Угловая скорость вращения и угловое ускорение. Ускорение движения грузов. Период колебаний

Угловая скорость вращения и угловое ускорение. Ускорение движения грузов. Период колебаний

Задача 1

Колесо, радиусом R вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса со временем t описывается уравнением:

φ = А + Вt + Сt3 (рад),

где А, В и С - постоянные коэффициенты. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через  секунд от начала движения:

Используя данные таблицы 1, найти: 1) угловую скорость вращения ω, 2) угловое ускорение ε,

Таблица 1

) тангенциальное ускорение аτ

4) нормальное ускорение аn

) полное ускорение а.

Решение

По заданному закону движения колеса определим угловую скорость и угловое ускорение колеса:

В момент времени  получим

Тангенциальное ускорение вычислим по формуле

Нормальное ускорение вычислим по формуле

Полное ускорение

Ответ:

Задача 2

Конькобежец массой М стоя на льду бросает камень массой m в горизонтальном направлении со скоростью V. Коэффициент трения коньков о лёд μ. Используя данные таблицы 2, найти:

Таблица 2

) начальную скорость V1 отката конькобежца после броска,

) энергию Е, сообщённую камню при броске,

) расстояние S, на которое откатывается конькобежец.

Решение

) Согласно закону сохранения импульса для изолированной системы тел

Отсюда начальная скорость отката конькобежца

Подставим числовые данные и произведём вычисления

) Энергия, сообщённая камню при броске, равна его кинетической энергии

) По второму закону Ньютона ускорение торможения конькобежца

где сила трения коньков о лёд.

Тогда

Расстояние, пройденное конькобежцем при равнозамедленном движении,

Скорость конькобежца при торможении

 (2)

В момент остановки конькобежца его скорость  и уравнение (2) даёт время движения до полной остановки

Подставив выражение времени в (1), получим расстояние, на которое откатывается конькобежец:

Ответ:

Задача 3

Блок в виде сплошного диска массой m и радиусом R укреплён на конце стола. Грузы А и В массами m1 и m2 соответственно соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения груза В о стол равен μ. Трением в блоке пренебречь.

Используя данные таблицы 3, найти:

) ускорение движения грузов,

) силы натяжения нити со стороны грузов А(Т1) и В(Т2),

) скорость движения грузов через t секунд от начала движения.

) вращающий момент, действующий на блок. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.

Таблица 3

Решение

В

А

Запишем второй закон Ньютона для обоих тел в проекциях на направление их движения:

 (1)

, (2)

где сила трения груза В о плоскость.

Разность сил  создаёт момент вращения, следовательно,

где момент инерции блока.

Отсюда

Из уравнений (1) и (2) найдём

 (4)

 (5)

Из (4) и (5) определим

 (6)

Приравнивая правые части (3) и (4), получим

Отсюда найдём ускорение грузов

Произведём вычисления

Подставив данные в равенства (4) и (5), вычислим величины сил натяжения нитей:

Вращающий момент, действующий на блок,

Скорость движения грузов . В момент времени  получим

Ответ:

Задача 4

Вентилятор вращается с частотой . Через время t после его выключения, вентилятор остановился, сделав N оборотов. Считая его вращение равнозамедленным, найти:

) начальную угловую скорость торможения,

) время торможения t,

) момент импульса вентилятора в начале торможения,

) работу сил торможения. Момент инерции вентилятора -J

Используйте данные таблицы 4.

Таблица 4

Решение

Запишем уравнения вращательного движения вентилятора

 (2)

По условию задачи до начала торможения вентилятор вращается с частотой ν, следовательно, начальная угловая скорость вращения .

В момент остановки вентилятора его угловая скорость  и уравнение (2) даёт угловое ускорение торможения

Подставив в уравнение (1), получим:

До полной остановки вентилятор сделал  оборотов, следовательно, угол поворота вентилятора . Таким образом

Отсюда находим время торможения

Момент импульса вентилятора в начале торможения

Момент сил торможения

Работа сил торможения

Ответ:

Задача 5

Материальная точка массой  совершает колебания по закону: х=Асоsωt, где х - смещение точки от положения равновесия, t - время, ω - круговая частота колебаний. Используя данные таблицы 5, найдите:

) скорость смещения точки V, в момент времени t.

) период колебаний Т.

) наибольшую возвращающую силу Fm.

) кинетическую энергию точки в момент времени t.

) полную энергию точки.

