Синтез цифрового рекурсивного фильтра Чебышева нижних частот третьего порядка по аналоговому прототипу

Синтез цифрового рекурсивного фильтра Чебышева нижних частот третьего порядка по аналоговому прототипу

Синтез цифрового рекурсивного фильтра Чебышева нижних частот третьего порядка по аналоговому прототипу

Введение

Фильтр в обобщенном смысле слова представляет собой устройство (или систему), которое преобразует заданным образом проходящий через него входной сигнал.

Электрические фильтры можно классифицировать несколькими способами. Для обработки непрерывных во времени сигналов используют аналоговые фильтры, а дискретные сигналы обрабатываются цифровыми фильтрами. Цифровые фильтры в свою очередь можно разделить на рекурсивные (с бесконечной импульсной характеристикой) и нерекурсивные (с конечной импульсной характеристикой).

Цифровые фильтры являются неотъемлемой составляющей устройств цифровой обработки сигналов. В настоящее время цифровые устройства и сигналы все больше используются в нашей жизни, поэтому их изучение и разработка заслуживают большого внимания.

Задание 1

Получить аналитическое выражение передаточной функции аналогового фильтра прототипа, используя справочные данные.

Передаточная функция в общем виде может быть записана как:

 (1.1)

где коэффициенты  для различных типов аналоговых нормированных ФНЧ определяются табличными данными.

Параметр r вычисляется по формуле:

 (1.2)

где n - порядок фильтра.

Тогда, передаточная функция для ФНЧ 3-его порядка будет иметь вид:

. (1.3)

Воспользовавшись справочными данными, запишем коэффициенты:

Подставив в формулу (1.3) значения коэффициентов получим:

 (1.4)

Нормирующий множитель (константу нормирования) при условии, что n-нечетное число, найдем по формуле:

 (1.5)

Коэффициенты  и  , входящие в выражение для передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ Чебышева вычисляются по формулам:

 (1.6)

 (1.7)

 (1.8)

гдесвязан с коэффициентом α следующим соотношением:

Из последнего равенства находим =0,4978.

Для нашего случая находим полюсы  передаточной функции:

По формулам (1.6) и (1.7) находим коэффициенты и :

По формуле (1.5) находим нормирующий множитель:

В итоге получим передаточную функцию аналогового нормирующего ФНЧ Чебышева 3-его порядка, которая имеет вид:

 (1.9)

Для нахождения ПФ ФНЧ, необходимо в выражении (1.9) произвести замену переменной:

 (1.10)

где - частота среза.

Тем самым произведем денормирование частоты. Операция денормирования соответствует отображению комплексной S-плоскости в комплексную P-плоскость. В результате денормирования частоты из передаточной функции дробно-рационального вида  получают передаточную функцию  также дробно-рационального вида:

 (1.11)

где

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (1.11) получаем:

Задание 2

Применив билинейное преобразование, получить аналитическое выражение передаточной функции цифрового фильтра.

Операция дискретизации соответствует отображению комплексной P-плоскости в комплексную Z-плоскость. При этом мнимая ось P-плоскости должна отображаться в единичную окружность Z-плоскости, а левая полуплоскость P-плоскости - во внутреннюю часть круга единичного радиуса Z-плоскости. Выполнение этих требований гарантирует сохранение селективных свойств и устойчивости фильтра при дискретизации. При этом

 (2.1)

Наиболее часто при дискретизации используют билинейное преобразование:

 (2.2)

где  - частота дискретизации.

Билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра в форме (1.11) приводит к передаточной функции дискретного фильтра:

 (2.3)

Рассчитаем коэффициенты передаточной функции H(z):

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (2.3), получаем передаточную функцию цифрового фильтра:

Задание 3

По передаточной функции цифрового фильтра построить структурную схему его реализации двумя способами - прямым и каноническим.

По передаточной функции цифрового фильтра можно построить структурную схему его реализаций. Существует несколько способов. Применим два из них: прямой и канонический.

При построении первым способом, структурную схему фильтра строят непосредственно по передаточной функции (либо по уравнению в конечных разностях).

Рекурсивные цифровые фильтры характерны тем, что для формирования i-го выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигналов. От передаточной (системной) функции

можно перейти к разностному уравнению:

 (3.2)

Представим H(z) в виде:

Перейдём к разностному уравнению:

Коэффициенты занесём в таблицы:

Таблица 1 - Коэффициенты входного сигнала.

Таблица 2 - Коэффициенты выходного сигнала.

