Организовать и провести экспериментальную работу с внедрением разработанных уроков и определить их эффективность.
Для решения поставленных задач использовались теоретические методы исследования: анализ литературы, сравнение, синтез, обобщение, прогнозирование; эмпирические методы исследования: наблюдение, беседы, изучение и обобщение работы учителей, педагогический эксперимент.
Теоретическая значимость представленной работы заключается в том, что проанализированы различные нестандартные формы проведения уроков, сформулированы требования и условия их успешного применения для развития познавательной активности учащихся.
Практическая значимость дипломной работы состоит в разработке и применении нестандартных форм проведения уроков математики: уроки с использованием дидактических игр, соревнований, эстафет, конкурсов, викторин, которые могут быть использованы в дальнейшей практической деятельности.
Дипломная работа имеет следующую структуру: введение, где обозначена актуальность темы и определён научный аппарат исследования; двух глав, раскрывающих основное содержание заявленной темы; заключение, список литературы, приложение.
- Что такое сюжетные задачи
Сюжетная задача - математическая задача, в которой описан жизненный сюжет, а именно, количественная сторона реальных процессов, явлений и ситуаций; она содержит требования найти искомую величину по данным в задаче величинам и связям между ними.
Цели решения сюжетных задач:
- Формирование у учащихся общего подхода, общих умений и способностей решения задач;
- Глубокое познание математических понятий;
- Обучение математическому моделированию;
- Развитие логического мышления и творческого потенциала.
Функции задач:
- Учебная: формирование системы математических умений, знаний и навыков;
- Развивающая: направлена на формирование научно теоретического стиля мышления.
- Воспитывающая: формирование научного мировоззрения которое способствует экологическому , экономическому, эстетическому воспитанию.
- Контролирующая: уровень и математического развития.
Деятельностный метод обучения решению сюжетных задач - это исследование опорной задачи способом специальной системы учебных задач, а именно:
- Решение задач известной математической структуры;
- Изменение её условия;
- Исследования влияния изменений на решение задачи.
Формы работы:
- Фронтальная
- Групповая
- Индивидуальная
Что помогает младшему школьнику в решении задач?
Карточки с печатной основой, краткая запись задачи, рисунок-схема, текст-памятка, опорные схемы задач.
Формы организации поисковой деятельности младших школьников:
Формы организации поисковой деятельности младших школьников:
Система познавательных задач;
Эвристическая беседа;
Метод аналогии;
Самостоятельное знакомство с новым материалом;
Исследовательский метод.
Исследования показали, что критериями отбора учебного материала, который целесообразно осваивать в процессе поисковой деятельности младших школьников, является
Связь нового с ранее усвоенным материалом;
Возможность логического членения учебного материала на четкие этапы и элементарные задачи;
Наличие противоречия между опорными и новыми знаниями;
Готовность школьников к участию в поисковой деятельности.
Каждая из форм организации поисковой деятельности имеет свои функции в приобретении детьми опыта творческой деятельности. Через систему познавательных задач приемами умственной деятельности совершенствуются умения учащихся анализировать, дифференцировать признаки, выделять главное, обобщать, классифицировать, доказывать. Это - тот исполнительный инструмент, без которого не провести ни одной творческой работы.
Эвристическую беседу иногда называют сократовской. Это связано с именем греческого философа Сократа, который так вел беседы со своими учениками, что они самостоятельно приходили к открытию истины. Этот метод способствует организации частично-поисковой деятельности учащихся, когда они самостоятельно выполняют только отдельные шаги поиска, а целостное решение проблемы достигается вместе с учителем. Поэтому эвристическая беседа доступна и для учащихся слабо подготовленных, которые учатся логически рассуждать на образцах.
Реализация познавательных функций беседы начинается с постановки проблемы, когда создается ситуация необходимости поиска нового знания. Здесь следует специально заострить внимание детей на объекте поиска. Когда проблема сформулирована, учащиеся под руководством учителя отделяют известное от неизвестного, актуализируют усвоенные знания. Это делается для того, чтобы выяснить: можно в этом случае пойти известным путем (тогда проблему решают сильные ученики с места, на основе переноса)или надо искать новые способы.
Для структуры эвристической беседы характерно чередование репродуктивных и продуктивных вопросов, побуждающих школьников к напряженной умственной деятельности: осознать противоречие, увидеть проблему, сформулировать ее, выразить разные предположения, определить правильный образ действий.
Чем выше готовность учащихся к участию в поисковой деятельности, тем шире шаги поиска; чем точнее вопрос учителя, тем стройнее структура беседы. Структура беседы - не рядоположна последовательность вопросов и ответов, а их возможную взаимосвязь, исходным моментом которого является проблема - кульминация этого метода, а завершение - развязкой.
Так, вклад эвристической беседы в формировании поисковой деятельности в том, что дети под руководством учителя проходят полный цикл поиска, развернутость которого зависит от уровня их подготовленности и точности вопросов.
Суть метода аналогии в том, что свойства одного объекта выясняются на основе его сходства с другим. В логике установлено, что вероятность полученных знаний на основе аналогии зависит от определенных условий, а именно:
) количество общих для обоих предметов признаков должно быть как можно больше;
) общие признаки должны быть существенными и охватывать различные стороны сравниваемых объектов;
) признак или способ действия, который предполагается у другого объекта, должна быть такого же типа, как другие признаки, общие для обоих предметов.
Рассуждения по аналогии основаны на операции сравнения в форме соотнесения и сопоставления существенных признаков объектов, а сам процесс осуществляется на основе анализа, абстрагирования, синтеза. По уровню творчества различают три вида аналогии: ассоциативная, алгоритмическая, эвристическая.
Ассоциативная аналогия происходит на уровне репродуктивной деятельности, выводы на ее основе имеют ситуативный характер. Но для младших школьников - это доступный и интересный способ формулировки новых выводов, поиска новых признаков, качеств, функций.
Интересные задания на этот вид аналогии дает естественный материал. Например: можно сравнить лес с многоэтажным домом? Почему? Снег, лед, вода - ближайшие родственники. О каких природные явлениях можно сказать так же?
Другие функции в развитии познавательных способностей младших школьников выполняет алгоритмическая аналогия, с помощью которой дети, опираясь на известный способ действия, самостоятельно приходят к выводу о возможности его применения в несколько измененных условиях, т.е. вносят в известный способ определенные изменения.
Высокого уровня самостоятельности мышления требует от учащихся применение эвристической аналогии. Суть ее в том, что на основе сходства явлений или объектов, которые, казалось бы, нельзя сравнивать, возникают догадки, предположения о способе решения проблемы. Этот вид аналогии требует высокой степени абстрактного мышления учащихся, их аналитико-синтетической деятельности.
Задачи на эвристическую аналогию даются на различных уроках. Особенно целесообразно их использование на уроках математики, окружающего мира, русского языка.
Приведем примеры заданий на эвристическую аналогию уроков окружающего мира:
Развивающие функции самостоятельного ознакомления с новым материалом проявляются в том, что оно предусматривает самоорганизацию и выполнение учащимися во взаимосвязи многих учебных действий, направленных на один результат. Самостоятельно знакомясь с новым материалом по учебнику или другим источникам, школьник фактически выполняет несколько соподчиненных задач: определяет цели, вычленяет неизвестное, концентрирует внимание на главном, устанавливает последовательность действий, контролирует их.
Что должно быть ориентиром для учителя в определении материала для самостоятельной поисковой работы?
Это:1) прочное, сознательное владение учащимися знаниями, на которых основывается новый материал;2) возможность актуализации опорных знаний через подготовительные упражнения;3) доступность, четкость изложения материала в учебнике;4) уровень сформированности умений работать с учебниками, картами, достаточный темп письма и чтения.
Определяя материал для поисковой самостоятельной работы, учитель должен исходить из того, что дети хорошо усвоили предыдущий материал, на котором в той или иной степени основывается изучение нового. Так же надо очень внимательно определить способ постановки задачи. Инструкция должна быть лаконичной, но точной и полной, отражать последовательный ход рассуждений, практических действий, которые необходимо выполнить.
Для самостоятельного ознакомления с новым материалом учащимся вполне доступны и новые виды задач. В методической литературе подчеркивается, что современная программа начальных классов ставит требование формировать у ребенка умение решать не определенный вид задач, а любые. Именно поэтому система отбора и размещения их в учебнике направлена на обеспечение благоприятных условий для обобщения способов действий.
