Автоматизированное проектирование аналоговых фильтров

Курсовой проект

Автоматизированное проектирование аналоговых фильтров

Введение

Основным содержанием курсовой работы по курсу «Моделирование объектов и процессов компьютеризации» является изучение и закрепление на практике изученного теоретического материала, касающегося методов проектирования аналоговых активных фильтров на резистивно-емкостных электрорадиоэлементах (ARC-фильтров), находящих широкое применение при разработке электронных аналоговых и цифровых схем, систем автоматического управления и т.п.

Курсовая работа выполняется на персональном компьютере с использованием системы автоматизации схемотехнического проектирования ALLTED (ALL TEchnologies Designer) [1,2].

1.     Методические указания к расчету аналоговых фильтров на операционных усилителях

При проектировании аналоговых фильтров обычно задаются требования к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ). Общепринятый способ задания таких требований для различных типов фильтров показан на рис. 1. При этом требования к фазовой характеристике не оговариваются. В этом случае обычно задаются частоты среза для фильтра нижних (ФНЧ) и верхних (ФВЧ) частот или граничим: частоты полосы пропускания для полосового фильтра (ПФ) и полосы задерживания для заграждающего фильтра (ЗФ), неравномерность коэффициента передачи а_ф в полосе пропускания, граничные частоты полосы задерживания f₁ и f₂, минимальное затухание в_ф в полосе задержания.

o   Фильтр нижних частот (полоса пропускания 0ff_c, полоса задерживания f₁f¥);

o   Фильтр нижних частот (полоса пропускания ¥³f³f_c, полоса задерживания f₂³f³0);

o   Фильтр полосовой (полоса пропускания f_Hff_B, полосы задерживания f₁ ³ f ³0, f₂f¥);

o   Фильтр заграждающий (полосы пропускания 0ff_Н, f_Bf ¥, полоса задерживания f₁f f₂).

Основная задача, возникающая при проектировании аналоговых фильтров, - синтез оптимальной принципиальной схемы и расчет величин элементов по заданным требованиям к его АЧХ. Синтез можно разбить на два основных этапа.

На первом этапе решается задача аппроксимации-отыскание аналитической аппроксимирующей функции, которая с требуемой точностью воспроизводит заданную по условиям характеристику. При этом на аппроксимирующую функцию накладываются ограничения в виде необходимых и достаточных условий физической реализуемости.

На втором этапе решается задача реализации-отыскание совокупности цепей, имеющих характеристики, достаточно близкие к аппроксимирующей функции. В связи с тем, что любой физически осуществимой функции соответствует множество электрических схем, синтез неоднозначен.

Так как реализация функций высоких порядков затруднительна, функцию раскладывают на сомножители, обычно не выше второго порядка, которые и реализуют простейшими развязанными звеньями с активными элементами, например операционными усилителями (ОУ). При каскадном соединении таких звеньев удается получить результирующую схему с требуемыми свойствами, так как ее коэффициент передачи равен произведению коэффициентов передачи исходных звеньев.

Рис. 1. Задание требований к АЧХ фильтров:

аппроксимация фильтр аналоговый частота

1.1 Нормирование характеристик и электрических величин

Порядок величин, характеризующих параметры элементов электрических цепей, колеблется от 10^-12 Ф (для емкостей) до 10⁶…10⁷ Ом (для сопротивлений). Рабочие частоты колеблются в диапазоне от нескольких до миллионов герц. Таким образом, числовые значения электрических величин могут оказаться неудобными для практического использования. С другой стороны, свойства различных функций к операции синтеза не зависят от абсолютной величины коэффициентов этих функций. Поэтому целесообразно отделить рассмотрение свойств функций и техники синтеза (проектирования) от конкретных значений коэффициентов. Это достигается нормированием величин.

Вычисления можно упростить, если все функции сопротивления разделять на некоторую величину R₀, что эквивалентно изменению параметров пассивных элементов R, L и C следующим образом:

R'_н=, L'_н=, C'_н=CR₀.

