций.

2.6 Описание процедур и функций

1       Процедура Button1Click(Sender: TObject).

Назначение: основная процедура программы, производит проверки на корректность данных и выводит результат работы программы. (см. Рис. 2).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

2.      Процедура proc0.

Назначение: считает значение интеграла функции e^(kx). (см. Рис. 3).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

3.      Процедура proc1.

Назначение: считает значение интеграла функций sin(kx), arctg (kx) (см. Рис. 4).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

4.      Процедура proc2.

Назначение: считает значение интеграла функций cos(kx). (см. Рис. 5).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

5.      Процедура proc4.

Назначение: считает значение интеграла функции (1+kx)^m. (см. Рис. 6).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

6.      Процедура proc5.

Назначение: считает значение интеграла функции 1/(1+kx). (см. Рис. 7).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

7.      Процедура proc6.

Назначение: считает значение интеграла функций 1/(1-kx). (см. Рис. 8).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

8.      Процедура proc7.

Назначение: считает значение интеграла функции ln(1+kx). (см. Рис. 9).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

9.      Процедура proc9.

Назначение: считает значение интеграла функции sh(kx). (см. Рис. 10).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

10.    Процедура proc10.

Назначение: считает значение интеграла функции ch(kx). (см. Рис. 11).

Входные параметры: нет.

Выходные параметры: нет.

Заключение

В данной курсовой работы были закреплены и систематизированы навыки программирования на языке Delphi, а так же навыки в разработке алгоритмов и в составлении программ для решения поставленной задачи. Был изучен один из методов численного интегрирования функции - интегрирование функции с использованием степенных рядов.

Список литературы

1. Delphi. Программирование на языке высокого уровня / В.В Фаронов - СПб.: Питер, 2007. - 640 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.

Приложение

Исходный текст программы

unit Unit1;

interface

, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,, StdCtrls;

= class(TForm): TLabel;: TComboBox;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TLabel;: TEdit;: TButton;: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TEdit;Button1Click(Sender: TObject);proc0;proc1;proc2;proc4;proc5;proc6;proc7;proc9;proc10;

{ Private declarations }

{ Public declarations };

: TForm1;,fa1,fb2,fa2,k,m,a,b,e:real;:boolean;

{$R *.dfm}

TForm1.Button1Click(Sender: TObject);s:real;(length(edit2.text)=0) or (length(edit5.text)=0) or (length(edit6.text)=0) or (length(edit7.text)=0)MessageDlg ('Заполните все поля', mtInformation, [mbOk], 0);((form1.ComboBox1.ItemIndex=3) or (form1.ComboBox1.ItemIndex=4)) and (length(edit4.text)=0) then MessageDlg ('Введите значение m', mtInformation, [mbOk], 0);:=StrToFloat(Edit2.Text);:=StrToFloat(Edit5.Text);:=StrToFloat(Edit6.Text);:=StrToFloat(Edit7.Text);EconvertError do ('Значения полей должны быть числовыми', mtInformation, [mbOk], 0);

end;(form1.ComboBox1.ItemIndex=3) or (form1.ComboBox1.ItemIndex=4) then:=StrToFloat(Edit4.Text);EconvertError do('Значения полей должны быть числовыми', mtInformation, [mbOk], 0);;;(form1.ComboBox1.ItemIndex=4) or (form1.ComboBox1.ItemIndex=5) or (form1.ComboBox1.ItemIndex=6) or (form1.ComboBox1.ItemIndex=7)((k*a<=-1) or (k*b<=-1)) or ((k*b>=1) or (k*a>=1)) then MessageDlg ('Неверные пределы интегрирования', mtInformation, [mbOk], 0);(form1.ComboBox1.ItemIndex=8) then((k*a<-1) or (k*b<-1)) or ((k*b>1) or (k*a>1)) then MessageDlg ('Неверные пределы интегрирования', mtInformation, [mbOk], 0);(form1.ComboBox1.ItemIndex=1) then f:=true;a<>b thenform1.ComboBox1.ItemIndex of

: proc0;

: proc1;

: proc2;

: proc4;

: proc5;

: proc6;

: proc7;

: proc1;

: proc9;