В определении содержания и характера помощи детям при решении задачи обычно учитель ориентируется на общие требования к работе над ней. Готовясь к уроку, полезно продумать, какой вид коротких записей целесообразно применить при решении; начинать разбор от искомого или от данных, ориентируясь на основной вопрос задачи; возможны различные способы решения и, если да, то какой из них наиболее рациональный ; как оформить решение. Работу лучше строить так, чтобы не сдерживать мнения учеников, чтобы они учились самостоятельно думать. А для этого следует также предусмотреть, какие вопросы могут возникнуть.
Для самостоятельного ознакомления учащихся с новым естественным материалом им в основном предлагают текст из учебника описательного характера. Перед чтением учитель за минуту сообщает цель работы, называет упражнение, которое следует разработать, и, обязательно, ставит контрольные вопросы, на которые нужно подготовить ответы в процессе чтения.
Иногда, целесообразно поставить перед учениками и проблемный вопрос, выслушать их соображения, а затем предложить прочитать упражнение и сделать правильный вывод.
Важно, чтобы в процессе выполнения самостоятельной работы учитель предлагал детям познавательные задачи: сортировка учебного материала по определенным критериям; сравнения в форме сопоставления и противопоставления как средство открытия новых свойств, признаков предметов, изучаемых, подготовка заключений по аналогии; классификация, выделение главного, установление причинно-следственных связей; доказательства истинности суждений.
Исключительные возможности для формирования опыта творческой деятельности учащихся имеет исследовательский метод. Некоторые учителя считают его недоступным для младших школьников. Да, он действительно сложный по способу руководства познавательной деятельностью учащихся, требует от детей развитых поисковых умений.
Но исследования показывают, что выполнение учащимися 3-4 классов элементарных исследовательских задач - не только возможно, но и эффективно для их развития. Установлено, что на протяжении обучения в начальной школе учащиеся при соответствующей процессуальной и мотивационной подготовки способны участвовать в различных видах учебно-исследовательских задач
Например, формирование новых понятий на основе длительных наблюдений с последующим установлением причинно-следственных связей, освоение свойств объектов через экспериментальное «открытие» во время опытов. Руководствуясь принятой целью, дети на некоторых этапах самостоятельно планируют ход работы, подбирают материал для наблюдений, опытов, высказывают предположение, фиксируют результаты исследований, делают зарисовки, выводы, доказывают. Так, в исследовательском методе работает весь диапазон поисковых умений ребенка.
Чтобы заинтересовать школьников исследованиями, нужно привить им сначала вкус к вдумчивому накоплению и осмыслению наблюдений, проведению кратковременных экспериментов с известными объектами, которые открывают новые свойства. Полезно также подключать весь класс к групповым исследовательским задачам, рассчитанным на 2-3 недели (а может, и на месяц).
Таким образом, формирование опыта поисковой деятельности учащихся в атмосфере всеобщего увлечения интересным делом не только имеет развивающее значение, но и объединяет процесс обучения и воспитания, стимулирует познавательные потребности. В течение обучения в начальной школе учителя должны привлекать младших школьников к систематическому решению познавательных задач с помощью приемов умственной деятельности, участию в эвристических беседах, выполнению самостоятельных заданий разной сложности, проведению элементарных исследований.
- Методы и формы повышения познавательной активности учащихся на уроках математики. Психолого-педагогические основы познавательной деятельности учащихся
сюжетный познавательный учащийся математика
Деятельность человека как сознательная активность формируется и развивается в связи с формированием и развитием его сознания. Она всегда осуществляется в определенной системе отношений человека с другими людьми. Деятельность требует помощи и участия других людей, т.е. приобретает характер совместной деятельности. Её результаты оказывают определенное влияние на окружающий мир, на жизнь и судьбы других людей. Поэтому в деятельности всегда находит свое выражение не только отношение человека к вещам, но и отношение его к другим людям.
Возникновение и развитие различных типов деятельности у человека представляет собой сложный и длительный процесс. Активность ребенка только постепенно в ходе развития, под влиянием воспитания и обучения принимает формы сознательной целенаправленной деятельности.
Познавательная деятельность - это специфический вид активности человека, направленный на познание и творческое преобразование окружающего мира, включая самого себя и условия своего существования.
В познавательной деятельности человек изучает не только окружающий его мир, но и самого себя, процесс, протекающий в его психике и физике. Особенно актуальна тема мыслительной деятельности, которая отвечает за умственное развитие человека. Поток информации, идущий на ребёнка, постоянно растет с развитием научно-технического прогресса, и чтобы получить наиболее обширные и глубокие знания, надо использовать наиболее эффективные методики преподавания научных знаний. А чтобы создать такую методику, необходимо изучить мыслительный процесс так, чтобы знать его слабые и сильные стороны, и выявить направления, по которым лучше развивать умственную деятельность человека. А это лучше делать тогда, когда ребёнок растёт и формируется в личность, используя его задатки и интерес к окружающему миру.
В процессе познавательной деятельности как ведущей в школьном возрасте дети воспроизводят не только знания и умения, соответствующие основам форм общественного сознания (науки, искусства, морали, права), но и те исторически возникшие способы, которые лежат в основе теоретического сознания и мышления - рефлексию, анализ, мыслительный эксперимент. Содержанием познавательной деятельности являются теоретические знания.
Познавательная деятельность нацелена на то, чтобы школьники усваивали знания в процессе самостоятельного решения учебной задачи, которая позволяет им раскрыть условия происхождения этих знаний. Учебная задача решается школьниками путем выполнения определенных действий. Назовем эти действия:
·преобразование условия задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого предмета;
·моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;
·преобразование модели отношения для изучения его свойств в чистом виде;
·построение системы частных задач, решаемых общим способом;
·контроль над выполнением предыдущих действий;
·оценка общего способа как результата решения данной учебной задачи;
Следующим компонентом познавательной деятельности являются учебные действия школьников, выполняя которые они осваивают предметный способ действия. Независимо от того, как им задается способ действия (учителем или они обнаруживают его сами), учебные действия по его освоению начинаются с того момента, когда выделен образец. Производимые ребенком действия по составлению предварительного представления о способе действия и по его первоначальному восприятию есть собственно учебные действия.
Каждое учебное действие состоит из соответствующих операций, наборы которых меняются в зависимости от конкретных условий решения той или иной учебной задачи.
Главным действием является преобразование учебной задачи с целью обнаружения некоторого всеобщего отношения того объекта, который должен быть отображен в соответствующем теоретическом понятии. Важно отметить, что речь здесь идет о целенаправленном преобразовании условий задачи, направленной на поиск, обнаружение и выделение вполне определенного отношения некоторого целостного объекта.
Предметом познавательной деятельности является какого-либо рода информация. Познавательная деятельность, как и другие виды деятельности, имеет определенную структуру. В ней обычно выделяют действия и операции как основные составляющие деятельности. Действием также называют часть деятельности, имеющую вполне самостоятельную, осознанную человеком цель. Действием, включённым в структуру познавательной деятельности, можно назвать получение книг и их чтение. Операцией именуют способ осуществления действия. Характер операции зависит от условий выполнения действия, от имеющихся у человека умений и навыков, от наличных инструментов и средств осуществления действия. В качестве средств осуществления деятельности для человека выступают те инструменты, которыми он пользуется, выполняя те или иные действия и операции.
Компонентом познавательной деятельности является самоконтроль.
В последние годы проблема самоконтроля всё больше становиться предметом психологических и педагогических исследований. По нашему мнению это обусловлено тем, что самоконтроль - один из важнейших факторов, обеспечивающих самостоятельную деятельность учащихся. Его значение заключается в своевременном предотвращении или обнаружении уже совершенных ошибок. Формирование познавательной деятельности рациональнее всего начинать с формирования самостоятельного контроля. Между тем проверка показывает, что именно навык самоконтроля обычно оказывается наиболее слабо сформированным у учащихся.
«Самоконтроль - это умение ученика оценивать свою работу с двух точек зрения: верно ли ответил? Все ли я ответил?» Очень близко к этому определению самоконтроля подходит определение В.И. Страхова, который считает, что «самоконтроль есть форма деятельности, проявляющаяся в проверке поставленной задачи, в критической оценке процесса работы, в исправлении ее недочетов».