Этот процесс называется изменением уровня (нормированием) сопротивлений. При таком преобразовании передаточные функции цепи, представляющие собой отношения напряжений или токов, не изменяются. После реализации для восстановления уровня сопротивлений необходимо параметры R и L умножить, а С - разделить на R₀. При проектировании фильтров величину R₀ можно выбирать произвольно (обычно в пределах 1…100 к0 м).

Для того чтобы сделать расчеты универсальными и упростить вычисления, используют также и нормирование частоты путем деления текущей частоты f на частоту f₀. В качестве нормирующей частоты f₀ в фильтрах нижних и верхних частот выбирают частоту среза f_c, а в полосовых и заграждающих-частоту, равную соответственно протяженности полосы пропускания или задерживания. Осуществив нормирование, решают задачу аппроксимации и реализации в нормированной частоте. При таком преобразовании частоты сопротивления R'_н не изменяются, индуктивное сопротивление уменьшается, а емкостное сопротивление увеличивается в w₀ раз (w₀=2pf₀). Чтобы эти сопротивления восстановить, т.е. вернуться к требуемому частотному диапазону, необходимо величины L'_н и C'_н умножить на w₀, т.е.

L_H = L’_H w₀ = (L/R₀₎w_0,H = C’_H w₀ = C R₀w₀                                                               (1)

При этом R_н=R'_н=R/R₀.

Таким образом, если нормирующими коэффициентами являются R₀ и f₀, а R_н, L_н и С_н представляют собой нормированные значения параметров пассивных компонентов, полученных в результате синтеза цепи, то их действительные значения после восстановления уровня сопротивлений и частоты на основании выражения (1) составят:

R=R_HR₀;     C=C_H/(R₀ 2pf₀);    L=L_HR₀/(2pf₀);               (2)

Очевидно, что нормированные значения элементов являются безразмерными.

В дальнейшем все расчетные формулы приведены для нормирования значений параметров элементов R и C.

При денормировании значений параметров компонентов величину R₀ следует выбирать таким образом, чтобы значения R, C и L, рассчитанные с помощью формул (2), в рабочей области частот удовлетворяли условиям: R_вх>>R>>R_вых; R_вх>>>>R_вых; R_вх>>wL>>R_вых, где R_вх, R_вых - соответственно входные и выходные сопротивления используемых активных усилительных элементов (например, операционных усилителей).

 

2.      Аппроксимация амплитудно-частотных характеристик фильтров

Рассмотрим вопросы аппроксимации амплитудно-частотной характеристики фильтров нижних частот. Аппроксимация АЧХ фильтров верхних частот, полосовых и заграждающих фильтров основана на аппроксимации низкочастотных фильтров-прототипов.

 

2.1 Изоэкстремальная (эллиптическая) аппроксимация амплитудно-частотной характеристики ФНЧ по Золотареву-Кауэру

При аппроксимации по Золотареву-Кауэру передаточная функция ФНЧ является дробно-рациональной и имеет вид

                        (10)

Здесь Z_i-нули, лежащие на оси j; pW_k - полюсы, которые располагаются в левой части комплексной плоскости на полуовале эллипса аналогично полюсам равноволновой функции (рис. 2, б). Такая функция называется изоэкстремальной. Ее модуль в пределах 0£F£1 аналогично равноволновой функции непериодически колеблется n+1 раз между чередующимися максимальным и минимальным значениями (рис. 4, а). На частоте среза F=1 модуль снижается до минимального допустимого значения.

Рис. 2. Аппроксимация АЧХ по Золотареву-Кауэру

На интервале 1£F£F₁ он монотонно снижается. На интервале F₁£F£¥ функция вновь приобретает непериодический волнообразный характер, причем наибольшее по абсолютной величине ее значение не превышает некоторой гарантированной величины.

Необходимая степень n функции, обеспечивающей неравномерность а_ф и затухание в_ф, определяется по формуле

                        (11)

Коэффициент b представляет собой отношение эллиптических интегралов K(q,p/2) и K (90°-q,p/2), где q=arcsin (1/F₁) - модульный угол (табл. 1).