Таблица 5

Решение

Скорость точки определим по заданному закону колебаний

Так как , то скорость точки запишем в виде

В момент времени  получим

Период колебаний

Возвращающая сила при гармонических колебаниях

где ускорение колеблющейся точки, которое имеет вид

Максимальная возвращающая сила

Кинетическая энергия колеблющейся точки

В момент времени  получим

Полная энергия точки равна максимальной кинетической энергии:

Ответ:

Задача 6

В сосуде находится  моля кислорода и m2 граммов газа с молярной массой М2.

Температура смеси Т. Общее давление смеси Р. Используя данные таблицы 1, найти:

) молярную массу смеси Мс;

) объем сосуда V;

) парциальное давление каждого газа в смеси;

) число молекул в 1 см3 этого сосуда.

Примечание. Молярная масса кислорода равна 32 г/моль.

Число Авогадро Nа=6,02∙10 23 г/моль

Постоянная Больцмана к =1,38∙10-23 Дж/к.

Таблица 6

Решение

Число молей газа массой  равно

Молярная масса смеси

где объёмные доли компонентов смеси, равные их мольным долям:

Парциальные давления смеси

Объём второго газа определим из уравнения состояния идеального газа

Так как , то объём газа

Число молекул в 1 см3 сосуда (концентрацию молекул) определим из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов

Ответ:

Задача 7

Идеальный газ находится в сосуде под давлением Р при температуре Т. Используя данные таблицы 2, найти:

) плотность газа ρ;

) среднюю арифметическую скорость молекул газа <V>;

) среднюю длину свободного пробега <λ>;

) среднее число столкновений молекул газа за 1 с <z>.

Примечание. d- эффективный диаметр молекул газа; М - молярная масса газа.

Таблица 7

Решение

Отсюда плотность

Подставим числовые данные

Средняя арифметическая скорость молекул газа вычисляется по формуле

Произведём вычисления:

Средняя длина свободного пробега

где эффективный диаметр молекулы,

концентрация молекул газа.

Концентрацию молекул определим из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов

Тогда

Произведём расчёт:

Среднее число столкновений молекулы газа за 1 с

Произведём расчёт:

Ответ:

Задача 8

Идеальный газ массой m из состояния 1 с параметрами  (давление, объем и температура) переходит в состояние 2 так, что давление меняется в  раз.

Используя данные таблицы 3, найти:

) температуру T2 и объём V2 газа в состоянии 2;

) работу газа при данном переходе;

) изменение его внутренней энергии;

Процесс считать:

с) адиабатным.

Таблица 8

Решение

Начальный объём газа определим из уравнения состояния идеального газа

Молярная масса гелия . Вычислим начальный объём:

Температуру газа в конечном состоянии определим из соотношений параметров газа в адиабатном процессе

Поскольку гелий является одноатомным газом, его показатель адиабаты . Вычислим температуру газа в конце процесса:

Конечный объём газа определим из уравнения состояния идеального газа

Работа одноатомного газа в адиабатном процессе

Изменение внутренней энергии газа по первому началу термодинамики равно

Ответ:

Задача 9

Газ массой m был нагрет от температуры t1 до t2 изобарно, затем его охладили изохорно до первоначальной температуры t1.

Используя данные таблицы 4, определить изменение энтропии газа в ходе этих процессов.

Таблица 9

Решение

Изменение энтропии газа определяется формулой

Определим сначала изменение энтропии в ходе первого процесса. Изменение количества теплоты найдём из первого закона термодинамики для идеального газа:

Выразим изменение объёма  через изменение температуры  из уравнения состояния идеального газа:

Для одноатомного газа Ar молярная теплоёмкость .

Теперь получим:

Подставим найденное  в уравнение (1):

Молярная масса аргона  Произведём расчёт:

Определим изменение энтропии в ходе второго процесса. В изохорном процессе изменение количества теплоты равно изменению внутренней энергии газа:

Подставим найденное  в уравнение (1):

Подставим числовые данные

Общее изменение энтропии

Ответ:

Задача 10

Капилляр, внутренний радиус которого r, опущен в жидкость плотностью ρ.

Определить: 1) на какую высоту поднялась жидкость в капилляре?

) объем жидкости, поднявшейся в капилляре, если поверхностное натяжение жидкости равно σ (см. данные таблицы 5).

Таблица 10

Решение

Высота поднятия жидкости в капилляре определяется по формуле

Произведём вычисления:

Объём жидкости, поднявшейся в капилляре:

Ответ: