Разработка системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике

Введение

Современный период общественного развития характеризуется интенсивным становлением новой образовательной парадигмы, основывающейся на изменении фундаментальных представлений о человеке и его развитии через образование. Требование освоения учащимися всех знаний, накопленных человечеством, уже давно не ставится перед современной общеобразовательной школой. Современный человек должен не только обладать неким объемом знаний, но и уметь учиться, то есть уметь решать проблемы в сфере учебной деятельности, а именно: определять цели познавательной деятельности, находить оптимальные способы реализации поставленных целей, использовать разнообразные информационные источники, искать и находить необходимую информацию, оценивать полученные результаты, организовывать свою деятельность, сотрудничать с другими учащимися.

Согласно Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования дифференциация образования на этом этапе осуществляется путем сочетания общеобразовательных курсов трех типов: базовых, профильных, элективных.

Базовые общеобразовательные курсы отражают общую для них инвариантную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки учащихся. Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы в первую очередь на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию [3]. Именно за счет сочетания курсов этих двух типов реализуется первый, уровневый, подход к дифференциации содержания образования. Элективные же курсы призваны удовлетворить индивидуальные образовательные потребности и склонности каждого школьника. Именно они, по существу, являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его собственных интересов, способностей, последующих жизненных планов, с формированием умений и способов деятельности для решения практически важных задач. На сегодняшний день именно в системе элективных курсов легче реализовать второй, профильный, подход к дифференциации образования. Такая роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.

В настоящее время исследования в этой области направлены в основном на определение теоретических и методических основ построения базовых и профильных курсов, а также разработку отдельных программ элективных курсов, зачастую даже не учитывающих функции элективных курсов в системе профильного обучения. Вопросы, относящиеся к построению системы элективных курсов, охватывающей весь круг их функций и задач, рассматриваются в меньшей степени. С этих позиций мы приходим к тому, что полностью в рамках одной школы, одного класса практически неосуществима заявленная цель иидивидуализации обучения, так как при отсутствии системы, реализующей все функции элективных курсов, мы не сможем в достаточной мере учесть все потребности школьников в обучении.

Важным элементом модернизации школьного образования является реализация профильного обучения в старших классах. Согласно действующим положениям, профильность реализуется через две категории учебных предметов: общеобразовательных (профильного уровня) и элективных. Общеобразовательные дисциплины профиля входят в обязательный набор школьных предметов, определяемых профилем; элективные курсы относятся к вариативной компоненте, и их тематика может быть самой разнообразной. Элективные курсы по своему месту в учебном процессе школы в известной степени аналогичны вузовским спецкурсам, связанным с профессиональной специализацией студентов.

Введение элективного курса в учебный план школы может преследовать две цели. Первая - углубление профессиональной ориентации учащихся. В таком случае элективный курс является продолжением какого-то общеобразовательного курса профильного уровня по отдельным его темам (содержательным линиям). Вторая цель - удовлетворение интересов учащихся в областях знаний, не имеющих непосредственного отношения к профилю класса. Например, в классе физико-математического или технического профиля может преподаваться элективный курс гуманитарного содержания: история, искусство, языки и т.п.

Количество различных элективных курсов и их тематика теоретически неограниченны. Реальные ограничения вызваны, прежде всего, той же причиной, что и ограничения на выбор спецкурсов в вузе: с квалификацией преподавательского состава. Тематика спецкурсов, читаемых в вузе, чаще всего связана с научными интересами преподавателей. Вузовский преподаватель - это ученый, ведущий научную работу; спецкурс в вузе - это способ приобщения студентов к научно-исследовательской работе. С тематикой спецкурсов связывается и тематика курсовых и дипломных работ студентов, а это уже приближение к профессиональной деятельности.

Современное образование требует преодоления разрозненности учебных предметов. Каждой научной дисциплине свойственно свое особое сочетание формализованных и неформализованных методов моделирования явлений, процедур доказательства и объяснения, и лишь информатика легко преодолевает межпредметные границы, обогащает все области научного познания.

Проблема взаимосвязи школьных дисциплин - математики, информатики, физики, биологии и других - является одной из актуальных проблем современной дидактики, психологии и методики преподавания. Решение задач - построение конкретных моделей явлений - на уроках информатики является одним из мощных способов реализации межпредметных связей информатики и других наук.

Человек издавна использует моделирование для исследования объектов, процессов, явлений в различных областях. Результаты этих исследований служат для определения и улучшения характеристик реальных объектов и процессов; для понимания сути явлений и выработки умения приспосабливаться или управлять ими; для конструирования новых объектов или модернизации старых. Моделирование помогает человеку принимать обоснованные и продуманные решения, предвидеть последствия своей деятельности.

По мнению ведущих отечественных специалистов (А.А. Кузнецов, С.А. Бешенков, Е.А. Ракитина, Ю.А. Первин, А. Л. Семенов, А. В. Горячев, Н. В. Матвеева и др.) в настоящее время сложились все условия для внедрения в школу непрерывного курса информатики.

Исходя из вышеперечисленных фактов, мы сформулировали тему нашего исследования: «Система дополнительных заданий к элективному курсу по моделированию».

Цель работы: разработка системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между потребностью использования в педагогических целях новых программируемых технических средств и ограниченными возможностями учителя в условиях реально существующих средств методического обеспечения элективного курса информатики.

Объект исследования - процесс обучения учащихся общеобразовательной школы элективному курсу информатики.

Предмет исследования - система разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения школьников элективному курсу информатики использовать систему разноуровневых дополнительных вопросов и заданий, то это позволит:

1) повысить эффективность обучения элективному курсу информатики;

2) повысить познавательный интерес в области информатики и современной цифровой техники.

В соответствии с поставленной целью исследования можно выделить следующие задачи:

1. Проанализировать литературу по теме исследования;

2. Определить место предполагаемого содержания в элективном курсе информатики, его соотношение с существующим содержанием.

3. Разработать систему разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию;

4. Провести педагогический эксперимент по апробации измененного содержания и методики;

5. Проанализировать результаты.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и источников, приложений.

Предполагаемая область применения - средние общеобразовательные учебные заведения.

Глава I. Теоретические основы изучения темы «Компьютерное моделирование»

.1 Основные принципы преподавания информатики в общеобразовательной школе

Система обучения учителя зависит от педагогической позиции, которую он занимает. Любая позиция имеет свою методологическую основу. Под методологией обычно понимают совокупность принципов, форм и методов организации образовательной деятельности. В зависимости от уровня целеполагания и учета закономерностей обучения различают развивающее, проблемное и эвристическое обучение.

Под развивающим обучением понимают активно-деятельностный способ обучения. Целью же проблемного обучения является организация проблемных ситуаций, разрешение которых осуществляется за счет активной, самостоятельной деятельности учащихся. Эвристическое обучение расширяет возможности как развивающего, так и проблемного обучения, потому что ориентировано не на внешне задаваемый образовательный продукт, чаще всего отвергаемый учащимися, а на процесс организации деятельности по конструированию учеником собственного смысла, цели и содержания образования.

Все выше сказанное реализуется в школе с использованием конкретного предметного содержания и определенных организационных форм деятельности учителя и ученика, где системообразующим элементом деятельности является цель - развитие ученика, а средством выступает непосредственное содержание курса школьной информатики. Стоит подчеркнуть, что не всякое содержание обладает развивающим эффектом, и только рассмотрение определенной темы под заданным углом зрения способно решать как учебные, так и развивающие и воспитательные задачи курса.

В последние годы наметился интерес к феномену информации, характеризующейся не только как совокупные сведения, накопленные человечеством, но и как особое явление, отражающее семантическое свойство материи. Природа, человеческое общество наделены определенным смыслом, постижение которого позволит строить качественно новые взаимоотношения человека и природы, человека и общества, человека и человека. Информация, являясь объективной частью природы, проявляет себя лишь через информационные процессы, чем и объясняется сложность постижения природы информации и информационных процессов.

Научные открытия последних лет в области информатики и сопутствующих областей других наук показали, что проблема феномена информации затрагивает интересы не только узко прикладных наук, но и требует абсолютно иного подхода к построению любой общественной коммуникации. Нас, в первую очередь, должны интересовать проблемы построения учебного процесса, как целостной единицы информационной системы, где ученики выступают не в роли объектов воздействия со стороны учителя, а как полноценные субъекты коммуникационного взаимодействия.

Рассмотрим первоначально, какие основные подходы к рассмотрению учебного процесса предлагаются в педагогике. Обучение, как целенаправленный процесс взаимодействия учителя и ученика, предполагает получение знаний, умений и навыков на основе специально организованной деятельности. Наиболее полное определение обучения предлагает П.И. Пидкасистый: «Обучение - это общение, в процессе которого происходит управляемое познание, усвоение общественно-исторического опыта, воспроизведение, овладение той или другой конкретной деятельностью, лежащей в основе формирования личности».

Обучение включает в себя три основные функции: общеобразовательную, развивающую, воспитательную. Решение первой функции предполагает формирование знаний, умений и навыков, опыта учебной, творческой и трудовой деятельности. Основным критерием освоения являются знания, характеризующиеся полнотой, осознанностью, системностью и действенностью. Знания включают в себя понимание, сохранение в памяти и воспроизведение фактов науки, понятий, правил, законов, теорий.

Развивающая функция учебного процесса предполагает развитие всех сфер обучаемого посредством обучения: речевой, волевой, эмоциональной и т. д. Не любое обучение является развивающим, на это обращал внимание еще Л.С. Выготский, необходимо грамотно выстраивать процесс обучения, чтобы «обучение вело за собой развитие», т. е. правильно отбирать содержание образования и соответственно выстраивать учебный процесс. Воспитательная функция обучения состоит собственно в том, что в процессе обучения должны сформироваться нравственные и эстетические представления, определенная система взглядов на мир, способность следовать заданным нормам поведения в обществе, исполнять принятые в нем законы. Кроме этого предполагается формирование потребности личности, мотивы социального поведения, ценностных ориентации, мировоззрения.

Основной целью школьного образования является решение триединой задачи - это усвоение опыта, развитие и воспитание. При решении учебных задач, вопросы воспитания должны проходить через весь курс в качестве сквозных линий. Это актуально для информатики еще с тех позиций, что данный предмет предполагает знание способов обработки, хранения информации не только техническими средствами, но и самим человеком.

Не любое знание несет в себе воспитывающий эффект. Целостная включенность в образовательный процесс возможна только при эмоциональной реакции субъекта обучения. Постижение компьютера должно идти через постижение самого себя, собственной уникальности в частности, и уникальности человека, в общем. А то есть опасность скатывания на развитие технократического мышления, для которого не существуют абсолютных категорий нравственности, совести, человеческого достоинства и переживания.

Решение всех выше названных проблем возможно с развитием творческого потенциала личности. Творчество необходимо рассматривать как процесс, а не как продукт. Необходимо быть постоянно изменяющимся в изменяющемся мире. Невозможно дать всю сумму знаний, которые будут необходимы в дальнейшей жизни. И становится актуальным развитие таких качеств личности как гибкость, адаптивность, восприимчивость, что возможно с развитием дивергентного мышления, мышления идущего в разных направлениях, в отличие от конвергентного, однонаправленного, логического мышления.

Традиционным считается такой способ решения задач: постановка задачи, выделение исходных данных, применение готовых изложенных законов и формул, получение результата. Достаточно выучить сносно правила, формулы и обозначения, чтобы быть хорошим учеником. К сожалению, жизнь перед выпускниками не ставит готовых задач, и такой подход не позволяет адаптироваться ребенку в этом сложном мире. И необходимо формирование внутреннего плана действий, первоначально на практическом материале, впоследствии в процессе интериоризации будет происходить проецирование данного способа на решение любых жизненных задач.

При постановке задачи исключаются прямые указания на исходные данные, способы решения и ожидаемый результат. Ученики выделяют необходимые данные, прогнозируют результат и в зависимости от желаемого результата выбирают способы решения. Такой способ обучения предполагает дифференциацию предлагаемого материала, чтобы ученики имели возможность выбора посильного материала.

Налицо проблемное обучение, способствующее формированию внутреннего плана действий, что содействует интеллектуальному развитию личности. На уроках программирования формируются навыки умственного труда, когда интересен сам процесс, а не результат. Воспитывающий эффект заключается в том, что каждый выбирает для себя посильную задачу, предполагая что для решения простой задачи необходимо потратить меньшее количество усилий и поощрение будет соответствующим. Каждый выбирает для себя вершину сам и это его собственная вершина, на которой нет конкурентов, не надо никого толкать и никто тебя не толкает.

Более подробно использование рассмотренной технологии опишем ниже. Теперь же рассмотрим общедидактические вопросы, которые необходимо знать при организации учебной деятельности. При этом учтем, что дидактика и психология позаимствовали много понятий из информатики, например: «информационный компонент», «информационная деятельность», «информационный подход», «модель урока», и т. д. Но при этом, содержание понятий достаточно сильно отличаются и нам придется каждый раз объяснять, в каком смысле употребляется тот или иной термин.

Обучение - это сложный, многогранный процесс, проходящий в динамике. И необходимо его рассматривать как систему, то есть упорядоченную совокупность взаимосвязанных элементов целостного образования. Элементами учебного процесса выступают: содержание, методы, средства, формы организации, среда, результат.

Только в совокупности эти элементы придают системе те свойства, которыми каждый из них не обладает в отдельности. Цель является системообразующим элементом. При выстраивании учебного процесса каждый элемент должен быть продуман относительно цели, то есть планируемого результата обучения. Внесение изменений в какой-либо элемент влечет необходимость согласованного изменения остальных элементов. Именно с данных позиций будем рассматривать организацию учебной деятельности на уроках информатики.

В качестве подсистемы учебного процесса выступает процесс обучения, отражающий характер взаимодействия субъектов обучения, учителя и ученика, который включает взаимосвязанные и взаимодополняемые формы деятельности обучающего и обучаемого. Основными факторами взаимодействия являются умелая организация и стимулирование учебно-познавательной деятельности ученика.

Учебные цели должны ставиться на каждый конкретный урок, и они должны затрагивать вопросы освоения знаний, умений и навыков. Развивающие и воспитательные цели, затрагивающие формирование мышления и духовной сферы ребенка имеют долгосрочный характер, поэтому учитель должен четко представлять какие качества необходимо формировать сегодня, чтобы завтра получить ожидаемый результат. Подобный подход реализован в педагогических технологиях, когда последовательное решение краткосрочных, задач приводит к выполнению долгосрочной цели.

Содержание обучения информатике и ИКТ, обязательное для всех школ Российской Федерации, определяется федеральным компонентом государственного образовательного стандарта. Этот документ включает в себя следующие разделы:

1) перечень основных целей изучения предмета;

2) обязательный минимум содержания основных образовательных программ;

3) требования к уровню подготовки выпускников.

Приведем полностью содержание первой части.

Изучение информатики и информационно-коммуникационных технологий на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

освоение знаний, составляющих основу научных представлений об информации, информационных процессах, системах, технологиях и моделях;

овладение умениями работать с различными видами информации с помощью компьютера и других средств информационных и коммуникационных технологий (ИКТ), организовывать собственную информационную деятельность и планировать ее результаты;

развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей средствами ИКТ;

воспитание ответственного отношения к информации с учетом правовых и этических аспектов ее распространения; избирательного отношения к полученной информации;

выработка навыков применения средств ИКТ в повседневной жизни, при выполнении индивидуальных и коллективных проектов, в учебной деятельности, при дальнейшем освоении профессий, востребованных на рынке труда.

Методическое мастерство учителя информатики должно быть направлено на то, чтобы за суетой рутинной работы на уроках, решением сиюминутных организационных и технических проблем не потерять главные цели изучения предмета: общеобразовательные, развивающие и прагматические. Решению этой задачи должны помочь сформулированные ниже рекомендации.

1. Информация - центральное понятие курса. Понятие информации - стержень всего курса. Учитель не должен упускать это из вида при изложении любой темы. Каждый раздел - это разговор об информации и информационных процессах (компьютер - это универсальное средство для работы с информацией; алгоритм - это управляющая информация).

2. Принцип системности. В процессе изучения курса в сознании учеников строится взаимосвязанная система знаний. Логика курса в целом должна просматриваться как в его структуре, так и в содержании отдельных разделов. Учащиеся должны понять необходимость каждого раздела и его место в общей структуре курса, увидеть за «деревьями» отдельных тем весь «лес» системы знаний предмета. Помочь ученикам в системном восприятии курса предназначены структурно-логические схемы, присутствующие в учебниках.

3. Принцип параллельности в освоении фундаментальной и прагматической составляющих курса. Фундаментальный (общеобразовательный) компонент курса и прагматический (технологический) должны изучаться параллельно. В разных разделах их соотношение различно. Но и в разделах, связанных с ИКТ, обязательно присутствует фундаментальный компонент. Для базового курса он первичен.

4. Принцип исполнителя. Во всех темах, касающихся приложений компьютера, проводится методическая концепция: «компьютер + прикладное ПО = исполнитель для определенного вида работ с информацией». Здесь молено говорить об архитектуре исполнителя, которая описывается следующими компонентами: среда, режимы работы, система команд, данные (обрабатываемая информация).

5. Принцип освоения методики самообучения. Информатика и компьютерные технологии - быстро развивающиеся области. Поэтому человеку, деятельность которого связана с компьютерами, постоянно приходится обучаться. Методическая последовательность изложения материала должна быть такой (прежде всего в разделах, посвященных ИКТ), чтобы давать учащимся схему организации самообразования в этом предмете. Необходимо приучать учеников к самостоятельному использованию дополнительной справочной литературы, а также справочных разделов используемых программных продуктов.

1.2 Общие положения по элективному курсу «Моделирование» Угриновича Н.Д.10-11 класс

В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных инструментов познания. Технология моделирования требует от исследователя умения ставить корректно проблемы и задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки, выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки, решать задачи с использованием компьютерных систем, проводить анализ компьютерных экспериментов. Для успешной работы исследователю необходимо проявлять активный творческий поиск, любознательность и обладать максимумом терпения и трудолюбия. При этом сам исследователь не только достигает целей исследования, но и развивает в себе все перечисленные качества, приобретая навыки, умения и знания в большом спектре фундаментальных и прикладных наук.

Навыки моделирования очень важны человеку в жизни. Они помогут разумно планировать свой распорядок дня, учебу, труд, выбирать оптимальные варианты при наличии выбора, разрешать удачно различные жизненные ситуации.

Компьютерное моделирование - это новый и довольно сложный курс в цикле информационных дисциплин.

Этот курс предназначен для всех, кто желает освоить технологию компьютерного моделирования и приобрести знания и навыки работы с компьютером.

В конце каждой из глав приведены учебные проекты для самостоятельной работы. Опыт преподавания подобного курса в вузе и школах показал целесообразность и высокую эффективность обучения учащихся методикой проектов. Суть метода заключается в выполнении учеником учебного проекта (одного или нескольких) от начала и до конца в течение всего срока обучения самостоятельно либо под руководством преподавателя. Другие темы, не охваченные проектом, изучаются поверхностно, но в завершающей стадии обучения проходит анализ и защита всех проектов с участием всего контингента обучаемых.

Цели обучения

Образовательные цели

Познакомить учащихся с элементами компьютерного моделирования;

Раскрыть назначение моделирования. Познакомить учащихся с классификацией. Структура моделирования. Основные действия над моделями;

Научить компьютерному моделированию.

Познакомить с компонентами компьтерного моделирования. Для чего нужно моделирование;

Познакомиться с различными программы. Освоить работу с элементами компьютерного моделирования;

Показать разницу между математической и геометрической моделями;

Научить создавать модели;

Познакомить с основными приёмами моделирования;

Научить видеть разницу между моделью и моделированием;

Создавать модель;

Научить создавать математическую модель.

Воспитательные цели

Формирование умственного труда

Умение излагать свои мысли

Умение работать в группе и индивидуально

Работать эффективно в соответствии с располагаемым временем

Воспитание инициативы у учащихся

Воспитание самостоятельности, чувства ответственности.

Развивающие цели

Работа по умственному труду: сравнение и применение полученных знаний;

Развитие внимания, восприятия, развитие способности к анализу;

Развитие познавательных интересов к данному виду работы;

Развитие логического мышления, критического мышления.

Основные этапы разработки и исследования моделей на компьютере: описательная информационная модель -> формализованная модель -> компьютерная модель -> компьютерный эксперимент -> анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели.

Два способа построения компьютерных моделей:

§   построение алгоритма решения задачи и его кодирование на одном из языков программирования;

§   построение компьютерной модели с использованием электронных таблиц.

Построение и исследование физических и астрономических моделей. Компьютерный эксперимент. Использование анимации для имитации движения.