Таблица 1. Значения кооэфициента b при различных значениях модульного угла q

q,…°	5	10	15	20	25	30	35	40	45
b	0,411	0,502	0,577	0,647	0,714	0,782	0,851	0,923	1,0
q,…°	50	55	60	65	70	75	80	85
b	1,083	1,175	1,279	1,4	1,565	1,732	1,992	2,435

Если рассчитанное значение q отличается от приведенных в табл. 1, необходимо выбрать ближайшее большее значение.

Выбор минимального порядка передаточной функции по заданным а_ф, в_ф и F₁ можно осуществить также с помощью табл. 2, в которой приведены значения максимально допустимой частоты затухания F₁ для различных фильтров. При заданных а_ф и в_ф необходимо найти наименьший порядок n, которому соответствует частота затухания F₁, не превосходящая заданного значения.

Таблица 2: Нормирование Значения частоты затухания F1 эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра

N	2	3	4	5	6	7	8	9	10
aф =0.5дБ
40	8.4892	2.7115	1.6284	1.2726	1.127	1.0611	1.0299	1.0147
50		3.9043	2.0692	1.4847	1.241	1.1254	1.0668	1.0361	1.0196
60		5.6793	2.6832	1.7766	1.4014	1.2198	1.1243	1.0715	1.0416
aф =1дБ
40	7.0448	2.4162	1.5155	1.2187	1.0989	1.046	1.0217
50		3.4606	1.9082	1.4072	1.1989	1.1013	1.0526	1.0277
60		5.0212	2.4608	1.6716	1.3435	1.1855	1.1031	1.0582	1.0332
aф =3дБ
40	5.0558	1.9802	1.3466	1.1393	1.0589	1.0254
50	8.93	2.7986	1.6615	1.2885	1.1353	1.0657	1.0324
60		4.0347	2.116	1.5071	1.2533	1.1325	1.071	1.0386

В табл. 3 приведены координаты нулей и полюсов передаточной функции, аппроксимирующей АЧХ по Золотареву-Кауэру.

Постоянный множитель Н в выражении (10) выбирается из следующих соображений:

а) при нечетных n необходимо выбрать Н из условия К(0)=1;

б) при четных n - из условия К(0)=10

При равных порядках аппроксимирующих функций аппроксимация по Золотареву-Кауэру обеспечивает наиболее крутой спад АЧК в переходной области от полосы пропускания к полосе задерживания, т.е. наибольшую избирательность при малых расстройках. Кроме того, в полосе задерживания некоторые частоты полностью подавляются (нули передачи). Но при больших расстройках избирательность фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту, может оказаться лучше. Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает лучшую избирательность (при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Однако фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Баттерворту, наиболее линейна. Наименее линейна фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Золотареву-Кауэру. Таким образом, реализация одних и тех же требований к АЧХ (при сравнительно небольших расстройках) осуществляется проще всего при аппроксимации по Золотареву-Кауэру (наименьшее n), а сложнее всего по Баттерворту (наибольшее n).

Таблица 3. Координаты полюсов и нулей передаточных функций эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Bф =40дБ, aф =0.5дБ

