Уравнение плоскости и прямой. Метод Крамера и Гауса

Уравнение плоскости и прямой. Метод Крамера и Гауса

Задание 1

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной прямой L: , .

Решение

Сделаем рисунок.

Рис. 1

Уравнение плоскости ищем в виде: , где - точка, через которую проходит плоскость, а - нормальный вектор плоскости. Направляющий вектор прямой : , он будет нормальным для искомой площади.

Следовательно, уравнение плоскости примет вид:

Ответ: .

Задание 2

Написать уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Решение

Уравнение прямой имеет вид: , где - координаты любого ненулевого вектора , параллельного прямой (направляющего вектора прямой), а  - координаты любой точки, лежащей на прямой.

Возьмём в качестве точки, лежащей на прямой, точку , а за направляющий вектор  примем вектор , лежащей на прямой.

.

Тогда уравнение прямой, проходящей через точки А и В, имеет вид:

.

Ответ: .

Задание 3

Для матрицы А, В и С. Найти, если возможно, , , , .

, , .

Решение

Сумма матриц определена только для матриц, имеющих равное число строк и столбцов, следовательно, А+2В - не определена.

Вычислим:

.

Произведение матриц определено только, если в первом сомножителе столько столбцов, сколько во втором строк. Следовательно, произведение АВ - определено, а ВС - нет.

Вычислим:

=[элемент матрицы произведения, стоящий в -ой строке и ом столбце равен ]=

.

Задание 4

Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

Решение

Составим и вычислим главный определитель системы, т.е. определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных:

, следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое можно найти по формулам:

, где  получаются, если в определителе  заменить столбец коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.

, , .

Проверка.

Подставим  в уравнения системы.

Ответ: .

Задание 5

Исследовать и решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение

Запишем расширенную матрицу системы

Преобразуем матрицу к треугольному виду, для этого строку 1 умножим на (-2) и сложим со второй строкой, результат запишем во вторую строку. Умножим строку 1 на (-1) и сложим с третьей строкой, результат запишем в третью строку.

Третью строку убираем

Следовательно, ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Значит, базисных переменных две и свободных две. Система имеет бесконечное множество решений. Найдём их.

Из строки 2 получившейся матрицы найдём :

.

Из строки 1 найдём :

Ответ:

, свободные переменные.

Задание 6

Изобразите на комплексной плоскости точки, соответствующие числам :

, , , .

Решение

Для изображения точек на плоскости выделим необходимые значения, которые соответствуют комплексной плоскости.

Покажем это на комплексной плоскости.

Рис. 2

Задание 7

Найдите в алгебраической форме .

Решение

Согласно условия:  и .

Найдём

.

Найдём :

.

Найдём :

, умножим числитель и знаменатель на сопряжённый знаменателю множитель , тогда

.

Ответ: .

Задание 8

Переведите число  в тригонометрическую форму и найдите . Ответ дать в тригонометрической и показательной форме.

Решение

Согласно условия:  и .

Запишем  в тригонометрической форме, применив формулу: . Каждое комплексное число определяется модулем и аргументом:

Тогда, . Проанализируем аргумент. Так как , то .

Откуда, .

Так как комплексные числа, заданные в тригонометрической форме, то, для их произведения применим формулу:

Тогда,

.

Тогда, запишем результат в тригонометрической форме:

.

Запишем результат в показательной форме, применив формулу:

.

Ответ:

Задание 9

Решите квадратные уравнения: , .

Решение

)

Ответ: .

) ,

Ответ: .

Задание 10

Вычислить предел: .

Решение

Неопределённость вида , для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на переменную в старшей степени, т.е. на . Тогда можем записать:

Задание 11

Вычислить предел: .

Решение

Неопределённость вида . Применим кубическую формулу:

, а затем сократим на критический множитель :

Задание 12

Вычислить предел: .

Решение

Неопределённость вида . Применим таблицу бесконечных эквивалентных малых величин.

.

Задание 13

Вычислите производную: .

Решение

Задание 14

Вычислите производную: .

Решение

Задание 15

Исследуйте функцию и постройте её график: .

Решение

.Функция не является периодической.

Проверим чётность и нечётность функции

, . Следовательно, функция - общего вида.

.Функция непрерывная во всех точках оси, кроме точки .

.Выясним, будет ли прямая  вертикальной асимптотой графика функции. Для этого вычислим односторонние пределы

,

.

Итак, график функции имеет вертикальную асимптоту . Найдём асимптоты графика функции при .

.

.

Таким образом, прямая , т.е. , является наклонной асимптотой одновременно для правой и левой ветвей графика функции.

. Исследуем функцию на возрастание и убывание и найдём точки её экстремумов.

Производная  существует и конечна везде в области определения функции.

Найдём экстремальные точки: , .

Найдём промежутки монотонности функции, для этого строим таблицу.

Таблица 1

Таким образом, функция убывает на промежутке  и возрастает на промежутках .

Найдём ординату в экстремальной точке:

.

. Найдём интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Найдём вторую производную функции:

Вторая производная в ноль не обращается, следовательно, точек перегиба нет.

Для исследования направленности выпуклости графика функции строим таблицу 2.

Таблица 2

Заметим, что в таблицу необходимо включать и точки разрыва графика функции.

Итак, график функции будет вогнут вверх на всей числовой оси области определения

. Используя результаты исследования, строим график функции.

Рис. 3

Задание 16

Вычислить определённый интеграл: .

Решение

.

Применим метод замены переменной, для этого положим , дифференцируя, можем записать: , а также найдём новые пределы интегрирования: , . Подставляя замену переменной и переходя к новым пределам интегрирования, можем записать:

.

Задание 17

Вычислить определённый интеграл: .

Решение

Применим метод интегрирования по частям по следующей формуле: .

Положим

Тогда,

Задание 18

Решение

Положим , дифференцируя, запишем . Перейдём к новым пределам интегрирования: , . Подставляя замену в исходный интеграл, а, также перейдя к новым пределам интегрирования, получим

Задание 19

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: , , .

Решение

Сделаем рисунок.

Рис. 4

Площадь фигуры состоит из двух областей: D1 и D2.

Найдём площадь фигуры D1:

Найдём площадь фигуры D2 из которой не забудем вычесть площадь прямоугольника ABCD, которая равна: .

Тогда,  кв.ед.

Задание 20

уравнение дуга число кривая

Вычислите длину дуги кривой: , .

Решение

Длина дуги кривой, заданная в параметрическом виде вычисляется по формуле:

.

Найдём производные:

,

.

Тогда,

.