Формирование логической грамотности при обучении математике младших школьников

Формирование логической грамотности при обучении математике младших школьников

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ

Выпускная квалификационная работа по математике и методике математики

Формирование логической грамотности при обучении математике младших школьников

Выполнила: студентка 5 курса 2 группы

педагогического факультета

очной формы обучения

Никитиной Д.Н.

Научный руководитель:

старший преподаватель Ушанкина Л.В.

Орехово-Зуево

год

Содержание

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические основы развития логического мышления

.1   Развитие логического мышления младших школьников: проблема и различные аспекты

1.2    История проблемы развития логического мышления учащихся

.3      Особенности развития логического мышления младших школьников

Выводы по главе I

Глава 2. Пути решения проблемы формирования логической грамотности учащихся на уроках математики в начальной школе

.1 Различные подходы к формированию логической грамотности младших школьников

.1.1 Учебник «Моя математика» для 1-го класса (авторы Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких и др.)

.1.2 Приёмы развития логического мышления младших школьников по учебникам Моро М. И., Бантовой М. А. и др

.1.3 Развитие математического стиля мышления младших школьников в рамках дидактической системы Л.В. Занкова

.2 Развитие логического мышления при обучении решению нестандартных арифметических задач

.3 Методика работы с текстовыми логическими заданиями

Выводы по главе II

Заключение

Список литературы

Приложение.

Введение

педагогический логический мышление математика

Актуальность исследования

Постоянный рост объема и сложности научных знаний делает невозможным их трансляцию в полном объеме в общеобразовательной школе. В этой связи вопрос о необходимости специальной работы учителя начальных классов по развитию логического мышления ученика приобретает особенную остроту по нескольким причинам: появление новых учебников развивающей направленности по различным предметам, которые требуют от ребенка активной мыслительной деятельности для усвоения их содержания; активное внедрение курса «Информатика» как в начальном, так и в среднем звене школы, предполагающее усиление логической подготовки учеников младших классов.

Большинство учебников по математике для начальных классов содержат специальные упражнения, цель которых - формирование у младших школьников логических операций (сравнение, обобщение, синтез, анализ, классификация и др.). Однако отсутствие специально разработанной системы подобных заданий в значительной степени затрудняет работу учителя в данном направлении.

Наибольшее противоречие в складывающейся ситуации состоит в том, что от ребенка, пришедшего в первый класс, уже сразу требуется достаточно высокий уровень развития логического мышления, необходимый для успешного усвоения программы. В этой связи довольно часто в последние годы при выявлении готовности будущих первоклассников к школе их проверяют на уровень развития логического мышления уже в процессе приема в первый класс. Низкий уровень этого развития может привести к отказу в приеме ребенка в классы с насыщенными программами обучения, в гимназические классы. Причина в том, что недостаточная развитость логической сферы первоклассника в течение первого года обучения создаст ему большие трудности в обучении, и трудности эти не уменьшатся с переходом в следующие классы, а будут увеличиваться.

Специальная педагогическая работа по развитию логического мышления детей младшего возраста дает благоприятный результат, повышая в целом уровень их способностей к обучению в дальнейшем. Многочисленные психологические исследования доказывают, что тот тип интеллекта, который складывается к 7-8 классу, качественно изменить уже практически невозможно (Дж. Брунер, Д. Гилфорд, М.А. Холодная, Л.А. Ясюкова и др.) [45]. Те интеллектуальные способности, которые не достигли к этому возрасту определенного уровня развития, не будут в дальнейшем развиваться сами по себе, по мере взросления школьника, а постепенно подавляются окончательно. В более старшем возрасте никаких принципиально новых интеллектуальных операций в системе мыслительной деятельности человека уже не возникает.

Имеется ряд педагогических исследований (Ш.А. Амонашвили, А.В. Белошистая, В.В. Давыдов, Г. Доман, Н.Б. Истомина, М. Монтессори, И.Л. Никольская и др.)[15], доказывающих, что при организации систематического педагогического воздействия на развитие логического мышления соответствующие интеллектуальные операции могут быть сформированы у ребенка в младшем школьном возрасте. Становление и активизация «сильного мышления» у ребенка интеллектуализирует его познавательную деятельность, делает ее активно-поисковой, формирует творческое и деятельностное отношение к действительности. Ребенок чувствует себя уверенно в различных отношениях с окружающим миром.