Нули

±j11.5175

±j3.1031

±j1.7295 ±j3.8476

±j1.3126 ±j1.88

±j1.1434 ±j1.3607 ±j3.1513

±j1.0692 ±j1.1652 ±j1.7041

±j1.0335 ±j1.0783 ±j1.2967 ±j3.0105

±j1.0166 ±j1.0383 ±j1.1375 ±j1.6657

±j1.0081 ±j1.0187 ±j1.0656 ±j1.2822 ±j2.9774

Полосы

-0.7087 ±j1.0098

-0.6591

-0.1357 ±j1.0212

-0.47

-0.0324 ±j1.0065

-0.4302

-0.0079 ±j1.0017

-0.4208

-0.0019 ±j1.0004

-0.2903 ±j1.0305

-0.4537 ±j0.4926

-0.0661 ±j1.0122

-0.1526 ±j0.8797

-0.0161 ±j1.0034

-0.0409 ±j0.9715

-0.0039 ±j1.0009

-0.0103 ±j0.9931

-0.2757 ±j0.7505

-0.3853 ±j0.412

-0.0803 ±j0.9414

-0.1483 ±j0.8428

-0.0206 ±j0.9859

-0.041 ±j0.9613

-0.2562 ±j0.6876

-0.3689 ±j0.394

-0.0797 ±j0.9216

-0.1469 ±j0.8336

-0.2508 ±j0.6726

-0.3649 ±j0.3897

bф =40дБ, aф =1дБ

Нули

±j9.6423

±j2.7583

±j1.6057 ±j3.5147

±j1.2538 ±j1.7643

±j1.1131 ±j1.3057 ±j2.9582

±j1.0528 ±j1.1358 ±j1.6258

±j1.0246 ±j1.0623 ±j1.2562 ±j2.8513

±j1.0118 ±j1.0294 ±j1.115 ±j1.5974

±j1.0055 ±j1.0138 ±j1.053 ±j1.2458 ±j2.8279

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Полюсы

-0,5456 ±j 0,9004

-0,5237

-0,1051 ±j 0,9938

-0,3853

-0,0237 ±j 0,9994

-0,3576

-0,0054 ±j 0,9999

-0,3515

-0,0012 ±j 1,0

-0,2273 ±j 0,9766

-0,3644 ±j 0,4791

-0,0499 ±j 0,9982

-0,1182 ±j 0,8755

-0,0113 ±j 0,9998

-0,0295 ±j 0,9717

-0,0026 ±j 1,0

-0,0068 ±j 0,9936

-0,2191 ±j 0,741

-0,3158 ±j 0,4106

-0,0601 ±j 0,9404

-0,1155 ±j 0,8458

-0,0143 ±j 0,9865

-0,0296 ±j 0,9642

-0,2059 ±j 0,6888

-0,3048 ±j 0,3961

-0,0598 ±j 0,925

-0,1147 ±j 0,8389

-0,2025 ±j 0,677

-0,3023 ±j 0,3929

bф=40дБ, aф=3дБ

Нули

±j 6,981

±j 2,2451

±j 1,418 ±j 2,9906

±j 1,166 ±j 1,5809

±j 1,0693 ±j 1,2196 ±j 2,6357

±j 1,03 ±j 1,0912 ±j 1,4958

±j 1,013 ±j 1,0388 ±j 1,1906 ±j 2,5753

±j 1,0057 ±j 1,0169 ±j 1,0796 ±j 1,4806

±j 1,0025 ±j 1,0073 ±j 1,034 ±j 1,1853 ±j 2,654

Полюсы

-0,3194 ±j 0,7826

-0,3225

-0,0592 ±j 0,9666

-0,2509

-0,0116 ±j 0,9938

-0,2382

-0,0022 ±j 0,9988

-0,2358

-0,0004 ±j 0,9998

-0,1337 ±j 0,9193

-0,227 ±j 0,4712

-0,0264 ±j 0,9857

-0,8663 ±j 0,8813

-0,0051 ±j 0,9973

-0,014 ±j 0,9764

-0,001 ±j 0,9995

-0,0027 ±j 0,9954

-0,1314 ±j 0,742

-0,2036 ±j 0,4203

-0,0311 ±j 0,9466

-0,0653 ±j 0,8622

-0,0063 ±j 0,9896

-0,0141 ±j 0,9723

-0,1258 ±j 0,7056

-0,1991 ±j 0,4109

-0,031 ±j 0,9375

-0,065 ±j 0,8584

-0,1246 ±j 0,6985

-0,1982 ±j 0,4091

bф=50дБ, aф=0,5дБ

Нули

±j 19,5627

±j 4,4894

±j 2,207 ±j 5,0846

±j 1,541 ±j 2,3026

±j 1,2645 ±j 1,563 ±j 3,8147

±j 1,1379 ±j 1,2767 ±j 1,9727

±j 1,0727 ±j 1,1421 ±j 1,4582 ±j 3,5283

±j 1,0395 ±j 1,0758 ±j 1,2195 ±j 1,89

±j 1,0212 ±j 1,0405 ±j 1,114 ±j 1,4052 ±j 3,4491

-0,7114 ±j 1,006

-0,6414

-0,1521 ±j 1,0196

-0,427

-0,0437 ±j 1,0075

-0,3751

-0,013 ±j 1,0024

-0,3601

-0,0039 ±j 1,0007

-0,3025 ±j 1,0261

-0,4411 ±j 0,4606

-0,081 ±j 1,0125

-0,1734 ±j 0,8408

-0,0239 ±j 1,0043

-0,0574 ±j 0,9533

-0,0071 ±j 1,0013

-0,0177 ±j 0,9861

-0,2848 ±j 0,7055

-0,3556 ±j 0,3625

-0,1014 ±j 0,9135

