Разработка алгоритмов и программ решения алгебраических задач численными методами

Разработка алгоритмов и программ решения алгебраических задач численными методами

Московский авиационный институт

Национальный исследовательский университет

Факультет радиоэлектроники

Кафедра 403

Расчетно-графическая работа

по дисциплине: Информатика

Разработка алгоритмов и программ решения алгебраических задач численными методами

Выполнил:

студент группы 4О-110Б

Ибрагимов Я.О

Принял:

Преподаватель кафедры 403

Кошелькова Л.В

Москва 2011

Содержание

Анализ задания

Теоретические сведения

Схемы алгоритмов

Набор тестов

Текст программы

Список используемой литературы

Анализ задания

Разобрать схему алгоритма, составить Pascal-программу для вычисления таблицы значений функций:

если аргумент Х принимает M различных значений, параметр А изменяется от начального значения An, N раз, с шагом Da, а параметр В принимает значение, равное интегралу:

 ,

вычисленному с погрешностью ξ при заданном интервалом изоляции c,d.

Входными данными в этой задаче являются: An- начальное значение аргумента, Da- шаг, с которым изменяется параметр, N- кол-во его изменений, M- количество значений аргумента Х, массив значений аргумента Х. Для решения интеграла методом Симпсона используются следующие входные данные: интервалы изоляции интеграла - с,d, начальное приближение корня - Xo, погрешность вычисления интеграла − Eps, предельно допустимое число повторений цикла при вычислении корня- Km.

Выходными данными являются четыре массива: двумерный массив значений функции Мy двумерный массив ошибок Er, одномерный массив аргумента Мх и параметра А; значение интеграла − В, диагностические сообщения, извещающие пользователя в следующих случаях:

·  Невозможность вычисления тангенса числа, выходящего за его ОДЗ.

·        Невозможность вычисления интеграла с заданной точностью за определенное количество повторений цикла.

В алгоритме выполняются следующие функции:

·  ввод исходных данных

·        вычисление уравнения

·        проверка количества итераций при вычислении интеграла и формирование ошибки в случае, если корень не найден за заданное число итераций;

·        вычисление таблицы значений функции

·        проверка значения выражения под функцией tg и формирования признака ошибки, если оно имеет отрицательный знак

·        вывод результатов вычислений

Теоретические сведения

Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая - область во множестве задания этой функции (функционала).

Нахождение значения интеграла:

.                                                                                            Нахождение первообразной функции;

2.      Нахождения значений первообразной от нижней и верхней границы интегрирования;

3.                                                                                          Вычитание значения первообразной от нижней границы интегрирования из значения первообразной от верхней границы.

Используя три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. В качестве таких точек используют концы отрезка и его середину:

.

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

где.

Схемы алгоритмов

В соответствии с принципами структурного программирования каждый функционально законченный фрагмент программы оформлен в виде подпрограммы. В результате программа включает главную программу и набор подпрограмм, предназначенных соответственно для ввода массива (InpX), табулирования функции (Vych), вычисления интеграла (integral), вывода результатов выполнения программы (OutP).

Схема алгоритма главной программы представлена на рис.2, а таблица обозначения переменных главной программы- в табл. 1.

Главная программа начинается с ввода значений входных данных: сначала - простых переменных, а затем- массива X с помощью подпрограммы- процедуры (InpX).

Схема алгоритма главной программы. Вычисление интеграла производится путем вызова процедуры integral, формирующей также признак ошибки в случае, если корень не найден за предельно допустимое число итераций Km. При Err=1 выводятся диагностическое сообщение, иначе происходит табулирование функции (ПП Vych) и вывод результатов выполнения программы (ПП Outp). Значение eps определяет погрешность корня.

Подпрограмма − процедура ввода Inpx реализуется циклом, который завершается при наполнении всех указанных ячеек массива. В данном цикле реализуется заполнение массива X.

Список формальных параметров:M,X

Входные параметры: M

M- количество ячеек массива; вещественный тип

Выходные параметры: Х

Х- массив аргумента Х; вещественный тип

Подпрограмма-функция F предназначена для вычисления значения подынтегральной функции.

Список формальных параметров: x.

Входные данные:

1.                                                                                          x - аргумент функции, тип - вещественный.

Подпрограмма-процедура решения интеграла, Integral, реализуется методом Симпсона, состоящего из цикла, делящегося на две ветви для нахождения решения.

Подпрограмма-процедура Integral предназначена для вычисления численного значения интеграла.

Список формальных параметров: C, D, Z, Eps, Km, Err.

Входные данные:

1.                                                                 C - нижняя граница интегрирования, тип - вещественный;

2.      D - верхняя граница интегрирования, тип - вещественный;

3.      Eps - погрешность вычисления интеграла, тип - вещественный;

4.      Km - предельное число повторений цикла, тип - целый.

Выходные данные:

1.                                                                                          Z - численное значение интеграла, тип - вещественный;

Err - признак ошибки при вычислении интеграла, тип - целый.

Подпрограмма-процедура для вычисления значения функции vych, реализуется двойным циклом для вывода двумерного массива результатов y и других данных.