Д. Б. Эльконин немного иначе формулирует понятие самоконтроля, но смысл его остается тем же: «Действие контроля состоит в сопоставлении воспроизводимого ребенком действия и его результата с образцом через предварительный образ». Образец способа действия должен содержать в себе опорные точки, на основании сопоставления с которыми может быть произведено действие контроля до того, как осуществится то искомое действие, ради которого применяется данный способ. Д.Б. Эльконин дает еще одно определение самоконтролю: «Контроль есть в конечном итоге действие по сопоставлению представления о предстоящем действии с непосредственно данным его образцом». Оба определения уместны, но они соответствуют разным видам самоконтроля.
В ходе самоконтроля человек совершает умственные и практические действия по самооценке, корректированию и совершенствованию выполняемой ими работы, овладевает соответствующими умениями и навыками. Кроме того, самоконтроль способствует развитию мышления.
В структуре самоконтроля можно выделить следующие звенья:
·уяснение учащимися цепи деятельности и первоначальное ознакомление с конечным результатом и способами его получения, с которыми они будут сравнивать применяемые ими приемы работы и полученный результат. По мере овладения данным видом работы, знание образцов будет углубляться и совершенствоваться;
·сличение хода работы и доступного результата с образцами;
·оценивание состояния выполняемой работы, установление и анализ допущенных ошибок, и выявление их причин (констатация состояния);
·коррекция работы на основе данных самооценки и уточнение плана ее выполнения, внесение усовершенствований.
Ответственным моментом в обучении учащихся самоконтролю является уяснение цели деятельности и ознакомление с образцами, по которым они будут сравнивать применяемые способы выполнения работы и полученные результаты.
Самоконтроль - это компонент познавательной деятельности, но даже при наличии соответствующих предпосылок познавательная деятельность возникает у ребенка не сразу. Познавательная деятельность формируется в процессе обучения под руководством учителя. Ее формирование выступает важнейшей задачей обучения - задачей не менее важной, чем усвоение знаний, умений и навыков.
3.Исторические методы решения сюжетных задач
Первое общее правило - «Правило проверки Лакруа».
При этом мы должны всегда иметь в виду, что цель наших действий - выразить одно и то же значение некоторой величины двумя различными способами.
Второе общее правило - «Правило уравнивания».
Наряду с этим нужно помнить, что научить решению задач можно путем показа многочисленных образцов неродственных задач - методы показа.
Нетрудно видеть, что первое общее правило - следствие правил Декарта. Второе общее правило - часть правила Декарта, а метод показа - это пятое положение Ньютона, даже взятые все вместе эти правила не исчерпывают Декарта и Ньютона. Но именно так поступали авторы большинства методических пособий.
Н.Е. Муравьев, автор первого руководства по алгебре на русском языке - «Начальные основания математики» (СПб., 1752), ограничился методом показа на 42-х примерах.
Безу в своем «Курсе математики» (переведенном на русский язык в 1801 г.) ограничился первым общим правилом.
Фуссе в своих «Начальных основаниях алгебры, извлеченных из алгебры Л. Эйлера» (СПб., 1798), ограничился вторым общим правилом.
Первое и второе правила и метод показа являются производными из метода Декарта - Ньютона.
Исходными характеристиками этого метода являются:
1) перевод описания реального явления с естественного языка на аналитический, независимый от того, какие значения величин, описывающих это явление, известны, а какие - нет;
) свертывание аналитической модели текстовой задачи к оптимальному виду - уравнению - и его решение; 3) обратный перевод ответа с аналитического языка на естественный.
Наряду с общими правилами, вытекающими из этих указаний Декарта и Ньютона, в их трудах имеются и явно ошибочные методические указания. Так, условие Декарта: чтобы задача имела определенное решение, надо иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных, не является ни необходимым, ни достаточным, так как задача может иметь определенное решение даже тогда, когда число неизвестных больше числа уравнений. Несостоятельна также и рекомендация Ньютона вводить минимальное число неизвестных, особенно на первых порах формирования умения решать аналитические задачи.
Не будучи едиными в использовании производных характеристик метода Декарта - Ньютона, методисты алгебры были едиными в игнорировании его исходных положений и в признании правильными вышеупомянутых ошибочных указаний. Все это привело к тому, что составление уравнений по условию задач стало узким местом в методике обучения математике. Методисты стали искать выход из создавшегося тупика.
Оригинальная попытка в этом направлении была сделана В. Евтушевским и А. Глазыриным в их «Методике подготовительного курса алгебры». В дидактических целях они предлагали располагать текстовые задачи в порядке усложнения соответствующих уравнений (26). В советское время эта идея была возрождена Н. Островским (42) и развита А.Н. Барсуковым (4).
Однако реализация идей А.Н. Барсукова в стабильных учебниках 50-60-х гг. (5, 31) не привела и не могла привести к желанным результатам. Причинами тому были:
1. Надежды, возлагаемые на арифметическую пропедевтику и несовершенство алгебраической, оказались тщетными, несмотря на большую работу, проведенную в этом направлении и, несомненно, имеющую некоторое положительное значение.
. Авторы отказались от основных положений метода Декарта - Ньютона и тем самым лишили учащихся всяких общих ориентиров по составлению уравнений, кроме метода показа, который, собственно говоря, и не является методом.
. Авторы классифицировали текстовые задачи не по исходным признакам, что более естественно, а по окончательному виду уравнения, что, конечно, является искусственным признаком, так как окончательное уравнение может быть не адекватно условию задачи.
К.П. Сикорский по этому поводу сказал: «Классификация задач по виду уравнения - самая ненадежная и спорная классификация» (52, с. 42).
После 50-х гг. методисты начинают обращать большее внимание на исходные указания метода Декарта - Ньютона. «Трудностью для учащихся является процесс перевода условия на язык алгебры», - пишет М. Змиева (27, с. 62). На этом вопросе акцентируют свое внимание С.С. Бронштейн (11, с. 110, 117), Д. Майергойз (34, с. 43), И.К. Браун (10, с. 49-54) и др. Наиболее полно этот вопрос позднее был рассмотрен в работах Д. Пойя (43; 44).
В то время указанная трудность усугублялась тем, что «ученик, получив некоторые навыки в составлении формул реальных зависимостей в начале VI класса, на протяжении почти целого года не упражнялся в них и приходил к составлению уравнений в VII классе слабо подготовленным» (27, с. 62).
Для преодоления этой дополнительной трудности и ликвидации разрыва между разделами «Буквенные обозначения» и «Решение задач методом уравнений» А.Н. Барсуков и М.И. Змиева перебрасывают между ними мостик - «Систему подготовительных упражнений для каждого (промежуточного) раздела» по формированию навыков перевода описания реальных зависимостей с естественного языка на язык алгебры и наоборот. «Эти упражнения не были посторонним материалом в указанных разделах, а помогали учащимся видеть на практике применение тождественных преобразований» (27, с. 63).
В этом, несомненно, и заключалась ценность работ А.Н. Барсукова и др. А несовершенство алгебраической пропедевтики А.Н. Барсукова (4) состояло в том, что не уделялось должное внимание буквенным подстановкам и исключению параметров. Этот пробел был ликвидирован В.Л. Гончаровым (15).
И.К. Браун особо подчеркивает важность расположения текстовых задач по мере возрастания трудности перевода их условия на язык алгебры. Сложным задачам должны предшествовать «прозрачные», в которых «само условие уже подсказывает и составление уравнения: уравнение как бы пишется «под диктовку» (10, с. 58).
Сложные же задачи требуют либо знания зависимостей, не упомянутых в условии, либо расшифровки специальных терминов условия, либо перегруппировки частей условия. Нетрудно видеть, что Браун полностью следует третьему положению Ньютона. Аналогичную позицию занимает Д. Пойя, возрождая ньютоновский параллельный перевод с естественного языка на язык алгебры (43, с. 18), а также К.П. Сикорский (52, с. 41, 42).
1) им трудно переключиться от арифметического к алгебраическому способу решения задач;
) алгебраическая пропедевтика несовершенна, нет достаточного количества разнообразных упражнений на перевод реальных зависимостей с естественного языка на алгебраический. «А между тем перевод словесного текста на математический язык - одна из основных целей обучения математике в средней школе» (11, с. 110);
) учащиеся зачастую лишены ориентировочной основы действий по составлению уравнений, ибо многие методисты отрицают общий принцип составления уравнений, ограничиваясь пресловутым «методом показа»;
) ненужное усложнение мыслительной деятельности учащихся по составлению уравнений вносит соблюдение принципа минимальности числа уравнений и числа неизвестных (положение Ньютона).
