Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности

Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт - Энергетический институт

Направление- 140100 Теплоэнергетика

Кафедра - ТПТ

Отчет

по практическому занятию №1

«Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности»

Исполнитель:

Студент, гр. 5б14 Шустов А.М.

Руководитель:Барановский Н.В.

Томск -2013

Содержание

Цель практического занятия

Теоретические сведения

Метод конечных разностей (МКР)

Практическая часть

Результаты вычислений

Вывод

Список литературы

Цель практического занятия:

Написать программу и численно решить краевую задачу нестационарной теплопроводности методом конечных разностей.

Задание №2

Уравнение нестационарной теплопроводности

Начальные условия:=0; T=;

Граничные условия:=0; T=;=Lx; T=;

Параметры задачи: число узлов N = 21; время расчета con = 30 с; толщина пластины Lx = 0,2м; коэффициент теплопроводности  384 Вт/(м∙К); плотность 8800 кг/; коэффициент теплоемкости c = 381 Дж/(кг∙К); начальная температура  = 373 К; температура на левой границе  = 323 К; температура на правой границе  = 673 К;

Теоретические сведения

Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравномерном распределении температур. В этом случае теплота передается за счет непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную температуру, что приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными электронами.

Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат:

Это уравнение устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела. Здесь  - плотность, c - удельная теплоемкость,  - коэффициент теплопроводности, x,y,z,t,T) - мощность внутренних источников тепловыделения. Чтобы выделить конкретный вариант развития процесса, необходимо добавить условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия. Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия определяют теплофизические характеристики тела , , c. Временные (начальные условия) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени.

Метод конечных разностей (МКР)

Идея МКР состоит в том, что вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации. При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя) частные производные дифференциального уравнения конечными разностями получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры, как локальной характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыканию используют разностное представление граничных условий. В результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами с помощью ЭВМ.

Для того чтобы дать полное математическое описание рассматриваемой задачи, необходимо задать начальные и граничные условия, а также физические условия однозначности.

Пластина разбивается на N-1 равных промежутков, т.е. строится конечно-разностная сетка.

Определяется значение температуры в i-ом узле в момент времени  как  ( - шаг интегрирования по временной координате,  - номер шага по времени). Дифференциальные операторы в уравнении теплопроводности заменяются на их конечно-разностные аналоги.

В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями, а также упрощения полученных систем линейных алгебраических уравнений, выводятся трехточечные разностные уравнения второго порядка.

 (1)

Предполагая, что существуют такие наборы чисел  при которых

(2)

получаем формулы для определения прогоночных коэффициентов :

; (3)

Затем по формуле (2) последовательно находятся , при условии, что  найдено из правого граничного условия. Таким образом, решение уравнений описываемым способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трем формулам: нахождение прогоночных коэффициентов  по формулам (1), и затем получение неизвестных  по формуле (2).

Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникло ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть быстрого роста погрешностей округлений.

Практическая часть

Ниже представлена блок-схема для решения поставленного уравнения нестационарной теплопроводности, методом конечных разностей.

Программа была реализована на языке программирования Pascal. Ниже представлен исходный код программы.

Uses crt;N=21;L=0.2;y=384;p=8800;xc=381;T0=273;T1=323;T2=673;con=30;= array[1..21] of real;:integer;, alfa, beta: vector;,B,C,F,tau,h,time: real;:text;:=L/(N-1);:=con/100;i:=1 to N do[i]:=T0;:=0;time<con dobegin:=time+tau;[1]:=0;[1]:=T1;i:=2 to N-1 dobegin:=y/sqr(h);:=2*y/sqr(h)+p*xc/tau;:=y/sqr(h);:=-p*xc*T[i]/tau;[i]:=A/(B-C*alfa[i-1]);[i]:=(C*beta[i-1]-F)/(B-C*alfa[i-1]);;[N]:=T2;i:=N-1 downto 1 do[i]:= alfa[i]*T[i+1]+beta[i];;(g,'teplo.dat');(g);i:=1 to N do(g,'X= ', h*(i-1):8:3,' ',T[i]:10:5);

close(g);;.

Результаты вычислений

Представим результаты вычислений в виде графической зависимости температуры от пространственной координаты. Построение выполнено в графическом редакторе OriginPro.

Рис. 4. Зависимость температуры пластины от пространственной координаты.

Вывод

В данной работе был реализован метод конечных разностей на примере уравнения нестационарной теплопроводности. Основываясь на результатах работы программы, а также заранее известных ответах, можно сделать вывод что, программа написана верно, выходные данные являются достоверными, и могут быть использованы на практике.

По результатам работы программы был построен график зависимости температуры от пространственной координаты. График нелинейный, и возрастает схоже с параболической зависимостью.

Список литературы

конечная разность программа теплопроводность

1. Кузнецов Г.В., Шермет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности. - Томск: ТПУ, 2007. - 172с.

. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 2008. - 480 с.

. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994. - 544с.