Исследование математических моделей. Построение графиков функций. Приближенное решение уравнений (графическое и с использованием числовых методов).

Требования к уровню подготовки:

Учащиеся должны:

·              уметь создавать информационные модели объектов и процессов из различных предметных областей (математики, физики, химии, биологии, экономики и др.);

·              уметь создавать компьютерные модели с использованием языков объектно-ориентированного программирования Visual Basic и электронных таблиц Microsoft Excel;

·              уметь проводить виртуальные эксперименты с использованием компьютерных моделей и анализировать полученные результаты.

Основным методом обучения в данном курсе является метод проектов. Проектная деятельность учащихся широко используется в процессе преподавания курса "Информатика и ИКТ", но особенно целесообразно ее использовать в процессе построения и исследования моделей.

В качестве основной формы организации учебных занятий рекомендуется использовать выполнение учащимися практических работ на компьютере (компьютерный практикум). Разработка каждого проекта должна быть реализована в форме выполнения такой практической работы, при этом роль учителя будет состоять в небольшом по времени объяснении нового материала и постановке задачи, а затем консультировании учащихся в процессе выполнения ими практической работы.

Кроме разработки проектов под руководством учителя учащимся предлагаются практические задания для самостоятельного выполнения.

Текущий контроль уровня усвоения материала можно осуществлять по результатам выполнения учащимися этих практических заданий.

Итоговый контроль рекомендуется осуществлять в форме защиты итоговых проектов, перечень которых содержится в программе элективного курса. В начале курса каждому учащемуся будет предложено самостоятельно в течение всего времени изучения данного курса разработать проект, реализующий компьютерную модель конкретного объекта, явления или процесса из некоторой предметной области, например, физическую модель "Бросание тела под углом к горизонту", биологическую модель "Развитие популяции при заданных условиях" и т. д. В процессе защиты учащийся должен будет представить не только проект на языке объектно-ориентированного программирования или в электронных таблицах, но и полученные с его помощью результаты компьютерного эксперимента по исследованию модели.

1.3 Место темы «Компьютерное моделирование» в школьном курсе информатики

Всякое описание реального объекта, процесса, явления всегда происходит приближенно. Приближенное описание называется информационной моделью. Такие модельные описания закладываются в память компьютера и на их основе производятся расчеты, прогнозирующие поведение объекта, управление объектом или процессом и пр. Все это называется компьютерным моделированием. Наиболее сложные информационные модели это модели знаний человека в различных областях. На их основе создаются компьютерные системы искусственного интеллекта. Искусство оперирования моделями выступает инструментом структурирования смыслового поля информации. Как известно, овладение рациональными приемами работы с информацией, заключенной в знаниях, облегчает восприятие ее нарастающих потоков, поиск эффективных форм отбора, усвоения и выражения в языковых конструкциях. Важность проблемы формирования умений информационного моделирования подтверждает проведенный В. П. Зуевым и Е. С. Кощеевой [39] анализ большого числа профессиограмм специалистов разных направлений, в каждую из которых обязательно включены умения формулировки и решения проблем, системного анализа, абстрагирования, формализации, так как информационное моделирование является компонентом познавательной деятельности. Вот почему необходимо научить учащихся использовать информационное моделирование в ходе обучения и в последующей деятельности. Сегодня на практике широкое распространение получает информационное моделирование, которое, как считают В. Б. Гисин и С. А. Бешенков [6], будет более успешным, если учащиеся овладеют познавательными (стержневыми) умениями информационного моделирования: ориентировочной основой деятельности, целеполагания, системного анализа, формализации, то есть способами построения теоретической информационной модели. С развитием информатики как научной дисциплины метод информационного моделирования стал получать все более широкое распространение при изучении окружающей действительности. Практически во всех естественных науках понятийный аппарат, метод информационного моделирования широко и эффективно применяется при решении многих задач. В современном образовании возрастает роль информационного моделирования. Исследователи Л.А. Бахвалов, С.А. Бешенков, В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина, С.И. Шумов и др. [9] определяют моделирование как один из методов приобретения знаний. Информационное моделирование способствует развитию у школьника формально-логического мышления, творческого подхода к решению задач из различных областей знаний (математика, биология, экономика и др.) с применением информационных технологий. Основными проблемами для разработчиков базового курса являются, во-первых, выделение из обширной научной области информационного моделирования тех базовых знаний и понятий, которые должны войти в общеобразовательный школьный предмет; во-вторых разработка содержательно-методической базы преподавания этих вопросов. Не следует считать, что тема моделирования носит чисто теоретический характер и автономна от других тем. Большинство предыдущих разделов базового курса имеют прямое отношение к моделированию, в том числе и темы, относящиеся к технологической линии курса. Текстовые и графические редакторы, программное обеспечение телекоммуникаций можно отнести к средствам, предназначенным для рутинной работы с информацией: позволяющим набрать текст.

Одна из задач педагогической науки - обобщение и систематизация знаний в определенных областях деятельности человека. Не менее важной представляется задача обучения ученика способам и технологиям добывания знаний, методам познания.

Компьютерное моделирование становится одним из главных методов формирования системного мировоззрения обучаемого. Как было отмечено выше, оно является наиболее адекватной педагогической технологией для личностно-ориентированной системы, предоставляющей учащимся способы и методы приобретения и добывания знаний, умений и навыков. Технология компьютерного моделирования в образовании выступает как способ создания ситуации деятельности, отработки методов организации и самоорганизации, научного познания.

В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является основным методом познания окружающей действительности.

Использование подобных технологий в образовательных целях оказывает существенное влияние на развитие аналитических школ практикующих развивающие, исследовательские формы обучения, ориентирующиеся не на передачу готовых знаний ученику, а на его познавательную деятельность.

Однако внедрение подобных технологий в систему педагогического образования наталкивается на определенные трудности, связанные с отсутствием учебно-методических материалов, с неподготовленностью учащихся к использованию технологии компьютерного моделирования.

Для применения технологии компьютерного моделирования на предметных уроках необходимы проблемная ориентация изучаемых разделов, соответствующие формулировки задач, требующих для их решения использование методов моделирования.

В этой связи представляется важным развитие теории и практики компьютерного моделирования (КМ), разработка учебников и учебно-методических материалов, пересмотр традиционных методик обучения. Актуальным становится концепция использования технологии КМ в учебном процессе педагогических учреждений.

Особую значимость приобретает проблема формирования структуры и содержания дисциплины "Компьютерное моделирование", определения ее места в системе школьного и педвузовского образования.

Модели и моделирование используются человечеством с незапамятных времен. С помощью моделей и модельных отношений развились разговорные языки, письменность, графика. Наскальные изображения наших предков, затем картины и книги - это модельные, информационные формы передачи знаний об окружающем мире последующим поколениям.

Замещение объекта О₁ с помощью объекта-модели О₂ с целью изучения или передачи информации о свойствах О₁ называется моделированием объекта 0₁ объектом О₂.

Замещаемый объект О₁ называется оригиналом, замещающий объект О₂ - моделью.

Модель- это, как правило, искусственно созданный объект, воспроизводящий строение и свойства исследуемого объекта.

Другими словами, моделирование - это процесс изучения строения и свойств оригинала с помощью модели.

Процесс моделирования схематично выглядит в следующем виде:

Объект - Модель - Изучение модели - Знания об объекте

Основной задачей процесса моделирования является выбор наиболее адекватной к оригиналу модели и перенос результатов исследования на оригинал. Существуют достаточно общие методы и способы (технологии) моделирования. В настоящее время весьма эффективным и значимым является метод компьютерного моделирования.

Компьютерное моделирование начинается как обычно с объекта изучения, в качестве которого могут выступать: явления, процесс, предметная область, жизненные ситуации, задачи. После определения объекта изучения строится модель. При построении модели выделяют основные, доминирующие факторы, отбрасывая второстепенные. Выделенные факторы перекладывают на понятный машине язык. Строят алгоритм, программу. Когда программа готова, проводят компьютерный эксперимент и анализ полученных результатов моделирования при вариации модельных параметров. И уже в зависимости от этих выводов делают нужные коррекции на одном из этапов моделирования, либо уточняют модель, либо алгоритм, либо точнее, более корректнее определяют объект изучения.

В методе компьютерного моделирования присутствуют все важные элементы развивающего обучения и познания: конструирование, описание, экспериментирование и т.д. В результате добываются знания об исследуемом объекте-оригинале.

Однако важно не путать компьютерную модель (моделирующую программу) с самим явлением. Модель полезна, когда она хорошо согласуется с реальностью. Но модели могут предсказывать и те вещи, которые не произойдут, а некоторые свойства действительности модель может и не прогнозировать. Тем не менее, полезность модели очевидна, в частности, она помогает понять, почему происходят те или иные явления.

Современное компьютерное моделирование выступает как средство общения людей (обмен информационными, компьютерными моделями и программами), осмысления и познания явлений окружающего мира (компьютерные модели солнечной системы, атома и т.п.), обучения и тренировки (тренажеры), оптимизации (подбор параметров).

Компьютерная модель - это модель реального процесса или явления, реализованная компьютерными средствами. Компьютерные модели, как правило, являются знаковыми или информационными.

К знаковым моделям в первую очередь относятся математические модели, демонстрационные и имитационные программы.

Информационная модель - набор величин, содержащий необходимую информацию об объекте, процессе, явлении. Главной задачей компьютерного моделирования выступает построение информационной модели объекта, явления.

Некоторые характеристики моделей являются неизменными, не меняют своих значений, а некоторые изменяются по определенным законам. Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими, в противном случае статическими.

При построении моделей используют два принципа: дедуктивный (от общего к частному) и индуктивный (от частного к общему).

Основные направления развития компьютерного моделирования.

. Моделирование реально протекающих явлений и процессов (математическое моделирование, численный эксперимент).

. Конструирование реальных или виртуальных объектов в двух, или трехмерном пространстве (компьютерная графика).

. Моделирование и визуализация явлений и процессов, протекающих в сложных системах (имитационный эксперимент, демонстрационные модели).

. Моделирование работы реальных систем, управление этой системой.

Названные направления компьютерного моделирования предоставляют широкий спектр для выбора курсовых и выпускных квалификационных работ студентов, организации научно-исследовательской работы студенческих и школьных обществ.

Модель - это искусственно создаваемый объект, заменяющий некоторый объект реального мира (объект моделирования) и воспроизводящий ограниченное число его свойств. Понятие модели относится к фундаментальным общенаучным понятиям, а моделирование - это метод познания действительности, используемый различными науками.

Объект моделирования - широкое понятие, включающее объекты живой или неживой природы, процессы и явления действительности. Сама модель может представлять собой либо физический, либо идеальный объект. Первые называются натурными моделями, вторые - информационными моделями. Например, макет здания - это натурная модель здания, а чертеж того же здания - это его информационная модель, представленная в графической форме (графическая модель).

В экспериментальных научных исследованиях используются натурные модели, которые позволяют изучать закономерности исследуемого явления или процесса. Например, в аэродинамической трубе моделируется процесс полета самолета путем обдувания макета самолета воздушным потоком. При этом определяются, например, нагрузки на корпус самолета, которые будут иметь место в реальном полете.

Информационные модели используются при теоретических исследованиях объектов моделирования. В наше время основным инструментом информационного моделирования является компьютерная техника и информационные технологии.

Компьютерное моделирование включает в себя прогресс реализмом информационной модели на компьютере и исследование с помощью этой модели объекта моделирования - проведение вычислительного эксперимента.

Формализация

К предметной области информатики относятся средства и методы компьютерного моделирования. Компьютерная модель может быть создана только на основе хорошо формализованной информационной модели. Что же такое формализация?

Формализация информации о некотором объекте - это ее отражение в определенной форме. Можно еще сказать так: формализация - это сведение содержания к форме. Формулы, описывающие физические процессы, - это формализация этих процессов. Радиосхема электронного устройства - это формализация функционирования этого устройства. Ноты, записанные на нотном листе, - это формализация музыки и т.п.

Формализованная информационная модель - это определенные совокупности знаков (символов), которые существуют отдельно от объекта моделирования, могут подвергаться передаче и обработке. Реализация информационной модели на компьютере сводится к ее формализации в форматы данных, с которыми "умеет" работать компьютер.

Но можно говорить и о другой стороне формализации применительно к компьютеру. Программа на определенном языке программирования есть формализованное представление процесса обработки данных. Это не противоречит приведенному выше определению формализованной информационной модели как совокупности знаков, поскольку машинная программа имеет знаковое представление. Компьютерная программа - это модель деятельности человека по обработке информации, сведенная к последовательности элементарных операций, которые умеет выполнять процессор ЭВМ. Поэтому программирование на ЭВМ есть формализация процесса обработки информации. А компьютер выступает в качестве формального исполнителя программы.

Этапы информационного моделирования

Построение информационной модели начинается с системного анализа объекта моделирования. Представим себе быстро растущую фирму, руководство которой столкнулось с проблемой снижения эффективности работы фирмы по мере ее роста (что является обычной ситуацией) и решило упорядочить управленческую деятельность.

Первое, что необходимо сделать на этом пути, - провести системный анализ деятельности фирмы. Системный аналитик, приглашенный в фирму, должен изучить ее деятельность, выделить участников процесса управления и их деловые взаимоотношения, т.е. объект моделирования анализируется как система. Результаты такого анализа формализуются: представляются в виде таблиц, графов, формул, уравнений, неравенств и пр. Совокупность таких описаний есть теоретическая модель системы.

Следующий этап формализации - теоретическая модель переводится в формат компьютерных данных и программ. Для этого" используется либо готовое программное обеспечение, либо привлекаются программисты для его разработки. В конечном итоге получается компьютерная информационная модель, которая будет использоваться по своему назначению.

Для примера с фирмой с помощью компьютерной модели может быть найден оптимальный вариант управления, при котором будет достигнута наивысшая эффективность работы фирмы согласно заложенному в модель критерию (например, получение максимума прибыли на единицу вложенных средств).

Классификация информационных моделей может основываться на разных принципах. Если классифицировать их по доминирующей в процессе моделирования технологии, то можно выделить математические модели, графические модели, имитационные модели, табличные модели, статистические модели и пр. Если же положить в основу классификации предметную область, то можно выделить модели физических систем и процессов, модели экологических (биологических) систем и процессов, модели процессов оптимального экономического планирования, модели учебной деятельности, модели знаний и др. Вопросы классификации важны для науки, т.к. они позволяют сформировать системный взгляд на проблему, но преувеличивать их значение не следует. Разные подходы к классификации моделей могут быть в равной мере полезны. Кроме того, конкретную модель отнюдь не всегда можно отнести к одному классу, даже если ограничиться приведенным выше списком.

Методические рекомендации

Государственный образовательный стандарт предусматривает изучение вопросов, относящихся к информационному моделированию, как в базовом курсе основной школы, так и в старших классах. Примерная программа курса информатики рекомендует изучение темы "Формализация и моделирование" в 8-м классе на уровне примеров моделирования объектов и процессов. Прежде всего, предполагается использование графических и табличных моделей. В старших классах предусмотрено общее (теоретическое) введение в тему и изучение различных видов компьютерного моделирования на уровне математических ("расчетных"), графических, имитационных моделей, связанных с социальными, биологическими и техническими системами и процессами. Эффективной формой углубленного изучения компьютерного моделирования являются элективные курсы для старшеклассников.

Образовательные задачи, решаемые в ходе изучения информационного моделирования

Решение указанных ниже задач позволяет оказать существенное влияние на общее развитие и формирование мировоззрения учащихся, интегрировать знания по различным дисциплинам, осуществлять работу с компьютерными программами на более профессиональном уровне.

Общее развитие и становление мировоззрения учащихся

Курсы, ориентированные на моделирование, должны выполнять развивающую функцию, поскольку при их изучении учащиеся продолжают знакомство еще с одним методом познания окружающей действительности - методом компьютерного моделирования. В ходе работы с компьютерными моделями приобретаются новые знания, умения, навыки. Некоторые ранее полученные сведения конкретизируются и систематизируются, рассматриваются под другим углом зрения.

Овладение моделированием как методом познания

Основной упор в каждом из таких курсов необходимо сделать на выработку общего методологического подхода к построению компьютерных моделей и работе с ними. Необходимо

1.   продемонстрировать, что моделирование в любой области знаний имеет схожие черты; зачастую для различных процессов удается получить очень близкие модели;

2.       выделить преимущества и недостатки компьютерного эксперимента по сравнению с экспериментом натурным;

.        показать, что и абстрактная модель, и компьютер представляют возможность познавать окружающий мир, а иногда и управлять им в интересах человека.

Выработка практических навыков компьютерного моделирования

На примере ряда моделей из различных областей науки и практической деятельности необходимо проследить все этапы компьютерного моделирования с исследования моделируемой предметной области и постановки задачи до интерпретации результатов, полученных в ходе компьютерного эксперимента, показать важность и необходимость каждого звена. При решении конкретных задач следует выделять и подчеркивать соответствующие этапы работы с моделью. Решение данной задачи предполагает поэтапное формирование практических навыков моделирования, для чего служат учебные задания с постепенно возрастающим уровнем сложности и компьютерные лабораторные работы.

Содействие профессиональной ориентации учащихся.

Учащиеся старшей ступени школы стоят перед проблемой выбора будущей профессии. Проведение курса компьютерного моделирования способно выявить тех из них, кто имеет способности и склонность к исследовательской деятельности. Способности учащихся к проведению исследований следует развивать различными способами, на протяжении всего курса поддерживать интерес к выполнению компьютерных экспериментов с различными моделями, предлагать для выполнения задания повышенной сложности. Таким образом, развитие творческого потенциала учащихся и профориентация - одна из задач курса.

Преодоление предметной разобщенности, интеграция знаний

В рамках учебного курса целесообразно рассматривать модели из различных областей науки, что делает курс частично интегрированным. Для того чтобы понять суть изучаемого явления, правильно интерпретировать полученные результаты, необходимо не только владеть приемами моделирования, но и ориентироваться в той области знаний, где проводится модельное исследование. Реализация межпредметных связей в таком курсе не только декларируется, как это иногда бывает в других дисциплинах, но является зачастую основой для освоения учебного материала.

Развитие и профессионализация навыков работы с компьютером

Перед учащимися ставится задача не только реализовать на компьютере предложенную модель, но и наиболее наглядно, в доступной форме отобразить полученные результаты. Здесь может помочь построение графиков, диаграмм, динамических объектов, пригодятся и элементы мультипликации. Программа должна обладать адекватным интерфейсом, вести диалог с пользователем. Все это предполагает дополнительные требования к знаниям и умениям в области алгоритмизации и программирования, приобщает к более полному изучению возможностей современных парадигм и систем программирования.

1.4 Обзор изложения темы «Компьютерное моделирование» в учебниках разных авторов

Элективный курс «Информационные системы и модели», разработанный И.Г. Семакиным, предназначен для изучения в классах физико-математического и информационно-технологического профилей. Элективный курс реализован в виде полного учебно-методического комплекта для учащегося и для учителя.

В данном учебном курсе объектом изучения являются две взаимосвязанных линии информационного моделирования:

· информационные системы;

·        компьютерное математическое моделирование.

В соответствии с этим, курс состоит из двух частей.

Часть 1. Моделирование и разработка информационных систем. Данная часть курса углубляет содержательные линии моделирования и информационных технологий в школьной информатике. База данных - ядро любой информационной системы - рассматривается в качестве информационной модели соответствующей предметной области. Содержание обучения отталкивается от проблем, которые требуется решить в процессе создания информационных систем.

Первая проблема - адекватное информационное отражение в базе данных реальной системы (предметной области). В связи с этим рассматриваются основные этапы проектирования базы данных: системный анализ предметной области, построение инфологической модели, ее реализация в виде модели данных реляционного типа.

Вторая проблема - создание приложений, которые в совокупности с базой данных составляют информационно-справочную систему. Здесь внимание уделяется анализу потребностей пользователя, созданию гибкой и полной системы приложений (запросов, форм, отчетов), организации дружественного пользовательского интерфейса.

В конце раздела осваиваются элементы программирования приложений на языке Visual Basic for Application (VBA).

Часть 2. Компьютерное математическое моделирование. Данный раздел также углубляет содержательную линию моделирования в курсе информатики. В нем изучается математическое моделирование в его компьютерной реализации при максимальном использовании межпредметных связей информатики и универсальной методологии моделирования. Овладение основами компьютерного математического моделирования позволит учащимся углубить научное мировоззрение, развить творческие способности, а также поможет в выборе будущей профессии. Данный раздел является преемственным по отношению к первому разделу, в котором речь также идет об информационном моделировании, но с позиций представления информации, в то время как второй раздел посвящен в основном ее математической обработке.

