Системы счисления Древнего мира

Системы счисления Древнего мира

Введение

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.

Ведь не так-то просто даже имея цифры (значки, которыми записываются числа), записать какое-нибудь число. Для этого нужна система счисления - способ записи чисел с помощью цифр.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Предыстория чисел

Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа.

Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее - понятие троичности - требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными. Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» - не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Системы счисления в древних странах

Древний Египет

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку.

Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев - волнистой линией и десять волнистых линий - фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале - папирусе. Два таких документа - папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) - служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так:

/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.

Вавилон

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятиричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшие, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятиричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках - небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ - более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку.

Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50.

Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы записи, иногда - с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

Древняя Греция

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления - аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символD, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X - 1000 (хилиои), символ M- 10000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10.

Вторая принятая в Древней Греции ионическая система счисления - алфавитная - получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Эта более тонкая система счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв - первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов - первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовав первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Например, число 6789 в ионической системе записывалось как FYPQ. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные. Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов миллионов цифр.

С помощью простого введения диакритических знаков наподобие тех, которые греки применяли для обозначения тысяч, алфавитное обозначение целых чисел можно было бы легко приспособить для обозначения десятичных дробей, но этой возможностью они не воспользовались. Вместо этого для обозначения дробей греки использовали приемы древних египтян и вавилонян. Египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам употребление лишь аликвотных дробей, однако большие вычислительные удобства системы счисления вавилонян побудили живших позднее александрийских астрономов перейти к использованию шестидесятиричных дробей. Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями. Например, Птолемей записал длину хорды, стягивающей дугу в 120° окружности радиусом в 60 единиц, как  т.е. 103 + 55/60 + 23/602 единиц. В более поздний период в вавилонской шестидесятиричной системе имелся специальный символ для обозначения «пустой» позиции, и греческие астрономы ввели для этой цели букву омикрон. Неясно, был ли такой выбор подсказан тем, что с этой буквы начиналось слово оуден (ничто). Сходство греческой буквы О с современным обозначением нуля может быть чем-то большим, чем случайное совпадение, но у нас нет точных данных, позволяющих утверждать это со всей определенностью.

Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятиричным дробям.

Недостатки греческих обозначений дробных чисел, включая использование шестидесятиричных дробей в десятичной системе счисления, объяснялись отнюдь не пороками основополагающих принципов. Недостатки греческой системы счисления можно отнести скорее за счет их упорного стремления к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое рациональное число - дробь, - греки понимали как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике. Кроме того, десятичные представления обыкновенных дробей в большинстве случаев бесконечны. А поскольку бесконечность была исключена из строгих рассуждений, теоретическая арифметика не нуждалась в такого рода представлениях. С другой стороны, областью, в которой практические вычисления испытывали величайшую потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система обозначений угловых, дуговых и временных величин сохраняется и поныне.

Рим

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов Римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символы I, V, X, Q (или Е, или Д) и f. Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Q и f. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они акрофонически связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Если не считать, что большинство римских символов скорее всего не были акрофоническими и что промежуточные символы для обозначения чисел 50 и 500 не были комбинациями символов чисел 5 и 10 или 5 и 100, то в остальном римская система счисления напоминала аттическую. Разумеется, в деталях они отличались. Римляне часто использовали принцип вычитания, поэтому иногда вместо VIIII использовали IX и XC вместо LXXXX; сравнительно позднее символ IV вместо IIII. Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя единицу измерения обычно на 12 частей, с тем чтобы результат измерения представить в виде составного числа, суммы кратных различных единиц, как это делается сегодня, когда длину выражают в ярдах, футах и дюймах. Английские слова «ounce» (унция) и «inch» (дюйм) происходят от латинского слова uncia (унция), обозначавшего одну двенадцатую основной единицы длины.