С.С. Бронштейн пишет: «Главная трудность заключается в составлении уравнений, а не в решении их. Большинство задач на составление уравнений естественнее и проще приводятся к составлению системы; решение их составлением одного уравнения требует навыка и вызывается не необходимостью, а часто погоней за так называемым изящным решением» (см.: там же, с. 117).
Этот разрыв с ошибочной ньютоновской традицией должен был привести к переориентировке на исходные положения метода Декарта - Ньютона, к отказу от субъективизма в умственной деятельности по составлению аналитической модели задачи и к переходу к объективному отражению в модели содержания задачи.
Так на практике и поступает С.С. Бронштейн, давая образцы составления уравнений по условию задач и навлекая на себя нападки методистов за неизящество процесса составления уравнений (4, с. 189-193).
Конечно, его модели еще не совершенны, но они ценны своей полнотой и употреблением общепринятых в науке букв для обозначения величин. С.С. Бронштейн действует как эмпирик, и как эмпирик применяет его метод четверть века спустя В.П. Моденов, различающий в текстовой задаче основные и дополнительные условия (37, с. 46).
В то же время С.С. Бронштейн цепляется за традиционное второе общее правило в худшем его варианте: начинать решение не с выяснения и обозначения искомого, а с выяснения вопроса: «Какие две величины равны друг другу по условию задачи? Это центральный вопрос в задачах на составление уравнений» (11, с. 111). Автор повторяет здесь высказанную до него мысль Н. Островского: «Процесс получения уравнения для всякой задачи начинается с выяснения конечной цели - смыслового значения обеих частей уравнения» (42, с. 83). Именно этот принцип в методике Бронштейна - наиболее уязвимое место и именно он больше всего был подвергнут справедливой критике. Вместо того чтобы, используя объективный критерий - вопрос задачи и благодаря ему при составлении аналитической модели текста получить уравнения, не заботясь на первых порах о том, какой вид примет эта модель после ее сворачивания, этот принцип с порога требует ответа на вопрос: какой будет модель текста после ее сворачивания, какие величины будут уравнены? Решающему остается ориентироваться на свой субъективный опыт, на свою догадку.
Автор не допустил бы этой ошибки, если бы вместо указанного принципа снабдил бы образцы решения методическими указаниями в духе П. Сердобольской:
Приступая к решению аналитической задачи, надо:
1. «Четко указать величины, участвующие в задаче».
. «Четко указать функциональную зависимость между ними».
Уметь записывать эту зависимость в виде уравнений и неравенств, используя для обозначения величин общепринятые в науке буквы. Это дает возможность составить аналитическую модель, адекватную условию задачи.
3. «Уметь наиболее рациональным путем использовать формулу функциональной зависимости для определения любой величины, входящей в формулу, какая требуется»для сворачивания модели к оптимальному виду (51, с. 29).Аналогичные рекомендации мы позднее встречаем у И.И. Дырченко (25, с. 47).
С.С. Бронштейн дает такой стратегический план решения задач: «1) уяснение условия задачи; 2) составление плана, т.е. изыскание пути от искомого к данным (анализ); 3) выполнение плана, т.е. путь от данного к искомому (синтез); 4) проверка» (11, с. 115, 116), причем проверка понимается широко, как всестороннее исследование задачи после ее решения.
Спустя много лет этот стратегический план был детализирован и конкретизирован в знаменитой работе Д. Пойя «Как решать задачу».
Пойя использовал указания, содержащиеся в трудах Декарта, Паскаля, Ньютона, Паппа и даже народные пословицы (45, с. 99-102).
Методические указания по решению задач Д. Пойя относятся к решению задач любым способом, а не только аналитическим, поэтому мы их рассмотрим в другом месте.
Значительным событием в истории вопроса об аналитическом решении текстовых задач был выход в свет сборника статей «Решение задач в средней школе» под общей редакцией Н.Н. Никитина в 1952 г. Из этого сборника наибольший интерес для нас представляют статьи И.Г. Польского (45) и Н.Ф. Добрыниной (24), посвященные решению аналитических текстовых задач.
Методические рекомендации И.Г. Польского заключаются в следующем:
1. Аналитические задачи должно быть разбиты на группы по содержанию и на подгруппы по степени трудности.
. Решению задач каждой группы должно предшествовать изучение функциональной зависимости величин, описывающих соответствующее явление. «Эта функциональная зависимость фиксируется в виде равенства (т.е. формулы. - Л.Ф.), причем величины лучше всего обозначить общепринятыми в науке буквами».
. Решению задач каждой группы должна предшествовать тренировка в тождественных преобразованиях алгебраических выражений, характерных для уравнений, к которым приводят задачи данной группы.
. Составление плана задачи заключается в ее расчленении на элементарные зависимости между величинами и в записи этих зависимостей в виде равенств.
5.Осуществление плана решения состоит из трех шагов:
Первый шаг - выбор основной неизвестной величины (обычно одного из искомых) и выбор единиц измерения для всех величин, участвующих в задаче.
Второй шаг - заполнение таблицы: а) записываем выражение для неизвестной величины; б) затем числовые значения известных величин; в) и, наконец, составляем выражения для оставшихся величин, зависящих от известных и неизвестных - назовем их «третьими величинами».
Третий шаг - составление уравнения осуществляется почти механически, так как «сама запись нужного нам уравнения является актом, логически вытекающим из проделанного разбора и сделанных записей. А именно: после упомянутых выше записей обычно остается одна неиспользованная числовая данная, однородная с величинами, называемыми «третьими». Вот эту оставшуюся числовую данную мы помещаем в правой части уравнения; в левой же части пишем выражение, составленное из «третьих» величин и равное правой части».
Свою методику И.Г. Польский иллюстрирует на примере:
Поезд идет от А к В со скоростью 30 км/ч и обратно со скоростью 28 км/ч, затрачивая на путь туда и обратно 14,5 ч. Каково расстояние от А до В?
1. План - речь идет о двух прямолинейных равномерных движениях, которым соответствует зависимость S = vt.
. Выбор основного неизвестного - S - расстояние от А до В.
3. Составление таблицы:
Этап составленияВеличинаЕдиница измеренияПуть от А до ВПуть от В до Аа) запись неизвестныхпутькм S Sб) запись известныхскоростькм/ч3028в) запись «третьих величин»времячS/30S/28
4. Составление уравнения - по смыслу задачи S/30 + S/28 = 14,5 (52)
Нетрудно видеть, что первые четыре пункта - хорошее дополнение к «образцам» С.С. Бронштейна, а пятый пункт - развитие методических указаний И.К. Брауна.
Сторонники методики И.Г. Польского внесли некоторые поправки в нее. Так, И.И. Дырченко дополняет ее общим детальным анализом и требует вместо термина «составление плана» употреблять термин «анализ условия» (25).
К.П. Сикорский предлагает составление таблицы, которому он придает чрезвычайное методическое значение, на первых порах обучения решению аналитических текстовых задач называть «табличным анализом» (52).
В.Г. Болтянский, исходя из потребностей полноценной проверки решения задачи по ее условию, приравнивает элементы таблицы, содержащие неизвестное, а также оставшееся данное к вспомогательным неизвестным и тем самым заменяет таблицу аналитической моделью задачи (6).
Н.Ф. Добрынина пишет: «Начиная анализ задачи с вопроса, учащийся легко может перейти к второстепенным соотношениям, что неизбежно повлечет за собой ряд случайных ошибочных проб в составлении уравнения» (24, с. 123). Чтобы этого избежать, анализ задачи надо начинать с осознания основного соотношения задачи и того, какие величины в этом соотношении участвуют. Затем нужно составить соответствующее словесное уравнение. Лишь после этого выбирается основное неизвестное, выражаются через него все прочие неизвестные и подставляются в словесное уравнение, превращая его в аналитическое.
Проиллюстрируем этот метод на задаче, рассмотренной выше.
Первый этап - осознание основного соотношения и формулировка словесного уравнения: сумма времени прохождения поездом расстояния от А до В и обратно от В до А дана; время же можно получить, деля расстояние на скорость.
Второй этап - введение основного неизвестного и выражение через него других неизвестных. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда время движения поезда от А до В равно х/30, а обратно: х/28.
Третий этап - составление аналитического уравнения: подставляем найденные выражения в словесное уравнение и получим:
х/30 + х/28 = 14,5.