В ходе изучения курса должны быть расширены математические знания и навыки учащихся. В частности, рассматриваются некоторые задачи оптимизации, элементы математической статистики и моделирования случайных процессов.

Рассмотрим учебник Н.Д. Угриновича «Исследование информационных моделей с использованием систем объективно-ориентированного программирования и электронных таблиц».

Одна из функций элективных курсов - пополнить традиционное содержание школьных учебных предметов, компенсируя отсутствие в них важных понятий. Каждый электив решает это по-своему, своими средствами. Для рассматриваемого элективного курса реализация этой «компенсирующей» функции - одна из главных задач его содержания. Это связано с тем, что чрезвычайно важные для современного образования вопросы построения и исследования информационных моделей еще не заняли подобающего места в содержании базового курса информатики.

Изучение любого объекта или феномена внешнего мира основано на методологии моделирования. Специфика информатики в отличие от, скажем, физики заключается в том, что она использует не только (и даже не столько) математические модели, но и модели всевозможных форм и видов (текст, таблица, рисунок, алгоритм, программа - все это модели). Именно понятие информационной модели придает курсу информатики и информационных технологий тот широкий спектр межпредметных связей, формирование которых является одной из основных задач этого курса в основной школе. Сама же деятельность по построению информационной модели - информационное моделирование - является обобщенным видом деятельности, который характеризует именно информатику.

Построенную информационную модель в дальнейшем можно рассматривать как новый информационный объект. Этот объект можно целенаправленно преобразовать в другой объект, управляя тем или иным информационным процессом, если такое управление допускает реализацию на компьютере. Речь идет об автоматизации информационного процесса. Такой автоматизированный процесс и является информационной технологией.

Изучение информационных и телекоммуникационных технологий является важнейшим разделом курса информатики и информационных технологий. Однако при этом надо четко разделять изучение собственно технологий работы с данным видом информации (что невозможно сделать без привлечения таких понятий, как информационный процесс и информационная модель) и освоение конкретного программного продукта. Сейчас же технология использования компьютера для решения задач во многих учебниках стала прочно, но неправомерно ассоциироваться с технологией работы с программами, входящими в состав офисных пакетов. В связи с этим обучение данным технологиям, а точнее использованию средств этих технологий, занимает нередко центральное место в курсах информатики общеобразовательных школ. Именно поэтому элективный курс, связанный с построением и изучением информационных моделей, выполняет «компенсирующую» функцию элективов и имеет важное значение для развития школьного образования по информатике. Его востребованность в ряде профилей обучения на старшей ступени школы объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых , в ходе его изучения учащиеся строят и исследуют математические, физические, химические, биологические и экономические модели. Это определяет его межпредметный характер и, следовательно, интерес к нему учащихся, выбравших для себя разные профили обучения. Во-вторых, моделирование, особенно компьютерное, стало одним из основных общенаучных методов исследования, методов познания мира. Без него трудно представить себе профессиональную деятельность не только ученых разных специальностей, но и инженеров, врачей и людей многих других профессий. Второй, безусловно, привлекательный для школьников аспект методики этого курса (а привлекательность - важная характеристика любого электива, ведь это курсы по выбору) - метод учебных проектов, который составляет основу предлагаемой методики. Значительная часть этих проектов - практические задания для самостоятельного выполнения, а уровень их реализации является главным показателем и средством оценки учебных достижений школьников. На формирование определенных видов деятельности, связанных с компьютерным моделированием, нацелены и требования к результатам обучения: «уметь создавать модели ..., уметь проводить виртуальные эксперименты и анализировать полученные результаты». Еще один несомненный плюс этого курса - вариативный характер его содержания, ориентация на различные по уровню способности и познавательные интересы школьников. Для создания моделей в некоторых из предлагаемых проектов придется использовать языки объектно-ориентированного программирования (Visual Basic и Delphi), для других вполне достаточно ограничиться возможностями электронных таблиц. Для школьников, выбравших информационно-технологический профиль обучения, этот курс - еще и возможность развить навыки программирования на языках (вернее, системах программирования) Visual Basic и Delphi. Объектно-ориентированная парадигма программирования является сейчас наиболее перспективной и широко востребованной в различных областях. Привлечет этот курс и учителей. Это связано, конечно, с тем, что он имеет достаточно полную и апробированную учебно-методическую поддержку. В активе методики курса - учебное пособие и компьютерный практикум на CD-ROM.

1.5 Общие вопросы разработки дополнительных заданий к элективному курсу по моделированию

Одной из важных проблем в этой области является определение типологии элективных курсов. В настоящее время существует несколько типологий, определяющих назначение элективных курсов. После их анализа нам удалось выделить основные типы элективных курсов, которые, на наш взгляд, наиболее полно отражают их функции (оптимальной является именно классификация элективных курсов по методическим функциям) и, как следствие, назначение элективных курсов как средства дифференциации содержания образования.

В соответствии с перечисленными выше функциями нами были определены четыре основных типа элективных курсов:

1 профильный элективный курс является «надстройкой» профильного учебного предмета, и эта «надстройка» в полной мере превращает профильный курс в углубленный, обеспечивающий для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения учебного предмета;

2 компенсационный элективный курс может помочь школьнику, обучающемуся в профильном классе, где один из учебных предметов изучается на базовом уровне или не изучается вовсе, изучать смежные предметы на профильном уровне, готовиться к олимпиадам или к сдаче ЕГЭ по данному предмету на повышенном уровне;

3 предпрофессиональный элективный курс служит для приобретения навыков профессиональной деятельности в областях, наиболее востребованных на современном рынке труда. В частности, он может обеспечивать подготовку школьников, которые после окончания школы не могут или не хотят продолжать обучение в высшем учебном заведении, к успешной трудовой деятельности;

4 метапредметный элективный курс, содержание которого может распространяться на области деятельности человека вне круга выбранного учащимися профиля обучения. Курсы такого типа направлены именно на удовлетворение познавательных интересов в различных областях деятельности человека. Помимо методических функций существует еще ряд особенностей, присущих современной школьной информатике и определяющих подходы к построению системы элективных курсов по этому предмету. Первая особенность связана с интенсивным характером межпредметных связей информатики с другими учебными предметами.

Еще одно положение, которое учитывалось нами, связано со следующим. По ведущей педагогической функции выделяют два типа курсов - фундаментальные и прикладные. Для фундаментальных курсов ведущей функцией провозглашается формирование научного мировоззрения, а для прикладных - подготовка к практической деятельности [1]. Направление дифференциации содержания курсов первого типа - фундаментальных - определяется применительно к предметным областям, являющимся ведущими для каждого конкретного направления специализации обучения в школе или классе. Основная задача курсов подобного типа - развитие научных представлений, формирование научного мировоззрения (с позиции информатики - системно-информационной картины мира), обогащение изучения основ других фундаментальных наук методами научного познания, привнесенными или развитыми информатикой (моделирование, формализация и т. д.).

Курсы информатики второго типа - прикладные - дифференцируются не по предметным областям, а по видам информационной деятельности. Основное назначение таких курсов - развитие навыков использования методов и средств информационных технологий в различных областях. Виды информационной деятельности человека (в том числе сбор, обработка, хранение информации) инвариантны конкретным предметным областям, поэтому основным критерием дифференциации содержания обучения здесь являются структура и компоненты информационной деятельности.

На основе проведенного анализа приведенных положений нами была построена многоуровневая система элективных курсов но информатике, которая, по нашему мнению, наиболее полно peaлизует функции элективных курсов в  учебном процессе, межпредметные связи, а также отражает существование фундаментальных и прикладных курсов.

Данная система состоит из нескольких блоков. Первый, наиболее общий блок - это деление элективных курсов на четыре группы по методическим функциям. Второй блок определяет содержательную сторону элективных курсов и делится на предметный элективный курс и межпредметный элективный курс. Третий блок определяется той составляющей информатики, которая реализуется в        элективном курсе, и делится на курс, развивающий навыки использования методов и средств информационных технологий в различных областях (прикладной), и курс, направленный на развитие научных представлений, формирование научного мировоззрения, использующий понятийный аппарат и методы информа тики в различных областях (фундаментальный).

В соответствии с выделенными типами можно построить иерархическую систему элективных курсов, где каждый и последующий блок входит в предыдущий, как бы раскрывая его (см. схему).

На первом уровне находятся курсы, поставленные в соответствие методическим функциям элективных курсов.

Каждый из типов первого блока делится на два типа курсов из второго блока - предметные и межпредметные. При проектировании межпредметных курсов необходимо в первую очередь определить, какой предмет является в данном случае «ведущим». От этого во многом зависит и деление этих типов курсов на группы следующего блока.

Третий блок, основанный на разделении курсов на фундаментальные и прикладные, используется для деления на типы межпредметных элективных курсов, так как в предметной группе используются как методы и понятия информатики (такая связь осуществляется, прежде всего, через фундаментальные понятия информационного процесса и информационной модели), так и средства информатизации.

Построенная система иллюстрирует возможность создания системы элективных курсов по информатике, наиболее полно и адекватно реализующей основные задачи элективных курсов в системе профильного обучения.

Содержательное и методическое построение элективного курса должно отличаться от общеобразовательного курса. Как и вузовский спецкурс, элективный курс в большей степени должен ориентировать учеников на новые формы работы, приближающие их к реальному исследовательскому или производственному процессу. К особенностям методики обучения элективным курсам следует отнести;

в большей степени ориентацию на самостоятельную работу учащихся;

применение проблемного, деятельностного подхода к обучению;

активное использование проектного метода.

Элективные курсы информатического содержания можно условно разделить на два типа. Первый тип - курсы со значительной теоретической компонентой, второй - практико-ориентированные курсы. Курсы первого типа связаны, прежде всего, с информационным моделированием в различных предметных областях; они развивают фундаментальную составляющую школьного базового курса информатики. Можно сказать, что курсы такого типа имеют предвузовский характер. Они стимулируют выпускника школы к продолжению обучения в вузе, развивают научные интересы, предоставляют возможность испытать себя в способности к самообучению, к решению нетривиальных задач.

Курсы второго типа ориентированы, главным образом, на изучение конкретных информационных технологий (издательские системы, компьютерная графика, мультимедиа, веб-дизайн и пр.). В результате их освоения складываются практические навыки, достаточные для применения в производственной деятельности, не требующей высшего образования.

Элективные курсы - обязательные курсы по выбору учащихся из компонента образовательного учреждения, входящие в состав профиля обучения. Элективные курсы выполняют три основных функции:

) "надстройки" профильного курса, когда такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным (а школа (класс), в котором он изучается, превращается в традиционную школу с углубленным изучением отдельных предметов);

) развития содержания одного из базисных курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных предметов на профильном уровне или получить дополнительную подготовку для сдачи единого государственного экзамена по выбранному предмету на профильном уровне;

) способствования удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Роль и значение образовательной области "Информатика" шире роли одного из общеобразовательных предметов и состоит также в интенсификации информатизации образовательного процесса в целом. Исследование моделей из курсов математики, физики, химии, биологии, экономики и собственно информатики в рамках данного курса позволит усилить межпредметные связи курса "Информатика и ИКТ" с другими общеобразовательными предметами.

Итак, рассмотрев несколько элективных и базовых курсов информатики в 10-11 классах, мы пришли к выводу о том, что элективный курс Н.Д.Угреновича предполагает создание моделей на языке Visual Basic и Delphi и практически совсем не уделяет внимания программе Ехсеll. Мы считаем, что для более полного освоения учащимися темы «Моделирование» необходимо разработать разноуровневые задания, которые дадут возможность заинтересовать учащихся и организовать более эффективную исследовательскую деятельность учащихся на уроках.

Кроме того, мы можем констатировать, что задания, предложенные в данном элективном курсе направлены не на исследование моделей, а например на составление моделей в различных языках программирования (Построить с использованием метода Монте-Карло формальную вероятностную модель «Бросание монеты»,с.129; создать компьютерную модель «Приближенное решение уроавнений-2», с.127 и т.д.).

С нашей точки зрения сами модели рассмотрены не совсем верно и оптимально, поэтому необходимо разработать вопросы и задания на исследование этих моделей.

Проанализировав эстетическую, литературу по теме исследования, мы пришли к следующим выводам:

Специфика содержания элективных курсов по информатике определяется рядом факторов. К числу важнейших из них следует отнести, пожалуй, четыре:

1.   интенсивный характер межпредметных связей информатики с другими учебными предметами, широкое использование понятийного аппарата, методов и средств, присущих этой отрасли научного знания, при изучении практически всех предметов;

2.       значение изучения информатики для формирования ключевых компетенций выпускника современной школы, приобретения образовательных достижений, востребованных на рынке труда;

.        исключительная роль изучения информатики в формировании современной научной картины мира, которая может сравниться по значимости в школьном образовании только с изучением физики;

.        интегрирующая роль информатики в содержании общего образования человека, позволяющая связать понятийный аппарат естественных, гуманитарных и филологических учебных дисциплин.

3) Сама суть элективных курсов как компонентов образования, прямо направленных на удовлетворение потребностей и интересов старшеклассников, на формирование новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов, требует иных подходов к их созданию. Об этой особенности элективов не следует забывать, иначе школьники рано или поздно разочаруются в них, потеряют к ним интерес. Если это так, то и методика обучения элективам в полной мере должна соответствовать этой специфике, отражать специфические задачи и функции элективных курсов в системе образования.

Глава II. Методическое обеспечение и организация исследования

.1 Организация и проведение констатирующего эксперимента

Проведя подробный анализ психологической, педагогической и методической литературы, мы пришли к выводу, что проблема разработки и использования на занятиях дополнительных заданий к элективному курсу по моделированию является актуальной.

Проанализировав психологическую, педагогическую литературу по теме исследования, выявив на основе анализа научной литературы состояние изученности проблемы исследования, понятийно-категориальное поле исследования и охарактеризовав методику разработки и применения дополнительных заданий к элективному курсу по моделированию, мы сформулировали гипотезу нашего исследования.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения школьников элективному курсу информатики использовать систему разноуровневых дополнительных вопросов и заданий, то это позволит:

1) повысить эффективность обучения элективному курсу информатики;

2) повысить познавательный интерес в области информатики и современной цифровой техники.

При этом мы предполагаем, что у учащихся средний уровень знаний по моделированию.

В качестве выборки мы взяли два десятых класса, в которых обучается по 25 человек. Оба класса работают по элективному курсу Н.Д.Угриновича «Исследование информационных моделей». В исследовании принимало участие 50 учащихся.

С целью выявления уровня знаний по информатике у учащихся 10-х классов был проведен констатирующий эксперимент на базе школы № 19 г. Красноярска. Исследование было проведено в январе 2009 г.

Для достижения цели исследования мы использовали тест, разработанный П.С. Красновым.

Тест по теме «Основные понятия моделирования»

1.       Предмет, процесс или явление, имеющее уникальное имя и представляющее собой единое целое, называют ...

1)моделью

2)объектом

3)алгоритмом

2.       Представление существенных свойств и признаков объекта моделирования в выбранной форме называется ...

1)моделированием

2)формализацией

3)систематизацией

3.       Замену реального объекта, процесса, явления его подходящей копией, реализующей существенные свойства объекта, называют ...

1)моделированием

2)формализацией

3)систематизацией

4.       Модель, по сравнению с моделируемым объектом, содержит ...

1)столько же информации

2)меньше информации

3)больше информации

5.       Выберите пару объектов, о которых можно сказать, что они находятся в отношении «объект - модель».

1)Космический аппарат - законы Ньютона и всемирного тяготения

2)Автомобиль - техническое описание автомобиля

3)А. С. Пушкин - Н. Н. Гончарова

6.       Моделью организации знаний можно считать ...

1)расписание уроков

2)оглавление учебника

3)список литературы

7.       Характеристиками графа какого вида являются вложенность, подчиненность и наследование?

1)Ориентированного

2)Древовидного

3)Взвешенного

8.       Граф какого вида изображен на рисунке?

1)Взвешенный

2)Древовидный

3)Ориентированный

9.       Подсистемой системы «Класс» является ...

1)"Школа»

2)«Школьная доска»

3)«Директор»

4)«Кабинет директора»

10.Дан список элементов нескольких систем:

а)       «Переключатель»;

б)      «Проводник»;

в)      «Кислота»;

г)       «Газовая плита»;

д)      «Диэлектрик»;

е)       «Кислород»;

ж)      «Колба»;

з)       «Конденсатор»;

и) «Амперметр»;

к) «Холодильник»;

л) « Электрометр »;

м) «Калий».

Элементами системы «Физика» как учебного предмета являются ...

1)а, г, к, е

2)а, б, з, и, к

3)а, б, з, и, л

4)а, ж, з, и, д, л, е

11.     В данном числовом ряду 15 13 16 12 17 11 ... определите следующую пару чисел:

1)10, 18

2)18, 10

3)10, 20

4)20, 10

12.     Лишним словом в предложенном списке:

а)       лопата,

б)      молоток,

в)      ботинок,

г)       грабли,

д)      стамеска

является слово:

1)б

2)в

3)г

4)д

13.     В предложенном списке

а)       библиотека,

б)      наука химия,

в)      тайга,

г)       система счисления,

д)      болото,

д)      самолет,

е)       облака,

ж)      кошка,

з)       книга,

и) вулкан

искусственными системами являются ...

1)б, в, ж

2)б, д, ж, к

3)б, д, ж, з, к

б, г, д, ж, з, к

Ответы

Обработка результатов.

Высокий уровень - 1-2 ошибки,

Средний уровень - 3-5 ошибок,

Низкий уровень - больше 5 ошибок

В результате проведения тестирования мы получили следующие данные: в контрольной группе 3 учащихся с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование», 17 человек - со средним уровнем и 5 человек с низким уровнем. В экспериментальной группе 3 учащихся имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 16 человек - средний и 6 человек - низкий уровень.

Таблица 1. Уровни проявления знаний по теме «Моделирование»учащихся контрольной и экспериментальной группы

Представим полученные данные в виде диаграммы:

Рис.1. Уровни проявления знаний по теме «Моделирование»учащихся контрольной и экспериментальной группы.

Таким образом, 12% детей контрольной и экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 64% детей экспериментальной группы - средний уровень, 20% учащихся контрольной и 24% учащихся экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в обоих классах преобладает средний уровень знаний по теме «Моделирование».

2.2 Методическая организация и проведение формирующего эксперимента

Данные констатирующего эксперимента свидетельствуют о том, что тема теме «Моделирование» не была изучена должным образом и, следовательно, требуется методическая разработка указанной темы с опорой на иные методы и средства обучения.

Цель работы: разработка системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

При разработке системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы мы учитывали, что моделирование учебных и реальных объектов, ситуаций и процессов в математике, физике, химии, биологии, экологии ставит учащегося в активную позицию исследователя, позволяет самостоятельно открывать законы и явления.

Развитие навыков построения моделей способствует решению задачи, имеющей общеобразовательную ценность, а именно развитию системного и логического мышления. Ведь процесс построения моделей требует помимо специальных знаний еще и особым образом развитого мышления.

Решение задач по моделированию процессов и явлений развивает мыслительную деятельность учащихся.

Под развитием мышления учащихся в процессе обучения психологи понимают формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработку умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другую.

В процессе построения модели учащиеся, отталкиваясь от общей формулировки задачи, выделяют существенные части моделируемой системы, исследуют свойства этих объектов, находят связи между ними, проводят компьютерные эксперименты и анализируют результаты моделирования. Практически все перечисленные выше процессы мыслительной деятельности прослеживаются при решении задач на составление моделей.

Умение выделять необходимую информацию и организовывать ее в структуру - важнейшее качество человеческого интеллекта.

Но важно не только уметь строить ту или иную модель, с моделью необходимо уметь работать, иначе для чего она строиться. Именно для этого и необходимо разработать систему дополнительных вопросов и разноуровневых заданий к уже существующему элективному курсу.

При подготовке работ рекомендуется использовать следующие типы заданий для оценки уровней учебных достижений учащихся:

Каждое задание определенного уровня оценивается баллами в соответствии с показателями оценки теоретической и практической подготовленности учащихся (с учетом наличия и характера допущенных ошибок). Балльный интервал оценивания одного задания для каждого уровня приведен в таблице.

Оценивание выполнения задания каждого уровня

Основными формами обучения компьютерному моделированию являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 3-4 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, где могут быть найдены вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.

Формой организации занятий при изучении нового материала рекомендуется лекция, охватывающая, как правило, весь урок. Применение лекционного метода целесообразно в следующих случаях [14]:

• при прохождении нового материала, мало или совсем не связанного с предыдущим;

• при сообщении учащимся сведений о практическом применении изученных закономерностей;

• при выводе сложных закономерностей с применением большого математического аппарата и ряда логических умозаключений;

• при проведении уроков проблемного характера.

