Вычисление интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
МОСКОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КУРСОВАЯ
РАБОТА
тема:
«Вычисление
определённого интеграла
с
помощью метода трапеций
на
компьютере»
Выполнил:
студент
ф-та
ЭОУС-1-12
Зыков
И.
Принял:
Зоткин
С. П.
Москва 2001
1.
Введение:
Определенный интеграл от функции,
имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или иной
приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, можно
воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается формула трапеций.
Пусть I=ò f(x)dx, где f(x) – непрерывная функция, которую мы
для наглядности будем предполагать положительной. Тогда I представит собой площадь криволинейной трапеции,
ограниченной линиями x=a, x=b,
y=0, y=f(x). Выберем какое-нибудь натуральное
число n и разложим отрезок [a,b] на n равных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xi разбивают интересующую нас криволинейную трапецию на n полосок. Примем каждую из этих полосок за обыкновенную прямолинейную
трапецию (рис. 1, где n=4).
рис. 1
Тогда площадь первой слева полоски
будет приближенно выражаться числом
((f(x0)+f(x1))/2)*(x1-x0)=((y0+y1)/2)*((b-a)/n),
ибо основания трапеции, за которую
мы принимаем полоску, равны f(x0)=y0 и f(x1)=y1,
а высота её
x1-x0=(b-a)/n.
Аналогично площади дальнейших
полосок выразятся числами
(y1+y2)*((b-a)/2*n), (y2+y3)*((b-a)/2*n), … , (yn-1+yn)*((b-a)/2*n).
Значит, для нашего интеграла
получается формула
I»((b-a)/2*n)*[y0+2*(y1+…+yn-1)+yn].
Пологая для краткости y0+yn=Yкр (крайние), y1+y2+…+yn-1=Yпром (промежуточные), получим
|
|
|
ò ydx » ((b-a)/2* n)*(Yкр+2*Yпром)
|
|
Эту формулу можно записать в другом
виде
|
ò f(x)dx » (h/2)*[f(a)+f(b)+2åf(xi)]
|
(где h – длина одного из n равных отрезков, xi=a+i*h). Эта
приближенная формула и называется формулой трапеций. Она оказывается тем более
точной, чем больше взятое нами число n. Погрешность одного шага вычисляется по формуле: -(h^3)/12.
Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x)
= x³ +2x²-3x-8 на
отрезке [0, 6]. На этом отрезке функция непрерывна.
Для выполнения поставленной задачи
составлена нижеописанная программа, приближенно вычисляющая определенный
интеграл с помощью метода трапеций. Программа состоит из трех функций main, f и trap. Функция main позволяет
ввести интервалы интегрирования и задать точность вычисления интеграла, а также
вызывает функцию trap для
вычисления интеграла и распечатывает на экране результат. Функция f принимает аргумент x типа float и возвращает значение интегрируемой
функции в этой точке. Trap – основная функция программы: она выполняет все вычисления, связанные
с нахождением определенного интеграла. Trap принимает четыре параметра: пределы
интегрирования типа float (a и b), допустимую относительную ошибку типа float и указатель на интегрируемую
функцию. Вычисления выполняются до тех пор, пока относительная ошибка,
вычисляемая по формуле | S-Sn |, не будет меньше или равна
требуемой. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что S0 постоянная и S1=S1+f(a+(2*i+1)*h), поэтому эти значения вычисляются единожды. Метод трапеций обладает высокой скоростью вычисления, но меньшей
точностью, чем метод Симпсона, поэтому его применение удобно там,
где не требуется очень высокая точность.
Ниже предлагается блок-схема, листинг, спецификации, ручной счет и
результат работы программы
на примере поставленной выше задачи. Блок-схема позволяет отследить и понять
особенности алгоритма программы, спецификации дают представление о назначении
каждой переменной в основной функции trap, листинг -
исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты
выполнения программы.
2.
Блок-схема программы:
ДА
НЕТ
i=1
i=n/2
3.
Листинг:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<conio.h>
main()
{
double
a,b,er,eps,f(double),s,trap(double,double,double,double(*)(double));
clrscr();
printf("\n Задайте пределы интегрирования и точность: ");
scanf
("%lf%lf%lf",&a,&b,&eps);
s=trap(a,b,eps,f);
printf("\n Интеграл
от a=%3.2lf до b=%3.2lf равен %lf",a,b,s);
getch();
}
double f(double x)
{
return
x*x*x+2*(x*x)-3*x-8;
}
{
double h,s,s0,s1,sn;
int i,n;
s=1; sn=101;
n=4;
s0=(f(a)+f(b))/2;
s1=f((a+b)/2);
while(fabs(s-sn)>eps){
sn=s;
h=(b-a)/n;
for(i=0;
i<n/2; i++)
s1+=f(a+(2*i+1)*h);
s=h*(s0+s1);
n*=2;
}
return s;
}
4.
Спецификации:
|
Имя переменной
|
Тип
|
Назначение
|
|
n
|
int
|
число разбиений отрезка [a, b]
|
|
i
|
int
|
счетчик циклов
|
|
a
|
double
|
Нижний предел интегрирования
|
|
b
|
double
|
Верхний предел интегрирования
|
|
h
|
double
|
шаг разбиения отрезка
|
|
eps
|
double
|
допустимая относительная ошибка
|
|
f
|
double(*)
|
указатель на интегрируемую фун -
цию
|
|
x
|
double
|
аргумент ф-ии f
|
|
s
|
double
|
текущий результат интегрирования
|
|
s0
|
double
|
половина суммы значений функции в
точках a и b
|
|
s1
|
double
|
сумма значений функции в
промежуточных точках
|
|
sn
|
double
|
предыдущий результат интегрирования
|
5.
Ручной счет:
|
Xi
|
Yi
|
|
0
|
-8
|
|
0,75
|
-8,703125
|
|
1,5
|
-4,625
|
|
2,25
|
6,765625
|
|
3
|
28
|
61,609375
|
|
4,5
|
110,125
|
|
5,25
|
176,078125
|
|
6
|
262
|
6.
Результат работы
программы:
при eps =
0.1 при eps = 0.001
Введите a, b,
eps: Введите a, b, eps:
0
0
6 6
.1
.001
Интеграл=
366.024170 Интеграл= 366.000094
т.е с помощью этой
программы можно вычислить интеграл от функции с точностью до 1/10000.