Многие исследователи отмечают, что целенаправленная работа по развитию логического мышления младших школьников должна носить системный характер (Е.В. Веселовская, Е.Е. Останина, А.А. Столяр, Л.М. Фридман и др.)[56]. При этом исследования психологов (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, А.А. Люблинская, Д.Б. Эльконин и др.) [30]позволяют сделать вывод о том, что результативность процесса развития логического мышления младших школьников зависит от способа организации специальной развивающей работы.

Анализ современных учебников по математике для начальной школы - учебные пособия М.И. Моро, И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон[37] и др. - показал, что большинство из них содержат задания, направленные на развитие логического мышления школьника, но они не носят системного характера, используются в качестве необязательного материала. Часть заданий уже предполагает наличие у ребенка сформированных логических операций. Кроме того, почти все задания в этих учебниках представлены в виде текстовых заданий, а это усложняет ребенку их выполнение, т.к. мышление младших школьников все еще остается наглядно-образным.

Таким образом, налицо противоречие между необходимостью развития логического мышления младшего школьника и отсутствием доступного учителю систематизированного дидактического материала, направленного на развитие логического мышления учащихся. Данное противоречие обусловило проблему, разрешению которой посвящено данное исследование: «Развитие логического мышления младших школьников на уроках математики в начальной школе».

Цель исследования - обосновать систему специальных заданий как средства развития логического мышления младших школьников

Объект исследования - развитие логического мышления младших школьников в процессе обучения.

Предмет исследования - система специальных заданий, направленных на развитие логического мышления младших школьников.

Цель, объект, предмет исследования обусловили задачи исследования:

1. Проанализировать современное состояние проблемы развития логического мышления младших школьников с целью выявления особенностей его развития.

2.      Изучить дидактические материалы и пособия, рекомендуемые для развития логического мышления учеников начальных классов с точки зрения их соответствия особенностям мышления детей младшего школьного возраста.

.        Обосновать специфику построения системы заданий, необходимых для развития логического мышления учащихся начальных классов.

Для решения поставленных задач использовались методы исследования:

1.Теоретический анализ философских, психолого-педагогических исследований.

.Сравнительный анализ учебных программ, учебников, учебных пособий.

Глава 1. Психолого-педагогические основы развития логического мышления

.1 Развития логического мышления младших школьников: проблема и различные аспекты

Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.

Во-первых, проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усваиваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.

Во-вторых, необходимо четко поставить, сформулировать проблему в силу того, что разные авторы под развитием логического мышления подразумевают различные задачи. В статьях, рекомендациях, как правило, поднимаются отдельные аспекты обшей задачи развития логического мышления. Есть необходимость в целом сформулировать проблему.

Существуют различные трактовки терминов «логика мышления», «логическое мышление». В педагогике, в методике преподавания математики эти понятия отдельными авторами понимаются очень широко как обеспечение связей в мыслях. Такое понимание охватывает и логику поиска нового знания (диалектическую логику) и логику оформления имеющегося знания и логику здравого смысла. Также имеет место смешение элементарных психологических операций процесса мышления и логических форм. Нередко к логическим операциям относят элементарные операции мышления: анализ, синтез, сравнение и т.д.

Кроме того, часто понятия диалектическое и логическое мышление четко не разделяются.

В данном изложении принята точка зрения на логическое мышление как отличное от диалектического, творческого, мышления поиска нового знания.

В реальном процессе мышления творческое и логическое мышление тесно переплетены, взаимопроникают, но не тождественны.

В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мышление - мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мышление в таком понимании не является творческим, т. к. согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посылок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к нему ничего. Известные математики, изучавшие процесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психологи, изучавшие процесс мышления (Я.А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.)[46], разделяют творческое и логически мышление. Логические рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли, пропуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т. е. озарения, инсайта, интуиции.

Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена - развитие логического мышления. Еще столетие назад Л .Н. Толстой отмечал, что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой мысли при счислений.

Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать в обычном учебном процессе, не привлекая дополнительного содержания, лишь расставляя в обычном учебном материале определенные акценты.

Выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее, если обучение определенным образом организовано, если осознаются отдельные логические формы. С осознанием отдельных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи.