Как следует заметить, перечисленные условия применения лекционного метода совпадают с условиями изучения профильных курсов, ориентированных на компьютерное моделирование, при исследовании очередной содержательной задачи и введении новой модели, что доказывает целесообразность его применения при изложении нового материала. Экспериментальное преподавание различных вариантов курса также подтверждает это.

После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы над предложенным заданием. Если моделей рассматривалось несколько, то работа ведется над одной из них по выбору учащихся или учителя, если одна - все работают над ней, различаться могут лишь конкретные задания (уровень сложности которых может зависеть от подготовленности соответствующего учащегося). В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.

Как отмечают практически все разработчики профильных курсов, ориентированных на моделирование, наиболее адекватным практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой являются компьютерные лабораторные работы. Экспериментальная апробация курсов моделирования подтвердила целесообразность применения такой формы организации занятий.

Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях [4]. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. Если имеется возможность, процесс представляется на экране ЭВМ в динамике. По окончании расчетов и получении результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.

Если результаты удовлетворяют ученика и учителя, то работа считается завершенной, и ее конечным этапом является составление отчета. Отчет включает в себя краткие теоретические сведения по изучаемой теме, математическую постановку задачи, алгоритм решения и его обоснование, программу для ЭВМ, результаты работы программы, анализ результатов и выводы, список использованной дополнительной литературы.

Когда все отчеты составлены, на зачетном занятии учащиеся выступают с краткими сообщениями о проделанной работе, защищают свой проект. Это является эффективной формой отчета группы, выполняющей проект, перед классом, включая постановку задачи, построение формальной модели, выбор методов работы с моделью, реализацию модели на компьютере, работу с готовой моделью, интерпретацию полученных результатов, прогнозирование. Действенность этой установки подтверждена на опыте. В итоге учащиеся получают две оценки: первую за проработанность проекта и успешность его защиты, вторую - за программу, оптимальность ее алгоритма, интерфейс и т.д. Также учащиеся получают отметки в ходе опросов по теории.

.3 Методика преподавания отдельных тем, входящих в различные курсы компьютерного моделирования

Обсудим методические проблемы изложения различных тем, из которых могут быть сконструированы курсы компьютерного моделирования. Порядок чередования этих тем достаточно произволен; варианты их объединения в целостный курс обсуждаются ниже в подразделе 15.5.

Тема «Введение в компьютерное моделирование»

Данное введение целесообразно построить в виде лекции, содержащей в доступной учащимся форме обзор основных принципов абстрактного (по другой терминологии - информационного) моделирования вообще и его реализации с помощью компьютеров. В этой беседе можно использовать, в частности, материал, изложенный в начале данной главы.

В ходе лекции учащиеся должны усвоить основополагающие знания о принципах моделирования, разновидностях компьютерного моделирования, основных этапах компьютерного моделирования.

Каждый из этапов, обозначенных на рис. 14.3, требует обсуждения. Учащиеся должны понять, что, приступая к построению модели, прежде всего надо знать ответ на вопрос: для чего нужна модель? как ей пользоваться? В зависимости от ответа могут получиться совершенно разные модели одного и того же объекта.

Добиться понимания можно, в первую очередь, на примерах из общеизвестных областей реальности. Сопоставим, например, три модели самолета: детскую игрушку, натурную модель для испытания в аэродинамической трубе и абстрактную модель в виде чертежей. Все они имеют право на жизнь, но назначение у них принципиально различное. Далее, могут быть и различные цели, приводящие к построению нескольких различных абстрактных моделей для последующего компьютерного моделирования: например, задачи, решаемые авиаконструктором, мало похожи на задачи, решаемые экономистом, которого заботит стоимость изделия, рентабельность производства и т.п.

Содержательное описание объекта (процесса) служит основой для дальнейшей формализации. Оно включает [18]:

• сведения о физической природе исследуемого объекта (процесса);

• сведения о количественных характеристиках элементарных составляющих объекта;

• сведения о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования рассматриваемой системы;

• постановку прикладной задачи, определяющей цели моделирования.

Формализованная схема объекта (процесса) является промежуточным звеном между содержательным описанием и моделью и разрабатывается тогда, когда из-за сложности исследуемого процесса непосредственный переход от содержательного описания к модели затруднен. Вид формализованной схемы зависит от типа моделирования. В следующих подразделах приведено несколько примеров формализованных схем.

Тема «Классификационные информационные модели»

Одна из задач изучения этой темы - дать учащимся введение в системологию, сформулировать отчетливое понимание терминов «система» и «структура». Вслед за этим последует отработка как содержательных, так и технических навыков структурирования информации на уровне, принятом в современной информатике.

Вводная лекция может быть посвящена следующим вопросам:

• что такое система и структура;

• о системах искусственных и естественных;

• что такое «системный подход»;

• о системологии и информатике.

Цель этой лекции состоит в подведении учащихся к осознанию фундаментальных понятий структура и система, а также к осознанию того, что организация любой системы, выделение в ней элементов и представление структуры имеют определенную целесообразность, подчинены назначению этой системы.

Наука уже давно пришла к выводу: все в мире системно, задача всякой науки - найти систему в тех объектах и процессах, которые она изучает. С помощью нескольких примеров, взятых из совершенно различных областей науки и практической деятельности (устройство Солнечной системы, периодическая таблица химических элементов, классификация животных и растений и т.д.), проиллюстрируйте эти утверждения.

Далее приведите примеры естественных и искусственных систем и характер связей в этих системах. Покажите, что в естественных системах неживой природы связи носят только материальный характер, а в системах живой природы существуют связи материальные и информационные. Уточните понятие информационная связь, принципиально важное для данного курса. Говоря об искусственных системах, выделите материальные системы, созданные человеком (техника, строительные сооружения, энергосистемы, искусственные материалы и др.), и отметьте, что связи в таких системах, как и в естественных, имеют материальный характер. Другой вид искусственных систем - это общественные системы, т.е. различные объединения людей. Конечно, между ними тоже есть определенные материальные связи (например, общее помещение, экономическая зависимость, родственно-генетические связи), но очень важны информационные связи - ни один коллектив, от семьи до государства, не может существовать без информационного обмена.

Следующий вопрос, изучаемый после завершения вводной темы - методология структурирования информации и построение классификационных моделей. На этом этапе не имеется в виду компьютерная реализация. Речь идет о принципах структурирования и соотнесения информации, а компьютерные программы (по существу, СУБД) изучаются на более позднем этапе. В этом отношении данный подход не является технологическим: основное внимание в нем уделяется принципиальным вопросам, а к технологиям переходим позже, используя их как орудие реализации классификационных моделей.

На данном этапе уместно подробнее остановиться на информационных моделях, отражающих процессы возникновения, передачи, преобразования и использования информации в системах различной природы. Начать целесообразно с определения основных понятий информационного моделирования, поясняя их примерами и закрепляя путем решения задач. Вначале целесообразно разобрать пример структурирования информации путем выделения элементов (характеристик) некоторого сложного объекта. При этом целесообразно построить несколько моделей одного и того же объекта.

Пример 1. Выделение характеристик.

Рассматриваемый объект - компьютер. Создадим несколько экземпляров описания, которые могут составить базу для построения информационной модели.

Экземпляр 1. Набор характеристик:

• фирма-изготовитель;

• место в компьютерной классификации (т. е. персональный, main-frame и т.д.);

• год изготовления;

• поколение.

Экземпляр 2. Набор характеристик:

• фирма-изготовитель;

• тип процессора;

• материнская плата;

• тип монитора;

• тип принтера.

Экземпляр 3. Набор характеристик:

• фирма-изготовитель;

• тактовая частота процессора;

• максимальная разрешающая способность монитора;

• объем ОЗУ;

• емкость винчестера.

Каждый из построенных экземпляров описания - простейшая информационная модель компьютера; совокупность экземпляров - также информационная модель. Модели эти несовершенны, так как в них нет важнейшего элемента - указания взаимосвязей между экземплярами и характеристиками.

Решение подобных задач на основе самого различного материала полезно и позволяет отработать навыки анализа, лежащего в основе построения информационных моделей.

Далее отрабатываем элементарные навыки выделения отношений между объектами, которые отражаются в информационных моделях как связи. Каждая связь задается в модели определенным именем. Связь в графической форме представляется как линия между связанными объектами и обозначается идентификатором связи.

Все связи в информационной модели требуют описания, которое включает, как минимум:

• идентификатор связи;

• формулировку сущности связи;

• вид связи (ее множественность и условность), способ описания связи с помощью вспомогательных атрибутов объектов.

Дальнейшее развитие представлений информационного моделирования связано с развитием понятия связи, структур, ими образуемых, и задач, которые могут быть решены на этих структурах. Так, простая последовательная структура экземпляров - не что иное как очередь (файл). Возможным обобщением являются циклическая структура, таблица, стек.

Отработку навыков моделирования с учетом связей, возникающих между характеристиками, можно начать, опираясь на знание учащимися некоторых структурированных типов данных языков программирования высокого уровня (как правило, опираясь на язык Паскаль).

Пример 2. Простейшие виды структурирования информации.

Задача ставится следующим образом. Имеется некоторая система (множество, совокупность) простых элементов (чисел, слов, знаков). Как расположить их относительно друг друга таким образом, чтобы было удобно найти потребовавшийся (произвольный) объект?

Обратите внимание учащихся, что речь идет о простом структурировании информации; задачи классификации появятся позднее. Напомните учащимся, какими свойствами отличаются стандартные структуры данных:

• упорядоченная - неупорядоченная;

• прямого доступа - последовательного доступа;

• однородная - неоднородная;

• статическая - динамическая.

Обсудите, как устроены основные структуры данных - массив, файл, запись, стек, очередь. После этого уместно провести рассуждение о том, как выбор структуры данных влияет на решение задач поиска и сортировки информации, опираясь на знания, полученные в базовом курсе.

В ходе разбора данного примера закрепляются начальные навыки классификации. Расположение однородных данных в виде массивов и т.д. - простейший пример классификации. С точки зрения системологии классификация есть структурирование исходного неупорядоченного множества. В результате структурирования появляется новое важнейшее свойство - обозримость.

Очень важную роль в информационном моделировании играет древовидная информационная модель, являющаяся одной из самых распространенных типов классификационных структур. Эта модель строится на основе связи, отражающей отношение части к целому. Очевидно, что такая связь является безусловной связью типа «один-ко-многим» и графически может быть изображена в виде дерева. Иерархическая древовидная структура естественным образом возникает, когда объекты или некоторые их свойства находятся в отношении соподчинения (вложения, наследования).

Пример 3. В задачнике [5] есть изображение родословного дерева первых русских князей. На рис. 14.4 изображена схема, представляющая часть этого дерева.

Обратите внимание учащихся на то, при каких обстоятельствах уместно такого рода моделирование, и на методику построения древовидных моделей. Возможность моделирования связана с наличием однозначно интерпретируемой связи «один-ко-многим». Соответствующие примеры нетрудно найти; кроме того, целесообразно задать их поиск учащимся (первым этапом может быть, например, построение генеалогического дерева собственной семьи по мужской линии).

Строится дерево, начиная с «главной» вершины - так называемого корня (или вершины первого уровня). Затем располагаются вершины второго уровня - они «подчинены» корню, но не друг другу. Их взаимосвязи друг с другом если и наличествуют, то не по тому виду связи, который положен в основу построения модели (так, на рис. 14.4 в основу построения положена связь «отец-сын», а связи типа «брат-брат» не учитываются).

Рассмотренное выше дерево - это частный случай графовой структуры. В целом же графы являются мощной основой для построения информационных моделей, решения огромного числа задач информационного моделирования.

Методика построения графовых моделей подразумевает первоначальное знакомство учащихся с элементами теории графов (если это знакомство не состоялось в базовом курсе информатики).

Вначале формируется представление о графе как специальной графической форме представления информации о составе и структуре системы. Вводятся понятия о вершинах и дугах графа, об ориентированном и неориентированном графе. Делается это с помощью примеров. Так, можно увязать первый из рассматриваемых примеров с обыкновенной картой дорог. На такой карте кружки - вершины графа, линии без стрелок - ребра. Расстановка стрелок была бы на таком графе неразумной, так как по дороге можно ездить в обе стороны.

Пример ориентированного графа можно дать с помощью схемы, отражающей иерархические родственные отношения. Достаточно видоизменить рис. 14.4, и он предстанет как ориентированный граф, на котором в вершинах записаны имена князей, а ребра изображаются стрелками - от отца к сыну.

Вообще, деревом называют любой граф, в котором нет петель, т. е. связанных по замкнутой линии вершин. Так, граф, связанный с картиной дорог, нельзя представить в виде дерева, а соответствующая система не является иерархической.

Геометрические построения различных графов следует отрабатывать в процессе выполнения заданий. Многие такие задания можно найти в задачнике [5].

Блок-схемы алгоритмов как графы. Учитывая характер изучаемого предмета, на этом этапе уместно вспомнить правила построения блок-схем алгоритмов (при структурной алгоритмизации) и интерпретировать их как графы. На блок-схемах вершины - действия, дуги - последовательность их выполнения. Например, на рис. 14.5 изображена схема алгоритма типа «развилка в цикле».

При углубленном изучении графовых структур после полуэмпирической отработки основных понятий возможно подойти к вопросу более детально. При этом вводятся понятия матрицы смежности, матрицы инцидентности и матрицы достижимости (см. литературу по теории графов). Цель введения этих понятий - обсуждение вопроса о вводе информации, представленной в виде графа, в компьютер. Построение указанных матриц позволяет реализовать ввод произвольного графа в числовом виде и его последующую обработку без привлечения графических средств.

Табличные информационные модели. Информационная модель, выраженная при помощи таблиц, является чрезвычайно распространенной. Табличные (реляционные) модели используют, когда элементы структуры относительно равноправны.

В базовый курс информатики чаще всего включено введение в табличные модели представления данных. Более детальное обсуждение методики построения табличных информационных моделей удобно совместить с обсуждением методики углубленного изучения темы «Базы данных», проводимой в главе 15 данного пособия.

Тема «Логико-лингвистические информационные модели»

Под логико-лингвистической моделью понимается среда для моделирования некоторого класса объектов. В этих моделях выделяют такие компоненты, как синтаксис, семантику, логику и правила вывода.

Данная тема открывает широкие возможности для изучения вопросов, пограничных в информатике и лингвистике. Как известно, лингвистика - наука о языке. Языки можно разделить на две группы: естественные и искусственные. Естественные языки (русский, английский и т.д.) мало формализованы; тем не менее свободное описание предмета или процесса на таких языках является своеобразной моделью этого предмета или процесса. Такую модель часто называют вербальной. В определенном смысле можно считать, что любое литературное произведение есть вербальная модель того явления, о котором оно написано.

Однако не всякое моделирование (равно как и не всякий информационный процесс) следует считать объектом приложения информатики. Непременным атрибутом языка, на котором строится любая информационная модель, является наличие формализации. Эта формализация может быть очень жесткой (например, язык программирования, в котором почти всегда перестановка двух рядом стоящих символов означает или изменение смысла фразы, или ее обессмысливание); формализация может быть существенно менее жесткой (например, при использовании языка математических формул). В информатике проблемы формализации языка играют важную роль. Большинство ученых, работающих в этой сфере, считают, что любой естественный язык формализован недостаточно для того, чтобы непосредственно строить информационные модели, причастные к информатике.

Недостаточная формализация живого языка препятствует эффективному решению таких задач, как машинный перевод, распознавание смысла текстов, вводимых человеком в диалоге «человек-компьютер» (и, как следствие, невозможность создать обучающие компьютерные программы столь же эффективные, как учитель-человек).

Во вводной беседе на эту тему уместно ввести учащихся в круг проблем искусственного интеллекта, связанных с моделированием в сфере языка: представление знаний, моделирование рассуждений, компьютерная лингвистика, машинный перевод. Цель - общее развитие учащихся, привлечение их внимания к принципиальным проблемам, имеющим в то же время большое прикладное значение.

Говоря о представлении знаний, следует обсудить вопрос: что такое «знание»? Затем, опираясь на имеющиеся у учащихся знания по программированию, уточните, что знания можно подразделить на декларативные и процедурные (способ изложения зависит от того, было ли у учащихся ранее знакомство с идеями, лежащими в основе декларативного программирования). Затем перейдите к вопросу о формах представления (моделирования) знаний и обсудите три типа формальных моделей: логическую, сетевую и продукционную.

В отношении чисто логической модели представления знаний уместно ограничиться сообщением о том, что этот путь существует, но в настоящее время потеснен другими. Исчисление предикатов, лежащее в основе логического моделирования знаний, является достаточно сложной математической теорией и рассматривать его в школьном курсе нецелесообразно, тем более что в современной практике компьютерного моделирования оно почти не используется.

Обсудите методику введения в сетевые модели представления знаний. Этот способ моделирования опирается на наглядные схемы и вполне доступен. Его основная идея состоит в том, что любое знание можно представить в виде совокупности объектов (понятий) и связей (отношений) между ними. На простом примере реализуйте такое представление и переведите его в графическую форму, а затем поручите учащимся выполнить такое моделирование (на самостоятельно выбранных примерах или предложенных учителем).

Пример. Рассмотрим следующий текст: «Из гаража выпущен на линию автобус. Он работает 8 часов и возвращается в гараж. В случае неисправности он следуют в ремонтную зону».

Выделим объекты, фигурирующие в этом примере: «автобус», «гараж», «ремонтная зона». Понятия: «работать 8 часов». Отношения: «выпустить на линию», «быть исправным», «быть неисправным», «вернуться в гараж». Теперь построим представление знаний, зафиксированных в этом тексте, в виде семантической сети, в которой понятия и объекты представлены в виде вершин сети, а отношения - в виде линий, связывающих соответствующие вершины (рис. 14.6).

В процессе построения модели обратите внимание учащихся на то, что любой текст, описывающий реальные ситуации, всегда можно смоделировать таким образом. Для подтверждения этого предложите им либо построить модели по представленным преподавателем текстам, либо - по собственным (не слишком сложным).

Непосредственно в ходе указанных построений у учащихся возникает представление о неоднозначности выполнения задания. Оно вполне справедливо: представление (моделирование) знаний с помощью семантических сетей действительно неоднозначно, что ограничивает применимость этого вида моделирования для решения практически важных задач.

При изучении данной темы возникает проблема отсутствия компьютерной поддержки. Поскольку профильный курс информатики без нее вряд ли возможен, то эта тема может рассматриваться лишь как часть профильного курса.

Продукционная модель представления знаний реализуется в виде ядра продукции, которое состоит из системы фраз типа «Если А то В» и некоторых вспомогательных элементов. На продукционном принципе моделирования знаний построен язык программирования Пролог, который (вместе с изучением самих принципов) вполне может быть темой профильно-ориентированного курса информатики. Соответствующие вопросы рассматриваются в подразделе 15.7.

Разговор о логико-лингвистических информационных моделях уместно использовать и для достижения иных, не указанных выше, общеобразовательных целей - для знакомства с компьютерной лингвистикой. Данная наука также связана с моделированием в сфере языка. Вопросы анализа текстов на естественном языке, машинного перевода, синтеза текстов на естественном языке могут стать темами для рефератов, докладов учащихся.

Язык программирования Паскаль как логико-лингвистическая модель. Любой язык программирования является логико-лингвистической моделью языка. Назначением такого языка является запись алгоритма решения задачи в виде, пригодном для ее реализации на ЭВМ.

Для изучения данной темы предпочтительным является язык высокого уровня. Так как Паскаль наиболее используем в обучении программированию, дальнейшие обсуждения ограничим им. Поскольку исполнителем программы является ЭВМ, построенная по законам математической логики, то текст любой программы должен быть однозначно интерпретируем. Двусмысленности, свойственные «естественному» языку, здесь неприемлемы. Язык программирования должен быть жёсток и по синтаксису, т. е. правилам приемлемого сочетания символов языка, и по семантике, т.е. смыслу, придаваемому каждой допустимой конструкции.

В силу этого встает проблема формального описания правил синтаксиса и семантики языков программирования. В «естественном» языке такая проблема тоже существует; по отношению к синтаксису она регулируется известными правилами правописания, по отношению к семантике - с помощью толковых словарей и т.д. Характерная черта «естественного» языка - принципиальная невозможность сформулировать эти правила полностью, так, чтобы однозначно исчерпать все возможные проблемы. Более того, письменный язык не вполне совпадает с устным, а один диалект естественного языка - с другим. Следует обратить внимание учащихся на то, что в этом проявляется не столько недостаток «естественного» языка, сколько его достоинство, возможность описать не только рационалистическую, но и эмоциональную сферу человека.