Обозначения чисел у древних евреев

Семитские народы могут претендовать на роль создателей алфавитного принципа обозначения чисел в том виде, как он использовался в ионической системе. Действительно, с небольшими модификациями этот принцип применялся евреями, сирийцами, арамейцами и арабами. И все же существует мало сомнений в том, что алфавитные обозначения чисел были заимствованы ими у древних греков, по-видимому из Милета, которые изобрели эти обозначения еще в 8 в. до н.э. У евреев использование алфавитных обозначений чисел окончательно вошло в обиход к 2 в. до н.э. Девять букв алфавита использовались для обозначения первых девяти целых чисел; еще девять букв означали первые девять кратных числа 10(י); остальные буквы использовались для обозначения сотен. Так как букв в алфавите для обозначения всех кратных числа 100(ק) يه ُâàٍàëî, â زàëىَنه ÷èٌëà, ïًهâîٌُîنےùèه 400ת)), çàïèٌûâàëèٌü ïٍَهى êîىلèيàِèè: يàïًèىهً, ÷èٌëî 500 îلîçيà÷àëîٌü ٌèىâîëàىè, ٌîîٍâهٌٍٍâَ‏ùèىè ÷èٌëàى 400 è 100, à 900 çàïèٌûâàëîٌü êàê 400 è 400 è 100. دîçنيهه نëے îلîçيà÷هيèے ÷èٌهë, êًàٍيûُ 100 è ïًهâîٌُîنےùèُ 400, èٌïîëüçîâàëèٌü îêîي÷àٍهëüيûه âàًèàيٍû ôîًىû لَêâ èëè نًَمèُ ٌèىâîëîâ, â ًهçَëüٍàٍه ÷همî âٌه نهâےٍü êًàٍيûُ ÷èٌëà 100 ïîëَ÷èëè ٌâîè èينèâèنَàëüيûه îلîçيà÷هيèے â âèنه لَêâû èëè ٌïهِèàëüيîمî çيàêà. تàê è â èîيè÷هٌêîé ٌèٌٍهىه ٌ÷èٌëهيèے, ٌèىâîëû نëے îلîçيà÷هيèے ïهًâûُ نهâےٍè êًàٍيûُ ÷èٌëà 1000 لûëè ٍàêèىè وه, êàê ٌèىâîëû, îلîçيà÷à‏ùèه ïهًâûه نهâےٍü ÷èٌهë â ًàçًےنه هنèيèِ.

ہىهًèêà

بٌٌëهنîâàٍهëè, ïٍَهّهٌٍâîâàâّèه â 16 â. ïî ضهيًٍàëüيîé ہىهًèêه, îليàًَوèëè ِèâèëèçàِèè ٌ âûٌîêîًàçâèٍûىè ٌèٌٍهىàىè ٌ÷èٌëهيèے, îٍëè÷يûىè îٍ ٍهُ, êîٍîًûه لûëè èçâهٌٍيû â إâًîïه. رàىûىè âàويûىè ‎ëهىهيٍàىè â ٌèٌٍهىه ٌ÷èٌëهيèے ىàéے لûëè èٌïîëüçîâàيèه ïîçèِèîييîمî ïًèيِèïà è ٌèىâîëà يَëے. إٌëè îٍâëه÷üٌے îٍ ٍîمî, ÷ٍî ïًèيےٍàے َ èينهéِهâ ىàéے ٌèٌٍهىà ٌ÷èٌëهيèے لûëà يه ّهٌٍèنهٌےٍèًè÷يîé, à نâàنِàٍèًè÷يîé è âىهٌٍî 10 èٌïîëüçîâàëà âٌïîىîمàٍهëüيîه îٌيîâàيèه 5, ٍî â îٌٍàëüيîى ïًèيِèïû لûëè àيàëîمè÷يû ٍهى, êîٍîًûه ًàيهه لûëè â ُîنَ َ وèٍهëهé ؤًهâيهمî آàâèëîيà. آ ٌُهىه ىàéے ٍî÷êà îçيà÷àëà هنèيèَِ, à ïîâٍîًے‏ùèهٌے ٍî÷êè - ÷èٌëà نî ÷هٍûًهُ; ïےٍهًêَ îلîçيà÷àëà مîًèçîيٍàëüيàے ÷هًٍà, à نâه è ًٍè مîًèçîيٍàëüيûه ÷هًٍû îلîçيà÷àëè, ٌîîٍâهٌٍٍâهييî, ÷èٌëà نهٌےٍü è ïےٍيàنِàٍü. ؤëے îلîçيà÷هيèے ÷èٌëà نâàنِàٍü ىàéے âîٌïîëüçîâàëèٌü ïîçèِèîييûى ïًèيِèïîى, èٌïîëüçَے ٍî÷êَ, ïîىهùهييَ‏ يàن ٌèىâîëîى يَëے.

×èٌëà â ٌèٌٍهىه ٌ÷èٌëهيèے نًهâيèُ ىàéے çàïèٌûâàëèٌü â ٌٍîëلهِ, ïًè÷هى âهًُيèه ٌèىâîëû لûëè ٌٍàًّèىè. رàىàے يèويےے ïîçèِèے ٌîîٍâهٌٍٍâîâàëà ًàçًےنَ هنèيèِ; «‎ٍàوîى âûّه» ًàٌïîëàمàëîٌü ÷èٌëî نâàنِàٍîê. إùه âûّه هنèيèِà ٌîîٍâهٌٍٍâîâàëà يه êًàٍيûى ÷èٌëà 400, êàê ىîويî لûëî لû îوèنàٍü, à êًàٍيûى ÷èٌëà 360. اà èٌêë‏÷هيèهى ‎ٍîمî ًàçًےنà, ٌâےçàييîمî, يàٌêîëüêî ىîويî ٌَنèٍü, ٌ êàëهينàًيûىè ٌîîلًàوهيèےىè è ïًîنîëوèٍهëüيîٌٍü‏ مîنà, âٌه îٌٍàëüيûه لîëهه âûٌîêèه ïîçèِèè ٌîîٍâهٌٍٍâîâàëè ٌٍهïهيےى ÷èٌëà 20.

