Логический вывод на основе нечеткой метаимпликации
Логический
вывод на основе нечеткой метаимпликации
О.А. Мелихова
В работе
подробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации,
с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений,
используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.
При выполнении
нечетких выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной
проблемной областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде
нечеткого подмножества прямого произведения ,
определяемого по формуле [7,13]:
, (1.1)
где – область отправления, – область прибытия, – функция принадлежности нечеткому соответствию R, а знак означает совокупность (объединение)
множеств.
Если существует
правило типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A и B , то
один из способов построения нечеткого соответствия R состоит в следующем:
или
, (1.2)
где – функции принадлежности элементов x, y
соответственно множествам A и B.
Пример 1. Пусть
X и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом
нечеткие множества: A= “маленькие”, B= “большие”.
X=Y={1,2,3,4},
т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве
{1,2,3,4}:
.
Для примера
“если x маленькое, то y большое” (или , где
знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно построить нечеткое
отношение R следующим образом:
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
|
x1
|
0
|
0,1
|
0,6
|
1
|
R=
|
x2
|
0
|
0,1
|
0,6
|
0,6
|
|
x3
|
0
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
|
x4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
В качестве
элементов матрицы R записаны значения ,
вычисленные по формуле (1.2).
Для свертки
нечетких отношений чаще выбирается свертка max-min (максиминная композиция).
Пусть R – нечеткое соответствие множества X и множества Y, а S – нечеткое
соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие между X и V
определяется как свертка (композиция) , где
или
. (1.3)
Пример 2. Пусть и заданы нечеткие множества A = “не маленькие”, H = “очень большие”, где
.
Тогда для
правила “если y не маленькое, то v очень большое” (или ),
в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S определяется как
|
|
v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
|
y1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
S=
|
y2
|
0
|
0
|
0,4
|
0,4
|
|
y3
|
0
|
0
|
0,5
|
0,9
|
|
y4
|
0
|
0,5
|
1
|
Если теперь по
формуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в
примере 1.1, то из двух отношений:
если x
маленькое, то y большое,
если y не
маленькое, то v очень большое
можно построить
нечеткое отношение из X в V.
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
|
|
v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
|
|
x1
|
0
|
0,1
|
0,6
|
1
|
|
y1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
=
|
x2
|
0
|
0,1
|
0,6
|
0,6
|
|
y2
|
0
|
0
|
0,4
|
0,4
|
=
|
|
x3
|
0
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
|
y3
|
0
|
0
|
0,5
|
0,9
|
|
|
x4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
y4
|
0
|
0
|
0,5
|
1
|
|
|
|
v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
|
|
x1
|
0
|
0
|
0,5
|
1
|
|
=
|
x2
|
0
|
0,5
|
0,6
|
|
|
x3
|
0
|
0
|
0,1
|
0,1
|
|
|
x4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модель принятия
решений на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных
состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в
виде тройки (X,R,Y), где – базовые множества, на которых заданы,
соответственно, входы и выходы системы, R – нечеткое соответствие
“вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной качественной
информации специалиста (эксперта), путем непосредственной формализации его
нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия решений при
функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа “если , то ,
иначе, если , то ,
иначе, ..., если , то ”.
Здесь , ,..., – нечеткие подмножества, определенные на
базовом множестве X, а , ,..., – нечеткие подмножества из базового
множества Y. Все эти нечеткие подмножества задаются функциями принадлежности и .
Способ
построения нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если
, то ” и
определяется функцией принадлежности , получаемой по
формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами понимается как или-связка,
поскольку общее нечеткое отношение состоит из: правило 1, или правило 2 , или,
..., или правило N. Поэтому общее отношение R формально определяется следующим
образом:
, где i=1,..., N. (1.4)
Если
предположить, что мы имеем нечеткое событие , т.е.
входную ситуацию, представленную нечетким подмножеством, и известно общее
отношение R, тогда результирующее действие выводится по композиционному правилу
вывода: . Значение функции принадлежности для вычисляется посредством максиминной
операции, определяемой уравнением
. (1.5)
Рассмотренный
логический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо
зарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также при
принятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.
Список
литературы
Заде Л.А. Основы
нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М.:
Математика сегодня, 1974, с.5-49.
Дюбуа Д., Прад А.
Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с
франц. М.: Радио и связь, 1990, 288с.