·        кожне п'ятнадцяте закінчується нулем (F₁₅ = 610);

·        два сусідніх числа Фібоначчі взаємно прості;

F_m може бути простим тільки для простих m (за єдиним виключенням m = 4, що пов'язано з F₂ = 1). Зворотнє твердження невірно: хоча 19 - просте число. На даний момент невідомо, чи існує нескінченно багато простих чисел Фібоначчі.

Використовуючи те саме рекурентне співвідношення, що і на початку, у вигляді F_n = F_{n + 2} − F_{n + 1}, можливо поширити визначення чисел Фібоначчі і на від'ємні індекси:

Неважко переконатися, що F _{− n} = ( − 1)^{n + 1}F_n, тобто одержуємо таку саму послідовність з перемежуючимися знаками.

Послідовність чисел Фібоначчі є частковим випадком генерованої послідовності, її характеристичний многочлен рівний x² − x − 1 й має корені φ і − 1 / φ.

Генератрисою послідовності чисел Фібоначчі є:

Числа Фібоначчі можна представити значеннями континуант на наборі одиниць: , тобто

, а також ,

де матриці мають розмір , i - уявна одиниця.

Для будь-якого n,

Ця формула надає швидкий алгоритм обчислення чисел Фібоначчі за допомогою матричного варіанта алгоритма швидкого піднесення до степеня. Обчислення визначників дає:

Відношення є підходящими дробами золотого перетину φ і, зокрема, .

Суми біноміальних коефіцієнтів на діагоналях трикутника Паскаля є числами Фібоначчі з огляду на формулу

.

У 1964 р. J. H. E. Cohn довів, що єдиними точними квадратами серед чисел Фібоначчі є F₀ = 0,F₁ = F₂ = 1 і F₁₂ = 144 = 12².

P(x,y) = 2xy⁴ + x²y³ − 2x³y² − y⁵ − x⁴y + 2y,

де - цілі числа, див. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, стор. 153. Цей факт, знайдений Дж. Джоунзом, відіграє ключову роль у теоремі Матиясевича (негативному розв'язанні десятої проблеми Гільберта), тому що він надає спосіб задати експоненціально зростаючу послідовність чисел Фібоначчі у вигляді діофантової множини.

2.3    Історія відкриття

У XIII столітті італійський математик Фібоначчі розв’язував таку задачу:

Фермер годує кроликів. Кожен кролик народжує одного кролика коли йому стає 2 місяці, а потім дає потомство в 1 кролик кожен місяць. Скільки кроликів буде у фермера через n місяців, якщо спочатку у нього був лише один (вважаємо, що кролики не гинуть і кожен народжений дає потомство за вище описаною схемою)? фібоначчі програма програмування паскаль

Очевидно, що першого та другого місяця у фермера залишається один кролик, оскільки потомства ще немає. На третій місяць буде два кролика, оскільки перший через два місяці народить другого кролика. На четвертий місяць перший кролик дасть ще одного, а другий кролик потомства не дасть, оскільки йому ще тільки один місяць. Отже на четвертий місяць буде три кролики. Можна помітити, що кількість кроликів після n - го місяця дорівнює кількості кроликів, які були у n - 1 місяці плюс кількість народжених кроликів. Останніх буде стільки, скільки є кроликів що дають потомство, або дорівнює кількості кроликів, яким вже виповнилося 2 місяці (тобто кількості кроликів після n - 2 місяця).

Якщо через F_n позначити кількість кроликів після n - го місяця, то має місце наступне рекурентне співвідношення:

F_n = F_n-1 + F_n-2, F₁ = F₂ = 1

Покладемо F₀ = 0, при цьому співвідношення при n = 2 залишиться істинним. Таким чином утворюється послідовність

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... ,

У 1225 році імператор Римської імперії Фрідріх II на турнірі в Пізі запропонував Леонардо Фібоначчі таку задачу: Знайти повний квадрат, який залишаеться повним квадратом як після збільшення, так і після зменшення його на 5. Фібоначчі після деяких розміркувань знайшов це число. Воно виявилося дробовим: 1681/144, або (41/12)². Справді, 1681/144-5=961/144, 1681/144+5=2401/144. інакше (41/12)²-5=(31/12)² і (41/12)²+5=(49/12)². Якими міркуваннями керувався Фібоначчі під час турніру, ми ніколи не з'ясуемо, але задачу він розв'язав блискуче.

3.      Лістинг програми

program fibonachchi;crt;f1,f2,fi: real;,n: integer;

clrscr;('Vvedit kilkist chusel Fibonachi: ');(n);(n,' pershuh elementiv:');:=1; f2:=1;{наданна початкових значень числам f1та f2}

if n>0 then write(f1:1:0);n>1 then write(' ',f2:1:0);i:=3 to n do {цикл}

Цикл, який обчислює і-ий елемент Висновки В результаті виконаної роботи була вивчена послідовність і властивості чисел Фібоначчі, яка полягає в тому, що сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного за ними. В ході курсової роботи мною були вивчені деякі аспекти програмування мовою Turbo Pascal. При оформленні курсової роботи були отримані навички оформлення програмної документації, а також великий практичний досвід роботи в Turbo Pascal v7.0, Microsoft Word 2007, Microsoft Excel 2003 (хоча освоєння цих програмних продуктів не було метою курсової роботи, дані навички не можна вважати марними). Теоретичні відомості були закріплені практичними заняттями. Мета і завдання виконані. Програма виконується без помилок. Список використаної літератури 1.   Підручник по Pascal; 2.      opensource.com.ua/products.php?info=p1016 .        pascalstudy.narod.ru .        www.bhv.kiev.ua/books/book.php?id=4&book_id=142 5.   Страустрап Б. Введення в мову Pascal Ресурси електронної бібліотеки ІnfoCіty (#"656814.files/image020.gif"> 2)      Робота програми при виборі виведення 25 перших елементів Фібоначчі Похожие работы на - Розробка програми для виведення на екран чисел Фібоначчі   Нужна качественная работа без плагиата? Другие курсовые работы по информационному обеспечению Не нашли материал для своей работы? Поможем написать уникальную работу Без плагиата! Узнайте © 2003 - 2022 «Библиофонд» Обратная связь Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности Полная версия Помощь по учебным работам Консультация по курсовой работе Консультация по дипломной работе ВКР Консультация по реферату Консультация по отчетам о практике