Проблемы формального описания искусственных языков (языков программирования) возникли при создании первых из них в конце 1940-х - начале 1950-х гг. Естественно, что для подобного описания нужен язык, стоящий «над» тем, который описывается - так называемый метаязык. Из двух чаще всего используемых профессионалами метаязыков в методическом плане представляется более подходящим и простым для понимания язык синтаксических диаграмм Вирта. Еще один методический довод в его пользу - изображение в виде специфического ориентированного графа, что создает некоторое единство при изучении информационных моделей.

Цель изучения синтаксических диаграмм состоит в показе идеи построения информационной логико-структурной модели известного учащимся языка. Не следует ставить задачи построения полного набора диаграмм, описывающих язык Паскаль (его можно найти в справочных изданиях).

Вначале проведите следующее рассуждение. В любом языке есть изначальные базовые понятия, которые нуждаются не в разъяснении, а в перечислении. В русском языке, например, это буквы кириллицы - они просто есть и не несут особой смысловой нагрузки. В Паскале такую роль играют символы, составляющие алфавит языка, и служебные слова. Признаком такого не нуждающегося в разъяснениях объекта в синтаксической диаграмме является то, что он заключен в овал (или кружок):

Все остальные объекты на синтаксической диаграмме заключаются в прямоугольники. Каждый такой объект нуждается в точном однозначном определении того, что он означает; соответствующее определение дается отдельной для каждого объекта синтаксической диаграммой.

Примеры построения синтаксических диаграмм начните с простейших понятий языка. Например, таким примером может быть понятие «программа»:

Важную роль на диаграмме играют линии, соединяющие отдельные объекты. В предыдущем примере в этот смысле все просто: линия со стрелкой - направление перемещения по диаграмме. Однако эти линии могут раздваиваться; всякое раздвоение передается словом «или» и означает возможность двигаться по любой ветви. Приводим диаграмму понятия «заголовок», взятую из базовой версии языка Паскаль (обратите внимание учащихся, что пока нет диаграмм для каждого из объектов языка, кроме базовых, описание его не закончено, рис. 14.6):

С помощью этой диаграммы отрабатываем правильное понимание раздвоений линий. То, что после прямоугольника со словом «идентификатор» линия раздвоилась, означает, что далее следует или символ «точка с запятой», или скобка - в зависимости от смысла выстраиваемой конструкции. Поскольку учащиеся знают основы Паскаля, то на этом этапе методически целесообразно привести примеры содержательных конструкций заголовка - как верные, так и неверные синтаксически:

a) program rt; б) program n2 (а,b8); в) program xu (.

Вариант в) очевидным образом неверен, но надо доказать это, «проведя пальцем» по синтаксической диаграмме. В этом примере мы использовали то, что учащиеся фактически знают: как можно и нельзя строить идентификаторы. Однако следует подчеркнуть, что пока мы не изобразим синтаксическую диаграмму понятия «идентификатор», наши действия по анализу примера не являются формально полными. Соответствующая диаграмма очень проста:

Методически полезно сопоставить диаграмму с попыткой точного словесного определения, эквивалентного диаграмме. Так, в случае понятия «программа» такое определение очень легко привести: «Программа состоит из последовательно идущих заголовка, блока и точки». Однако словесные эквиваленты быстро усложняются, а иногда становятся неоднозначными. Для доказательства поручите учащимся сформулировать словесно, например, понятие «заголовок».

С еще большей очевидностью полезность и однозначность лингвистического моделирование понятий Паскаля проявляется на более сложных конструкциях. Разберите, например, знакомую учащимся конструкцию «оператор множественного ветвления» (рис. 14.7):

Ее полный словесный пересказ весьма длинен, затруднителен и к нему, как правило, можно придраться в связи с неоднозначностью - начинает сказываться неформализованность «естественного» (в данном случае русского) языка. Сделайте попытку сопоставления; в качестве домашнего задания можно поручить учащимся проделать то же в отношении различных понятий Паскаля, снабдив их при этом соответствующими синтаксическими диаграммами.

В конце изучения данной темы уместно связать однозначность языка программирования, наличие строгого описания смысла конструкций, с процессом трансляции программ. Вопрос этот достаточно сложен, но нетрудно добиться осознания того, что в трансляторе все эти правила заложены и что лексический, синтаксический и семантический анализ текста программы является частью процесса трансляции, так как каждый из учащихся имеет опыт отладки простых программ и видел, что происходит при наличии ошибок.

Язык управления учебными исполнителями как логико-лингвистическая модель. Другие логико-лингвистические модели, вполне доступные для изучения, связаны с многочисленными учебными исполнителями. Их использование при изучении информатики является методически полностью оправданным, особенно на ранних этапах.

Обсудим план построения соответствующей беседы (урока), базируясь на Черепашке ЛОГО - одном из самых популярных учебных исполнителей. Цель урока - не изучение языка ЛОГО (предполагается, что учащиеся с ним знакомы), а выявление его как логико-лингвистической модели. Однако этот урок вполне уместно сопроводить работой за компьютером.

Итак, выбрав некоторую версию «Черепашки» (они довольно сильно различаются друг от друга), начнем разговор о том, что Черепашка ЛОГО есть простейшая модель объекта, который может:

• перемещаться по некоторому полю в заданном направлении на заданное расстояние;

• менять направление перемещения;

• реагировать на достижение границы поля;

• оставлять или не оставлять за собой след.

Кроме того, «Черепашка» может выполнять достаточно сложные логические предписания (движения в зависимости от условий, циклические движения).

Методически урок может быть построен следующим образом.

. Напомните учащимся о ЛОГО.

. Сопоставляя движение реальной черепахи с Черепашкой ЛОГО, обсудите, в каком смысле второе является моделью первого (цели моделирования, какие сделаны огрубления и т.д.).

. Постройте метаязык, описывающий язык управления ЛОГО-черепашкой. Аппаратом для этого может быть язык синтаксических диаграмм Вирта. Возможная последовательность действий:

• выявите базовые понятия языка ЛОГО;

• выявите основные конструкции;

• постройте набор синтаксических диаграмм (частично или полностью, в зависимости от ситуации).

Тема «Технология компьютерного математического моделирования»

Целесообразно вводные занятия по этой теме проводить в виде беседы, привлекая знания учеников по различным общеобразовательным дисциплинам, их жизненный опыт. Изложение необходимо иллюстрировать большим количеством примеров.

Особая роль первого раздела заключается в том, что здесь повторяются и обобщаются основные понятия компьютерного математического моделирования (КММ), известные из базового курса информатики, вводятся новые - «моделирование», «информационное моделирование», «математическое моделирование», «формализация», «идентификация модели» и др.

Другой важный аспект темы - формирование представления об этапах компьютерного математического моделирования. Здесь, с одной стороны, фигурируют приведенные выше понятия, с другой - присутствует полная технологическая цепочка КММ. Конечно, все эти этапы будут неоднократно повторяться при исследовании конкретных процессов (объектов), но основы закладываются именно на вводных занятиях. Действительно, одним из условий успешного усвоения учащимися систематического курса КММ является наличие у них хорошо развитых представлений об этапах КММ, о значении каждого из этапов.

При обсуждении этапов КММ можно использовать общую схему абстрактного моделирования, изображенную выше на рис. 13.4. Обсуждение следует конкретизировать, учитывая особенности именно математического моделирования.

Формализованная схема является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью и разрабатывается в тех случаях, когда из-за сложности исследуемого процесса переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным. На этапе построения формализованной схемы должна быть дана точная математическая задача исследования с указанием окончательного перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей.

Прежде всего составляется список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также список тех величин, которые желательно получить в результате моделирования.

Обозначив первые (входные) величины через х₁, х₂, ..., х_n,а вторые (выходные) через y₁, y₂, …, y_k, можно поведение объекта или процесса символически представить в виде

y₁ = F_j(x₁, х₂, ..., х_n) (j = 1, 2, ..., k),

где F_j символически обозначает некоторые математические операции над входными величинами.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием. Чаще всего невозможно, да и не нужно, учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин у}. От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Отбрасывание менее значимых факторов огрубляет модель и способствует пониманию главных свойств и закономерностей объекта моделирования.

На этапе перехода от формализованной схемы к математической модели необходимо перейти от абстрактной формулировки к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстанет перед нами в виде уравнения, системы уравнений, неравенств, матриц, дифференциальных уравнений и т.д.

В беседе следует подчеркнуть тот факт, что математическое моделирование отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограничены и, как правило, гораздо сложнее численных. Поэтому при проведении занятий по КММ в школе следует пользоваться численными методами, реализуемыми на компьютерах. Это создает определенное методическое единство курса и заметно снижает барьер необходимой математической подготовки учащихся. Разумеется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование, но можно попытаться в школьной практике ограничиться лишь простейшими из них.

И, наконец, после изучения этого раздела учащиеся должны уяснить подходы к классификации компьютерных математических моделей. Как известно, бывают классификации моделей по используемому математическому аппарату, по отраслям наук и т.д. Наиболее органичной представляется классификация по целям моделирования. Действительно, выделение целей моделирования - это первое, что необходимо сделать перед содержательным описанием и формализацией объекта (процесса), и в конечном итоге именно цели моделирования определяют, какая модель будет построена. При этом важно подчеркнуть, что в зависимости от целей моделирования и выбранных факторов для одного и того же процесса можно получить существенно различающиеся математические модели. Учителю следует привести примеры постановки задач, приводящих к моделям, относящимся к основным классам: дескриптивным, оптимизационным, многокритериальным, игровым, имитационным.

Тема «Моделирование физических процессов»

Эта тема фигурирует в нескольких вариантах курса компьютерного моделирования. Причина - традиции и относительная простота решаемых задач, их близость школьному курсу физики.

Как правило, эта тема является началом к изложению компьютерного моделирования в физике. Поэтому ей может предшествовать вводная лекция (беседа) о компьютерном моделировании физических процессов в целом.

В начале на ряде примеров проиллюстрируйте утверждение, что физика - наука, в которой математическое моделирование является чрезвычайно важным методом исследования. Причину этого в целом можно сформулировать так: при максимальном проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактического сращивания этих наук, реальные возможности решения возникающих математических задач традиционными методами очень ограничены.

Во многих вариантах курса компьютерного моделирования математические модели в физике по праву занимают больший объем по сравнению с другими, и на их изучение отводится большее количество времени. Действительно, создание той или иной модели физического процесса является естественным и не требует некоторых искусственных приемов, к которым часто приходит прибегать в других предметных областях. Поэтому восприятие этих математических описаний процессов или явлений не вызывает у учащихся, по крайней мере, психологических трудностей. В профильном курсе, ориентированном на учащихся, специализирующихся по физико-математическому и естественнонаучному профилю, целесообразно наибольшее внимание уделить именно моделям физики.

Перечень рассматриваемых вопросов может быть таков:

• движение тел с учетом сопротивления среды;

• движение маятника с учетом сопротивления среды, вынужденные колебания, резонанс и т.д.;

• движение небесных тел (задача двух тел);

• движение электрических зарядов;

• теплотомассоперенос (на примере процесса теплопроводности в линейном стержне).

Номенклатура компьютерных математических моделей в физике может ориентироваться на подготовленность и интересы учащихся, их специализацию в том или ином разделе физики.

Цели обучения:

• ввести в КММ на примере моделей из области физики;

• отработать схемы вычислительного эксперимента на сравнительно простых, знакомых по курсу физики задачах.

Поставленные задачи обучения считаются успешно выполненными, если у учащихся вырабатывается комплекс указанных ниже знаний, умений и навыков.

Изучение каждой новой содержательной задачи и, как следствие, получение новой математической модели требует мотивировки целесообразности ее введения. Мотивировка может, во-первых, опираться на жизненный опыт учащихся, во-вторых, достигаться путем разрешения проблемной ситуации.

Моделирование процессов движения тел в среде. При моделировании процесса движения тела, прежде всего, целесообразно рассмотреть традиционные для школьного курса физики динамические модели, но с учетом сопротивления среды. Это свободное падение тела, полет тела, брошенного под углом к горизонту, движение тела с переменной массой. При этом составляющие силы сопротивления можно рассмотреть предварительно, перед изучением конкретных моделей либо в ходе построения одной из моделей.

Более детально обсудим методику построения компьютерных математических моделей физических процессов и их последующего исследования на примере нескольких задач.

Первая из них - моделирование свободного падения тела с учетом сопротивления среды. Основная дидактическая роль этой наиболее простой задачи - практическое знакомство с этапами компьютерного математического моделирования, освоение этих этапов, приобретение навыков формулирования и разрешения учебных проблем, проблемных ситуаций. Несмотря на то, что на первый взгляд она является простой, при ее исследовании придется решить ряд серьезных проблем, о чем будет сказано ниже.

В ходе обучения обязательно придется пользоваться понятиями «предел» и «производная». Понятие «предел» не вызывает существенных затруднений; в контексте данного обсуждения вполне достаточно интуитивного понимания предела, сформированного у учащихся к X классу.

Не совсем так обстоит дело с понятием «производная». Возможны две ситуации:

) учащиеся вполне владеют понятием и дифференциальная форма записи второго закона Ньютона (и последующих при решении конкретных задач дифференциальных уравнений) будет им понятна (при этом никакой техники дифференцирования, тем более решения дифференциальных уравнений, не требуется);

) учащиеся не знакомы с этим понятием; в этом случае необходимо сделать математическое отступление и пояснить понятие «производная», на что, как показывает опыт, вполне достаточно одного урока.

Другая методическая проблема, которую необходимо решить, - строить модели динамических процессов в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений. Как показывает практика, учащиеся физико-математических классов вполне способны воспринять дифференциальные уравнения и численные методы их решения. Для этого достаточно ввести дифференциальные уравнения и объяснить простейшие численные методы их решения, базируясь на физическом и геометрическом смысле производной.

При использовании численных методов интегрирования дифференциальных уравнений разумно рассмотреть явные схемы невысокого порядка (не выше второго); если кто-либо из учащихся проявит интерес именно к методам решения систем дифференциальных уравнений и их устойчивости, то следует предложить им самостоятельно изучить литературу, где излагаются явные методы более высокого порядка либо неявные схемы. Такой подход подтвердил свою жизнеспособность.

При изучении динамических процессов в менее подготовленной аудитории рекомендуется ограничиться конечно-разностными уравнениями. Любую модель из рассмотренных ниже можно сформулировать в конечно-разностном виде, вообще не упоминая о дифференциальных уравнениях (примеры далее приводятся).

Свободное падение тела с учетом сопротивления среды. В этой и многих других физических задачах, на основе которых строятся модели, фундаментальную роль играет второй закон Ньютона - основа динамики. Формулируем его вначале в «школьной» форме, а затем, чтобы исследовать реалистические ситуации, необходимо подвести учащихся к более общей математической форме. Проводим следующее рассуждение: если движение происходит с переменной скоростью, то, как известно учащимся, для его характеристики привлекаются два понятия: средняя скорость за не который промежуток времени ∆t, равная отношению, где

∆S - пройденный путь и мгновенная скорость в данный момент времени t, которая на математическом языке записывается как . Точно так же при движении с постоянным ускорением можно ввести два понятия - среднее ускорение за время ∆t, равное, и мгновенное ускорение в момент t:

.

В стандартных математических обозначениях,, т. е. мгновенная скорость есть производная от перемещения по времени, а мгновенное ускорение - производная от скорости по времени. Второй закон Ньютона в уточненной редакции утверждает: ускорение, с которым движется тело в данный момент времени, пропорционально действующей на него в этот момент силе и обратно пропорционально имеющейся в данный момент у тела массы:

 и  (1)

разные записи этого утверждения.

Приведенное рассуждение является типичным для этой темы обоснованием перехода от дискретного к непрерывному.

Далее отмечаем, что при реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Очевидно, что предмет, сброшенный с большой высоты (например, парашютист, прыгнувший с самолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере Набора скорости возрастает сила сопротивления среды.

Поясните учащимся, что закономерности, связывающие силу сопротивления со скоростью движения тела, носят эмпирический характер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. Приведите эти закономерности (при этом вполне достаточно ограничиться линейной и квадратичной по скорости составляющими силы сопротивления: ,F_сопр = k₁∙υ + k₂ ∙ υ²).

Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математическая модель движения - это уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело - силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленную вертикально вниз, получаем:

 (2)

При выводе уравнения целесообразно изобразить на рисунке силы, действующие на тело; это будет способствовать наилучше-

му восприятию полученного уравнения и не вызовет дополнительных вопросов.

Вопрос, который следует обсуждать на первом этапе, таков: каков характер зависимости скорости от времени, если все параметры, входящие в последнее уравнение, заданы? При такой постановке модель носит сугубо дескриптивный характер.

На этом этапе возникает вопрос о способах решения дифференциальных уравнений. Очевидный ответ: универсальные методы их решения - численные. Для начала вполне достаточно ограничиться методом Эйлера. Проводим следующее рассуждение: если на основании определения производной заменить ее в уравнении (2) конечно-разностным отношением , то, зная скорость υ₀ в начальный момент времени t = 0 и обозначив ее как υ_l в момент ∆t, перепишем уравнение в виде

 (3)

Если далее понимать под υ₁ приближенное значение скорости в момент ∆t, то получим формулу для вычисления υ₁:

 (4)

Это и есть формула метода Эйлера.

Далее рассуждение ведется по индукции. Располагая значением υ₁, можно, отталкиваясь от него, найти υ₂ и т.д. Общая формула метода Эйлера применительно к данной задаче такова:

Возникает следующая проблема: до каких пор проводить расчеты? В данной задаче естественным представляется ответ: до падения тела на землю. Для обнаружения этого события необходимо рассчитывать не только скорость, но и пройденный путь. Поскольку перемещение связано со скоростью соотношением , то, проводя схожие с приведенными выше рассуждения, приходим ко второму разностному уравнению s_n+l=s_n + υ_n ∙∆t, решаемому одновременно с первым. Иначе говоря, мы применили метод Эйлера к системе дифференциальных уравнений. Решая эту систему при заданных начальных условиях υ(0) = υ0, s(0) = s₀ получим таблицу значений функций υ(t), s(t).

Важные, тесно связанные между собой методическая и содержательная проблемы - это контроль точности и выбор шага по времени ∆t. Казалось бы, чем меньше шаг, тем точнее решение, но, во-первых, это утверждение не является вполне верным (причины обсудим ниже), а во-вторых, при очень мелком шаге расчетов «результатов» слишком много и они становятся необозримыми. Отсюда возникает еще одна методическая проблема: как выбрать шаг по времени для вывода значений перемещения и скорости на экран. Этот шаг выбирается из соображений разумной достаточности информации и обозримости представления результатов на экране; из практических соображений удобно, если он кратен ∆t (реально шаг вывода результатов может составлять десятки и сотни ∆t).

Кроме того, ставится задача: представить полученные результаты в наиболее удобном для восприятия виде. Это могут быть графики зависимостей υ(t), s(t); изображение процесса падения в динамике (здесь возможны вариации).

Как отмечалось выше, если математическая подготовка учащихся недостаточна, проводить моделирование на основе дифференциальных уравнений затруднительно и нецелесообразно. Возможный выход - использование конечно-разностных уравнений. К построению модели и учету факторов, влияющих на изучаемое явление или процесс, подходим на должном уровне строгости, но предельный переход не выполняем, останавливаемся и записываем вместо дифференциальных соответствующие конечно-разностные уравнения. Проведем соответствующее несложное рассуждение, в котором упоминание о дифференциальных уравнениях отсутствует полностью.

Вспомним, что ускорение есть приращение скорости, а скорость - приращение перемещения:. Знаки приближенного равенства свидетельствуют о том, что эти соотношения тем точнее, чем меньше промежуток ∆t; в пределе ∆t → 0 они становятся точными.

Если в некоторый момент времени t₀ величина s имеет значение s₀, а величина υ - значение υ₀, то в некоторый последующий момент времени t₁= t₀ + ∆t будем иметь:

,

Здесь введены обозначения F₀ = F(t₀, υ₀, s₀), m₀ = m(t₀, υ₀,s₀).

При вычислениях значений υ и s в последующие моменты времени можно поступать аналогично (6). Так, если известны значения υ_i, и s_i, в момент t_i, то

,

На самом деле мы, естественно, пришли к формулам метода Эйлера, но методически иначе, даже не упоминая о дифференциальных уравнениях.

При построении этой и подобной ей моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в разбиении непрерывного времени на отрезки длиной At проявляется одна из фундаментальных идей информатики об универсальности дискретной формы представления информации, отраженная как в конструкции компьютера, так и во множестве приложений информатики.