-0,1657 ±j 0,784

-0,0322 ±j 0,9744

-0,2563 ±j 0,6199

-0,3309 ±j 0,3366

-0,1 ±j 0,8793

-0,1625 ±j 0,7669

-0,2466 ±j 0,5952

-0,3237 ±j 0,3291

bф=50дБ, aф=1дБ

Нули

±j 16,4981

±j 3,9746

±j 2,0334 ±j 4,6409

±j 1,4579 ±j 2,1523

±j 1,2201 ±j 1,491 ±j 3,585

±j 1,1123 ±j 1,2366 ±j 1,8799

±j 1,0578 ±j 1,1188 ±j 1,3889 ±j 3,3535

±j 1,0306 ±j 1,0618 ±j 1,1906 ±j 1,8141

±j 1,016 ±j 1,0322 ±j 1,0966 ±j 1,3631 ±j 3,2924

Полюсы

-0,5478 ±j 0,897

-0,5077

-0,1193 ±j 0,9898

-0,3479

-0,0331 ±j 0,9963

-0,3095

-0,0093 ±j, 9996

-0,2991

-0,0026 ±j 0,9999

-0,2378 ±j 0,9711

-0,353 ±j 0,4471

-0,0626 ±j 0,996

-0,1363 ±j 0,835

-0,0176 ±j 0,9992

-0,043 ±j 0,9528

-0,005 ±j 0,9998

-0,0126 ±j 0,9866

-0,2271 ±j 0,6949

-0,2899 ±j 0,3606

-0,0779 ±j 0,9112

-0,1511 ±j 0,7864

-0,0235 ±j 0,9748

-0,0432 ±j 0,9369

-0,2068 ±j 0,6202

-0,2725 ±j 0,3384

-0,0771 ±j 0,8826

-0,1289 ±j 0,7724

-0,2002 ±j 0,5995

-0,2676 ±j 0,3323

2.2 Аппроксимация амплитудно-частотной характеристики фильтров верхних частот

Ранее были рассмотрены вопросы аппроксимации АЧХ фильтров нижних частот. Применяя преобразование частоты, полученными данными можно воспользоваться для аппроксимации ФВЧ, полосовых и заграждающих фильтров, которая выполняется следующим образом. По исходным данным к этим фильтрам строится низкочастотный прототип. Затем, в зависимости от выбранной или заданной аппроксимации, описанным способом определяют координаты полюсов и нулей низкочастотного прототипа и, выполняя обратное преобразование находят координаты нулей и полюсов исходного фильтра.

Низкочастотный прототип ФВЧ имеет такую же неравномерность а_ф коэффициента передачи в полосе пропускания и ту же частоту среза f_с, что и исходный ФВЧ. Нормирующей частотой является частота среза. Нормированная граничная частота полосы задерживания НЧ-прототипа, на которой необходимо обеспечить требуемое затухание b_ф (см. рис. 2.а.), определяется как F₁=1/F₂, где F₂=f₂/f_c-нормированная граничная частота полосы задерживания фильтра высоких частот (см. рис. 1, б).

При переходе к высокочастотной функции необходимо в низкочастотной передаточной функции заменить переменную p на 1/p, при этом каждый полюс p'_K низкочастотного прототипа преобразуется в полюс p_K=1/p'_K и нуль в начале координат (Z_K=0), а каждый его Z'_K-в нуль Z_K=1/Z'_K и полюс в начале координат (p_K=0):

              

 

3.      Каскадная реализация активных фильтров

 

Реализация передаточных функций, обеспечивающих необходимое АЧХ, чаще всего осуществляется по методу каскадно-развязанного включения звеньев 1-го и 2-го порядков. При такой реализации передаточная функция должна быть представлена в виде произведения сомножителей 1-го и 2-го порядка K_i(p):

                       (12)

Рис. 5. Каскадное соединение звеньев

Каждый из сомножителей K_i в выражении (4) реализуется соответствующим звеном. Если звенья не влияют друг на друга. то схема обладает требуемой передаточной функцией n-го порядка.