رèٌٍهىà ٌ÷èٌëهيèے َ àٍِهêîâ â جهêٌèêه لûëà لîëهه ïîٌëهنîâàٍهëüيî نâàنِàٍèًè÷يîé, ÷هى َ ىàéے, يî â îٌٍàëüيîى ىهيهه ٍîيêîé, ٍàê êàê يه èٌïîëüçîâàëà يè ïîçèِèîييûé ïًèيِèï, يè ٌïهِèàëüيûé ٌèىâîë نëے يَëے. زî÷êà îçيà÷àëà َ àٍِهêîâ هنèيèَِ, à نëے îلîçيà÷هيèے ٌٍهïهيهé ÷èٌëà 20 لûëè ââهنهيû يîâûه çيàêè: ôëàم نëے 20, نهًهâî نëے 400 è êîّهëهê نëے 8000. دًè يهîلُîنèىîٌٍè نًَمèه ÷èٌëà ïًهنٌٍàâëےëèٌü ٌ ïîىîùü‏ ïîâٍîًهيèے ‎ٍèُ ٌèىâîëîâ, à îٍ èُ ÷ًهçىهًيîمî ïîâٍîًهيèے îيè èçلàâëےëèٌü, ââîنے ٌïهِèàëüيûه ïًîىهوٍَî÷يûه êîëëهêٍèâيûه çيàêè: ًîىلîâèنيûé çيàê نëے 10 è ôًàمىهيٍû نهًهâà نëے 100, 200 èëè 300.

ؤî ïîےâëهيèے â رهâهًيîé ہىهًèêه هâًîïهéِهâ èينهéِû يه èىهëè ïèٌüىهييîٌٍè. بٌٌëهنîâàيèے نًهâيèُ ٌèٌٍهى ٌ÷èٌëهيèے ïîêàçûâà‏ٍ, ÷ٍî èٌïîëüçَهىûه يàçâàيèے ÷èٌهë لûëè â îٌيîâيîى ïًèëàمàٍهëüيûىè è ëèّü â îٍنهëüيûُ ٌëَ÷àےُ نîٌٍèمàëè ًَîâيے àلًٌٍàêِèè, êîمنà îيè ٌٍàيîâèëèٌü ٌَùهٌٍâèٍهëüيûىè. زهى يه ىهيهه ٌ ïîىîùü‏ ًèٌَيêîâ èëè ٌٍَيî èينهéِû ىîمëè âûًàçèٍü ÷èٌëî âïëîٍü نî ىèëëèîيà. رèٌٍهىû ٌîٌٍàâëهيèے ÷èٌهë لûëè ٌàىûىè ًàçëè÷يûىè, يî ïًèىهًيî ïîëîâèيà èç يèُ ïî ٌَùهٌٍâَ لûëà نهٌےٍè÷يîé.

تèٍàé

خنيà èç نًهâيهéّèُ ٌèٌٍهى ٌ÷èٌëهيèے لûëà ٌîçنàيà â تèٍàه, à ٍàêوه â كïîيèè. فٍà ٌèٌٍهىà âîçيèêëà êàê ًهçَëüٍàٍ îïهًèًîâàيèے ٌ ïàëî÷êàىè, âûêëàنûâàهىûىè نëے ٌ÷هٍà يà ٌٍîë èëè نîٌêَ. ×èٌëà îٍ هنèيèِû نî ïےٍè îلîçيà÷àëèٌü, ٌîîٍâهٌٍٍâهييî, îنيîé, نâَىے è ٍ.ن. ïàëî÷êàىè, âûêëàنûâàهىûىè âهًٍèêàëüيî, à îنيà, نâه, ًٍè èëè ÷هٍûًه âهًٍèêàëüيûه ïàëî÷êè, يàن êîٍîًûىè ïîىهùàëàٌü îنيà ïîïهًه÷يàے ïàëî÷êà, îçيà÷àëè ÷èٌëà ّهٌٍü, ٌهىü, âîٌهىü è نهâےٍü. دهًâûه ïےٍü êًàٍيûُ ÷èٌëà 10 îلîçيà÷àëèٌü îنيîé, نâَىے, ¼, ïےٍü‏ مîًèçîيٍàëüيûىè ïàëî÷êàىè, à îنيà, نâه, ًٍè è ÷هٍûًه مîًèçîيٍàëüيûه ïàëî÷êè, ê êîٍîًûى ٌâهًَُ ïًèٌٍàâëےëàٌü âهًٍèêàëüيàے ïàëî÷êà, îçيà÷àëè ÷èٌëà 60, 70, 80 è 90. ؤëے îلîçيà÷هيèے ÷èٌهë لîëüّه 99 èٌïîëüçîâàëٌے ïîçèِèîييûé ïًèيِèï. ×èٌëî 6789 êèٍàéِû çàïèٌàëè لû ٍàê:. خلîçيà÷هيèے ÷èٌهë ٌ ïîىîùü‏ ïàëî÷هê ٍهٌيî ٌâےçàيî ٌî ٌ÷هٍîى يà ïàëüِàُ è ٌ÷هٍيîé نîٌêه, يî ïًèىهيےëîٌü îيî ٍàêوه è â ïèٌüىهييûُ âû÷èٌëهيèےُ.