Существующее положение дел в усвоении норм логического мышления не может считаться удовлетворительным в массовой школе, т. к. многие учащиеся, выпускники школ допускают многочисленные логические ошибки при определении понятий, их классификации, путают прямую и обратную теоремы, свойства и признаки понятий, не умеют подводить под определение, не умеют строить отрицания высказываний и т. д. Приведем примеры типичных ошибок учащихся. Например, при обосновании, что треугольник со сторонами 3,4,5 является прямоугольным, называется теорема Пифагора, а не ей обратная. При определении понятий неверно указывается родовое понятие: «Диаметр- прямая, проходящая через центр окружности». Неверно или не полостью указываются видовые отличия: «Параллелограмм - это такой четырехугольник, у которого боковые стороны равны». Отсутствует родовое понятие или видовое отличие: «Средняя линия трапеции - это отрезок», «Параллелограмм - это когда стороны параллельны». Формулировки определений избыточны: Равнобедренный треугольник - это треугольник, в котором стороны, лежащие против равных углов, равны».

Учащиеся путают определение понятия, признак, свойство. Вместо признака, требуемого при решении задачи, приводится определение или свойство, вместо определения - признак и т.д.

Многочисленные ошибки наблюдаются при установлении связи между понятиями, при классификации понятий, при выяснений, которая из двух теорем является следствием другой. Пример неверной классификации: «Прямые в пространстве могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися, скрещивающимися». И т. д.

Как можно видеть, существует необходимость в процессе обучения обращать специальное внимание на развитие логического мышления. В Настоящем пособии тема развития логического мышления учащимся рассматривается после того, как основные Опросы курса методики изучены. Представляется, что когда предмет методики преподавания математики лишь начинается, Цели развития логического мышления при обучении математике могут быть лишь обозначены примерно в том плане, как это сдельно в программе по математике.

По мере изучения вопросов общей и частных методик проблема развития логического мышления раскрывается более детально. Требования к формулировкам определений понятий, к построению доказательств и т. д. рассматриваются в соответствующих темах. Однако разрозненные сведения необходимо систематизировать, обобщить, углубить, довести до такого уровня, чтобы постанова целей развития логического мышления, постановка соответствующих учебных задач не представляла бы трудностей.

Почему проблема развития логического мышления чаще всего поднимается в школьном курсе математики? Существуют методические работы по развитию мышления, в том числе и логического, в школьных курсах русского языка, истории и т. д. В русском языке, чтобы оградить себя от возможных грамматических ошибок, приходится постоянно рассуждать логически. Логически мыслить можно учить через любую науку, любой школьный предмет. Но на школьную математику в этом плане ложится самая большая нагрузка. Ни в одном школьном предмете нет цепочек получения новых суждений, т. е. нет сложных формальных доказательств. В других школьных предметах доказательства фрагментарны, состоят из одного-двух шагов. Наличие многошаговых доказательств - одно из проявлений специфики математики - науки и школьного предмета. Отсутствие полноценного школьного курса математики существенно отражается на логическом, и, соответственно, на общем развитии человека.

Особую актуальность проблема развития логического мышления приобретает в связи с реализацией идей гуманизации и гуманитаризации школьного математического образования.

1.2    История проблемы развития логического мышления учащихся

История проблемы развития логического мышления при обучении математике связана определенным образом с проблемами строгости доказательства в самой науке математике. Известные из истории математики первые доказательства таковыми не являются с современной точки зрения. В древней индийской книге Ганеши доказательство формулы площади круга ограничивалось рисунком и надписью: «Смотри».

Логика формальных рассуждений - формальная логика дошла до настоящего времени из древних времен благодаря работам древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), в которых разработана теория дедукции, т. е. правил логического вывода, независящих от содержания рассуждений. Аристотелю принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в рассуждениях одни предложения выводятся из других независимо от их содержания, в силу своей определенной структуры, формы. Отсюда и название формальной логики.

Формальная логика возникает тогда, когда развитие специальных наук и вообще человеческого мышления сделало актуальным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получать правильные выводы.

В связи с появлением неэвклидовых геометрий, осознанием проблемы непротиворечивости системы научных знаний возникает потребность в совершенствовании аппарата доказательств. В XIX веке в результате применения в формальной логике математических методов возникает математическая логика.

Математическая логика существенно обогатила курс формальной логики, введя большую строгость в математические доказательства на основании новых требований к получению новых суждений.