Изобразим структурную схему цифрового фильтра:

Рисунок 2 - Структурная схема цифрового фильтра (прямой способ построения).

Недостатком данного принципа реализации является потребность в большем числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных фильтров, где используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из M и N.

При построении структурной схемы каноническим способом, разностное уравнение заменяется системой эквивалентных разностных уравнений вида:

 (3.3)

Запишем:

Таким образом, необходимо ввести некоторую вспомогательную функцию D(z), умножив и разделив на нее числитель и знаменатель:

,

Откуда получаем:

При использовании канонического способа построения структурной схемы в ее составе всегда будет 2 сумматора, причем выходной сигнал первого всегда будет равен функции .

Рисунок 3 - Структурная схема цифрового фильтра (канонический способ построения).

Задание 4

Определить реализационные характеристики при данных способах реализации цифрового фильтра.

Определим реализационные характеристики цифрового фильтра для двух способов построения (рис.2 и рис.3).В их число входят:

- число ячеек ОЗУ необходимое для реализации. Оно равно числу элементов задержки в структурной схеме.

- число ячеек ПЗУ необходимое для реализации. Оно равно числу постоянных множителей.

-число операций умножения, необходимое для получения одного выходного отсчета сигнала. Оно равно числу множительных устройств.

- число операций сложения. Оно равно суммарному числу входов сумматора, минус число сумматоров.

Согласно нашим структурным схемам, имеем:

.Для прямого метода реализации:

=6; =7; =7; =6.

.Для канонического метода реализации:

=3; =7; =7; =6.

Задание 5

Средствами MATLAB провести проверку коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра, полученных после выполнения заданий 1 и 2.

Для проверки коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра с помощью MATLAB создадим M-сценарий и используем следующий программный код:

clear all; clc; close all;

n=3;=400;=6000;=1;=2*fc/fd;

[a,b]=cheby1(n,Rp,Wn,'low')

где n -порядок фильтра; fc - частота среза; fd-частота дискретизации; Rp - неравномерность в полосе пропускания; ; Wn - нормированная частота, её значения лежат в отрезке [0,1], где 1 соответствует частоте Найквиста. Частота Найквиста равна 0,5*fd; [a,b] = cheby1(n, Rp, Wn, 'low') - команда, которая вычисляет коэффициенты передаточной функции.

Получаем:

a =0.0037 0.0111 0.0111 0.0037

b =1.0000 -2.4710 2.1626 -0.6619

Таблица 3 - Сравнение вручную рассчитанных коэффициентов, с коэффициентами, полученными в системе MATALAB.

По результатам видно, что расчёт произведён правильно.

аналоговый фильтр цифровой передаточный

Задание 6

Построить АЧХ и ФЧХ синтезированного цифрового фильтра.

Команда freqz выполняет построение АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра.

clear all; clc; close all;=3;=400;=6000;=1;

=2*fc/fd;

[a,b]=cheby1(n, Rp, Wn, 'low')

freqz(a,b)

В результате получаем графики АЧХ и ФЧХ синтезированного цифрового ФНЧ , изображённого на рисунке 4.

Рисунок 4 - АЧХ и ФЧХ синтезированного цифрового ФНЧ.

Задание 7

Построить импульсную характеристику цифрового фильтра для первых 50 отсчётов.

Для построения импульсной характеристики воспользуемся командой impz.

clear all; clc; close all;=3;=400;=6000;=1;=2*fc/fd;

[a,b]=cheby1(n, Rp, Wn, 'low')(1)(a,b)(2)(a,b,50)on

В результате получили импульсную характеристику цифрового фильтра для первых 50 отсчётов. Она приведена на рисунке 5.

Рисунок 5 - Импульсная характеристика цифрового фильтра .

Заключение

В данной работе был проведен синтез рекурсивного цифрового фильтра низких частот Чебышева 3-го порядка по аналоговому прототипу. В результате нашли передаточную функцию аналогового фильтра. Произвели денормирование частоты в аналоговой области. Выполнили дискретизацию, в результате которой получили передаточную функцию цифрового фильтра. Полученные результаты проверили в системе Matlab, получили АЧХ, ФЧХ и ИХ цифрового фильтра.

Список используемой литературы

1.   Гадзиковский В.И. Цифровая обработка сигналов: методические указания. - Екатеринбург. 2006. - 53 с.

2.       Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов.- Издательство: Питер - 2002.- 604 с.

.         Белоедов М.В. Методы проектирования цифровых фильтров. Волгоград 2004. - 60с.

.         Курс лекций по ЦОС. Дубровин В.С.