آî âٍîًîé êèٍàéٌêîé ٌèٌٍهىه ٌ÷èٌëهيèے نëے îلîçيà÷هيèے ïهًâûُ نهâےٍè ِهëûُ ÷èٌهë èëè ٌèىâîëîâ (ٌى. ٍàلëèَِ îلîçيà÷هيèé ÷èٌهë) èٌïîëüçَ‏ٍ نهâےٍü ًàçëè÷يûُ çيàêîâ è îنèييàنِàٍü نîïîëيèٍهëüيûُ ٌèىâîëîâ نëے îلîçيà÷هيèے ïهًâûُ îنèييàنِàٍè ٌٍهïهيهé ÷èٌëà 10. آ ٌî÷هٍàيèè ٌ َىيîوهيèهى è âû÷èٍàيèهى ‎ٍî ïîçâîëےëî çàïèٌûâàٍü ë‏لîه ÷èٌëî ىهيüّه ًٍèëëèîيà. إٌëè îنèي èç ٌèىâîëîâ, îلîçيà÷à‏ùèُ ïهًâûه نهâےٍü ِهëûُ ÷èٌهë, ٌٍîèٍ ïهًهن (ïًè ÷ٍهيèè ٌëهâà يàïًàâî) ٌèىâîëîى, îçيà÷à‏ùèى ٌٍهïهيü ÷èٌëà 10, ٍî ïهًâîه يَويî َىيîوèٍü يà âٍîًîه, هٌëè وه ٌèىâîë îنيîمî èç نهâےٍè ïهًâûُ ِهëûُ ÷èٌهë ٌٍîèٍ يà ïîٌëهنيهى ىهٌٍه, ٍî ‎ٍî ÷èٌëî يàنëهوèٍ ïًèلàâèٍü ê îلîçيà÷هييîىَ ïًهنûنَùèىè ٌèىâîëàىè.

بينèے

آïîëيه âîçىîويî, ÷ٍî ïهًهُîن îٍ êُàًîٍّè ê لًàُىè ïًîèٌُîنèë ïîن âëèےيèهى مًهêîâ, يî ٌهé÷àٌ âًےن ëè âîçىîويî ُîٍü êàê-ٍî ïًîٌëهنèٍü èëè âîٌٌٍàيîâèٍü ‎ٍîٍ ïهًهُîن îٍ نًهâيèُ èينèéٌêèُ ôîًى ê ٌèٌٍهىه, îٍ êîٍîًîé ïًîèçîّëè يàّè ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے. حàنïèٌè, يàéنهييûه â حàيà-أàٍ è حàٌèêه, îٍيîٌےùèهٌے ê ïهًâûى âهêàى نî يàّهé ‎ًû è ïهًâûى âهêàى يàّهé ‎ًû, ïî-âèنèىîىَ, ٌîنهًوàٍ îلîçيà÷هيèے ÷èٌهë, êîٍîًûه لûëè ïًےىûىè ïًهنّهٌٍâهييèêàىè ٍهُ, êîٍîًûه ïîëَ÷èëè ٍهïهًü يàçâàيèه èينî-àًàلٌêîé ٌèٌٍهىû. دهًâîيà÷àëüيî â ‎ٍîé ٌèٌٍهىه يه لûëî يè ïîçèِèîييîمî ïًèيِèïà, يè ٌèىâîëà يَëے. خلà ‎ٍè ‎ëهىهيٍû âîّëè â èينèéٌêَ‏ ٌèٌٍهىَ ê 8-9 ââ. âىهٌٍه ٌ îلîçيà÷هيèےىè نهâàيàمàًè. انهٌü ىû âïهًâûه âًٌٍه÷àهىٌے ٌ ‎ëهىهيٍàىè ٌîâًهىهييîé ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے: èينèéٌêàے ٌèٌٍهىà لûëà نهٌےٍè÷يîé, ِèôًîâîé è ïîçèِèîييîé. دًè وهëàيèè ىîويî نàوه ٌَىîًٍهٍü يهêîٍîًîه ٌُîنٌٍâî â يà÷هًٍàيèè ٌîâًهىهييûُ ِèôً è ِèôً نهâàيàمàًè.