Ответ на вопрос, заниматься ли развитием логического мышления учащихся, отечественные психологи и методисты давали однозначно положительный, в отличие от зарубежных, например, Ж. Пиаже, отстаивавшего положение о независимости развитии логических структур от обучения.

Методист И.А. Гибш, выделяя аспекты проблемы развития логического мышления, подчеркивал необходимость формирования умений учащихся: по подведению объектов под определение, классификации понятий, выведению следствий из определения, развитию умений пользоваться суждениями и умозаключениями, получать новые умозаключения на основании правил вывода и законов логики, пользоваться терминами «необходимо» и «достаточно», использовать различные приемы и виды доказательств. В недалеком прошлом крайнюю точку зрения в плане развития логического мышления учащихся отстаивал методист А.А. Столяр, который считал необходимым на определенном этапе обучения знакомить учащихся с элементами математической логики.

В работе И.Л. Никольской и Е.Е. Семенова[50] выделены знания и умения, которыми, по мнению авторов, выпускник школы должен владеть: уметь правильно формулировать определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение связок «и» и «или», уметь строить отрицание утверждений, содержащих кванторы, понимать смысл терминов «если то...», «тогда и только тогда, когда», «не более», «не менее» и т. д.

1.3 Особенности развития логического мышления младших школьников

К началу младшего школьного возраста психическое развитие ребёнка достигает достаточно высокого уровня. Все психические процессы: восприятие, память, мышление, воображение, речь - уже прошли достаточно долгий путь развития.

Напомним, что различные познавательные процессы, обеспечивающие многообразные виды деятельности ребёнка, функционируют не изолированно друг от друга, а представляют сложную систему, каждый из них связан со всеми остальными. Эта связь не остаётся неизменной на протяжении детства: в разные периоды ведущее значение для общего психического развития приобретает какой-либо один из процессов.

Психологические исследования показывают, что в этот период именно мышление в большей степени влияет на развитие всех психических процессов.

В зависимости от того, в какой степени мыслительный процесс опирается на восприятие, представление или понятие, различают три основных вида мышления:

. Предметно-действенное (наглядно-действенное).

. Наглядно-образное.

. Абстрактное (словесно-логическое).

Предметно-действенное мышление - мышление, связанное с практическими, непосредственными действиями с предметом; наглядно-образное мышление - мышление, которое опирается на восприятие или представление (характерно для детей раннего возраста). Наглядно-образное мышление даёт возможность решать задачи в непосредственно данном, наглядном поле. Дальнейший путь развития мышления заключается в переходе к словесно-логическому мышлению - это мышление понятиями, лишёнными непосредственной наглядности, присущей восприятию и представлению. Переход к этой новой форме мышления связан с изменением содержания мышления: теперь это уже не конкретные представления, имеющие наглядную основу и отражающие внешние признаки предметов, а понятия, отражающие наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними. Это новое содержание мышления в младшем школьном возрасте задаётся содержанием ведущей деятельности учебной.

Словесно-логическое, понятийное мышление формируется постепенно на протяжении младшего школьного возраста. В начале данного возрастного периода доминирующим является наглядно-образное мышление, поэтому, если в первые два года обучения дети много работают с наглядными образцами, то в следующих классах объём такого рода занятий сокращается. По мере овладения учебной деятельностью и усвоения основ научных знаний, школьник постепенно приобщается к системе научных понятий, его умственные операции становятся менее связанными с конкретной практической деятельностью или наглядной опорой. Словесно-логическое мышление позволяет ученику решать задачи и делать выводы, ориентируясь не на наглядные признаки объектов, а на внутренние, существенные свойства и отношения. В ходе обучения дети овладевают приёмами мыслительной деятельности, приобретают способность действовать «в уме» и анализировать процесс собственных рассуждений. У ребёнка появляются логически верные рассуждения: рассуждая, он использует операции анализа, синтеза, сравнения, классификации, обобщения.

Младшие школьники в результате обучения в школе, когда необходимо регулярно выполнять задания в обязательном порядке, учатся управлять своим мышлением, думать тогда, когда надо.

Во многом формированию такому произвольному, управляемому мышлению способствует задания учителя на уроке, побуждающие детей к размышлению.

При общении в начальных классах у детей формируется осознанное критическое мышление. Это происходит благодаря тому, что в классе обсуждаются пути решения задач, рассматриваются различные варианты решения, учитель постоянно просит школьников обосновывать, рассказывать, доказывать правильность своего суждения. Младший школьник регулярно становится в систему, когда ему нужно рассуждать, сопоставлять разные суждения, выполнять умозаключения.

