Динамическое представление сигналов
Динамическое представление сигналов
Реферат выполнил: Зазимко С.А.
МОСКВА
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный
способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
Реальный
сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в
последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность
отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного
сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением
, подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.
На
практике широкое применение нашли два способа динамического представления.
Первый
способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые
возникают через равные промежутки времени D . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале
времени D. В результате сигнал может быть
представлен как на рисунке 1.
рис.
1
При
втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти
импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность,
вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал
имеет вид как на рисунке 2.
рис.
2
Теперь
рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для
динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим
имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :
ì 0, t < -x,
u(t) = í 0.5(t/x+1), -x £ t £ x,
(1)
î 1, t
> x.
Такая
функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого”
в “единичное” состояние.
Переход
совершается по линейному закону за время 2x. Теперь если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое
будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала
получила название функции включения или функции Хевисайда :
ì 0,t < 0,
s(t) = í 0.5,t = 0, (2)
î 1, t > 0.
В
общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета
времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :
ì 0, t < t0,
s(t -
t0) = í 0.5,t = t0, (3)
î 1, t > t0.
ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим
некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0.
Пусть {D,2D,3D,...} -
последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им
последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть
S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить
в виде суммы ступенчатых функций :
¥
s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD).
k=1
Если
теперь шаг D устремить к нулю. то дискретную
переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения значения
сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы
получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством
функций Хевисайда
¥
ó ds
S(t)=s0 s(t) + ô s(t-t) dt (4)
õ dt
0
Переходя
ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами
разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие -
понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим
импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :
1 é x x ù
u(t;x) =
----- ê s (t + ---- ) - s (t - ---- ) ÷ (5)
x ë 2 2 û
При
любом выборе параметра x площадь этого
импульса
равна
единице :
¥
П = ò u dt = 1
- ¥
Например,
если u - напряжение, то П = 1 В*с.
Теперь
устремим величину x к нулю.
Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота
должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака[1] :
d(t) = lim u (t;x)
x®0
Дельта
функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как
в точке t = 0 [2]
дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит
символическое изображение дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА
ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь
вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу
прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в
виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом
отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
hk(t) = Sk [ s(t -
tk) - s(t - tk - D) ] (6)
В
соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t)
должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :
¥
S(t) = å h (t) (7)
k= - ¥ k
В
этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что
удовлетворяет условию для t :
tk < t < tk+1
Теперь,
если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив
на величину шага D, то
S(t) = å
Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D
k=- ¥ D
Переходя
к пределу при D ® 0 , необходимо суммирование заменить
интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D .
Поскольку
1
lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---
D®0 D
получим
искомую формулу динамического представления сигнала
¥
S (t) = ò s (t) d(t - t) dt
- ¥
Итак,
если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение
проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной
функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее
свойство дельта-функции.[3]
Из
определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции
от - ¥ до t есть единичный скачок , и
дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :
d(t) = 1’ (t) ;
d(t-t0) = 1’ (t-t0) .
Обобщенные
функции как математические модели сигналов.
В
классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то
значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее
значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный
интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической
модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие
обобщенной функции.
В
основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы
держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон,
как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом
проекции исследуемой функции ¦(t) может
служить, например, значение интеграла
¥
ò ¦(t) j(t) dt (8)
- ¥
при
известной функции j(t) , которую
называют пробной функцией.
Каждой
функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое
конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый
функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(¦, aj1 + bj2) = ¦,j1) + b(¦,j2).
Если
этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве
пробных функций j(t) задана
обобщенная функция ¦(t) [4]. Следует сказать,
что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел
соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные
фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами
классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И
в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций
получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы
математические методы изучения процессов, для которых средства классического
анализа оказываются недостаточными.
Список
литературы
1.
А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.
2.
С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта [1] Также эту функцию называют единичной импульсной
функцией,
[2]
Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой
точке.
[3] Отсюда вытекает структурная схема систем,
осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система
состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.
[4] Обобщенные функции иногда называют также
распределениями.