حàïîىيèى, ÷ٍî ïîçèِèîييàے ٌèٌٍهىà ٌ÷èٌëهيèے ٌ يَëهى âîçيèêëà يه â بينèè, ïîٌêîëüêَ çà ىيîمî âهêîâ نî ‎ٍîمî îيà èٌïîëüçîâàëàٌü â ؤًهâيهى آàâèëîيه â ٌâےçè ٌ ّهٌٍèنهٌےٍèًè÷يîé ٌèٌٍهىîé. دîٌêîëüêَ èينèéٌêèه àًٌٍîيîىû èٌïîëüçîâàëè ّهٌٍèنهٌےٍèًè÷يûه نًîلè, âïîëيه âîçىîويî, ÷ٍî ‎ٍî يàâهëî èُ يà ىûٌëü ïهًهيهٌٍè ïîçèِèîييûé ïًèيِèï ٌ ّهٌٍèنهٌےٍèًè÷يûُ نًîلهé يà ِهëûه ÷èٌëà, çàïèٌàييûه â نهٌےٍè÷يîé ٌèٌٍهىه. آ èٍîمه ïًîèçîّهë ٌنâèم, ïًèâهنّèé ê ٌîâًهىهييîé ٌèٌٍهىه ٌ÷èٌëهيèے. حه èٌêë‏÷هيà ٍàêوه âîçىîويîٌٍü, ÷ٍî ٍàêîé ïهًهُîن, ïî êًàéيهé ىهًه îٍ÷àٌٍè, ïًîèçîّهë â أًهِèè, ٌêîًهه âٌهمî â ہëهêٌàينًèè, è îٍٍَنà ًàٌïًîًٌٍàيèëٌے â بينè‏. آ ïîëüçَ ïîٌëهنيهمî ïًهنïîëîوهيèے ٌâèنهٍهëüٌٍâَهٍ ٌُîنٌٍâî êًَوêà, îلîçيà÷à‏ùهمî يَëü, ٌ يà÷هًٍàيèهى مًه÷هٌêîé لَêâû îىèêًîي. خنيàêî ïًîèٌُîونهيèه èينèéٌêîمî ٌèىâîëà نëے يَëے îêٍَàيî ٍàéيîé, ٍàê êàê ïهًâîه نîٌٍîâهًيîه ٌâèنهٍهëüٌٍâî همî ïîےâëهيèے â بينèè نàٍèًَهٌٍے ëèّü êîيِîى 9 â. تàê يè ًٌٍàييî, يè مًهêè, يè èينèéِû يه âêë‏÷èëè â ٌâîè ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے نهٌےٍè÷يûه نًîلè, يî èىهييî èينèéِàى ىû îلےçàيû ٌîâًهىهييîé ٌèٌٍهىîé çàïèٌè îلûêيîâهييûُ نًîلهé ٌ ÷èٌëèٍهëهى, ًàٌïîëîوهييûى يàن çيàىهيàٍهëهى (يî لهç مîًèçîيٍàëüيîé ÷هًٍû, îٍنهëے‏ùهé ÷èٌëèٍهëü îٍ çيàىهيàٍهëے).

ہًàâèے

رîâًهىهييَ‏ ٌèٌٍهىَ îلîçيà÷هيèے ÷èٌهë ÷àٌٍî يàçûâà‏ٍ àًàلٌêîé, ُîٍے ےٌيî, ÷ٍî îيà لهًهٍ يà÷àëî يه èç ہًàâèè. ؤî ُèنوًû àًàلû çàïèٌûâàëè ÷èٌëà ٌëîâàىè, يî çàٍهى, êàê ‎ٍî نهëàëè ًàيهه مًهêè, îيè ٌٍàëè îلîçيà÷àٍü ÷èٌëà لَêâàىè ٌâîهمî àëôàâèٍà. آ 772 èينèéٌêèé ًٍàêٍàٍ «رèننàيٍà» لûë ïًèâهçهي â ءàمنàن è ïهًهâهنهي يà àًàلٌêèé, ïîٌëه ÷همî ٌٍàëè èٌïîëüçîâàٍüٌے نâه ٌèٌٍهىû çàïèٌè ÷èٌهë: â àًٌٍîيîىèè ïî-ïًهويهىَ َïîًٍهلëےëè àëôàâèٍيَ‏ ٌèٌٍهىَ, â ٍîًمîâûُ ًàٌ÷هٍàُ êَïِû ٌٍàëè ïًèىهيےٍü ٌèٌٍهىَ, çàèىٌٍâîâàييَ‏ èç بينèè. حî نàوه ًٌهنè ٍهُ, êٍî ïîëüçîâàëٌے èينèéٌêîé ٌèٌٍهىîé, يà÷هًٍàيèے ِèôً, êàê è â بينèè, ٌèëüيî âàًüèًîâàëè. فٍè نâه ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے لûëè ّèًîêî ًàٌïًîًٌٍàيهيû è ïîٌëه ًàٌïàنà àًàلٌêîمî ُàëèôàٍà. آ همî âîٌٍî÷يîé ÷àٌٍè ïîëüçîâàëèٌü ٌèٌٍهىîé, àيàëîمè÷يîé ٍîé, êîٍîًàے è ٌهé÷àٌ âًٌٍه÷àهٌٍے â àًàلٌêîى ىèًه.