: proc10;;:=fb1-fa1;s:=0;.Clear;.text:=FloatToStr(s);;

procedure TForm1.proc0;x,x1,r:real; i,p:integer;:=b*k;:=b*k;:=2;:=1;:=x;:=x*x1;:=x/(i*p);b<(i+1) thenb=0 then:=1/(p*i*(i+1-b))(b>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(b))*(i+1))/(p*i*(i+1-b)):=-exp(ln(abs(b))*(i+1))/(p*i*(i+1-b))r:=1;abs(r)>e do:=fb1+fb2;:=x*x1;:=p*i;:=i+1;:=x/(k*i*p);b<(i+1) thenb=0 then:=1/(p*i*(i+1-b))(b>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(b))*(i+1))/(p*i*(i+1-b)):=-exp(ln(abs(b))*(i+1))/(p*i*(i+1-b))r:=1;;:=a*k;:=a*k;:=2;:=1;:=x;:=x*x1;:=x/(k*i*p);a<(i+1) thena=0 then:=1/(p*i*(i+1-a))(a>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(a))*(i+1))/(p*i*(i+1-a))r:=-exp(ln(abs(a))*(i+1))/(p*i*(i+1-a))r:=1;abs(r)>e do:=fa1+fa2;:=x*x1;:=p*i;:=i+1;:=x/(k*i*p);a<(i+1) thena=0 then:=1/(p*i*(i+1-a))(a>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(a))*(i+1))/(p*i*(i+1-a))r:=-exp(ln(abs(a))*(i+1))/(p*i*(i+1-a))r:=1;;;

TForm1.proc1;x,x1:real; i,p,z:integer;:=b*k*b*k;:=b*k*b*k;:=2;:=1;:=1;:=x/(k*i*p);:=i+2;:=z*(-1);f then:=p*(i-1)*(i-2);:=x*z/(k*i*p);:=x*z/(k*i*(i-1));abs(fb2)>e do:=fb1+fb2;:=x*x1;:=i+2;:=z*(-1);f then:=p*(i-1)*(i-2);:=x*z/(k*i*p);:=x*z/(k*i*(i-1));;:=a*k*a*k;:=a*k*a*k;:=2;:=1;:=1;:=x/i*p;:=i+2;:=z*(-1);f then:=p*(i-1)*(i-2);:=x*z/(k*i*p);:=x*z/(k*i*(i-1));abs(fa2)>e do:=fa1+fa2;:=x*x1;:=i+2;:=z*(-1);f then:=p*(i-1)*(i-2);:=x*z/(k*i*p);:=x*z/(k*i*(i-1));;;

TForm1.proc2;x,x1:real; i,p,z:integer;:=b*k;:=b*k*b*k;:=x;:=x*x1;:=-1;:=3;:=2;:=x*z/(k*i*p);abs(fb2)>e do:=fb1+fb2;:=z*(-1);:=x*x1;:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x*z/(k*i*p);;:=a*k;:=a*k*a*k;:=x;:=x*x1;:=-1;:=3;:=2;:=x*z/(k*i*p);abs(fa2)>e do:=fa1+fa2;:=z*(-1);:=x*x1;:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x*z/(k*i*p);;;

TForm1.proc4;x,x1,m1:real; i,p:integer;:=b*k;:=b*k;:=x;:=2;:=1;:=x*x1;:=m;:=m1*x/(k*i*p);abs(fb2)>e do:=fb1+fb2;:=m1*(m1-i+1);:=x*x1;:=p*i;:=i+1;:=m1*x/(k*i*p);;:=a*k;:=a*k;:=x;:=2;:=1;:=x*x1;:=m;:=m1*x/(k*i*p);abs(fa2)>e do:=fb1+fb2;:=m1*(m1-i+1);:=x*x1;:=p*i;:=i+1;:=m1*x/(k*i*p);;;

procedure TForm1.proc5;x,x1:real; i,z:integer;:=b*k;:=b*k;:=x;:=2;:=x*x1;:=-1;:=x*z/(k*i);abs(fb2)>e do:=fb1+fb2;:=z*(-1);:=x*x1;:=i+1;:=x*z/(k*i);;:=a*k;:=a*k;:=x;:=2;:=x*x1;:=-1;:=x*z/(k*i);abs(fa2)>e do:=fa1+fa2;:=z*(-1);:=x*x1;:=i+1;:=x*z/(k*i);;;