Вопрос о том, в каком порядке следует составлять уравнение, какие этапы должны быть в этом процессе, обсуждался во многих методических пособиях и статьях. Но ничего принципиально нового в них не было, были лишь споры по частным вопросам: о порядке составления уравнения, способах анализа текста задачи, классификации задач. Так, П.М. Эрдниев в книге «Методика упражнений по математике» весьма подробно обсуждает эту проблему и выдвигает свою классификацию задач, которая основана на идеях И.В. Арнольда, но является более подробной (59).
- Современные методы решения сюжетных задач
Если например до 19-ого века цели решения этих задач были чисто практические: научить решать задачи, которые часто встречаются в жизненной практике, то затем эти цели значительно расширились и, кроме практических целей, они начинают использоваться как важное общеобразовательное и методическое средство. Известный русский методист В.А. Евтушевский (1836-1888) так охарактеризовал функции сюжетных задач в обучении начальной математике: «Задачи, предлагаемые в классе, заключают в себе живой материал для упражнения мышления ученика, для вывода математических правил и для упражнения приложения этих правил в решении частных практических вопросов».
Эти три функции решения сюжетных задач сохранились и до наших дней, но их характер и значимость стали иными. Если раньше решение сюжетных задач рассматривалось чуть ли не единственным средством для осуществления каждой из указанных трёх функции, то теперь положение коренным образом изменились. Так, в настоящее время считается, что развитие мышления учащихся должно осуществляется не только в процессе решения сюжетных задач, но и в процессе всего обучения математике.Что касается третьей функции (приложение математики к решению частных практических вопросов), то современная жизненная практика наших детей и взрослых совсем иная, чем во времена В.А. Евтушевского. Те непосредственные применения, которые раньше имели различные задачи по покупку и продажу, на совместную работу, на движение и пр., теперь играют не очень существенную роль в жизни людей, особенно если учесть, что подавляющее большинство таких задач, применяемых в школьном обучении, носит искусственный характер.
Главное состоит в том, чтобы сформировать у учащихся общий подход к решению любых задач. Это подход состоит в том, что задача рассматривается как модель некоторой проблемной ситуации, как объект для тщательного изучения, а её решение - как процесс применения общих теоретических положений математики и общелогических правил вывода к условиям задачи, с целью последовательного её преобразования и перемоделирования до тех пор, пока не будет удовлетворено требование задачи - не будет найден ответ на вопрос задачи.
Следует отметить, что такой подход к решению сюжетных задач, как это показали проведенные многолетние эксперименты, обеспечивает высокий уровень развития у учащихся творческой инициативы, способностей и умений решения не только сюжетных, но и любых задач, А это важно потому, что вся творческая жизнедеятельность человека связана с решением задач: каждое самостоятельное его действие - это решение некоторой задачи, которая возникает перед ним в силу сложившихся условий и обстоятельств или которую он сам в силу своих внутренних потребностей ставит перед собой. Вооружить наших учащихся такой культурой жизнедеятельности - вот главная цель решения сюжетных и других задач в школьном обучении.
- Сюжетные задачи, как способ развития интереса у младших школьников
Одно из эффективных средств развития интереса к учебному предмету, наряду с другими методами и приемами, используемыми на уроках, - дидактическая игра. Еще К.Д. Ушинский советовал включать элементы занимательности, игровые моменты в учебный труд учащихся для того, чтобы процесс познания был более продуктивным.
Игра занимает значительное место в первые годы обучения детей в школе. В начале учащихся интересует только форма игры, а затем уже и тот материал, без которого нельзя участвовать в игре.
В ходе игры учащиеся незаметно для себя выполняют различные упражнения, где им самим приходится сравнивать, выполнять арифметические действия, тренироваться в устном счете, решать задачи. Игра ставит учащихся в условие поиска, пробуждает интерес к победе, следовательно, дети стремятся быть быстрыми, находчивыми, четко выполнять задания, соблюдая правила игры.
В играх, особенно коллективных, формируются и нравственные качества ребенка. В ходе игры дети учатся оказывать помощь товарищам, считаться с мнением и интересами других, сдерживать свои желания. У детей развивается чувство ответственности, коллективизма, воспитывается дисциплина, воля, характер.
Включение в урок игр игровых моментов делает процесс обучения интересным и занимательным, создает у детей бодрое рабочее настроение, облегчает преодоление трудностей в усвоении материала.
Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная умственная задача, усиливается интерес детей к предмету, к познанию ими окружающего мира.
Приемы слуховой, зрительной, двигательной наглядности, занимательные вопросы, задачи-шутки, моменты неожиданности способствуют активизации мыслительной деятельности.
Очень многие дидактические игры заключают в себе вопрос, задание, призыв к действию, например: "Кто быстрей?" "Не зевать! Отвечать сразу. Кто первый?" и т.д.
Значительная часть игр дает возможность сделать то или иное обобщение, осознать правило, которое только что изучили, закрепить, повторить полученные знания в системе, новых связях, что содействует более глубокому усвоению пройденного.
Например:
Уроки - путешествия.
Целесообразно проводить различные уроки-путешествия. Такие как "В цирке", "Веселые страты", "Плывем к Робинзону Крузо", "В зоопарке", "Полет в космос" и др.В игру задания превращает их проведения - эмоциональность, непринужденность, занимательность.В этих путешествиях ненавязчиво обогащается словарный запас, развивается речь, активизируется внимание детей, расширяется кругозор, прививается интерес к предмету, развивается творческая фантазия, воспитываются нравственные качества. И главное огромнейший эффект - ни одного зевающего на уроке!Дети играют, а, играя, непроизвольно закрепляют, совершенствуют, доводят до уровня автоматизированного навыка математические знания.
Приведем фрагмент одного из уроков - путешествий.
"В цирке" -
Цель:
Закрепление знаний табличных случаев сложения и вычитания в пределах 20 с переходом через десяток.
Оборудование:
Рисунки артистов цирка, которые вывешиваются в ходе игры.
На доске записи примеров.
На первом ряду - билеты зеленого цвета, на них записаны разные примеры, но ответы у них одинаковые.
На втором ряду - билеты голубого цвета с ответом 12.
На третьем ряду - билеты желтого цвета с ответом 13.
Ход путешествия:
Учитель обращается к классу, говорит:
Мы приглашены на цирковое представление. У каждого из вас есть входной билет, но входить будем рядами.
Первый ряд! Внимательно посмотрите на свои пригласительные билеты (примеры) и хором назовите свой ответ. (Дети хором называют свои ответы - 11, 12, 13).
Итак, Ребята, рассаживайтесь поудобнее.
Соблюдая правила культурного поведения, дети приветствуют артистов цирка. Представление начинается.
Встречайте Зебру!
(Дети хлопают в ладоши)
Где вы ее могли видеть?
(На проезжей части - указатель перехода для пешеходов)
Почему пешеходную дорожку назвали зеброй?
(Свое название эта разметка получила за сходство с окраской экзотичного животного)
Для чего нужна такая разметка?
(Для контраста)
Итак, Зебра предлагает вам перейти, а для этого нужно правильно решить примеры.
- 5 13 - 9
+ 3 14 - 8
+ 7 9 + 5
А сейчас на арену цирка выезжает косолапый Мишка. Хотя его и называют косолапым, посмотрите, как он умеет крутить педали! Помогите Мишутке проехать по математическому лабиринту. Откуда он начинает свой путь?
- 9
- 7 13 - 8
- 5
+ 5 14 - 7
+ 6
Поздравьте Мишутку с успешным выступлением!
(Дети хлопают в ладоши)
Внимание! А сейчас на арене Слоненок! Он лопоухий, смешной, хочет подружиться с детворой. Он подружиться с вами, если вы справитесь с заданием.
- * = 8
* - 6 = 9
- 8 = *
* - 5 = 7
+ * = 12
Молодцы! Правильно решили примеры и теперь у вас есть новый друг!
А сейчас на арену цирка выходит знаменитый Маг!
Я узнал, - говорит он, - что вы учитесь в школе и очень хорошо умеете считать, думать, соображать. Так ли это? Я хочу проверить вашу сообразительность:
. Определите, сколько мне лет. А лет мне столько, сколько изображено на картинке (показывает изображение сороки), только без последнего знака. Сколько же мне лет? (40)
. Масса моей дрессированной собачки, когда она стоит на задних лапках 3кг. Какова ее масса, если она стоит на четырех лапках?
Молодцы, ребята! Артисты цирка прощаются с вами и ждут на следующее представление.