Вопрос о выборе конкретного значения ∆t весьма непрост и определяется следующими соображениями. При компьютерном моделировании мы можем получить решение задачи о движении тела на некотором конечном отрезке времени [t₀, Т]. Чем меньше величина ∆t:

а) тем больше вычислений требуется, для того чтобы пройти весь заданный временной интервал;

б) тем выше точность в передаче значений непрерывных функций s(t), υ(t) их дискретными представлениями - наборами чисел s_i=s(t_i), υ_i=υ(t_i)

Вопрос о точности результатов является в описываемом моделировании одним из центральных. Он распадается на два: как оценить эту точность и можно ли, уменьшая ∆t, достигать все большей точности?

Остановимся вначале на первом. Теоретические оценки точности слишком сложны и на практике часто неприменимы. Самый популярный эмпирический прием оценки точности заключается в следующем: отрезок [t₀, Т] проходится с некоторым шагом ∆t, а затем с существенно меньшим (например, в два раза) шагом. Сравнение результатов в точках t₁; t₂, ..., T позволяет составить представление о реальной точности результатов. Если она недостаточна, то следует повторить процесс с еще меньшим шагом.

Однако уменьшение ∆t, как ни странно, не всегда ведет к улучшению результатов моделирования. Одна из причин в том, что чем меньше шаг, тем больше арифметических действий и тем больше шансов увеличить чисто вычислительную погрешность округления, всегда сопутствующую компьютерным вычислениям. Другая причина глубже и связана со способом дискретизации - перехода от описания реально непрерывного процесса движения тел к описанию по простейшим формулам (4) - (7). Обе вместе могут привести к неустойчивости решения, т. е. получению результатов, не имеющих реально ничего общего с истинными. Обычно неустойчивость становится заметной при повторениях процесса с уменьшением шага ∆t. Способы дискретизации, ведущие к более устойчивым методам решения таких задач, описаны в литературе (см., в частности, [5, 9]).

Отметим, что существует немало компьютерных программ, моделирующих простые физические процессы. У них реализован, в той или иной мере профессионально, диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако при их использовании остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как иллюстративные. Поэтому более целесообразно нацеливать учащихся на самостоятельную разработку программ.

В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться прикладной программой (например, табличным процессором или математическим пакетом типа MathLab, что, впрочем, уже потребует дополнительных усилий).

Для того чтобы продемонстрировать учащимся практическую значимость решаемых задач, построенных математических моделей, целесообразно предложить содержательную проблему, для решения которой необходимо применить построенную модель, предварительно формализовав задачу и выполнив ранжирование факторов. В качестве такой содержательной задачи может, например, выступать задача о полете парашютиста. Проведем детальное моделирование. Перед тем как его начинать, необходимо решить вопрос об удобных способах представления результатов. Разумеется, колонка чисел, выдачи которой проще всего добиться от компьютера при численном моделировании, желательна. Однако слишком много чисел в колонке быть не должно, их трудно будет воспринимать, поэтому шаг, с которым заполняется таблица, вообще говоря, гораздо больше шага, с которым интегрируется дифференциальное уравнение, т.е. далеко не все значения υ_i, найденные компьютером, следует записывать в результирующую таблицу.

Кроме таблицы необходим график зависимости υ(t); по нему хорошо видно, как меняется скорость со временем, т. е. происходит качественное понимание процесса.

Еще один элемент наглядности может внести изображение падающего тела через равные промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скорости расстояния между изображениями станут равными. Изображениям в разные моменты можно придать разный цвет - от «холодного» зеленого при относительно малых скоростях до «горячего» красного при высоких скоростях - прием условных цветов, широко используемый в современной научной графике.

Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом - скажем, через каждый метр или 100 метров, смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, с ростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются.

Решение будем выполнять до тех пор, пока парашютист не опустится на землю. Шаг интегрирования дифференциального уравнения можно подобрать методом проб и ошибок, решая уравнение несколько раз, начав, например, с заведомо большого значения ∆t= 0,1 си постепенно уменьшая его до тех пор, пока качество решения не станет приемлемым.

Полное моделирование включает изучение временной зависимости не только скорости, но и пройденного телом пути. Не сделав последнего, можно в конкретных ситуациях получить бессмысленный физически результат. Например, парашютист прыгает с самолета и через некоторое время достигает вполне безопасной для приземления скорости 10 м/с. Но сколько он перед этим пролетел? Если это расстояние много больше высоты, с которой состоялся прыжок, то фактическая скорость приземления много выше, и это ничего хорошего не сулит.

Компьютерная реализация этой модели может быть выполнена программированием как на традиционном языке программирования (Паскаль, Бейсик и др.), так и, например, в электронных таблицах. Частичное тестирование программ можно проводить при k₂= 0, т.е. для движения без трения. Решение в этом случае очевидно (свободное падение).

Как отмечалось выше, методически целесообразным бывает использование табличных процессоров для моделирования. Результаты решения подобных задач обязательно следует иллюстрировать графиками зависимости скорости и перемещения от времени (если же движение неодномерно, тот и изображениями траекторий). Разумеется, предпочтительным является построение графиков программным путем. Если учащиеся реализуют программы на языке программирования, то проще всего заложить в программу еще и построение графиков; если решение реализуется в электронной таблице, то можно воспользоваться заложенными в эти программы графическими возможностями.

Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводятся вычисления (снизив при этом точность вычислений). Табличный процессор позволяет представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей получить результаты двумя способами: с помощью табличного процессора и составлением собственной программы - для того, чтобы затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из способов.

Модели свободно падающего тела можно придать черты оптимизационной, поставив задачу, например, так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в k₂), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких исследований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказанных условиях.

Таким образом, в методическом плане рассмотренная модель выигрышна, поскольку, несмотря на свою простоту, позволяет обсуждать множество связанных с ней проблем.

При выполнении компьютерной лабораторной работы по исследованию модели можно предложить разноуровневые учебные задания (рассчитанные, соответственно, на «среднего» и «сильного» ученика):

) получить результаты и их графическое отображение для заданного набора параметров модели;

) исследовать свободное падение тела в средах различной вязкости и провести содержательное сравнение результатов исследования;

) придать модели черты оптимизационной (самостоятельно или с помощью учителя), выполнить указанные исследования, провести содержательное сравнение результатов исследования.

По использованной здесь схеме могут вводиться и исследоваться другие модели, где учитывается сопротивление среды. При этом уже нет нужды отвлекаться на изучение численных методов решения систем дифференциальных уравнений, поскольку это достаточно проделать аккуратно только один раз, скажем, на примере рассмотренной выше модели.

Перечислим модели движения тела в среде, которые допускают достаточно простое исследование:

• движение тела, брошенного под углом к горизонту, с учетом сопротивления среды;

• взлет ракеты (особенность - масса тела меняется в ходе движения);

• различные задачи на прицельную стрельбу при движении «снаряда» в среде (в воздухе, под водой и т.д.).

Многие такие задачи сформулированы в пособии [6].

При моделировании движения тел эффективным методическим приемом является обезразмеривание величин, входящих в математическую модель. Обезразмеривание заключается в том, что вместо абсолютных единиц системы СИ (или какой-либо другой) переходят к относительным единицам, естественным именно для данного движения. При этом существенно их правильно выбрать. Например, при изучении движения тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления среды легко получить выражения для дальности полета по горизонтали L, максимальной высоты полета Н, полного времени полета Т (отсылаем к школьным учебникам физики). Введем новые переменные для скорости, перемещения и времени. Будем измерять х- и y-компоненты скорости относительно ее начального значения, перемещение в горизонтальном направлении - относительно L, в вертикальном - относительно H, время - относительно Т. Это означает введение новых переменных, которые обозначим так:

,,,,.

Переходя в дифференциальных уравнениях модели к новым переменным, получаем в них безразмерные комбинации параметров, определяющих закономерности движения.

Смысл этой деятельности заключается в следующем. Во-первых, следует подчеркивать большую естественность в использовании относительных (безразмерных) единиц измерения физических величин, нежели абсолютных. Диапазон значений безразмерных величин неширок, в данной задаче, очевидно, что в любой момент

времени в ходе движения тела V_x, V_y, X, Y, τ < 1. Это удобно, особенно при решении задач в которых значения (размерных) переменных изображаются очень малыми или очень большими числами. Получив, например, в какой-то момент значение X = 0,3, мы понимаем, что это составляет 0,3 от максимального движения по горизонтали в отсутствие трения, т.е. всякий раз чувствуем смысл, чего не скажешь, получив, например, значение х = 26 м/с.

Важнейшая роль обезразмеривания - установление законов подобия. У изучаемого движения есть множество вариантов, определяемых наборами значений параметров, входящих в исходные уравнения или являющихся для них начальными условиями. После обезразмеривания переменных появляются безразмерные комбинации параметров, фактически определяющие характер движения. Если изучаются два разных движения с разными размерными параметрами, но такие, что значения безразмерных параметров одинаковы, то движения будут качественно одинаковы (подобны). Число таких комбинаций обычно меньше числа размерных параметров, что тоже создает удобство при полном численном исследовании всевозможных ситуаций, связанных с этим процессом.

Сделаем оговорку: обезразмеривание - полезный методический прием. Однако если учащиеся испытывают трудности с его пониманием и использованием, настаивать на этом необязательно; те же по существу результаты можно получить и при использовании уравнений в размерных переменных.

Моделирование колебательных движений. В этой и в последующих обсуждаемых моделях практически откажемся от записи формул; математические формулировки можно найти в указанной ниже литературе (например, пособиях [5, 8]).

Колебательные изменения значений величин встречаются в естественных (природных и общественных) и искусственных (технических) системах столь часто, что, несомненно, заслуживают внимания при изучении компьютерного математического моделирования.

По традиции изучение колебательного движения чаще всего начинается с так называемого математического маятника - идеализированной системы, состоящей из тела массы m, прикрепленного к концу жесткого «невесомого» стержня длиной l, верхний конец которого вращается без трения в точке подвеса. Поскольку его движение при малых амплитудах описано в школьных учебниках физики и полностью поддается исследованию аналитически, без привлечения компьютера и численных методов, то методически целесообразно, отметив указанное выше обстоятельство и напомнив учащимся основные результаты, связанные с малыми (гармоническими) колебаниями (для удобства эти формулы приведены ниже), перейти к рассмотрению модели движения математического маятника при произвольном (не малом) начальном угле отклонения.

Процедура вывода уравнения движения маятника описана во многих руководствах. Процесс описывается либо в дифференциальной, либо в конечно-разностной формах. Переменной, относительно которой записаны уравнения, является θ - угол отклонения нити от положения равновесия. В случае колебаний с малой амплитудой в одном из уравнений можно приближенно заменить sin(θ) на θ. Задача о малых колебаниях имеет простое аналитическое решение, приводимое в школьных учебниках физики. Приводим это решение (гармонические колебания) и обсуждаем его свойства.

Далее ставим задачу исследовать процесс колебаний математического маятника с немалой амплитудой. Она может включать ряд частных заданий; первым из них может быть установление зависимости периода колебаний от начальной амплитуды и его отклонение от периода малых колебаний.

Весьма интересным и полезным, с точки зрения развития учащихся и получения дополнительных знаний, может стать введение представлений о гармоническом анализе. Поскольку никакое регулярное введение в теорию рядов Фурье на этом этапе обучения не нужно и невозможно, то достаточно ограничиться примерно следующим подходом. Уточним еще раз, что такое периодическая функция, и развеем часто существующее заблуждение, что периодическая и гармоническая суть одно и то же. Приводим примеры периодических, но не гармонических зависимостей. Для того чтобы продемонстрировать учащимся, что такого рода зависимости могут быть аппроксимированы суммой простых тригонометрических функций, можно привести (без доказательства) соответствующие ряды и предложить просуммировать (с помощью ЭВМ) возрастающее число гармоник, наблюдая на экране, как сумма становится все ближе к исходной зависимости.

При немалых колебаниях движение маятника не является гармоническим, хотя и остается периодическим. Изучаемое периодическое движение при условии, что в начальный момент маятник имеет максимальное отклонение и нулевую скорость, можно представить суммой гармонических, что позволяет увидеть различия между малыми и произвольными колебаниями маятника, понять методику исследования колебательных движений.

Одним из первых заданий на пути такого исследования может быть следующее: ограничиваясь немногими членами ряда, исследовать зависимость амплитуд нескольких первых гармоник от начальной амплитуды колебаний. Поскольку формулы для коэффициентов Фурье учащимся незнакомы, то есть два пути: либо, при достаточно глубокой математической подготовке, «вывести» эти формулы (что представляется исключительным случаем), либо просто взять на кривой θ(t) несколько произвольных (примерно равноотстоящих) точек и привязать в них наблюдаемую зависимость, т.е., по существу, воспользоваться интерполяцией. Этот прием, не будучи строгим, тем не менее позволяет найти с достаточной для наших целей точностью амплитуды нескольких гармоник.

Дальнейшее моделирование колебаний математического маятника может включать в себя:

• колебания маятника при наличии трения;

• вынужденные колебания под действием периодической силы, изучение явлений биений и резонанса при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний маятника;

• колебания маятника с периодически меняющейся длиной нити подвеса и параметрический резонанс.

Моделирование движения небесных тел. Указанное моделирование опирается на знания учащихся, почерпнутые при изучении закона всемирного тяготения. Оно позволяет углубить знания, связанные с движением тел Солнечной системы, элементами астрономии.

Тема начинается с рассмотрения модели движения космического тела (планеты, кометы, спутника) в гравитационном поле, создаваемом телом с многократно большей массой. Напомните учащимся физический закон, регулирующий данное движение, - закон всемирного тяготения; для моделирования существенна запись этого закона в векторной форме.

Важный методический (и содержательный) момент - выбор системы координат, в которой рассматривается движение. Если ее центр расположить произвольно, то возникает задача о движении двух взаимно тяготеющих тел с весьма сложными траекториями. Напомните учащимся, что исторически астрономы, начиная с Птолемея и включая Коперника, рассматривали движение относительно одного из тел (т.е., говоря более формально, в системе координат, связанной с этим телом). В системе Коперника такой системой координат при изучении Солнечной системы стало Солнце. Это резко упрощает задачу, позволяет заниматься изучением движения лишь одного из тел.

Процедура получения системы дифференциальных уравнений движения в указанной системе координат описана в ряде пособий (см., например, [5, 9]).

Следует обратить внимание учащихся на то, что в этой задаче особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами метров, секунд и т.д. Для выбора типичных величин, с помощью которых естественно произвести обезразмеривание, можно рассуждать так. При некоторых условиях, как известно, орбита движения «малого» небесного тела может быть круговой. Соотношения параметров, характеризующих эту круговую орбиту, нетрудно установить, так как при круговом движении сила тяготения играет роль центростремительной силы. Таким образом, достаточно произвольно выбрать один параметр - типичное расстояние, а для скорости и времени параметры для обезразмеривания тем самым найдены.

В качестве первой содержательной задачи можно рассмотреть движение небесных тел вокруг Солнца. Тогда в качестве типичного расстояния естественно принять характерное расстояние от Земли до Солнца (так называемая астрономическая единица). После обезразмеривания оказывается, что уравнения в безразмерных переменных вообще не содержат параметров! Единственное, что отличает режимы движения друг от друга - это начальные условия.

Далее исследование можно усложнить. Так, при движении по замкнутым орбитам можно поставить задание: проверить справедливость законов Кеплера о соотношении параметров орбиты; при движении по незамкнутым орбитам - доказать, что ее формой будет гипербола, и т.д. Многие задания для самостоятельной работы можно найти в задачнике [5].

Если придерживаться методики, избегающей упоминания о дифференциальных уравнениях вообще, то уравнения модели можно сразу записать в конечно-разностной форме. Они получаются из второго закона Ньютона, представленного в конечно-разностной форме, и закона всемирного тяготения. Разумеется, с точки зрения дифференциального подхода, это есть применение метода Эйлера к дифференциальным уравнениям модели уравнениям.

Моделирование движения заряженных частиц. Из курса физики учащимся знаком закон Кулона, описывающий взаимодействие точечных зарядов. Он похож на закон всемирного тяготения, но роль масс играют заряды.

Наиболее простые модели в данном разделе получаются при моделировании движения одного заряженного тела в поле, создаваемом другим заряженным телом («неподвижным», находящемся в начале выбранной системы координат). В этой ситуации уравнения модели практически совпадают с уравнениями движения небесного тела - с точностью до обозначений. Рассматривать более сложную ситуацию, когда несколько зарядов движутся относительно друг друга, методически нецелесообразно.

Если рассматривать систему из двух зарядов противоположных знаков, то ситуация полностью аналогична задаче двух тяготеющих тел, обсуждавшейся выше. Если же рассмотреть движение заряда, одноименного по знаку с тем, который находится в начале координат, то в соответствующих уравнениях просто сменятся знаки; однако траектории движения будут совсем непохожи на траектории движения в случае разноименных зарядов. Соответствующее моделирование вполне посильно учащимся, особенно если эта тема следует за моделированием движения небесных тел.

После проведения простых численных экспериментов по моделированию движения заряженного тела можно перейти к более сложным проектам исследовательского характера. Задания для таких проектов можно найти, в частности, в задачнике [5].

Моделирование физических процессов в приближении сплошной среды. Целью этих занятий является как углубление навыков моделирования физических процессов, так и выработка реального понимания понятия «сплошная среда», столь важного в физическом мире. Кроме того, возникает возможность еще раз продемонстрировать в работе прием дискретизации, фундаментальный для информатики.

План занятий по этой теме может быть следующим. Вначале проведите лекцию на тему, что отражает абстрактное понятие «сплошная среда». Физические примеры - жидкости, газы; близкие примеры из самой информатики - графическая информация, звуковая информация и т.д. Напомните учащимся, что при описании явлений, проистекающих в сплошной среде, свойства объекта описываются с помощью непрерывных величин (функций). Примеры, которые здесь уместны, связаны с диффузией, теплопроводностью, потоками жидкости и газа, распространением электромагнитных волн и др.

На той же лекции уместно рассмотреть вопрос о роли научной графики в компьютерном моделировании. Так, при моделировании процесса теплопроводности стоит задача наиболее наглядно показать динамику изменения температуры. При этом уместно прибегнуть к условной раскраске или условному контрастированию - мощному приему научной графики. Он находит широчайшее применение и представляет собой набор приемов по максимально удобной, хотя и условной, визуализации результатов компьютерного моделирования.

Например, в различных исследованиях температурных полей возникает проблема наглядного представления результатов. Самый простой (и весьма неэффективный) - привести карту (чертеж, план), в некоторых точках которой обозначены значения температуры. Другой способ - набор изотерм - гораздо эффективнее. Можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно, сравнивая разные цвета, воспринимать красный как «горячий», голубой как «холодный», а все остальные - между ними. Наглядность достигается окрашиванием самого «горячего» участка в ярко-красный цвет, самого «холодного» - в ярко-голубой, а остальных - в промежуточные цвета. Получится наглядная картина температурного поля.

А что делать, если дисплей монохромный? Или если изображение нужно перенести с цветного дисплея на бумагу при отсутствии возможности цветной печати? Тогда роль цвета может сыграть контраст. Сделаем самый «горячий» участок самым темным, самый «холодный» - прозрачным, а остальные - между ними. Эффектность, конечно, меньше, чем при цветовой раскраске, но определенная наглядность достигается.

То же самое можно делать и при иллюстрации температурного поля на поверхности обрабатываемой на станке детали, и поля температур, полученного путем радиолокации поверхности далекой планеты, и во множестве других задач.

Для конкретного моделирования явлений в приближении сплошной среды следует отобрать максимально простые задачи, поскольку соответствующие модели достаточно сложны. Такие задачи могут быть статическими и динамическими. Из статических задач наиболее простыми представляются моделирование распределения поля температур или электростатического поля. Из динамических задач, модели которых рассматривались в школьном курсе информатики, известна задача теплопроводности в стержне - вероятно, самая простая задача такого рода.

Основные цели, преследуемые в данном разделе, таковы:

• углубление математического и физического образования учащихся;

• выработка навыков визуализации абстракций - важной задачи для прикладной информатики в целом.

Остановимся на методике решения задачи моделирования распределения статических полей. Универсальным способом визуализации физического поля, распределенного в некоторой плоской области или в некотором объеме, является построение его изолиний (изоповерхностей).

Как показывает опыт, на данном этапе в подавляющем большинстве случаев следует ограничиться моделированием распределений полей в плоскости. Объемные построения требуют большого времени и непосильны многим учащимся.

Приступая к рассказу о построении изолиний, вначале приводим доводы в пользу того, что этот прием является удобным для визуализации поля. В курсе физики учащиеся, скорее всего, видели картины силовых линий электрического поля. Построение силовых линий, однако, задача более сложная, чем построение линий равного потенциала (изолиний), а информации дает не больше. Продемонстрируйте учащимся картины изолиний поля, создаваемого изолированным зарядом, парой равных зарядов и покажите, как по ним отчетливо видна общая картина поля. Другими примерами могут быть изотермы, которыми иногда сопровождают прогноз погоды, линии тока жидкости, изолинии концентрации вредных примесей в окружающей среде и т.д.