Передаточную функцию K(p) можно разложить на сомножители, используя различные комбинации постоянных множителей H_i, нулей и полюсов. Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной функцией

,                       (13)

где B(p) - полином первой степени или единица; s-постоянное число.

Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с передаточной функцией

,                (14)

где В(р) - полином второй или меньшей степени. В зависимости от вида полинома В(р) передаточные функции второго порядка и реализующие их звенья подразделяются в соответствии с табл. 2; b и g - постоянные коэффициенты.

Таблица 2. Виды передаточных функций второго порядка и типы звеньев

Вид передаточной функции	Наименование звена
НЧ-низкочастотное
ВЧ-высокочастотное
П-полосовое
Д-дробное звено, с нулями передачи, заграждающее звено
К - корректирующее

Для четного порядка n>2 каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (14). Если порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка с передаточными функциями типа (14) и одно звено первого, порядка с передаточной функцией типа (13).

Для звеньев второго порядка, описываемых функцией (14), определим:

собственную частоту

                                  (15)

и добротность

                                (16)

Для обеспечения коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания равного единице (0 дБ) необходимо соблюдать условие

                                (17)

Так как операционные усилители обладают большим входным и малым выходным сопротивлениями, то звенья, построенные с их применением, практически не влияют друг на друга. Поэтому в дальнейшем рассматриваются вопросы реализации передаточных функций фильтров с помощью звеньев, содержащих операционные усилители.

 

3.1 Звенья фильтров верхних частот первого порядка

 

Звено ФВЧ 1-го порядка должно реализовать передаточную функцию вида

,                            (23)

где Н_В=H/s, q=1/s, H и s параметры передаточной функции НЧ-прототипа (18).

Схема звена с неинвертирующим усилителем (рис. 9) имеет передаточную функцию

              (24)

Рис. 9. Звено ФВЧ первого порядка с положительным коэффициентом усиления

Сравнение (23) и (24) дает возможность получить формулы для расчета: R₁=1/cq, К=Н_В

Значения емкости при этом, как и раньше, задаются от 1 до 10.

На рис. 10 показана схема звена ФВЧ первого порядка, построенного на операционном усилителе в инвертирующем включении. Его передаточная функция

.

Задавшись значением С, определяем нормированные значения сопротивлений: R₁=1/cq, R₂=R₁H_в.

Рис. 10. Звено ФВЧ первого порядка на инвертирующем ОУ

3.2 Реализация передаточных функций второго порядка для фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева

 

Нормированную передаточную функцию фильтра верхних частот можно подучить из передаточной функции нормированного НЧ-прототипа с помощью замены переменной р на 1/р. Следовательно, функция фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева будет содержать сомножители второго порядка:

,                    (27)

где b=b/g, a=1/g, H_B=H/g, H,b и g-нормированные коэффициенты звена фильтра нижних частот второго порядка (НЧ-прототипа).

Коэффициент усиления фильтра верхних частот представляет собой значение его АЧХ при бесконечном значении частоты w. Следовательно, для звеньев второго порядка, описываемых функцией (27), коэффициент усиления K=H_B=H/g.

3.3 Реализация передаточных функций второго порядка эллиптических фильтров Золотарева-Кауэра и с нулями передачи на мнимой оси

 

Вследствие того, что передаточные функции эллиптических фильтров содержат комплексно-сопряженные нули на оси jW, в их состав входят сомножители второго порядка вида

,                    (35),

где Н^*=Н_в=Н(a_н/g_н) - в случае ФВЧ; H^*=H_n=-в случае полосового фильтра; H, a_H и g_H-параметры передаточной функции вида (35) НЧ-прототипа второго порядка.