Математические уроки сказки
Если спросить у детей, любят ли они сказки, несомненно, все ответят "да". Сказка всегда вызывает у детей радость, внимание, интерес.Можно заметить, что человек, не воспитывающийся на сказках, труднее воспринимает мир идеальных стремлений. Что благодаря сказке ребенок начинает отличать реальное от необычного, что нельзя развивать, минуя сказку, не только воображение, но и первые навыки критического геометрического материала, обдумывать предложенную ситуацию, которая требует воображения и умения, выявлять необходимую информацию для принятия решения. И использовать необходимую информацию для решения.
На уроках сказках всегда царит хорошее настроение, а это залог продуктивной работы. Сказка позволяет ворваться на урок юмору, фантазии, творчеству, а самое главное - учит детей быть добрыми и справедливыми.
Сказки при изучении математики можно использовать следующим образом. Герои сказки испытывают трудности. Дети пытаются им помочь. Они отправляются в путь, преодолевая самые неожиданные препятствия. Выполняют математические задания, отгадывают загадки, вспоминают пословицы.
Преодоление препятствий вместе со сказочными героями придает обучению яркую эмоциональную окраску, что способствует повышению усвоения, как математического материала, так и литературного.
Урок-сказка "Гуси-лебеди".
этап закрепления знаний нумерации числе от1 до 10/
Звенит звонок. Учитель сообщает, что сегодня не совсем обычный урок математики. На нем все ученики класса отправляются в волшебный мир русской народной сказки "Гуси-лебеди".
Помните, гуси-лебеди унесли братца?
Побежала девочка искать его. Она просила помощи у печки, яблони, реки.
Но прежде, чем помочь девочке, ее просили исполнить их желания. Девочка, конечно, спешит, волнуется, ей трудно выполнить задания. А нас много. Мы распределим роли и поможем ей. Начинаем.
Бросилась девочка догонять гусей-лебедей. Бежала, бежала, увидела печь стоит.
Печка, печка, скажи, куда гуси-лебеди полетели?
Печка ей в ответ:
Выполни мои задания - скажу.
Некогда мне, я спешу.
Давайте, дети поможем девочке, чтобы печка на нее не рассердилась.
Дети поворачивают карточки, на которых написаны задания:
Покажи число, которое меньше 4, но больше 2.
Покажи число, которое больше 4, но меньше 6.
Назови числа от1 до 10 через одно.
Побежала девочка дальше. Стоит яблоня.
Яблоня, яблоня, скажи, куда гуси-лебеди полетели?
Отгадай, какие числа пропущены, скажу.
+…=7
... +…=9
Назови числа, которые можно представить в виде двух одинаковых слагаемых: 10,9,8,7,6,5,4.
Мне некогда, я очень тороплюсь, - ответила девочка, - и побежала дальше.
А вы ребята, сможете помочь девочке?
Бежит девочка дальше. Течет молочная речка с кисельными берегами.
Молочная речка, кисельные берега, куда гуси-лебеди полетели?
Увеличь каждое число 13,4,7,16 на 3 и назови из них самое большое. Уменьши каждое число на 2 и назови самое маленькое из них - скажу.
Боюсь, не успею я, - ответила девочка и побежала дальше.
А вы сможете, ребята, выполнить это задание?
Добежала девочка до избушки на курьей ножке, об одном окошке, кругом себя поворачивается. В избушке нашла она братца, схватила его девочка на руки и побежала. Увидали ее гуси-лебеди и полетели за ней. Подбежала девочка опять к молочной речке с кисельными берегами и просит:
Речка, матушка, спрячь нас от них!
Ответь на вопрос - спрячу.
На какие два слагаемых можно разложить 8 и 7?
Сравни два числа и поставь знак >,< или =: 5…6,6…4?
Назови число, следующее в ряду за числом 9, идущее при счете перед числом 7.Девочка ответила, (класс следит за правильностью ответов), и река укрыла ее с братцем под кисельным бережком. Гуси-лебеди не увидели, пролетели мимо.
Девочка с братцем опять побежала. А гуси-лебеди летят, вот-вот увидят. Стоит яблоня. Обратилась девочка к яблоне, быстро решила ее задачу. (Под яблоней лежало 3 яблока. С дерева упало еще 4 яблока. Сколько всего яблок лежит под яблоней?) Яблоня заслонили их ветками. Гуси-лебеди опять их не увидели и пролетели мимо.
Девочка с братцем опять побежали. А гуси-лебеди опять догоняют, того и гляди, братца из рук вырвут.
Добежала девочка дл печки:
Печка, матушка, спрячь меня!
Ответь на вопрос - спрячу.
Какое число больше 4 на 1? Меньше 7 на 2?
Какое число при счете называют после 8, а перед числом 10?
Назови число, которое на 1 больше, чем 4; число, которое на 1 меньше, чем 7.
Девочка быстро ответила, а дети подбадривали ее. Печь ее с братцем спрятала.
Гуси-лебеди полетали, покричали, и ни с чем улетели к Бабе-Яге. А девочка возвратилась с братцем домой, к родителям.
Я хочу похвалить вас, дети, за активную помощь, за хорошие знания изучаемого материала.
Организованные таким образом уроки, активизируют детей, способствуют решение. Многих учебных задач, а, следовательно, формированию учебной деятельности.
По мере овладения учащимися навыками учения дидактические игры занимательного типа теряют свою роль. Если ранее игра являлась предпосылкой для включения учащихся в учение, то через освоение в игровой ситуации элементов учебной деятельности становится возможным реализовать игру на предмет целостного учебного процесса, т.е. игра из основы учебного процесса превращается в его элемент, дидактический прием. При этом следует все чаще и чаще использовать не явную наглядность. А переходить к более символическим формам (игра "Молчанка").
В первом классе дидактическая игра облегчает работу учителя над математическими понятиями, отличающимися значительной степенью общности и абстракции. Ученики с большим интересом принимают те игры, которые основаны на внесении элементов воображения или содержат элементы неожиданности или ожидания. Например, игры "Школа", "Магазин", "Что изменилось?, "Который по счету?".
Подрастая, ученики выбирают уже такие игры, де есть возможность показать свои способности и знания. Их уже увлекает содержание игры, появляется тяга к играм-соревнованиям, таким, как
"Хоккей",
"Кто станет капитаном?",
"Чья ракета быстрее долетит до луны?".
Вначале учеников увлекает желание одержать личную победу, постепенно их интересы расширяются, и они постепенно переживают не только свой личный успех или неудачу, но и успех своей команды. Такие игры, кроме решения учебных задач, способствуют воспитанию моральных качеств личности.
Следует помнить, что основная цель проведения игр га уроке математики - обучающая, поэтому игра должна быть посильной и обязательно служить максимальной активизации мыслительной деятельности учеников, для чего игры следует, как можно чаще разнообразить, менять условия, правила.
Устойчивый познавательный интерес формируется различными средствами. Одним из них является занимательность. Немало занимательного материала можно использовать на уроках математики, и им полезно пользоваться, так как с помощью занимательности можно сделать учебу желаемым делом. Некоторые нестандартные задачи (задачи-шутки, с монетами, спичками, разрезанием, складыванием и др.) обладают внешней занимательностью. Такие задачи полезны, но их не всегда можно связать с программным материалом. Однако для подобных заданий можно найти 3-5 минут на уроке. Если задача нетрудная, то ее можно включить в устный счет. Если задание посложнее и нет уверенности, что ее выполнят сразу многое дети, то задание следует предложить в конце урока, после записи домашнего задания. В таком случае не надо добиваться решения задач на уроке во что бы то ни стало, предложив детям поразмыслить над условием во внеурочное время.
Веселые задачи в стихах
Веселые задачи вызывают большой интерес у детей. Их можно использовать при изучении различных табличных случаев сложения и умножения.
Наряду с нестандартными заданиями, используют задачи, изложенные в нестандартной форме, так называемые веселые задачи. Задачи такого типа можно применять при изучении программного материала и для активизации познавательной деятельности учеников на уроках.
Приведем примеры:
Белка, Ежик и Енот,
Волк, Лиса, Малышка Крот
На пирог пришли к Медведю.
Вы, ребята, не зевайте:
Сколько всех зверей, считайте!
Три кошки купили сапожки
По паре на каждую кошку
Сколько у кошек ножек?
И сколько у них сапожек?
Белочка грибы сушила.
Только посчитать забыла.
Белых было 25,Да еще масляток 5.
груздей и 2 лисички,
У кого ответ готов?