TForm1.proc6;x,x1,r:real; i:integer;:=b*k;:=b*k;:=x;:=2;:=x*x1;:=x/(k*i);b<i thenb=0 then:=1/((i+1)*(i-b))(b>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(b))*(i+1))/((i+1)*(i-b)):=-exp(ln(abs(b))*(i+1))/((i+1)*(i-b))r:=1;abs(r)>e do:=fb1+fb2;:=x*x1;:=i+1;:=x/(k*i);b<i thenb=0 then:=1/((i+1)*(i-b))(b>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(b))*(i+1))/((i+1)*(i-b)):=-exp(ln(abs(b))*(i+1))/((i+1)*(i-b))r:=1;;:=a*k;:=a*k;:=x;:=2;:=x*x1;:=x/(k*i);a<i thena=0 then:=1/((i+1)*(i-a))(a>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(a))*(i+1))/((i+1)*(i-a)):=-exp(ln(abs(a))*(i+1))/((i+1)*(i-a))r:=1;abs(r)>e do:=fa1+fa2;:=x*x1;:=i+1;:=x/(k*i);a<i thena=0 then:=1/((i+1)*(i-a))(a>0) or ((i+1)mod 2=0) then:=exp(ln(abs(a))*(i+1))/((i+1)*(i-a)):=-exp(ln(abs(a))*(i+1))/((i+1)*(i-a))r:=1;;;

TForm1.proc7;x,x1:real; i,z:integer;:=b*k*b*k;:=b*k;:=2;:=x/(k*i);:=-1;:=x*x1;:=i+1;:=x*z/(k*i*(i-1));abs(fb2)>e do:=fb1+fb2;:=z*(-1);:=x*x1;:=i+1;:=x*z/(k*i*(i-1));;:=a*k*a*k;:=a*k;:=2;:=x/(k*i);:=-1;:=x*x1;:=i+1;:=x*z/(k*i*(i-1));abs(fa2)>e do:=fa1+fa2;:=z*(-1);:=x*x1;:=i+1;:=x*z/(k*i*(i-1));;;

TForm1.proc9;x,x1,r:real; i,p:integer;:=b*k*b*k;:=b*k*b*k;:=2;:=1;:=x/(k*i*p);:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x/(k*i*p);b<(i+2) thenb=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b)):=exp(ln(abs(b))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b))r:=1;abs(r)>e do:=fb1+fb2;:=x*x1;:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x/(k*i*p);b<(i+2) thenb=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b)):=exp(ln(abs(b))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b))r:=1;;:=a*k*a*k;:=a*k*a*k;:=2;:=1;:=x/i*p;:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x/(k*i*p);a<(i+2) thena=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a)):=exp(ln(abs(a))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a))r:=1;abs(r)>e do:=fa1+fa2;:=x*x1;:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x/(k*i*p);a<(i+2) thena=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(i+3-a*a)):=exp(ln(abs(a))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a))r:=1;;;

TForm1.proc10;x,x1,r:real; i,p:integer;:=b*k;:=b*k*b*k;:=x;:=x*x1;:=3;:=2;:=x/(k*i*p);b<(i+2) thenb=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b))b>0 then:=exp(ln(abs(b))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b)):=-exp(ln(abs(b))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b))r:=1;abs(r)>e do:=fb1+fb2;:=x*x1;:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x/(k*i*p);b<(i+2) thenb=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b))b>0 then:=exp(ln(abs(b))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b)):=-exp(ln(abs(b))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-b*b))r:=1;;:=a*k;:=a*k*a*k;:=x;:=x*x1;:=3;:=2;:=x/(k*i*p);a<(i+2) thena=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a))a>0 then:=exp(ln(abs(a))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a)):=-exp(ln(abs(a))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a))r:=1;abs(r)>e do:=fa1+fa2;:=x*x1;:=i+2;:=p*(i-1)*(i-2);:=x/(k*i*p);a<(i+2) thena=0 then:=(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a))a>0 then:=exp(ln(abs(a))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a)):=-exp(ln(abs(a))*(i+2))*(i+2)/(p*i*(i+1)*(sqr(i+2)-a*a))r:=1;;