Подпрограмма-процедура vych для вычисления значения переменной y для всех возможных случаев

Список формальных параметров: y,x,an,da,n,m

Входные параметры: x,an,da,n,m

x- массив аргументов X; вещественный тип

an- начальное значение параметра а; вещественный тип

da- размер “шага” изменения параметра а; вещественный тип

n- количество “шагов” изменений параметра а; целый тип

m- количество ячеек массива x ; вещественный тип

Выходные параметры: y

y- двумерный массив аргументов y; вещественный тип

Er- массив ошибок; бинарный тип

Подпрограмма-процедура outp, предназначенная для вывода результатов расчета программы по средствам применения двойного цикла.

Список формальных параметров: x,y,b,er,an,da,n,m

Входные параметры: x,y,b,er,an,da,n,m

x- массив аргументов X; вещественный тип

y- двумерный массив аргументов y; вещественный тип

b- корень логарифмического уравнения;

an- начальное значение параметра а; вещественный тип

da- размер “шага” изменения параметра а; вещественный тип

n- количество “шагов” изменений параметра а; целый тип

m- количество ячеек массива x ; вещественный тип

Набор тестов

алгоритм интеграл подпрограмма тест

Для проверки правильности алгоритмов составим тесты для возможных путей вычислений и выполним контрольные просчеты, пользуясь независимыми от Pascal-среды вычислительными средствами - калькулятор.

Тест 1. Проверка ветви, работающей при правильном вводе данных

Входные данные: M=1; An=2; N=1; Da=0; d=0.57;c=2.36;eps=0.1;km=10;X[1]=3

Результаты: y= -115.03

b= 5.708

Тест 2. Проверка действий программы при вводе значений, приводящих к ошибке вычислений

Входные данные: М=2; An=1.4; N=3; Da=2; d=0.57; c=2.36; eps=0.1;km=10; x[1]=2.5; x[2]=0

Результат: Ошибка при х=2.5

Тест 3. Проверка действий программы при вводе множества Х.

Входные данные: М=4; An=2.3; N=4; Da=0.3; d=0.57; c=2.36; eps=0.1; km=10 x[1]=3; x[2]=4; x[3]=3; x[4]=4

Текст программы

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids, jpeg, ExtCtrls, TeEngine, Series, TeeProcs,

Chart, XPMan;= class(TForm)

mmo1: TMemo;: TEdit;: TEdit;: TEdit;: TButton;: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TChart;: TLineSeries;: TStringGrid;: TXPManifest;: TEdit;

edt6: TEdit;

edt7: TEdit;: TEdit;: TLabel;

lbl10: TLabel;: TLabel;: TLabel;

procedure edt4KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);Button1Click(Sender: TObject);FormCreate(Sender: TObject);:array [0..40] of Real;:array [0..40,0..40] of Real;,da:Real;:integer;

{ Private declarations }

{ Public declarations };

var: TForm1;

{$R *.dfm}

function f(x:real):Real;:=sqr(sqrt(x)+1)*exp(3*x*(ln(exp(1))))/exp(6*ln(x));;

procedure Integral(C,D,Eps:real; Km:integer; var Z:real; var Err:integer);

var H,W,Z0:real;,j,K:integer;:=1;:=2;:=1;:=0;j<Km do begin:=F(C)+F(D);

H:=(D-C)/K;i:=1 to K-1 do If Odd(i) Then Z:=Z+4*F(C+i*H)Z:=Z+2*F(C+i*H);:=Z*H/3;:=Abs(Z0-Z);w<Eps Then begin

Err:=Err-1;:=Km;begin

Z0:=Z;:=j+1;:=K*2;;;

end;TForm1.edt4KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);:Integer;Key=#13 then.ColCount:=StrToInt(edt4.Text)+1;i:=1 to StringGrid1.ColCount do.Cells[i,0]:='X'+IntToStr(i);;TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var,j:integer;:Real;

ter:real;,d,eps:Extended;

km:integer;:integer;:Real;

begin:=StrToFloat(edt1.Text);

da:=StrToFloat(edt3.Text);:=StrToInt(Edt2.Text);

c:=StrToFloat(edt5.Text);:=StrToFloat(edt6.Text);:=StrToInt(edt8.Text);:=StrToFloat(edt7.Text);(C,D,Eps,Km,Z,Err);('B='+FloatTOStr(z));:=a;.Series[0].Clear;.RowCount:=n+2;i:=1 to StringGrid1.ColCount-1 do[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i,1]);I:=1 to n+1 do.Cells[0,i+1]:=FloatToStr(aa);j:=1 to StringGrid1.ColCount-1 do(cos(pi*m[j]/5)=0) then

begin.Lines.Add('Ошибка деления на 0');

StringGrid1.Cells[i,j+1]:='Ошибка деления на 0';

end[i,j]:=aa*z*(sin((pi*m[j]/5))/cos((pi*m[j]/5))+2*aa*cos(m[j]/2*m[j]));

mmo1.Lines.Add('x= '+ FloatToStr(m[j])+ ' : ' + 'y= '+floattostr(y[i,j]));

StringGrid1.Cells[j,i+1]:=FloatToStr(y[i,j]);.Series[0].AddXY(m[j],y[i,j]);:=aa+da;;;TForm1.FormCreate(Sender: TObject);.Text:='';.ColCount:=2;.Cells[1,0]:='1';.Cells[0,1]:=' a/x';

end;.

Список использованной литературы

1.      Кошелькова Л.В., Заковряшин А.И. Решение алгебраических задач численными методами в среде DELPHI: Учебное пособие к расчётной работе. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2008. - 88 с.: ил.

.        http://ru.wikipedia.org - свободная общедоступная мультиязычная универсальная интернет-энциклопедия.