Сколько было всех грибков?
Очень важное значение для активизации познавательной деятельности учеников на уроке имеют различные игры-соревнования, о которых мы уже писали выше.
Однако следует отметить тот момент, что младшие школьники быстро утомляются на уроках. Поэтому, с целью снятия мышечного напряжения используют различные физминутки. Однако они помогают решить и другие задачи: закрепление табличных случаев сложения, деления, умножения и вычитания.
Например:
Сколько раз ногою топнем? (8 - 4)
Сколько раз рукою хлопнем? (10: 2)
Мы присядем сколько раз? (3*2)
Мы наклонимся сейчас (9 + 2)
Мы подпрыгнем ровно столько (10 - 4)
Ай да счет! Игра и только!
Сказочные задачи
Среди занимательных задач особое место занимают сказочные задачи, т.е. задачи со сказочными образами, сказочными сюжетами. Казалось бы, сказка и математика - понятия не совместимые, однако сказочная форма позволяет ввести необычные, увлекательные ситуации в математические задачи. Именно такое соединение благоприятно для обучения, поскольку через сказочные элементы учитель может найти путь в сферу эмоций ребенка.
Встреча детей со знакомыми героями сказок не оставляет их равнодушными, сказка вызывает у детей радость, интерес. Известный математик А.И. Макрушевич отмечал, что человек, не воспитывающийся на сказках, труднее воспринимает мир идеальных стремлений, что благодаря сказке начинает отличать реальное от необычного, что нельзя развивать, минуя сказку, не только воображение, но и первые навыки критического мышления. Сказки в начальных классах нужны, особенно при изучении геометрического материала, который требует развитого воображения, умения обдумывать предложенную ситуацию, выявлять и использовать необходимую информацию для принятия решения.
На уроках, где имеет место сказка, всегда царит хорошее настроение, а это залог продуктивной работы. Сказка позволяет проникнуть на урок юмору. Фантазии, творчеству, а самое главное - учит детей быть добрыми и справедливыми. Желание помочь попавшему в беду герою, разобраться в сказочной ситуации - все это стимулирует умственную деятельность ребенка. Развивает его интерес к математике. В то же время встреча со сказочными героями в мире математики побуждает ребенка перечитать литературное произведение. Сказки и через задачи продолжают воспитывать детей. Сказки можно включать у уроки математики при повторении и закреплении изученной темы и использовать во внеклассных занятиях.
Пример 1
Лиса Алиса и кот Базилио привели Буратино на пустырь - это Поле Чудес: если закопать золотые монеты, то на утро вырастет дерево, на котором в 3 раза больше золотых монет. Затем полученные монеты можно снова закопать в землю и снова вырастет дерево с монетами. Так можно снять несколько урожаев. Они предложили посторожить ночью монеты. В награду за услугу лиса и кот потребовали отдавать с каждого урожая 9 монет. Подумав немного, Буратино не согласился с их требованиями. Он заявил, что после двух урожаев у него совсем не останется денег. Уж лучше он сам посторожит. Сколько золотых монет было у Буратино?
Решение:
Второй урожай дает 9 монет, значит во второй раз Буратино посадит
: 3=3 (монеты).
Первый урожай дал
Значит, в первый раз Буратино посадил
: 3=4 (монеты)
О нуле
Далеко-далеко, за морями и горами, Была страна Циферия. Жили в ней очень честные числа. Только Ноль отличался ленью и нечестностью.Однажды все узнали, что далеко за пустыней появилась королева Арифметика, зовущая к себе на службу жителей Циферии. Служить королеве захотели все.Между Циферией и королевством Арифметики пролегала пустыня, которую пересекали четыре реки: Сложение, Вычитание, Умножение и Деление. Как добраться до Арифметики? Числа решили объединиться (ведь с товарищем легче преодолевать трудности) и попробовать перейти пустыню.Рано утром, как только солнце косыми лучами коснулось земли, числа двинулись в путь. Долго шли они под палящим солнцем и наконец добрались до реки Сложение. Числа бросились к реке напиться, но река сказала: "Станьте парами и сложитесь, тогда дам вам напиться". Все исполнили приказание реки. Исполнил желание и лентяй Ноль, но число, с которым он сложился, осталось недовольно: ведь воды давала река столько, сколько единиц было в сумме, а сумма не отличалась от числа. Солнце еще больше печет дошли до реки Вычитание. Она тоже потребовала за воду плату: стать парами и вычесть меньшее число из большего; у кого ответ получится меньше тот получит больше воды. И снова число, стоящее с нолем, оказалось в проигрыше и было расстроено.Побрели числа дальше по знойной пустыне. Река Умножение потребовала от чисел перемножиться. Число, стоящее в паре с Нолем, вообще не получило воды. Оно еле добрело до реки Деление.А у реки Деление никто из чисел не захотел становиться в пару с нолем. С тех пор ни одно число не делится на Ноль.Правда, королева Арифметика примирила все числа с этим лентяем: она стала подставлять к числу Ноль, и число от этого увеличивалось в десять раз. И стали числа жить-поживать и добра наживать.
Работать со сказкой можно по-разному: после чтения задать ряд вопросов; попросить детей на отдельных этапах продолжить сказку; рассмотреть сказку как задание с пропусками.
Приведем некоторые примерные вопросы, которые можно задать учащимся. Порядковый номер соответствует абзацу сказки.
Почему страна называлась Циферией? Что означает число ноль?
Чем занимается королева Арифметика в математике? (Изучает числа и действия над ними) Какие реки разделяли страну Циферию и королевство А рифметики? Какое общее название можно дать этим рекам? (Действия) Кто собирался переходить через пустыню? (Числа) Чем числа отличаются от цифр?
Почему число, с которым сложился ноль, осталось недовольно?
Приведите два примера, иллюстрирующих слова сказки: "…стать парами и вычесть меньшее число из большего: у кого ответ получился меньше, тот получит больше воды. ". почему число, стоящее в паре с нулем, оказалось в проигрыше? Могут ли числа встать так, чтобы каждой паре досталось воды поровну? Приведите примеры.
Почему число, стоящее в паре с Нулем, не получило воды от реки Умножение?
Почему при переходе через реку Деление числа не захотели становиться в пару с Нолем?
Во сколько раз первое число больше или меньше второго: 7 и 70, 3 и 30, 50 и 5?
Предложить ребятам сочинить продолжение сказки можно, видимо, после четвертого пункта. Здесь уже чувствуется авторский замысел, математическая закономерность. Впрочем, такую работу можно организовать и после третьего пункта, если дать некоторые советы: а) каждая река ставит перед числами задачу, которую невозможно успешно решать в паре с Нолем; б) сказка должна закончиться счастливо, как это обычно бывает.
Под заданием с пропусками подразумевается Выделение интонацией (отдельные предложения можно выписать на доске) отсутствие некоторых слов, но которые можно восстановить по смыслу сказки, на основе строгой взаимосвязи математических понятий. Например, в 5-м абзаце: "Число, стоящее в паре с Нолем, вообще не… воды"; в 6-м: " Она стала просто приписывать ноль рядом с числом, которое от этого... в…раз".
Вышеописанные приемы работы можно комбинировать. Такие сказки на уроках повторения и закрепления делают их более разнообразными и интересными. Сказки и вопросы к ним дают большой воспитательный эффект и способствуют развитию мышления.
Вот еще несколько сказок, с которыми можно провести аналогичную работу.
Заключение
После 60-х гг. аналитический способ решения сюжетных задач прочно вошел в практику обучения не только средней школы, но и начальной. В 1962-1964 гг. на страницах журнала «Математика в школе» прошла оживленная дискуссия по этому вопросу. Б.В. Гнеденко и А.И. Маркушевич критиковали сложившуюся в школе практику решения текстовых задач преимущественно арифметическими методами и требовали «сдвига» на алгебраический метод. Так, Б.В. Гнеденко писал: «Приверженцы установившихся в школьном математическом преподавании традиций утверждают, что чисто арифметическое решение задач на уравнения первой степени якобы развивает логические способности учащихся. На меня этот аргумент действует примерно так же, как утверждение, что изучение Талмуда способствует развитию у учащихся строгости логического анализа. Такое утверждение до некоторой степени правильно, однако едва ли кто-либо из нас сочтет этот аргумент достаточным для введения Талмуда в курс средней школы в качестве особого предмета» (16, с. 32).