Далее переходим к технике построения изолиний. За основу можно взять процедуру, описанную в пособиях [5, 9].

Задачи, уместные для отладки первых навыков такого моделирования, очень просты. Пробной (тестовой) задачей является моделирование поля одиночного заряда, для которого ответ очевиден: любая изолиния - окружность. Затем следуют простые симметричные комбинации зарядов.

Обсудите теперь методику проведения занятий по моделированию процесса переноса тепла в стержне. Эта тема уместна лишь при достаточно высокой математической подготовке учащихся, потому что в данном разговоре трудно избежать появления дифференциальных уравнений (хотя и возможно), причем уравнений в частных производных. Однако опыт показывает, что если не обсуждать сложных вопросов о таких уравнениях, не вдаваться в общие математические рассуждения, то на эмпирическом уровне тема вполне посильна для хорошо подготовленных учащихся и воспринимается ими с интересом.

Последовательность построения учебного процесса может быть следующей. О том, что такое теплопроводность, интуитивно все знают. Если рассматривать простейшую ситуацию - распространение тепла в однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью - то понятно, что температура (основная характеристика процесса) является функцией единственной координаты и времени. В простейшей модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т. е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Вывод уравнения теплопроводности можно найти в ряде пособий, причем надо идти не от общего к частному (такой путь школьникам непосилен), а обращаться именно к простейшей ситуации однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью. При этом, как обычно в таких случаях, вначале появляются приближенные конечно-разностные уравнения, затем от них (с помощью двух предельных переходов - по координате и по времени) переходят к дифференциальным уравнениям. Поскольку при компьютерном моделировании мы всецело опираемся на численные методы, то для решения дифференциальных уравнений мы вновь строим конечно-разностную модель. Такая «двухъярусная» дискретизация весьма поучительна с точки зрения информатики. Естественно, нескольких пунктов этой программы можно избежать и вообще исключить появление дифференциальных уравнений, хотя кое-что при этом остается недоговоренным; у математика такой подход порождает чувство неудовлетворенности.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной. (Последнее утверждение доказать на данном уровне изложения невозможно, но интуитивно приемлемые доводы привести легко.) Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени; краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают в простейшем варианте (которым вполне достаточно в данном случае ограничиться), какая температура поддерживается на концах стержня.

Подчеркнем, что моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного. Если для пространственных производных использовать простейшие центрально-разностные аппроксимации, а по времени - схему Эйлера, то величины {u₁^k} - значения температуры в i-ом узле пространственной сетки в k-й момент времени - приближенно находятся из системы весьма простых формул.

Если задаться целью получения уравнений модели сразу в конечно-разностной форме (минуя дифференциальную), то возникает нетривиальная задача вывода соответствующих формул, решение которой можно позаимствовать в задачнике [6].

При описанном моделировании не следует забывать о возможной неустойчивости простейшей разностной схемы. Прежде всего следует объяснить учащимся само понятие «неустойчивость». Рассуждаем примерно следующим образом. Расчетные формулы появились как дискретная аппроксимация непрерывного процесса. Чем мы расплачиваемся за дискретизацию? Первая «расплата» очевидна: мы получаем приближенное описание процесса. Числа u_i^k отнюдь не являются точными значениями температуры. Для увеличения точности результатов кажется естественным уменьшать шаги по координате и по времени, но здесь мы сталкиваемся со второй проблемой. Ее природа достаточно сложна, она уходит как в аппроксимацию производных конечными разностями, так и в накопление погрешностей округлений. При неудачном выборе шагов по координате и по времени решение начинает «раскачиваться» и перестает походить на истинное. В данном случае достаточно ограничиться приведением критерия устойчивости метода, приводящего к используемым расчетным формулам.

Тема «Имитационные стохастические модели»

Имитационное моделирование может стать существенной частью профильного курса информатики, ориентированного на моделирование. Включение метода имитационного компьютерного моделирования в профильный курс, ориентированный на моделирование, работа учащихся с имитационными моделями средней сложности представляют несомненный интерес и пользу, поскольку расширяют и обобщают представление о методе моделирования и его возможностях.

Идея имитационного моделирования интуитивно ясна и привлекательна. В основе этого метода - теория вычислительных систем, статистика, теория вероятностей.

Начало изучения темы - лекция об имитационном моделировании случайных процессов. К сожалению, в российской школе понятия теории вероятностей и математической статистики лишь начинают внедряться в курс математики, и учителю следует быть готовым к тому, чтобы самому сделать введение в этот важнейший для формирования мировоззрения и математической культуры материал. Приведем план соответствующей вводной лекции. элективный курс компьютерный моделирование

. «Случайность» как фундаментальное математическое понятие. Случайные события и их вероятности.

. Дискретные и непрерывные случайные величины. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины (плотность вероятности).

. Примеры типичных функций распределения. Равновероятное распределение. Нормальное распределение и представление об его особой значимости в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей.

. Метод статистических испытаний в моделировании случайных процессов. Представление о статистической обработке результатов, получаемых при использовании метода статистических испытаний. Понятия «доверительный интервал», «доверительная вероятность». Вычисление средних значений испытуемых величин и оценка их достоверности.

. Описание принципов имитационного моделирования. Отметим ключевые моменты, которые следует донести до учащихся. Имитацию целесообразно использовать:

• если она позволяет экспериментально исследовать сложные внутренние взаимодействия в рассматриваемой системе;

• при изучении воздействия на функционирование системы некоторых информационных и организационных изменений, а также изменений во внешней обстановке; для этого в модель системы вносят изменения и наблюдают влияние этих изменений на изменение системы;

• при детальном наблюдении имитируемой системы, что позволяет лучше понять систему и разработать такие предложения по ее имитации, которые были бы невозможны без имитации;

• если имитация сложных систем может дать представление о том, какие из переменных системы наиболее существенны и как эти переменные взаимодействуют.

Подчеркнем, что речь идет об элементарном введении в круг обсуждаемых понятий. В принципе сделать это можно не более, чем за два-три урока.

После этого обсуждаем технические вопросы, связанные с генерацией на ЭВМ последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения. Опираться при этом можно на простой факт: в каждом языке программирования есть датчик равномерно распределенных случайных чисел на отрезке от 0 до 1. На данном этапе нецелесообразно вдаваться в сложный вопрос о принципах его реализации. Опираясь на эти датчики, показываем, как можно устроить:

а) генератор равномерно распределенных случайных чисел на любом отрезке [а, b],

б) генератор случайных чисел под практически любой закон распределения (например, используя интуитивно ясный метод «отбора-отказа»).

Одним из вариантов отработки навыков имитационного стохастического моделирования является рассмотрение задачи моделирования очереди в системе массового обслуживания. Указанные системы элементарны для понимания постановки задач, имеют широкое прикладное значение.

Начать рассмотрение этой задачи целесообразно с обсуждения истории решения проблем массового обслуживания (задача Эрланга об обслуживании запросов на телефонной станции). Затем следует обзор типичных задач этой науки. Следует сказать о постановке задач в аналитической форме и о трудностях их решения, о том, что имитационное компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в виде метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), хоть и не является в теории массового обслуживания основным, но играет в ней важную роль. Основная линия в ней - получение аналитических результатов, т. е. представленных формулами. Однако возможности аналитических методов весьма ограничены, в то время как метод статистических испытаний универсален и весьма прост для понимания (по крайней мере, кажется таковым).

Затем следует рассмотреть простейшую задачу, которую можно сформулировать на примере формирования и обслуживания очереди в магазине с одним продавцом. В этот магазин случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, то он начинает обслуживать покупателя сразу, иначе покупатель становится в очередь. Детали постановки и решения этой задачи методом статистического моделирования можно найти в книгах [9, 33]. Отметим, что на первом этапе моделирования распределения случайных величин на входе можно принять равновероятными, что хоть и не реалистично, но снимает ряд трудностей (для генерации случайных чисел можно просто использовать встроенный в язык программирования датчик).

Обратите внимание учащихся на то, какие вопросы ставятся в первую очередь при моделировании систем такого вида? Во-первых, это вычисление средних значений (математических ожиданий) некоторых случайных величин. Например, какое среднее время приходится стоять в очереди к прилавку? Или найти среднее время, проведенное продавцом в ожидании покупателя.

Задача учителя, в частности, состоит в том, чтобы разъяснить, что выборочные средние величины сами по себе - случайные величины; в другой выборке того же объема они будут иметь другие значения (при больших объемах выборки - не слишком отличающиеся друг от друга). Далее возможны варианты, например в более подготовленной аудитории можно показать способ оценивания доверительных интервалов, в которых находятся математические ожидания соответствующих случайных величин при заданных доверительных вероятностях (известных из математической статистики методами без попытки обоснования). В менее подготовленной аудитории можно ограничиться чисто эмпирическим утверждением, к примеру, если в нескольких выборках равного объема средние значения совпали в некотором десятичном знаке, то этот знак, скорее всего, верен. Если при моделировании не удается достичь желаемой точности, следует увеличить объем выборки.

В наиболее подготовленной в математическом отношении аудитории можно ставить вопрос: каково распределение случайных величин, являющихся результатами статистического моделирования, при заданных распределениях случайных величин, являющихся его входными параметрами? Поскольку изложение соответствующей математической теории в данном случае невозможно, следует ограничиться эмпирическими приемами: построением гистограмм итоговых распределений и сравнением их с несколькими типичными функциями распределения.

После отработки первичных навыков указанного моделирования переходим к более реалистической модели, в которой входные потоки случайных событий распределены по Пуассону. Это потребует от учащихся дополнительно освоить метод генерирования последовательностей случайных чисел с указанным законом распределения.

В рассмотренной задаче, как и в любой более сложной задаче об очередях, может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если люди заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), то очередь начинает нарастать, и в любой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис. Моделирование приближения к критической ситуации по мере возрастания одного из параметров - интересная исследовательская задача.

На примере задачи об очереди отрабатываются сразу несколько новых понятий и навыков, таких как:

• понятие о случайных процессах;

• понятие и простейшие навыки имитационного моделирования;

• построение оптимизационных имитационных моделей;

• построение многокритериальных моделей (путем решения задач о наиболее рациональном обслуживании покупателей в сочетании с интересами владельца магазина).

Тема «Моделирование динамики развития популяций»

В данной теме ограничимся обсуждением методики проведения занятий по моделированию некоторых процессов, составляющих основу классической экологии (т.е. процессов развития отдельных популяций и их взаимодействия). В такой постановке этот материал может быть полезен для проведения нескольких уроков в пределах предмета, в котором моделирование экологических процессов является не основой, а частью. Такой выбор обусловлен следующими причинами. Во-первых, соответствующие модели достаточно просты и изучены, постановка их вполне очевидна и в познавательном плане интересна и полезна. Во-вторых, модели распространения загрязнений окружающей среды, которые успешно применяют в современной социальной экологии, требуют использования весьма сложного математического аппарата, да и сами еще не вполне устоялись.

С другой стороны, возможны профильно-ориентированные на экологию курсы информатики. Для таких курсов рассматриваемого в данном параграфе материала недостаточно. Дополнительный материал на эту тему можно найти, к примеру, в пособиях [25, 30].

Вводная беседа в этой теме может быть посвящена введению в проблематику классической экологии и использование в ней математических моделей. Следует дать определения таким понятиям, как «популяция», «сообщество», «внутривидовая конкуренция», «межвидовая конкуренция».

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот основные цели создания математических моделей в классической экологии:

. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

. Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.

. Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

Модель считается адекватной рассматриваемому явлению только в том случае, если она выполняет одну из указанных выше функций.

При проведении беседы следует обратить внимание учащихся на то, что привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли принципиально новые направления, и прежде всего - имитационное моделирование.

После вводной лекции приступаем к построению и исследованию конкретных моделей. Методически уместно начать это с рассмотрения развития популяций с дискретным размножением, после чего следует плавный переход на популяции с непрерывным размножением. Естественная последовательность рассмотрения такова:

• динамическое моделирование численности изолированной популяции с дискретным размножением:

а) при отсутствии внутривидовой конкуренции;

б) при наличии внутривидовой конкуренции;

• динамическое моделирование численности изолированной популяции с непрерывным размножением:

а) при отсутствии внутривидовой конкуренции;

б) при наличии внутривидовой конкуренции;

• динамическое моделирование взаимодействия популяций:

а) состоящих в отношениях межвидовой конкуренции;

б) состоящих в отношениях «хищник- жертва»;

• имитационное моделирование развития популяции и взаимодействия популяций.

Примеры ряда моделей, обозначенных выше, можно найти в пособиях [5, 9, 22, 27, 30, 35]. Обсудим методику их построения и исследования на нескольких примерах.

Пример. Моделирование развития изолированной популяции с дискретным размножением с учетом внутривидовой конкуренции.

Рассматриваются биологические виды, для которых потомки и предки не сосуществуют во времени (многочисленные растения, насекомые и др.). Тогда последовательные значения численности популяции можно представить последовательностью N₀, N₁, ....

Если нет никаких причин ограничения численности популяции, тогда возникает простейшая очевидная модель: N_t+l = R ∙ N_t, где R - коэффициент воспроизводства. Решение этой модели очевидно: N_t = N₀ ∙ R^t, и при R >1 численность популяции нарастает по геометрической прогрессии.

Даже эта простейшая модель заслуживает обсуждения. Она выражает то, что в литературе иногда называют «законом Мальтуса». Очевидно, что долго неограниченно возрастать популяция не может. Простейший способ учета внутривидовой конкуренции связан с гипотезой о том, что коэффициент воспроизводства не есть константа, а зависит от численности популяции, спадая по мере ее роста. На этом этапе следуют разъяснить учащимся методику построения моделей в сфере знаний, где основным способом исследования являются наблюдения, в которой точные математические законы отсутствуют в силу сложности системы (в отличие от, например, физики). В такой ситуации делаются достаточно произвольные допущения, в значительной мере оправдываемые простотой, а полезность модели определяется путем сопоставления ее решений с закономерностями поведения реальных систем.

Проиллюстрируем это простым соображением. Итак, надо учесть, что величина R монотонно спадает с ростом величины N. Реального вида этого спада мы не знаем; его можно представить множеством способов с использованием общеизвестных элементарных функций, а если надо, то и выходом из этого класса.

Модель, в основу которой положена простейшая из таких функций, выглядит следующим образом:

Методика исследования этой модели и ряда других описана в указанных выше пособиях. Полезность модели следует их того, что описываемое ею поведение численности популяций многократно наблюдалось экологами в природе.

После этого ставим вопрос: достаточно ли этой модели для качественного описания развития любой популяции с дискретным размножением? Ответ может последовать лишь из того, наблюдались ли качественно иные динамики развития таких популяций, и является положительным. В природе наблюдались существенно более сложные процессы, нежели монотонное возрастание численности популяций с выходом на стационар, предсказываемое описанной выше моделью. Поэтому продолжился поиск более адекватных моделей.

В частности, целесообразно рассмотреть модель, предсказывающую четыре качественно разных типа динамики численности популяций (в зависимости от соотношения значений параметров): монотонное возрастание с выходом на стационар, колебательное установление стационарной численности, регулярное колебательное изменение (так называемые предельные циклы) и хаотическое поведение без каких-либо видимых закономерностей. Все эти типы динамик наблюдаются в природе.

Методика изучения сложных движений зависит от математической подготовки учащихся. Чаще всего предельные циклы и хаотическое поведение приводим описательно, иллюстративно, не стремясь дать определение этим сложным процессам. В классах же с высоким уровнем математической подготовки и выраженным интересом учащихся обсуждение этих вопросов может быть существенным элементом развития математических интересов.

При изучении более сложных моделей, выраженных дифференциальными уравнениями, методика исследования в основном остается та же. Она включает следующие этапы:

• постановку проблемы, введение терминологии, описание поведения соответствующих природных систем;

• построение математической модели;

• попытку качественного исследования модели, включая построение диаграмм на фазовой плоскости параметров модели;

• численное решение дифференциальных уравнений (как правило, простейшими из методов либо путем использования готовых программ).

Совсем иной является методика построения имитационных моделей экологических процессов. Ограничимся формулировкой одной из задач [5], на которой можно отработать построение такой модели.

Пример. Разработать имитационную модель системы «хищник- жертва» по следующей схеме.

«Остров» размером 20x20 заселен дикими кроликами, волками и волчицами. Имеется по несколько представителей каждого вида. Кролики в каждый момент времени с одинаковой вероятностью 1/9 передвигаются в один из восьми соседних квадратов (за исключением участков, ограниченных береговой линией) или просто сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0,2 превращается в двух кроликов. Каждая волчица передвигается случайным образом, пока в одном из соседних восьми квадратов не окажется кролик, за которым она охотится. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и получает одно очко. В противном случае она теряет 0,1 очка. Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают. В начальный момент времени все волки и волчицы имеют 1 очко.

Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; тогда если волчица находится в одном из восьми близлежащих квадратов, волк гонится за ней.

Если волк и волчица окажутся в одном квадрате и там нет кролика, которого нужно съесть, они производят потомство случайного пола.

Пронаблюдайте за изменением популяции в течение некоторого периода времени. Проследите, как сказываются на эволюции популяций изменения параметров модели.

2.4 Анализ результатов формирующего эксперимента

В результате проведения контрольного эксперимента с помощью того же теста, который использовался для выявления актуального уровня знаний по теме «Моделирование», мы получили следующие данные: в контрольной группе 4 учащихся с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование», 17 человек - со средним уровнем и 4 человек с низким уровнем. В экспериментальной группе 10 учащихся имеют высокий уровень, 14 человек - средний и 1 человек - низкий уровень.

Таблица 2. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование»учащихся контрольной и экспериментальной группы после формирующего эксперимента

Представим полученные данные в виде диаграммы:

Рис.2. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование» учащихся контрольной и экспериментальной группы после формирующего эксперимента.

Таким образом, 16% детей контрольной и 40% детей экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 56% детей экспериментальной группы - средний уровень, 16% учащихся контрольной и 4% детей экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в экспериментальной группе при преобладании среднего уровня достаточно высок процент детей с высоким уровнем, а в контрольной группе преобладает средний процент с небольшим количеством детей с высоким и низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Сравним данные до и после формирующего эксперимента в контрольной группе.

Рис.3. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование» учащихся контрольной группы до и после формирующего эксперимента.

Таким образом, в контрольной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование»на 4%, на 4% увеличилось количество детей со средним уровнем и на 8% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения незначительны.

Сравним данные до и после формирующего эксперимента в экспериментальной группе

Рис.4. Итоговый уровень проявления знаний по теме «Моделирование» учащихся экспериментальной группы до и после формирующего эксперимента.

Таким образом, в экспериментальной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование» на 24%, на 12% уменьшилось количество детей со средним уровнем и на 12% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения значительны.

Значит, можно говорить о эффективности разработанной системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

На данном этапе нашего исследования мы методически обосновали и провели эксперимент.

С целью выявления уровня знаний по информатике у учащихся 10-х классов был проведен констатирующий эксперимент на базе школы № 19 г. Красноярска. Исследование было проведено в январе 2009 г.

Констатирующий эксперимент показал, что 12% детей контрольной и экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 64% детей экспериментальной группы - средний уровень, 20% учащихся контрольной и 24% учащихся экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в обоих классах преобладает средний уровень знаний по теме «Моделирование».

Как отмечают практически все разработчики профильных курсов, ориентированных на моделирование, наиболее адекватным практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой являются компьютерные лабораторные работы. Экспериментальная апробация курсов моделирования подтвердила целесообразность применения такой формы организации занятий.

Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Мы разработали систему занятий. Затем провели контрольный эксперимент.

Данные обработаны и записаны в сводные таблицы.

% детей контрольной и 40% детей экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 56% детей экспериментальной группы - средний уровень, 16% учащихся контрольной и 4% детей экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в экспериментальной группе при преобладании среднего уровня достаточно высок процент детей с высоким уровнем, а в контрольной группе преобладает средний процент с небольшим количеством детей с высоким и низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

В контрольной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование»на 4%, на 4% увеличилось количество детей со средним уровнем и на 8% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения незначительны.

В экспериментальной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование» на 24%, на 12% уменьшилось количество детей со средним уровнем и на 12% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения значительны.

