Нелинейная динамика параметрических колебаний двухслойных распределенных систем

Саратовский государственный технический университет

Нелинейная динамика параметрических колебаний двухслойных распределенных систем

Машков В.В., Вдовенко А.

В настоящее время в области авиа- и ракетостроении наметилась тенденция перехода на сверх- и гиперзвук и в результате элементы конструкций испытывают дополнительные нагрузки, связанные с трением и ионизацией воздуха, что приводит к разогреву обшивки летательных аппаратов. Для увеличения надежности и времени безотказной работы системы требуется глубокое исследование деформаций и разрушений элементов конструкции.

В работе исследуются хаотические колебания гибких однослойных и двухслойных прямоугольных в плане оболочек, которые являются составными элементами гофрированных мембран как чувствительные элементы датчиков давления, применимых в современных летательных аппаратах.

Возникает необходимость исследования поведения таких систем с позиции качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики и определить множество параметров внешнего воздействия , , которые характеризуют как опасный так и безопасный режимы. При этом под безопасным режимом подразумеваются те зоны, в которых колебания системы являются гармоническими, а под опасным - таки зоны, где колебания носят хаотический характер.

В рамках нелинейной классической теории рассмотрим двухслойную сферическую гибкую изотропную упругую оболочку на прямоугольном плане с постоянной жесткостью и плотностью при действием различного типа нагружения (продольного, поперечного равномерно распределенного по верхнему слою оболочки). Нагрузка приложена только к верхнему слою оболочки. Здесь рассматриваются задачи теории оболочек, составленных из эквидисциальных слоев, соединенных между собой только на краях оболочки и взаимодействующие односторонние конструкции, включающие в качестве элементов эти оболочки, широко распространены в технике. Слои, как правило, проскальзывают с трением или свободно. Появление зон сцепления маловероятно, поскольку контактное давление невелико. Условия контакта между слоями могут зависеть от координат и включают все виды несовершенного одностороннего контакта. Условия спайки слоев (в нормальном направлении на отрыв, в тангенциальном - на сдвиг) не рассматриваются. Поведение слоев подчинено теории Кармана-Власова, одинаковой для всех слоев. Функция контактного давления исключена из числа неизвестных. Порядок разрешающей системы нелинейных дифференциальных уравнений равен произведению числа слоев на порядок системы уравнений, то есть по сути дела мы имеем модель Болотина-Новичкова.

, .

Рис. 1. Расчетная схема

(1)

где, - известный нелинейный оператор,  и  - функция прогиба и усилия, где , К =11000 -коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта.  если  - есть контакт между пластинами, иначе ;  - функции прогибов верхней и нижней пластины соответственно.

К уравнениям (1) присоединим граничные условия: шарнирное опирание на гибкие несжимаемые ребра:

 при ;

 при  (2)

Начальные условия

. (3)

Задачу Коши будем решать методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. На каждом шаге по времени решается система линейных алгебраических уравнений, которое получается из второго уравнения системы относительно функции усилия методом обратной матрицы. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.

Рассмотрим задачу (1) без контакта, т.е. однослойную () гибкую прямоугольную в плане оболочку. Искомые функции, являющиеся решением уравнений (1), аппроксимируем выражением, содержащее конечное число произвольных параметров, и представим в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от времени, а вторая от координат, которые удовлетворяют краевым условиям (2):

 (4)

Это решение основано на пробных функциях, являющихся энергетически ортонормированными, т.е. таких, что

Далее рассмотрим другой по своей физической структуре метод - метод конечных разностей с аппроксимацией  по пространственным переменным  и . После приведения к нормальному виду система решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности, причем на каждом шаге по времени следует решать обширную систему линейных алгебраических уравнений относительно функции усилия. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.

Рассмотрим карты характера колебаний сферической оболочки в прямоугольном плане в зависимости от управляющих параметров  (рис.2), построенные с использованием метода Бубнова-Галеркина при  и методом конечных разностей при . Подобные карты позволяют изучить все многообразие поведения оболочки. Идентификация типа колебаний при построении таких карт характера колебаний  для каждого сигнала  проводилась с помощью анализа спектра мощности  и ляпуновских показателей.

Анализируя полученные результаты, мы видим, что картина характера колебаний, приведенная на обеих картах, полученных разными методами, очень близка. Изучив карты, мы можем заметить, что при малых значениях параметра нагрузки () система на всех изучаемых частотах находиться в состоянии гармонических колебаний. Далее, увеличение амплитуды внешнего давления приводит к возникновению обширных областей хаотических колебаний. Также присутствуют небольшие зоны бифуркаций Андронова - Хопфа, а также двухчастотных колебаний.

а) Метод Бубнова-Галеркина  в (2.8)

b) Метод конечных разностей  в (3.1)

 Гармонические колебания

 Независимые частоты и их линейные комбинации

 Бифуркации

 Хаос

Рис. 2. Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров

Несмотря на различие методов, которыми были получены карты, можно отметить сильное сходство очертаний зон гомоморфных колебаний, выделяющихся на картах. Различие между картами начинает проявляться в резонансной зоне (), мы можем предположить, что это объясняется тем, что погрешности численных методов, использованных для решения системы уравнений в условиях резонанса возрастают. При увеличении числа разбиений для метода конечных разностей и числа членов ряда для метода Бубнова-Галеркина результаты становятся более адекватными и близкими друг к другу, но время счета карт характера колебаний требуют более совершенной вычислительной техники.

Рассмотрим сходимость метода конечных разностей с учетом не только геометрической, но и конструктивной нелинейности, т.е. для двухслойной прямоугольной в плане гибкой сферической оболочки, слои которой соединены через край. Разработанный алгоритм и комплекс программ на ПЭВМ позволяет решать задачи статики и динамики. Для решения задач статики применяется метод установления В.И. Феодосьева [23, 24]. Идея которого заключается в следующем: для  строится зависимость , где m = 1, 2,… - число значений нагрузки, при которой было получено решение методом установления. Это позволяет рассчитать характеристики  и исследовать НДС оболочек. Анализ метода установления, как итерационного метода было дано в работе [3]. Динамический подход, изложенный в настоящей работе, позволяет четко определить критические нагрузки, при которых происходит хлопок и выхлоп оболочки.

На (рис. 3а) представлены графики зависимости  для двухслойной оболочки, находящейся под действием статической равномерно распределенной знакопеременной нагрузки с параметрами , , , : сплошная линия - для  - число разбиений в методе конечных разностей, пунктирная линия - для . В докритической области графики полностью совпадают. Незначительные различия видны лишь в закритической области. Для критической нагрузки  (Рис. 3b) и закритической нагрузки  (Рис. 3с) были построены графики контактного давления. Следует отметить, что при резком увеличении прогиба форма контактного давления меняется: максимальное значение контактного давления достигается в углах оболочки, а минимальное - в центре.

a)                                  b)                                  c)

Рис. 3.

а) Зависимость нагрузки от установившегося сигнала

b) контактное давление для критической нагрузки

Были проведены исследования для двухслойной прямоугольной в плане оболочки, находящейся под действием продольной знакопеременной нагрузки , которая действует на верхнюю оболочку, с геометрическими параметрами , , , . Зависимость максимального прогиба от амплитуды вынуждающей знакопеременной нагрузки .

В результате проведенных исследований было установлено, что для однослойной гибкой прямоугольной в плане оболочки получена сходимость результатов, полученных с помощью принципиально разных методов: метода конечных разностей и метода Бубнова-Галеркина.

Затухающие колебания

Бифуркации, независимые частоты и их линейные комбинации

Хаос

Рис. 4. Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров

Для динамической задачи в зоне хаотических колебаний нельзя говорить о сходимости по сигналу, в отличие от задач статики, тем не менее, получена интегральная сходимость, т.е. по спектру мощности и Ляпуновским показателям, и при этом при малых значениях амплитуды нагрузки установлена и сходимость результатов и по сигналу (это относится к гармоническим колебаниям). При исследовании сходимости метода конечных разностей для двухслойной гибкой прямоугольной в плане оболочки было выявлено, сходимость метода при действии поперечной распределенной по поверхности верхней оболочки статической нагрузки достигается уже при числе разбиений . При действии продольной знакопеременной нагрузки, приложенной к верхней оболочке сходимость метода конечных разностей была достигнута только по спектру мощности, что видно на шкалах характера колебаний. Увеличение числа участков деления n в методе конечных разностей приводит к заметному уточнению результатов, но существует предельное значение, после которого проводить вычисления на современной технике не представляется возможным.

В результате проведенных исследований были получены карты и шкалы характера колебаний оболочки, которые позволяют выделять как безопасные параметры внешнего воздействия, так и наиболее опасные. Это позволит управлять режимами колебаний в целях уменьшения опасных зон и перевода колебаний в наиболее благоприятный режим при использовании подобных пластин в инженерных конструкциях.

Список использованных источников

колебание двухслойный оболочка нелинейный

1.   Awrejcewicz J., Krysko V.A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics // Nonlinear Dynamics. − 2001. − №24. − P. 373-398.

2.      Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. − М.: Физматгиз, 1963. − 880 с.

.        Воробьев А.В. Сравнение численных методов интегрирования дифференциальных уравнений на стендах полунатурного моделирования авиационных комплексов // Авиакосмическое приборостроение, − №10, − 2004, − с. 40 - 46.

4.   Крысько В.А., Кравцова И.В. Динамика и статика секториальных оболочек. Саратов: Вестник СГТУ, − №3, − 2004.

5.   Awrejcewicz J., Krysko V.A., Vakakis A. F. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems, Springer-Verlag, − Berlin, New York, London, Paris, Tokyo. 2004. − 356 p.