А.И. Маркушевич писал, что «следует критически пересмотреть традиционное отношение к арифметическим методам решения задач и остатки «культа» этих методов изжить из нашей школы» (35, с. 11).
Особенно резко выступил А.Я. Хинчин против использования в школе арифметических методов решения задач. Приведя примеры арифметического решения задач и показав, что это «дословный перевод... алгебраического решения с языка формул на язык слов», далее он писал: «...положительно утверждаю, что почти все арифметические задачи на соображение, выходящие за пределы просто вычислительных примеров, носят тот же характер; это сплошь алгебраические задачи на составление уравнений и систем уравнений первой степени. Конечно, если угодно, то можно всегда, ценою весьма неприятной искусственности и значительного затемнения метода, весь необходимый алгебраический анализ задачи провести словесно, без формул и буквенных обозначений... надеюсь, что я не одинок в резком чувстве отвращения к подобного рода «арифметическим» решениям.
Для чего это нужно? Какую «сообразительность», какие вообще ценные способности ума можно развить в ребенке, заставляя проделывать такие противоестественные, инстинктивно отталкивающие его упражнения? В VII классе на уроках алгебры он научится решать те же задачи легко, естественно, почти механически. Не похоже ли это на то, как если бы солдата в течение первого года службы заставляли овладевать ружьями, скажем, допетровской Руси, а только потом дали бы ему в руки винтовку современного образца?» (54, с. 167).
Под влиянием этих резких выступлений известных математиков некоторые методисты «ударились» в другую крайность - они призывали и пытались на практике совсем изгнать из школы арифметические способы решения задач. Так, например, Ф.Г. Боданский провел широкий эксперимент в начальной школе по обучению учащихся, начиная с первого класса, алгебраическим способам решения текстовых задач. Он писал: «Свою экспериментальную работу мы строили, исходя из других теоретических предпосылок (имеются в виду методики А.С. Пчелко и Л.Н. Скаткина. - Л.Ф.). Прежде всего составление уравнений с самого начала обучения вводилось как самодовлеющий и единственный (выделено. - Л.Ф.) способ решения текстовых задач и никаким обобщением арифметического быть не могло» (7, с. 240).
И вот вслед за Ф.Г. Боданским многие учителя и методисты попытались совсем изгнать из начальных классов арифметические способы решения текстовых задач и, начиная с первого класса, решать их исключительно с помощью уравнений. Весьма четкую оценку этим методическим новшествам дал академик А.Н. Колмогоров: «...Сейчас можно наблюдать, что использование «икса» применяется и тогда, когда это необходимо, и тогда, когда это попросту не нужно. Порой считают, что детям будет проще решать, если даже выполнение простейшей арифметической операции 5 + 3 записывать с «иксом» в виде: 5 + 3 = х. На мой взгляд, это скорее анекдот, чем серьезная методическая идея» (29, с. 8).
К этому вопросу мы еще вернемся в третьей части книги.
Таким образом, мы видим, что все проблемы методики аналитических задач пока еще не получили какого-то обоснованного решения, но накоплен большой арсенал различных мнений и разных подходов к решению этих проблем. Для того чтобы обоснованно решить эти весьма не простые вопросы, необходимо опираться на логико-психологическую теорию сюжетных, в том числе и аналитических, задач. Одна из возможных таких теорий, разработанных нами, будет изложена далее. И только на основе этой теории будет предложена система методических рекомендаций, или, как сейчас принято говорить, технология решения сюжетных задач, в третьей заключительной части книги.
Литература
- Александров И.И., Александров А.И. Методы решения арифметических задач. - М., 1955.
- Альтшулер И.К. К вопросу о методике составления уравнений // Математика в школе. - 1940. - № 2.
- Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Изд-во АПН РСФСР. - 1946. - Вып. 6.
- Барсуков А.Н. Уравнения первой степени в средней школе. - М., 1948.
- Барсуков А.Н. Алгебра. - М., 1951. - Ч. I, II.
- Болтянский В.Г. Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений // Математика в школе. - 1971. - № 3.
- Боданский Ф.Г. Формирование алгебраического способа решения задач у младших школьников // Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. - М., 1969.
- Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. - М., 1954.
- Браун И.К. О составлении уравнений // Математика и физика в школе. - 1936. - № 5.
- Бронштейн С.С. Методика алгебры. - М., 1935.
- Бронштейн С.С. Алгебра и ее преподавание в семилетней школе. - М., 1946.
- Воронов Д.М. Опыт систематизации типовых арифметических задач. - М., 1939.
- Голъденберг А.И. Беседы по счислению. - Спб., 1914.
- Гончаров В.Л. Начальная алгебра. - М., 1960.
- Гнеденко Б.В. Роль математики в развитии техники и производства // Математика в школе. - 1962. - № 1.
- Гуде Ф.Г. Методика и дидактика арифметики. - Спб., 1899.
- Гурьев П.С. Руководство к преподаванию арифметики. - Спб., 1889.
- Декарт Р. Избранные произведения. - М., 1950.
- Декарт Р. Рассуждение о методике с приложениями. - М., 1953.
- Депман И. История арифметики. - М.,1959.
- Дистервег А. Избранные педагогические произведения. - М., 1956.
- Доблаев Л.П. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Изд-во АПН РСФСР. - 1957. - Вып. 80.
- Добрынина Н.Ф. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Решение задач в средней школе. - М., 1952.
- Дырченко И.И. Составление уравнений по условию задачи // Математика в школе. - 1954. - № 1.
- Евтушевский В., Глазырин А. Методика приготовительного курса алгебры. - Спб., 1876.
- Змиева М. Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений 1-й степени // Математика и физика в школе. - 1935. - № 5.
- Кавун И.Н. Методы преподавания математики // Математика и физика в школе. - 1935. - № 4.
- Колмогоров А.Н. Новые программы, специализированные школы // Математическое образование сегодня. - М., 1974.
- Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. - М., 1951.
- Ларичев П.А. Сборник упражнений по алгебре. Ч. I и II. - М., 1951.
- Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. - М., 1977.
- Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. - М.-Л., 1952.
- Майергойз Д. К методике составления уравнений по условию задачи // Математика в школе. - 1936. - № 5.
- Маркушевич А.И. О задачах преподавания математики в школе // Математика в школе. - 1962. - № 2.
- Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии преподавания арифметики в начальных классах. - М., 1965.
- Моденов В.П. О составлении уравнений при решении текстовых задач // Математика в школе. - 1969. - № 6.
- Моисеев Н.Н. Математические модели экономической науки. - М., 1973.
- Невский А.П. Об исследовании уравнений в курсе математики средней школы // Из опыта преподавания математики в VIII-Х классах средней школы / Под ред. П.В. Стратилатова. - М., 1955.
- Никитин Н.Н. Решение арифметических задач в начальной школе. - М., 1952.
- Ньютон И. Всеобщая арифметика. - М., 1948.
- Островский Н. Метод составления уравнений 1-й степени с одним неизвестным // Математика и физика в школе. -1934. - № 3.
- Пойя Д. Как решать задачу. - М., 1961.
- Пойя Д. Математическое открытие. - М., 1970.
- Польский И.Г. Составление уравнений по условию задачи // Решение задач в средней школе. - М., 1952.
- Поляк Г.Б. Обучение решению задач в начальной школе. - М., 1950.
- Попова Н.С. К вопросу о видах простых арифметических задач // Начальная школа. - 1949. - № 5.
- Принцев Н.А. О классификации простых арифметических задач // Начальная школа. - 1949. - № 11.
- Решение задач в средней школе / Под ред. Н.Н. Никитина. - М., 1952.
- Рыбников К.А. История математики. - М., 1960. - Т. 1.
- Сердобольская П. Методика составления уравнений // Математика в школе. - 1940. - № 1.
- Сикорский К.П. О составлении уравнений по условию задачи // Математика в школе. - 1954. - № 1.
- Скаткин Л.Н. Виды простых арифметических задач // Начальная школа. - 1949. - № 2.
- Фридман Л.М. Изучаем математику - М., 1995.
- Xинчин А.Я. Педагогические статьи. - М., 1963.
- Чистяков В.Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. - Минск, 1962.
- Чичигин В.Г. Методика преподавания арифметики. - М., 1949.
- Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики. - Спб., 1903.
- Шохор-Троцкий С.И. Геометрия на задачах. - Спб., 1913.
- Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. - М., 1970.
- Эрн Ф.А. Очерки по методике арифметики. - Спб., 1912.
- Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. - М.: Школьная Пресса, 2002. С. 20-51