Статистические показатели деятельности предприятия

Статистические показатели деятельности предприятия

Задание 1

По 8 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о прибыли (y) и производстве валовой продукции (x).

Таблица 1. Исходные данные

Требуется:

1.      Построить линейное уравнение парной регрессии.

2.      Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

.        Определить коэффициент эластичности.

.        Оценить статистическую значимость параметров регрессии (использовать t-критерий Стъюдента для вероятности р=0,95).

.        Построить прогноз прибыли при прогнозном значении произведенной валовой продукции, составляющей 105% от среднего значения.

.        Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение

1. Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров линейной регрессии используют метод наименьших квадратов (МНК). Это самый распространенный и теоретически обоснованный метод, вычисления в нем наиболее простые.

Для нахождения параметров регрессии решается система уравнений:

,  

где

 - количество измерений;

 - сумма всех факторов;

 - сумма всех результативных признаков;

 - сумма квадратов всех факторов;

 - сумма произведений факторов и соответствующих им признаков.

Расчеты приводятся во вспомогательной таблице.

Таблица 1.1 Расчет параметров уравнения регрессии

Уравнение парной регрессии имеет вид:

. Рассчитывается линейный коэффициент парной корреляции:

Величина коэффициента близка к единице, значит, между фактором и результатом существует прямая тесная связь.

По уравнению парной регрессии рассчитываются теоретические значения  и отклонения реальных  от рассчитанных.

и так далее для каждого измерения.

Для расчета средней ошибки аппроксимации составляется таблица:

Таблица 1.2 Расчет ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается как

.

Ошибка менее 5%, что говорит о высокой точности модели.

3.      Коэффициент эластичности определяется по формуле

Это значит, что при увеличении валовой продукции на единицу от своего среднего значения прибыль изменится на 1,425.

. Оценивается статистическая значимость параметров регрессии. Для этого вначале выдвигаем гипотезу  о случайной природе показателей, то есть, предполагаем, что они близки к нулю. Для проверки этой гипотезы используется статистика, которая имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы , где  - объем выборки. По приложению А выбирается t-критерий Стъюдента для вероятности р=0,95 и .

Для расчета ошибок параметров регрессии выполняются дополнительные расчеты.

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии:

Расчетные значения t-критерия Стъюдента:

Полученные значения больше табличных, поэтому гипотеза  о случайной природе показателей отвергается. Параметры модели признаются связанными между собой и статистически значимыми.

Доверительные интервалы:

5.      Строится прогноз прибыли при прогнозном значении произведенной валовой продукции, составляющей 105% от среднего значения.

Из уравнения регрессии

При объеме валовой продукции 34,676 величина прибыли составит 31,11.

6.      Рассчитываем среднюю стандартную ошибку прогноза по формуле

Для этого составляется вспомогательная таблица.

Ошибка прогноза

Доверительный интервал прогноза:

Задание 2

По четырем предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс.руб.), от ввода в действие новых основных фондов x₂ (%) и от удельного веса рабочих высокой квалификации к рабочим низкой квалификации x₁ (%).

Таблица 2. Исходные данные

Требуется написать уравнение множественной регрессии. Рассчитать коэффициент линейной множественной корреляции и провести статистическую оценку параметров уравнения регрессии (использовать F-критерий Фишера для вероятности р=0,95).

Решение.

Число факторов модели равно двум: x₁ и x_2.

Предполагаем, что зависимость  описывается уравнением

Для нахождения параметров регрессии решается система уравнений:

Расчеты приводятся во вспомогательной таблице.

Таблица 2.1 Расчет параметров множественной регрессии

На основе построенной таблицы составляем систему уравнений.

Система решается по методу Крамера. Главный определитель системы:

Находим частные определители.

Решение исходной системы:

, , .

Уравнение регрессии имеет вид:

Показатель или коэффициент множественной корреляции определяется по формуле

,

где

 - сумма квадратов разности измеренного и вычисленного значений признаков,

 - сумма квадратов разности измеренного и среднего значений признаков.

Таблица 2.2 Расчет коэффициента множественной корреляции

Величина коэффициента множественной корреляции очень близка к 1, это означает очень тесную связь между результатом и набором признаков.

Оцениваем статистическую значимость параметров по F-критерию Фишера.

,

где

 - показатель множественной корреляции,- число наблюдений,- число факторов (переменных).

Табличное значение F-критерия при уровне значимости  равно , при уровне значимости  равно .

Параметры уравнения статистически значимы для вероятности .

Задание 3

Имеются данные об уровне среднегодовых цен на какао-бобы из Бразилии (цена в тыс.руб за тонну).

Требуется построить мультипликативную модель тренда. Сделать прогноз цены на четыре года вперед.

Решение.

Исходный временной ряд выравнивается методом скользящего окна. Интервал (шаг) для расчета скользящей средней принимается равным 4 кварталам.

          и т.д.

статистический прогноз регрессия

Шаг скользящей средней выбран четным, поэтому полученные значения необходимо центрировать, то есть снова рассчитать скользящие с шагом 2.

                 и т.д.

Оценка сезонной компоненты есть частное от деления фактических значений цены на центрированные скользящие средние.

На основе проведенных расчетов заполняется таблица.

Таблица 3.1 Сглаживание исходного ряда методом скользящей средней и расчет сезонной компоненты

За каждый квартал определяется средняя оценка сезонной компоненты. Так как кварталов 16, получается 4 года по 4 квартала. В моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопоглощаются, то есть сумма значений сезонных компонент каждого квартала должна быть равна 4.

Таблица 3.2 Корректирование сезонной компоненты

Вычисляем корректировочный коэффициент:

Путем деления на корректировочный коэффициент вычисляются скорректированные значения средних оценок сезонной компоненты.

Проверяем условие равенства суммы  четырем:

Получено верное тождество, расчеты верны.

Для устранения влияния сезонной компоненты каждый уровень исходного временного ряда делится на среднюю оценку соответствующего квартала.

Таблица 3.3 Устранение влияния сезонной компоненты

Для получения уравнения тренда проводятся такие же вычисления, как при нахождении уравнения парной регрессии.

Все вспомогательные вычисления сводятся в таблицу.

Таблица 3.4 Построение уравнения тренда

Уравнение тренда имеет вид:

Подставляя в это уравнение значения времени t, получаем расчетные уровни цен для каждого момента времени. Затем, умножая на соответствующие значения , получаем значения уровней ряда по мультипликативной модели.

Используя вспомогательную таблицу, рассчитываем среднюю ошибку аппроксимации.

И так далее для каждого квартала.

Таблица 3.5 Расчет средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации незначительна, что говорит о высокой точности построенной мультипликативной модели.

Прогнозные значения уровней временного ряда мультипликативной модели определяются как произведение трендовой и сезонной компонент:

Прогнозное значение для 17 квартала (1-й квартал пятого года):

Прогнозное значение для 18 квартала (2-й квартал пятого года):

Таким образом заполняем таблицу на следующие 4 года, то есть на 16 кварталов.

Таблица 3.6 Прогноз уровней цены на 4 года вперед