В процессе решения учебных задач у детей формируются такие операции логического мышления как анализ, синтез, сравнение, обобщение и классификация.

Напомним, что анализ как мыслительное действие предполагает разложение целого на части, выделение путём сравнения общего и частного, различения существенного и не существенного в предметах и явлениях.

Овладением анализом начинается с умения ребёнка выделять в предметах и явлениях различные свойства и признаки. Как известно, любой предмет можно рассматривать с разных точек зрения. В зависимости от этого на первый план выступают та или иная черта, свойства предмета. Умения выделять свойства даётся младшим школьникам с большим трудом. И это понятно, ведь конкретное мышление ребёнка должно проделывать сложную работу абстрагирования свойства от предмета. Как правило, из бесконечного множества свойств какого-либо предмета первоклассники могут выделить всего лишь два-три. По мере развития детей, расширения их кругозора и знакомства с различными аспектами действительности такая способность, безусловно, совершенствуется. Однако это не исключает необходимости специально учить младших школьников видеть в предметах и явлениях разные их стороны, выделять множество свойств.

Параллельно с овладением приёмом выделения свойств путём сравнения различных предметов (явлений) необходимо выводить понятие общих и отличительных (частных), существенных и несущественных признаков, при этом используется такие операции мышления как анализ, синтез, сравнение и обобщение. Неумение выделять общее и существенное может серьёзно затруднить процесс обучения. В этом случае типичного материала: подведение математической задачи под уже известный класс, выделения корня в родственных словах, краткий (выделение только главного) пересказ текста, деление его на части, выбор заглавия для отрывка и т.п. Умение выделять существенное способствует формированию другого умения - отвлекаться от несущественных деталей. Это действие даётся младшим школьникам с не меньшим трудом, чем выделение существенного.

В процессе обучения задания приобретают более сложный характер: в результате выделения отличительных и общих признаков уже нескольких предметов, дети пытаются разбить их на группы. Здесь необходима такая операция мышления как классификация. В начальной школе необходимость классифицировать используется на большинстве уроков, как при введении нового понятия, так и на этапе закрепления.

В процессе классификации дети осуществляют анализ предложенной ситуации, выделяют в ней наиболее существенные компоненты, используя операции анализа и синтеза, и производит обобщение по каждой группе предметов, входящих в класс. В результате этого происходит классификация предметов по существенному признаку.

Как видно из вышеизложенных фактов все операции логического мышления тесно взаимосвязаны и их полноценное формирование возможно только в комплексе. Только взаимообусловленное их развитие способствует развитию логического мышления в целом. Приёмы логического анализа, синтеза, сравнения, обобщения и классификации необходимы учащимся уже в 1 классе, без овладения ими не происходит полноценного усвоения учебного материала.

Эти данные показывают, что именно в младшем школьном возрасте необходимо проводить целенаправленную работу по обучению детей основным приёмам мыслительной деятельности. Помощь в этом могут оказать разнообразные психолого-педагогические упражнения.

Глава 2. Пути решения проблемы формирования логической грамотности учащихся на уроках математики в начальной школе

.1 Различные подходы к формированию логической грамотности младших школьников

Решение арифметических задач, особенно нестандартных, позволяет приучать младших школьников к правильности и четкости рассуждений, к критическому осмыслению полученных результатов; развивает у них гибкость, вариативность, логичность мышления.

Учителя включают нестандартные арифметические задачи в уроки математики, предлагают для домашней самостоятельной работы, используют во внеклассной работе с учениками. Однако результативность такой работы иногда оказывается не столь высокой, как хотелось бы. При выполнении олимпиадных работ ученики не могут самостоятельно решить задачу, у них возникают трудности при оформлении решения.

Эффективность обучения младших школьников решению нестандартных задач зависит, на наш взгляд, от нескольких условий. Во-первых, задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся. Во-вторых, необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой, верный путь решения. В-третьих, нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных арифметических задач. Предлагаемые в данной статье приемы описаны в методической литературе (см. список литературы), и с ними, безусловно, должен быть знаком учитель. С некоторыми способами поиска путей решения нестандартных задач учитель может познакомить учащихся.