اàïàنيàے إâًîïà

دهًâûى هâًîïهéٌêèى َ÷هيûى, î êîٍîًîى نîٌٍîâهًيî èçâهٌٍيî, ÷ٍî îي ââهë â َïîًٍهلëهيèه â إâًîïه àًàلٌêèه ِèôًû, لûë أهًلهًٍ, ًàلîٍàâّèé â بٌïàيèè è ïîçنيهه (â 999-ى) ٌٍàâّèé ïàïîé رèëüâهًٌٍîى II. آ 12 â. صَàي èç رهâèëüè ïهًهâهë يà ëàٍûيü ًٍàêٍàٍ De numero indorum (خل èينèéٌêèُ ÷èٌëàُ) àًàلٌêîمî ىàٍهىàٍèêà ہëü-صîًهçىè. تîمنà â ٌëهنَ‏ùهى âهêه èينèéٌêèه îلîçيà÷هيèے ٌٍàëè ّèًîêî èçâهٌٍيûىè, يîâàے ٌèٌٍهىà ïîëَ÷èëà يàçâàيèه àëمîًèٍى - îٍ èٌêàوهييîمî ہëü-صîًهçىè. ×هًهç ïàًَ ٌٍîëهٍèé هâًîïهéٌêèه àëمîًèٍىèêè îنهًوàëè âهًُ è يàن àلàِèٌٍàىè, è يàن ٍهىè, êٍî ïîëüçîâàëٌے ًèىٌêèىè ِèôًàىè â âû÷èٌëهيèےُ ٌ ِهëûىè ÷èٌëàىè, يî ëèّü ٌ 1585 èينî-àًàلٌêàے ٌèٌٍهىà îلîçيà÷هيèé, ٌèٌٍهىàٍè÷هٌêè ًàٌّèًےےٌü, ٌٍàëà èٌïîëüçîâàٍüٌے è ïًèىهيèٍهëüيî ê نًîلےى.

÷èٌëî ٌ÷èٌëهيèه ïîçèِèîييûé نًهâيèé

اàêë‏÷هيèه

دîنâîنے èٍîم èٌٌëهنîâàيèے ٍهىû, ٌëهنَهٍ îٍىهٍèٍü, ÷ٍî èٌٍîًèے ٌèٌٍهى ٌ÷èٌëهيèے âîٌُîنèٍ ê ٍîىَ نàëهêîىَ ïًîّëîىَ, êîمنà ÷هëîâهê نëے èçîلًàوهيèے ًٍهلَهىîمî ÷èٌëà ïîëüçîâàëٌے يàٌه÷êàىè يà ïàëêه èëè ٌٌûïàë êàىهّêè â ىهّî÷هê. فٍَ ٌèٌٍهىَ ïًهنٌٍàâëهيèے ÷èٌهë َ÷هيûه يàçâàëè هنèيè÷يîé èëè ïàëî÷يîé.

×هëîâهê, ٌîâهًّهيٌٍâَے èٌêٌٌٍَâî ٌ÷هٍà, ïًîنهëàë îمًîىيûé ïٍَü - îٍ çàٌه÷هê يà نهًهâه نî ٌîâًهىهييîمî êîىïü‏ٍهًà. آٌه نîٌٍèوهيèے âû÷èٌëèٍهëüيîé êَëüًٍَû ÷هëîâهêà لهًٍَ ٌâîه يà÷àëî â هنèيè÷يîé ٌèٌٍهىه. بىه‏ٌٍے نîٌٍàٍî÷يî îلîٌيîâàييûه ïًهنïîëîوهيèے î ٍîى, ÷ٍî ٌيà÷àëà ÷هëîâهê èçîلًهë ÷èٌëà, à ëèّü çàٍهى نًَمèه ïèٌüىهييûه çيàêè. فâîë‏ِèے هنèيè÷يîé ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے ïîٌٍهïهييî ïًèâهëà ê èنهه ïهًهٌ÷èٍûâàيèے مًَïïàىè, à ïîٌëه ê âîçيèêيîâهيè‏ ِèôً è ÷èٌهë, ê ïîçèِèîييîé ِèôًîâîé èُ çàïèٌè.

بٌïîëüçَهٌٍے ëè هنèيè÷يàے ٌèٌٍهىà â يàّه âًهىے? ؤà. جàëûّè èٌïîëüçَ‏ٍ ïًè ٌ÷هٍه ïàëüِû ًَê, ïهًâîêëàٌٌيèêè îٌâàèâà‏ٍ àًèôىهٍè÷هٌêèه îïهًàِèè ïًè ïîىîùè ٌ÷هٍيûُ ïàëî÷هê.

آ ُîنه ٌâîهمî ًàçâèٍèے ÷هëîâه÷هٌٍâî ًٌٍهىèëîٌü ٌîâهًّهيٌٍâîâàٍü çàïèٌü ÷èٌهë. س ًàçيûُ يàًîنîâ â ًàçيîه âًهىے َïîًٍهلëےëèٌü ًàçëè÷يûه ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے. حهïîçèِèîييûه ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے يه ïîëَ÷èëè ّèًîêîمî ًàٌïًîًٌٍàيهيèے â ٌîâًهىهييîى îلùهٌٍâه. بٌٍîًèے ًàٌïîًےنèëàٌü ٍàê, ÷ٍî ÷هëîâه÷هٌٍâî â ٌâîهé ïًàêٍèêه èٌïîëüçَهٍ â îٌيîâيîى ٍîëüêî îنيَ يهïîçèِèîييَ‏ ٌèٌٍهىَ ٌ÷èٌëهيèے - ًèىٌêَ‏. خ÷هâèنيûىè ےâëے‏ٌٍے يهَنîلٌٍâà çàïèٌè ÷èٌهë â ïîنîليûُ ٌèٌٍهىàُ. دًè ًàلîٍه ٌ لîëüّèىè ÷èٌëàىè يهîلُîنèىî ïًèنَىûâàٍü يîâûه ٌèىâîëû (ِèôًû), ïًè÷هى ‎ٍîٍ ïًîِهٌٌ ىîوهٍ ïًîنîëوàٍüٌے نî لهٌêîيه÷يîٌٍè. تًîىه ٍîمî ïًàâèëà ôîًىèًîâàيèے ÷èٌهë نîٌٍàٍî÷يî ٌëîويû. زàêàے ïًîلëهىà َ لîëüّèيٌٍâà ïîçèِèîييûُ ٌèٌٍهى ٌ÷èٌëهيèے îٌٌٍٍٍَâَهٍ. زهى يه ىهيهه, çàïèٌü ÷èٌهë â ًèىٌêîé ٌèٌٍهىه يàُîنèٍ îمًàيè÷هييîه ïًèىهيهيèه â يàٌٍîےùهه âًهىے ïًè يَىهًàِèè ًàçنهëîâ â êيèمàُ, âهêîâ â èٌٍîًè÷هٌêèُ ًٍَنàُ, ïًè îôîًىëهيèè ِèôهًلëàٍîâ ÷àٌîâ è ٍ.ن.

دîçèِèîييûه ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے - ًهçَëüٍàٍ نëèٍهëüيîمî èٌٍîًè÷هٌêîمî ًàçâèٍèے يهïîçèِèîييûُ ٌèٌٍهى ٌ÷èٌëهيèے. صîٍے âٌه ïîçèِèîييûه ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے ےâëے‏ٌٍے ًàâيîïًàâيûىè, â ïîâٌهنيهâيîé وèçيè ىû îلû÷يî ïîëüçَهىٌے نهٌےٍè÷يîé ٌèٌٍهىîé. دًè÷èيû, ïî êîٍîًûى èىهييî نهٌےٍè÷يàے ٌèٌٍهىà îêàçàëàٌü îلùهïًèيےٍîé, ٌîâٌهى يه ىàٍهىàٍè÷هٌêîمî ُàًàêٍهًà. خ÷هâèنيî, ÷ٍî ‎ٍَ ٌèٌٍهىَ ىû ïًهنïî÷èٍàهى îٌٍàëüيûى ïîçèِèîييûى ٌèٌٍهىàى ٌ÷èٌëهيèے ëèّü ïîٍîىَ, ÷ٍî êîëè÷هٌٍâî ïàëüِهâ يà ًَêàُ َ ÷هëîâهêà ًàâيî نهٌےٍè, à èىهييî ïàëüِû ïهًâîيà÷àëüيî ٌëَوèëè îٌيîâيûى "èيًٌٍَىهيٍîى" نëے ٌ÷هٍà. دî ïàëüِàى َنîليî ٌ÷èٍàٍü îٍ îنيîمî نî نهٌےٍè. رîٌ÷èٍàâ نî نهٌےٍè, ٍ.ه. èٌïîëüçîâàâ نî êîيِà âîçىîويîٌٍè يàّهمî ïًèًîنيîمî "ٌ÷هٍيîمî àïïàًàٍà", هٌٍهٌٍâهييî ïًèيےٍü ÷èٌëî 10 çà يîâَ‏ لîëهه êًَïيَ‏ هنèيèَِ (هنèيèَِ ٌëهنَ‏ùهمî ًàçًےنà). زàêèى îلًàçîى, èىهييî ٌ÷هٍ ïî ïàëüِàى ًَê ïîëîوèë يà÷àëî ‎ٍîé ٌèٌٍهىه, êîٍîًàے êàوهٌٍے يàى ٌهé÷àٌ ÷هى-ٍî ٌàىî ٌîلîé ًàçَىه‏ùèىٌے. خٌيîâيûه àًèôىهٍè÷هٌêèه îïهًàِèè â نهٌےٍè÷يîé ٌèٌٍهىه ٌَâàèâà‏ٌٍے يàىè هùه â نهٌٍٍâه. آ ïîâٌهنيهâيîé ïًàêٍèêه ىû îïهًèًَهى èىè ïîنٌîçيàٍهëüيî. دî ‎ٍîé ïًè÷èيه ىيîمèه ë‏نè نàوه يه نîمàنûâà‏ٌٍے, ÷ٍî ٌَùهٌٍâَ‏ٍ نًَمèه ٌèٌٍهىû ٌ÷èٌëهيèے.

حî نهٌےٍè÷يàے ٌèٌٍهىà ٌ÷èٌëهيèے نàëهêî يه ًٌàçَ çàيےëà مîٌïîنٌٍâَ‏ùهه ïîëîوهيèه, êîٍîًîه îيà èىههٍ ٌهé÷àٌ. آ ًàçيûه èٌٍîًè÷هٌêèه ïهًèîنû ىيîمèه يàًîنû ïîëüçîâàëèٌü ٌèٌٍهىàىè ٌ÷èٌëهيèے, îٍëè÷يûىè îٍ نهٌےٍè÷يîé. جيîمî÷èٌëهييûه ٌëهنû ‎ٍèُ ٌèٌٍهى ٌ÷èٌëهيèے ٌîًُàيèëèٌü نî يàّèُ نيهé è â ےçûêàُ ىيîمèُ يàًîنîâ, è â ïًèيےٍûُ نهيهويûُ ٌèٌٍهىàُ, è â ٌèٌٍهىàُ ىهً.

ذàلîٍàے يàن نàييîé ٍهىîé, ے َçيàëà نëے ٌهلے î÷هيü ىيîمî èيٍهًهٌيîمî, ًàçîلًàëàٌü ٌ ïًèيِèïîى çàïèٌè ÷èٌهë â ًàçëè÷يûُ ٌèٌٍهىàُ ٌ÷èٌëهيèے.

آ çàêë‏÷هيèه ُî÷َ نîلàâèٍü, ÷ٍî يهîلُîنèىîٌٍü âîçيèêيîâهيèے ٌ÷هٍà ىيîمî âهêîâ يàçàن نàëà يà÷àëî âهëè÷àéّهé èç يàَê - ىàٍهىàٍèêه, êîٍîًîé ىû îلےçàيû âٌهىè نîٌٍèوهيèےىè ÷هëîâه÷هٌٍâà.

رïèٌîê ëèٍهًàًٍَû

1. خٌيîâû èيôîًىàٍèêè è âû÷èٌëèٍهëüيîé ٍهُيèêè/ ہ.أ. أهéي, آ.أ. ئèٍîىèًٌêèé, إ.آ. ثèيهِêèé è نً. - ج.: دًîٌâهùهيèه, 2001.

. ءàَ‎ً ش.ث., أîîç أ. بيôîًىàٍèêà. آâîنيûé êًٌَ: آ2-ُ ÷. ×. 2: دهً. ٌ يهى. - ج.: جèً, 2000.

. ذهّهٍيèêîâ آ.ح., رîٍيèêîâ ہ.ح. بيôîًىàٍèêà - ÷ٍî ‎ٍî? - ج.: ذàنèî è ٌâےçü, 2001.

. بيôîًىàٍèêà â ïîيےٍèےُ è ٍهًىèيàُ. - ج.: دًîٌâهùهيèه, 2001.

. بيôîًىàٍèêà. فيِèêëîïهنè÷هٌêèé ٌëîâàًü نëے يà÷èيà‏ùèُ. - ج.: دهنàمîمèêà - دًهٌٌ, 2004.

ذàçىهùهيî يà Allbest.ru