Корректирующие коды. Линейные групповые коды. Код Хэмминга

Корректирующие коды. Линейные групповые коды. Код Хэмминга

Вариант 24

а

В дизъюнктивной нормальной форме:

1б. Система множеств {x₁, x₂, …, x_n} наз. разбиением множества А, если она удовлетворяет след. условиям:

) Любое множество X{x₁, x₂, …, x_n} явл. помножеством мн-ва А.

) Любые два мн-ва X_i, X_j{x₁, x₂, …, x_n}явл. непересекающимися.

) Объединение всех мн-в, входящих в разбиение, дает мн-во А.

Задано мн-во 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:

а) {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7}} - эта совокупность элементов составляет разбиение мн-ва А, т.к. удовлетворяет всем условиям, приведенным выше.

б) {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}} - эта совокупность элементов не явл. разбиением А, т.к. не удовлетворяет условию непересекаемости.

2а. Ориентированные пути графа (с указанием длины пути):

v₁v₂(1), v₁v₄(1), v₁v₂v₃(2), v₁v₂v₄(2), v₁v₂v₃v₄(3), v₂v₃(1), v₂v₄(1), v₂v₃v₄(2),

v₃v₄(1), v₅v₁(1), v₅v₃(1), v₅v₃v₄(2), v₅v₂(1), v₅ v₁v₂(2), v₅v1v4(2), v₅

v₁v₂v₃(3), v₅ v₁v₂v₄(3), v₅ v₁v₂v₃v₄(4), v₅ v₂v₃(2), v₅ v₂v₄(2), v₅v₂v₃v₄(3).

Для заданного графа невозможно построить цикл

2б

Идея алгоритма Уоршелла состоит в расширении множества промежуточных вершин по следующему правилу: на каждом шаге в рассмотрение добавляется одна новая вершина, после чего достижимости вершин пересчитываются “через нее”. Если w - промежуточная вершина, то достижимость вершины v из вершины u через w пересчитывается по правилу: D[u;v] = D[u;v] ИЛИ (D[u;w] И D[w;v]). Таким образом, получаем матрицу достижимости:

Пути ориентированного графа:

v₁v₂v₃v₁, v₁v₂, v₁v₂v₃, v₁v₂v₃v₄, v₂v₃v₁, v₂v₃v₁v₂, v₂v₃, v₂v₃v₄, v₃v₁, v₃v₁v₂,

v₃v₁v₂v₃, v₃v₄, v₅v₁, v₅v₁v₂, v₅v₃, v₅v₃v₄.

𝐴 = , 𝐵 =  

U =  ∨  =

𝐼 =  ∧  =

=   =

4

𝐺𝐹(4) = GF(2²) ⇒ p = 2, q = 4 (p - хар-ка поля, q - кол-во эл-тов в поле)

2𝑥 +

𝑥 + 2𝑦 = 3

y = 1, x = 1.

, .

α⁰ = 1;

α¹ = α;

α² = α²;

α³ = α² + 1;

α⁴ = α³ + α = α² + α + 1;

α⁵ = α³ + α² + α = α + 1;

α⁶ = α² + α;

α⁷ = α³ + α² = 1;

Минимальный многочлен элемента β поля GF(q^m) определяется по формуле:

Найдем l: условие  выполняется при l = 3: α⁴⁸ = α⁶.

Найдем минимальный многочлен элемента α⁶:

Проделав преобразования, получим:

M⁶(x) = x³ + x + 1.

6a

Линейный групповой код с повторением с параметрами [𝑛; 1; 𝑛], 𝑛 = 6.

Длина кодового слова n = 6, кол-во информационных символов k = 1, кодовое расстояние d_min = 6, кол-во проверочных символов r = n - k = 5.

Порождающая матрица:

Проверочная матрица:

б

Минимальное расстояние Хэмминга (кодовое расстояние) кода, порождаемого матрицей Адамара

d_min = 2.

а

Таблица смежных классов:

Для кода Адамара: 0 = 1, 1 = -1.

Получено сообщение

, т.е.

- это разрешенная кодовая комбинация, т.е. ошибок нет.

Получено сообщение

, т.е.

- ошибка произошла в первом разряде, кодовое слово без ошибки: (1 -1 -1 1).

7б

 - ошибок нет.

 - есть однократная ошибка.

Т.к. кодовое расстояние для данного кода d_min = 2, то по синдрому можно определить только наличие или отсутствие однократной ошибки (t_o + 1 ≤ d_min, 2t_и + 1 ≤ d_min).

8

, ,, ,

, , ,

, , .

б. Код Хаффмана:

9. Даны последовательности  длин L = 4 и M = 3, соответственно. Апериодическая (линейная) взаимная корреляция определяется по формуле:

. В матричном виде:

линейный код информационный сигнал

10. Алгоритм Горнера:

Произвольный полином степени N:

.

Представим полином p(z) в виде

.

Вычисление начнем с произведения , затем суммы , далее произведения  и т.д. Метод Горнера требует не более N операций умножения и N операций сложения.

Пример: пусть дан полином p(z) степени

N = 4: p(z) = 4z⁴ - 2z³ + 3z² + z - 5.

P (z) = (4z³ - 2z² + 3z + 1)z - 5 = ((4z² - 2z + 3)z + 1)z - 5 = (((4z - 2)z +

+ 3) z + 1)z - 5.

Пусть

z = -1: 4·z = 4·(-1) = -4, -4 - 2 = -6, -6·z = -6·(-1) = 6, 6 + 3 = 9, 9·z = 9·(-1)

= -9, -9 + 1 = -8, -8·z= = -8·(-1) = 8, 8 - 5 = 3.

Мультипликативная сложность = 4, аддитивная = 4. Если бы полином считался прямо, то мультипликативная сложность составила бы 6 операций.

Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй»:

Пусть необходимо вычислить полином в нескольких точках а₁, а₂, …, а_k, k ≤ N. Положим сначала

z = a₁. Тогда можно записать

p(z) = (z - a₁) q(z) + r(z),

где q(z) и r(z) - частное и остаток от деления p(z) на (z - a₁). Этот результат можно распространить на большее число точек. Рассмотрим произведение  и запишем p(z) = m(z) q(z) + r(z). В точке z = a_i полином m(z) равен нулю, поэтому p(a_i) = r(a_i). Теперь вычисление полинома p(z) свелось к вычислению полинома r(z), степень которого меньше.

Этот подход можно использовать для построения алгоритма вычисления полинома степени N - 1 в N точках. Положим N = 2^l. Разделим N точек на две половины и образуем полиномы

и.

Разделим p(z) на m₁(z) и m₂(z). При этом получим остатки r₁(z) и r₂(z) степени N/2. Теперь осталось вычислить эти остатки в N/2 точках. Для вычисления остатков можно воспользоваться аналогичным приемом, повторяя его многократно.

Пример: Пусть требуется вычислить полином

p(z) = 4z³ - 2z² - 2z + 1 в точках z, равных -2, 2, 1, -1.

Образуем

m₁(z) = (z + 2)(z - 2) = z² - 4, m₂(z) = (z - 1)(z + 1) = z² - 1

После деления p(z) на m₁(z) и m₂(z) получим остатки

r₁(z) = 14z - 7, r₂(z) = 2z - 1

Далее остатки следует поделить на соответствующие образующие части полиномов m₁(z) и m₂(z):

r₁(z)/(z + 2) = -35 ⇒ p(-2) = -35

Аналогично получим

p(2) = 21, p(-1) = -3, p(1) = 1