Таким образом, типовая передаточная функция эвена второго порядка эллиптических и заграждающих фильтров имеет вид (35). Схемы реализации этой функции необходимо выбирать в зависимости от соотношения между коэффициентами a и g. Так, схема, изображенная на рис. 20.а, имеет передаточную функцию

,            (36)

что дает возможность реализовать только те функции, у которых в (35) g>a.

Приравняв (36) к (35), получим следующие расчетные соотношения:

                 (37)

Передаточная функция для схемы на рис. 20.б имеет вид функции (35) при

В данном случае, очевидно, что в (5) должно быть a>g. Параметры схемы рассчитываются с помощью следующих формул:

а

б

Рис. 20. Схемы на основе ИНУН с положительным коэффициентом усиления, реализующие два нуля на мнимой оси

Если в схеме на рис. 20, а принять R®¥, то из анализа выражения (36) легко видеть, что в этом случае a=g=1/a². Расчетные формулы можно подучить из (37):

Рассмотренные схемы используют неинвертирующий усилитель и их целесообразно применять при добротностях звеньев Q£10.

На рис. 21 изображена схема, которая реализует функцию (35) при

H^*=-KR₄/R₅;        a=R₅/R₁R₂R₄C₂C₂;        b=1/R₂C₂;   g=k/R₂R₃C₁C₂.

Если задаться нормированными значениями C₁, C₂, R₅, а также K³1, то остальные параметры рассчитываются следующим образом:

                     (38)

Если выбрать C₁=C₂, то приемлемое значение сопротивления

₅=                                       (39)

Если добротность Q£10, то сопротивления, рассчитанные по (38) и (39), будут иметь приемлемые значения. Однако если Q>10, получается нежелательный разброс значений сопротивлений. В этом случае нужно выбирать C₁, C₂ и R₅ таким образом, чтобы сохранялся небольшой разброс значений. Например, можно выбрать значение емкости C₂ относительно большим по сравнению с C₁ для того, чтобы значение сопротивления R₂ входило в диапазон значений сопротивлений R₁ и R₃.

Рассмотренная схема применяется при любых соотношениях между коэффициентами a и g в выражении (35).

Рис. 21. Универсальное звено второго порядка, реализующее два нуля на мнимой оси

 

4.     
Расчет аналогового фильтра верхних частот по Золотареву-Кауэру

 

Заданием на курсовую работу является расчет фильтра верхних частот с аппроксимацией Золотарева-Кауэра со следующими требованиями:

F_C = 1000 Гц,

f₁ = 830 Гц,

А_Ф = 3 дБ,

В_Ф = 50 дБ.

ФНЧ
АФ = 3 дБ, ВФ = 50 дБ, n= 5.
Нули	Полюсы
±j 1,3294	-0,2220
±j 1,9123	-0,0352 ± j 0,9798
	-0,1380 ± j 0,6909

На рисунке справа показана АЧХ фильтра верхних частот (полоса пропускания ¥³f³f_c, полоса задерживания f₂³f³0);

В случае ФНЧ нормирующей частотой является частота среза, т.е.

При аппроксимации по Золотареву-Кауэру передаточная функция ФНЧ является дробно-рациональной и имеет вид

                                  (10)

Постоянный множитель H выбирается из следующих соображений:

а) при нечетных n необходимо выбрать Н из условия К(0)=1;

б) при четных n - из условия К(0)=10

Низкочастотный прототип ФВЧ имеет такую же неравномерность а_ф коэффициента передачи в полосе пропускания и ту же частоту среза f_с, что и исходный ФВЧ. Нормирующей частотой является частота среза т.е.:₀=f_c=1000

Нормированная граничная частота полосы задерживания НЧ-прототипа, на которой необходимо обеспечить требуемое затухание b_ф (см. рис. 2.а.), определяется как F₁=1/F₂, где F₂=f₂/f_c-нормированная граничная частота полосы задерживания фильтра высоких частот (см. рис. 1, б):

₂=f₂/f_c=830/1000=0,83

₁=1/F₂=1/0,83= 1,2048192771084337349397590361446

N	2	3	4	5	6	7	8	9	10
aф =3дБ
50	8.93	2.7986	1.6615	1.2885	1.1353	1.0657	1.0324

Из таблицы находим что n =5 т.е. нечетное:

При переходе к высокочастотной функции необходимо в низкочастотной передаточной функции заменить переменную p на 1/p.