Значит, можно говорить о эффективности разработанной системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

Заключение

Проанализировав педагогическую, психологическую и методическую литературу по теме исследования, мы сделали следующие выводы:

Тема «Моделирование» является очень важной в курсе информатики, так как позволяет провести исследовательскую работу, выполнить анализ полученных результатов, обратить внимание на конечность алгоритма, оценить точность модели, столкнуться с погрешностью приближенных вычислений, увидеть взаимосвязь различных наук и дисциплин, получить удовлетворение от выполненной работы.

Использование компьютера как инструмента учебной деятельности дает возможность переосмысления традиционных подходов к изучению многих вопросов естественнонаучных дисциплин, усиления экспериментальной деятельности учащихся, приближения процесса обучения к реальному процессу познания, основанному на технологии моделирования.

Решение задач из различных областей деятельности человека на компьютере базируется не только на знании учащимися технологии моделирования, но, естественно, и на знании данной предметной области. Известен опыт проведения бинарных уроков, т. е. уроков, проводимых учителем информатики совместно с учителем-предметником.

Для решения данной проблемы требуются обширные исследования. Мы проводили педагогический эксперимент. Полученные данные подтвердили актуальность проблемы изучения уровня знаний по информатике, что обуславливает необходимость работы в данном направлении.

В ходе работы были решены поставленные задачи:

. Была изучена литература по проблеме исследования.

. Были определено место предполагаемого содержания в элективном курсе информатики, его соотношение с существующим содержанием.

. Была разработана система разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию.

. Был проведен педагогический эксперимент по апробации измененного содержания и методики.

. Были проанализированы результаты

Было методически обосновано и проведено и проведено педагогическое исследование группы учащихся девятых классов в количестве 50 человек. Педагогический эксперимент проводился в средней школе №19 г. Красноярска. Исследование было проведено в ноябре 2007 г.

Данные обработаны и записаны в сводные таблицы.

С целью выявления уровня знаний по информатике у учащихся 10-х классов был проведен констатирующий эксперимент на базе школы № 19 г. Красноярска. Исследование было проведено в январе 2009 г.

Констатирующий эксперимент показал, что 12% детей контрольной и экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 64% детей экспериментальной группы - средний уровень, 20% учащихся контрольной и 24% учащихся экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в обоих классах преобладает средний уровень знаний по теме «Моделирование».

Как отмечают практически все разработчики профильных курсов, ориентированных на моделирование, наиболее адекватным практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой являются компьютерные лабораторные работы. Экспериментальная апробация курсов моделирования подтвердила целесообразность применения такой формы организации занятий.

Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Мы разработали систему занятий. Затем провели контрольный эксперимент.

Данные обработаны и записаны в сводные таблицы.

% детей контрольной и 40% детей экспериментальной группы имеют высокий уровень знаний по теме «Моделирование», 68% детей контрольной и 56% детей экспериментальной группы - средний уровень, 16% учащихся контрольной и 4% детей экспериментальной группы - низкий.

Явно видно, что в экспериментальной группе при преобладании среднего уровня достаточно высок процент детей с высоким уровнем, а в контрольной группе преобладает средний процент с небольшим количеством детей с высоким и низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

В контрольной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование»на 4%, на 4% увеличилось количество детей со средним уровнем и на 8% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения незначительны.

В экспериментальной группе увеличилось количество детей с высоким уровнем знаний по теме «Моделирование» на 24%, на 12% уменьшилось количество детей со средним уровнем и на 12% уменьшилось количество детей с низким уровнем знаний по теме «Моделирование».

Явно видно, что произошедшие изменения значительны.

Значит, можно говорить о эффективности разработанной системы разноуровневых дополнительных вопросов и заданий к элективному курсу по моделированию для повышения эффективности обучения информатике и информационным технологиям в условиях средней школы.

Следовательно, наша гипотеза получила подтверждение.

Список использованной литературы

1.       www.infojournal.ru <#"588193.files/image043.gif">; - население Земли - 6 млрд человек;

р - потребление воды в день на 1 человека (в среднем) 300 л.

Так как  воды, необходимо выполнить перевод V воды озера из км³ в ,

Результат - количество лет, за которое население Земли использует воды Байкала, - обозначим,

Итак,

.

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул

Компьютерный эксперимент.

1.       Введите в компьютерную модель исходные данные.

2.  Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если потребляемость воды увеличится до 400 л на человека?

3.  Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если население Земли уменьшится до 5,7 млрд человек?

Анализ результатов.

Построенная модель позволяет прогнозировать время использования вод Байкала с учетом потребляемости воды на 1 человека, изменения численности населения всего мира. Данную модель можно уточнить, учитывая изменения климатических условий.

Задача 2.

Известны ежегодные показатели рождаемости и смертности некоторой популяции. Рассчитайте, до какого возраста могут дожить особи одного поколения.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования - исследовать изменение численности поколения популяции в зависимости от времени, определить возраст, до которого могут дожить особи одного поколения популяции.

Объектом моделирования является процесс ежегодного изменения количества одного поколения популяции, который зависит от рождаемости популяции и ее смертности.

Разработка модели.

Так как ежегодная рождаемость популяции соответствует количеству особей одного поколения в популяции, то исходными данными являются: х - количество особей в 1 год; р - ежегодная смертность (%).

Численность популяции в каждом следующем году рассчитывается по формуле: . Расчет производим до тех пор, пока значениене станет1.

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

Формулу копируем.

Компьютерный эксперимент.

Введите в компьютерную модель исходные данные р, х (например: р - 30, х = 1000) и проиллюстрируйте зависимость численности популяции от времени на графике.

Результаты вычислений выглядят следующим образом:

Изменение численности популяции

Анализ результатов.

Результаты эксперимента показывают, что особи одного поколения данной популяции могут дожить до 20 лет.

Задания для самостоятельного выполнения.

1. Какова должна быть рождаемость популяции, чтобы особи одного поколения доживали до 25 лет при той же смертности? (Результат:.)

2. Каков должен быть показатель смертности, чтобы при той же рождаемости  особи одного поколения доживали до 35 лет? (Результат:.)

Анализ результатов.

Модель показывает, что количество особей одного поколения всегда уменьшается и стремится к нулю, т. е. происходит гибель данного поколения популяции.

Задача 3.

Определите, как будет меняться плотность популяции голубя в течение 5 ближайших лет, если предварительные наблюдения позволили установить, что ее плотность составляет 130 особей/га. За период размножения (у голубя один раз в году) из одной кладки яиц в среднем выживает 1,3 детеныша. Смертность голубя постоянна, в среднем за год погибает 27 % особей. При увеличении плотности популяции до 300 особей/га и выше смертность составляет 50 %.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования - исследовать процесс изменения плотности популяции с учетом ее рождаемости и смертности.

Объект моделирования - процесс изменения плотности популяции.

Плотность популяции - это число особей, приходящаяся на единицу площади или объема жизненного пространства. Измерением плотности пользуются в тех случаях, когда важнее знать не конкретную величину популяции в тот или иной момент времени, а ее динамику, т. е. ход изменений численности во времени.

Рождаемость характеризует способность популяции к увеличению численности за счет размножения особей. Показатель рождаемости - это число новых особей (также яиц, семян), родившихся (вылупившихся, отложенных) в популяции за определенный промежуток времени.

Смертность - это показатель, противоположный рождаемости. Смертность, как и рождаемость, выражается числом особей, погибших за данный период времени. Такой величиной может быть процент особей, погибших в единичный отрезок времени.

Разработка модели.

Известно начальное значение плотности популяции.

Плотность популяции к началу следующего года есть ее плотность к началу данного года плюс рождаемость и минус смертность.

Рождаемость зависит от плотности самок и плодовитости. Предположим, что в популяции равное количество самок и самцов. Зная плотность популяции, можно определить плотность самок (плотность самокплотности популяции). Плодовитость известна по условию задачи. Число особей, погибших за год, - это процент (смертности) от общей плотности популяции. Смертность популяции зависит также и от величины плотности популяции.

Исходные данные:

плотность популяции (Р) - 130 особей/га;

плодовитость - 1,3 детеныша в год.

Остальные показатели рассчитываются следующим образом:

плотность самок;

рождаемостьплотность самок • плодовитость;

смертность• удельная смертность;

где удельная смертность голубяв год, если , в противном случае она равна 50 %.

Плотность популяции в каждом следующем году рассчитывается по формуле:

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

Компьютерный эксперимент.

. Введите значения исходных данных (плотность популяции =130 и плодовитость =1,3) и постройте в одной системе координат графики изменения плотности, рождаемости и смертности популяции голубя за 5 лет.

Показатели популяции голубя

. Как изменится модель, если число самок составляет 1/3 от общего количества популяции?

Анализ результатов.

Данная модель позволяет исследовать процесс изменения плотности популяция с учетом ее рождаемости и смертности.

Задача 4.

Как определить размер популяции рыбы в озере, используя метод мечения и повторного отлова.

Решение.

Постановка задачи.

Объект моделирования - популяция рыбы.

Для измерения обилия популяций испытано много различных методов. К наиболее распространенным относится метод мечения и повторного отлова (для подвижных животных). Этот метод включает отлов животных, его мечение (без причинения вреда). Через некоторое время животных снова отлавливают и подсчитывают их общее число и отдельно число меченых. Численность популяции оценивают по формуле:, где О - общая численность популяции, В1 - число особей при первом отлове, В2 - число особей при втором отлове, М - число меченых животных пойманных при втором отлове.

Используя данный метод, решите предложенную задачу при следующих значениях исходных данных:

В результате должно получиться 4230 особей.

Предметная область «Биология»

Задача 1.

Для производства вакцины на заводе планируется выращивать культуру бактерий. Известно, что если масса бактерий - г г, то через день она увеличится на  г, где коэффициенты а и Ъ зависят от вида бактерий. Завод ежедневно будет забирать для нужд производства вакцины т г бактерий. Для составления плана важно знать, как изменяется масса бактерий через 1, 2, 3, ..., 30 дней.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования - исследовать изменения массы бактерий, в зависимости от ее начального значения.

Объектом моделирования является процесс ежедневного изменения количества вакцины с учетом выращивания и использования бактерий для производства вакцины.

Разработка модели.

Исходные данные:

а и Ь - коэффициенты;

     - начальная масса бактерий;

     т - масса бактерий, забираемых для нужд производства;

Количество бактерий каждого следующего дня зависит от количества бактерий предыдущего дня и вычисляется по формуле:

масса бактерий в следующий день. Результатами являются значения массы бактерий через 1, 2, 3, 4 ... 30 дней.

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

Компьютерный эксперимент.

Введите в компьютерную модель исходные данные (например:  ) и постройте график зависимости массы бактерий от количества дней.

Результаты вычислений выглядят следующим образом:

Анализ результатов.

Видно, что масса бактерий достаточно быстро убывает и становится близкой к 7236 г.

Компьютерный эксперимент.

Что произойдет к концу месяца, если увеличить начальную массу бактерий? Проведите эксперимент, взяв начальную массу 13 000 г, 14 000 г, 17 000 г, 18 000 г. Постройте соответствующие графики зависимости массы бактерий от количества дней.

Анализ результатов.

В результате этих экспериментов можно увидеть, что к концу месяца масса бактерий каждый раз упорно стремится к 7236 г. А при начальной массе в 18 000 г уже через 2 дня бактерии погибнут.

Вычислительный эксперимент показывает, что существует такой интервал значений начальной массы (от 2764 до 17 236 г), при котором в течение некоторого времени масса бактерий стабилизируется на уровне 7236 г. Если же взять начальную массу за пределами этого интервала, то бактерии погибнут.

Задача 2.

Составить модель биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты (дня отсчета) на месяц вперед с целью дальнейшего анализа модели. На основе анализа индивидуальных биоритмов прогнозировать неблагоприятные дни, выбирать благоприятные дни для разного рода деятельности.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования - составить модель биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты на месяц вперед с целью ее дальнейшего анализа.

Объектом моделирования является любой человек, для которого известна дата его рождения.

В жизни человека бывают творческие и бесплодные, счастливые и несчастливые дни, дни, когда он бывает в приподнятом или подавленном настроении. Существует теория, что жизнь человека подчиняется циклическим процессам, называемым биоритмами. Эти циклы описывают три стороны самочувствия человека: физическую, эмоциональную и интеллектуальную. Биоритмы характеризуют подъемы и спады нашего состояния. Многие полагают, что «взлетам» графика, представляющего собой синусоидальную зависимость, соответствуют более благоприятные дни. Дни, в которые график переходит через ось абсцисс, являются критическими, т.е. неблагоприятными. Если у каких-либо двух (или у всех трех) биологических ритмов совпадают критические дни, то такой день называется дважды (трижды) критическим.

За точку отсчета трех биоритмов берется день рождения человека.

Физический биоритм характеризует жизненные силы человека, т. е. его физическое состояние. Периодичность ритма - 23 дня.

Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, его возбудимость, способность эмоционального восприятия окружающего. Продолжительность периода эмоционального цикла равна 28 дням.

Третий биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное состояние человека. Цикличность его - 33 дня.

Разработка модели.

Исходные данные:

дата рождения человека;

дата отсчета;

период физического цикла - 23 дня;

период эмоционального цикла - 28 дней;

период интеллектуального цикла - 33 дня.

Указанные циклы описываются следующими формулами:

физический цикл: ;

эмоциональный цикл: ;

интеллектуальный цикл:;

где переменная х соответствует возрасту человека в днях.

Для нахождения х необходимо из текущей даты вычесть дату рождения человека.

Результатом являются диаграммы биоритмов человека: физического, эмоционального и интеллектуального, построенные в одной системе координат.

Компьютерный эксперимент.

. Введите значения исходных данных в таблицу в ячейки СЗ:С7.

Результаты вычислений:

'

. По результатам расчетов, выделив диапазон ячеек, постройте общую диаграмму для трех биоритмов.

Моделирование биоритмов человека

Анализ результатов.

1. Проанализировав диаграмму, выберите неблагоприятные дни для участия в спортивных соревнованиях.

2. Выберите дни, когда учебная деятельность будет наиболее (наименее) успешной.

3. Выберите день для посещения театра.

4. Определите, есть ли у вас дважды (трижды) критические дни в этом месяце?

5. Как вы думаете, что будет показывать график, если сложить все три биоритма? Можно ли по нему что-либо определить?

6. Сторонники селенобиологической гипотезы (селенобиология исследует влияние Луны на земные организмы) утверждают, что периоды многодневных ритмов, зависящие от Луны, не должны были бы представлять собой точно определенные отрезки времени. По их мнению, Луна диктует некоторый ритм, который не является таким уж регулярным. В связи с этой гипотезой продолжительность периода такова: физический период - 23,688437 суток, эмоциональный период - 28,426124 суток и интеллектуальный - 33,163812 суток.

7. Измените модель биоритмов человека в соответствии с данной теорией.

Предметная область «Физика»

Задача 1.

При подъеме в гору заглох мотор у машины. Остановится ли машина на горе или же она будет скатываться вниз?

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования: пользуясь физическими законами движения тела под действием нескольких сил, исследовать данную ситуацию при различных значениях исходных данных.

Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: машины и дороги.

Разработка модели.

Необходимо рассмотреть силы, действующие на машину в данной системе.

На машину действуют три силы: сила тяжести F_t=mg, сила трения F_t и сила реакции опоры N.

По первому закону Ньютона тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно, если равнодействующая всех приложенных к телу сил равна нулю, т. е. F = 0.

Второй закон Ньютона в векторной форме записывается так: F + N + F_t =0.

Запишем его в скалярной форме.

Так как  то .; .; .

Итак, если tga, то машина стоит на месте, в противном случае она будет скатываться вниз.

Исходными данными являются:  - коэффициент трения,;

и - угол наклона,.

Так как в электронной таблице Excel функция tg

находит значение tg от угла, выраженного в радианах, то при записи формулы предусмотрим перевод градусной меры угла в радианную.

Так выглядит таблица в формате отображения формул:

Компьютерный эксперимент.

1.       Введите в компьютерную модель исходные данные. Например:= 0,5; а= 12.

2.Найдите такой коэффициент трения, при котором машина поедет с горы (при данном угле).

3.Найдите такой угол, при котором машина будет стоять на горе (при данном коэффициенте трения).

4.       Каков будет результат, если силой трения пренебречь? Анализ результатов.

Данная компьютерная модель позволяет проводить вычислительный эксперимент, взамен физического. Меняя значения исходных данных, можно видеть все изменения, происходящие в системе.

Интересно заметить, что в построенной модели результат не зависит ни от массы автомобиля, ни от ускорения свободного падения.

Задача 2.

На заданном расстоянии от пушки находится стена. Известны угол наклона пушки и начальная скорость снаряда. Попадет ли снаряд в стену? [5]

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования: пользуясь знакомыми физическими законами движения тела, брошенного под углом к горизонту, исследовать данную ситуацию при различных значениях исходных данных.

Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: снаряда, брошенного под углом к горизонту, и стены. Подобрать начальную скорость и угол бросания так, чтобы брошенное тело (снаряд) достигло цели.

Разработка модели.

Снаряд считаем материальной точкой.

Сопротивлением воздуха и размерами пушки пренебрегаем.

Исходные данные:

а - угол наклона пушки,;

V - начальная скорость снаряда (м/с),I

- расстояние от пушки до стены (м),~~ ;

Л - высота стены (м),

Результатом является одно из сообщений: «Снаряд попал в стену», «Снаряд не попал в стену».

Для определения вероятности попадания снаряда в стену надо найти высоту L снаряда и расстоянии S от пушки, попадание снаряда в стену означает, что 0 < L < h. Перемещение снаряда по горизонтали и вертикали:

х = V' t • cosa

где g - ускорение свободного падения (9,8 м/с²).

Определим, сколько времени понадобится снаряду, чтобы преодолеть расстояние S:

t = S/(V-cosa).

Подставив это значение t в выражение для у, получим значение:

Если, то снаряд до стены не долетит. Если, то снаряд перелетит через стену.

Так выглядит электронная таблица в формате отображения формул:

Компьютерный эксперимент.

1.       Введите значения исходных данных и проанализируйте результат. Например: a = 35; V = 180; S = 3000; h = 6; g = 9,8. (Результат: «Не попал».)

2.Найдите такой угол наклона пушки (не изменяя другие параметры системы), при котором снаряд попадет в цель. (Результат: а= 32,6; а= 32,7.)

3.Найдите такую скорость снаряда (не изменяя другие параметры системы), при котором снаряд попадет в цель. (Результат: V = 177.)

4.Усовершенствуйте модель таким образом, чтобы результатом являлось одно из сообщений: «Снаряд попал в стену», «Недолет», «Перелет».

Анализ результатов.

Данная компьютерная модель позволяет проводить вычислительный эксперимент, взамен физического. Меняя значения исходных данных, можно видеть все изменения, происходящие в системе, производить расчет на поражение цели в зависимости от угла наклона пушки и скорости снаряда.

Предметная область «Астрономия»

Задача 1.

Определите скорость движения планет по орбите. Для этого составьте компьютерную модель Солнечной системы.

Решение.

Постановка задачи.

Цель моделирования - определить скорость движения планет по орбите.

Объект моделирования - Солнечная система, элементами которой являются планеты. Внутреннее строение планет в расчет не принимается. Будем рассматривать планеты как элементы, обладающие следующими характеристиками:

название;

R - удаленность от Солнца в астрономических единицах (астр. ед. - среднее расстояние от Земли до Солнца);

t - период обращения вокруг Солнца (в годах);

V - скорость движения по орбите (астр, ед./год), предполагая, что планеты движутся вокруг Солнца по окружностям с постоянной скоростью.

Разработка модели. Исходные данные:

R - расстояние от планеты до Солнца; t - период обращения планеты вокруг Солнца.

Так как планеты движутся вокруг Солнца по окружностям с постоянной скоростью, значение скорости найдем по формуле:

 (1)

Данную модель реализуем в среде электронных таблиц.

Так выглядит таблица в формате отображения формул:

1.       Выполните расчеты по формулам.

2. Вычислите скорость движения планет по орбите и км/ч и постройте график для скоростей в виде столбчатой диаграммы.

В данной модели формула (1) будет иметь вид: (1 астр, единица = 150 млн км.)

Скорость движения планет по орбите (км/ч)

Анализ результатов.

1.Проанализируйте результаты расчетов. Можно ли утверждать, что планеты, находящиеся ближе к Солнцу, имеют большую скорость движения по орбите?

2.Представленная модель Солнечной системы является статической. При построении этой модели мы пренебрегали изменениями расстояния от планет до Солнца во время их движения по орбите. Чтобы знать, какая планета дальше и каковы примерные соотношения между расстояниями, этой информации вполне достаточно. Если же мы хотим определить расстояние между Землей и Марсом, то пренебрегать временными изменениями нельзя, и здесь придется использовать уже динамическую модель.