Представим передаточную функцию в виде произведения сомножителей 1-го и 2-го порядка K_i(p), т.е. звеньев 1-го и 2-го порядков:

Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной функцией

, в данном случае таковой является

Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с передаточной функцией

В данном случае таких передаточных функции две:

Если порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка и одно звено первого.

Произведем замену p на 1/p:

Расчет звеньев фильтра верхних частот первого порядка

Звено ФВЧ 1-го порядка должно реализовать передаточную функцию вида:

.

На рис. 10 показана схема звена ФВЧ первого порядка, построенного на операционном усилителе в инвертирующем включении. Его передаточная функция

.

Задавшись значением С (от 1 до 10), определяем нормированные значения сопротивлений: R₁=1/cq, R₂=R₁H_в.

Выбираем С=1:₁=1/4,5=0,222;                R₂=0,222*1,126=0,25.

Рис. 10. Звено ФВЧ первого порядка на инвертирующем ОУ

Расчет звеньев фильтра верхних частот второго порядка

Звено ФВЧ 2-го порядка должно реализовать передаточную функцию вида:

.

Типовая передаточная функция звена второго порядка эллиптических и заграждающих фильтров имеет вид:

Рассчитаем добротность 1-го и 2-го звена:

Схема используемая при добротности звеньев Q£10 приведена ниже.

Задав нормированные значениями C₁, C₂, R₅, а также K³1, рассчитываем остальные параметры следующим образом:

Для 2-го звена:

Выбираем C₁=1, C₂=1, K=2 и соответственно R₅=1:

Для 3-го звена:

Выбираем C₁=C₂=1, K=2 и соответственно R₅=1:

Схема спроектированного фильтра высоких частот

Нормированные значения элементов:

Проведем денормализацию:

R=R_HR₀;     C=C_H /(R₀ 2pf₀);   L=L_HR₀ /(2pf₀);

Текст программы для allted

OBJECTSEARCH PRAM;CIRCUIT KURSOVOI;Ein (1,0) = 1;C11 (2, 3)= 159;R11 (1, 2)= 0.222;R12 (3, 4)= 0.25;Q1 (0,3,4,0)= k140ud12.oulm;C21 (5, 6)= 159;C22 (9, 7)= 159;R21 (4, 5)= 0.54;R22 (6, 7)= 14.28;R23 (5,10)= 0.13;R24 (8, 9)= 0.23;R25 (4, 8)= 1.0;Q21 (0, 5, 6,0)= k140ud12.oulm;Q22 (0, 8, 9,0)= k140ud12.oulm;Q23 (7,0,10,0)= k140ud12.oulm;C31 (11,12)= 159;C32 (15,13)= 159;R31 (10,11)= 2.23;R32 (12,13)= 1.8;R33 (11,16)= 0.552;R34 (14,15)= 0.91;R35 (10,14)= 1.0;Q31 (0,11,12,0)= k140ud12.oulm;Q32 (0,14,15,0)= k140ud12.oulm;Q33 (13,0,16,0)= k140ud12.oulm;&;;;;method=140;LSERR=0.01, OPERR=1.0e-3, INCR=0.01;K1= V16/UEin;T1=FIXA (DB.K1,0.001);T2=FIXA (DB.K1,0.00083);ERROR=F1 (-3, - 50/T1, T2);R11 (0. 1,15.0);R12 (0. 1,2.5);R21 (0. 001,5.0);R22 (10. 0,28.0);R23 (0. 1,1.5);R24 (0. 1,0.6);R25 (3. 0,15.0);R31 (0. 75,5.0);R32 (0. 05,8.0);R33 (0. 05,2.2);R34 (0. 05,0.2);R35 (2. 0,6.0);

# AC analysislfreq=0.0001, ufreq=0.0025;

# AC OUTPUT variablesDB.K1;MA.K1;PH.K1; END;