Как показала школьная практика, обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач можно разделить на два этапа. На первом этапе проводится специальная работа по выводу и осмыслению общих подходов к решению таких задач. При этом важно, чтобы ученики уже усвоили процесс решения любой арифметической задачи (читаю задачу; выделяю, что известно и что надо узнать, и т.д.); познакомились с приемами работы на каждом этапе решения задачи (виды наглядной интерпретации, поиска решения, проверки решения задачи и др.). На втором этапе учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач.

Опишем, как можно провести работу на первом этапе. В описании методики работы будем выделять серии задач. Задачи одной серии будут подчинены определенной цели. Первая задача серии решается под руководством учителя (чаще всего она более сложная, чем другие задачи серии), она служит для выведения приема или способа, который помогает решить задачу. На следующих задачах дети упражняются в применении приема, который они сформулировали, и выделяют некоторые ориентиры, помогающие определить, в каких случаях удобно использовать данный способ или прием.

Задачи серий I-III позволяют сформулировать первую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных задач: для того чтобы решить задачу, бывает полезно построить к ней рисунок или чертеж. Следует начинать с этой рекомендации, так как ученики уже делали такой вывод при решении стандартных задач. Но в данном случае должны быть выделены некоторые особенности использования графических изображений. Во-первых, ответ, а в некоторых случаях часть неизвестных могут быть получены только из чертежа без выполнения арифметических действий. Во-вторых, иногда нужно будет делать дополнительные построения, т.е. в процессе решения задачи будут выполнены новые чертежи с учетом найденных чисел. Чертеж будет использоваться также и при применении других приемов нестандартных задач.

Серия I

Задача 1. Бревно длиной 12 м распилили на 6 равных частей. Сколько распилов сделали?

После чтения задачи ученикам предлагается ответить на вопрос, решали ли они задачи такого вида и известен ли им способ решения таких задач.

Возможно, некоторые ученики ошибочно будут считать, что знают, как решить задачу: «Надо 12 м разделить на 6 равных частей». Учитель должен дать учащимся возможность найти результат, оценить его и убедиться в ошибке. (Разделив 12 на 6, мы узнали, что длина одной части равна 2 м. Но в задаче спрашивается не какова длина одной части, а сколько сделали распилов. Следовательно, задача решена неправильно.) Затем ученики могут вновь прийти к ошибочному заключению: «Сколько частей, столько и распилов». Учитель предлагает проверить найденный ответ, сделав условный рисунок или чертеж. Ученики обозначают бревно прямоугольником или отрезком длиной 12 клеточек, делят его вертикальными засечками на 6 равных частей. Подсчитав число полученных засечек (распилов), они убеждаются, что их 5, а не 6, как они считали раньше. Эту задачу решили, не выполняя арифметических действий. Ответ получили, построив чертеж (рисунок). Под ним ученики записывают ответ задачи. Таким образом, учащиеся приходят к следующему выводу: при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж (рисунок), так как работа с чертежом (рисунком) может являться способом решения задачи.

Решение нижеследующих задач будет способствовать подтверждению вывода, сделанного при поиске решения первой задачи. Учитель ставит перед учащимися следующую учебную задачу: научиться решать арифметические задачи с помощью построения графических изображений.

адача 2. Лестница состоит из 9 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы оказаться на середине лестницы? (На пятую ступеньку.)

Задача 3. Маша и Петя встретились в вагоне электропоезда. Маша всегда садится в пятый вагон от начала поезда, а Петя - в пятый вагон от конца поезда. Сколько вагонов в поезде? (9 вагонов.)

Задача 4. Вдоль одной стороны огорода надо поставить изгородь. Длина огорода 10 м. Сколько потребуется столбов, чтобы поставить их по длине огорода на расстоянии 2 м друг от друга? (6 столбов.)

Задача 5.3 одинаковые ватрушки надо разделить поровну между 4 детьми. Как это сделать, выполнив наименьшее число разрезов? (2 ватрушки разрезать пополам, а третью - на 4 равные части.)

Серия II

Решая следующие задачи, можно подвести учащихся к мысли о том, что в некоторых случаях часть данных целесообразно найти с помощью графических изображений (рисунков, чертежей), а часть - с помощью арифметических действий.

Задача 6. Ширина занавески для окна равна 1 м 20 см. Надо пришить 6 колец на одинаковом расстоянии друг от друга (первое и последнее кольца должны располагаться по краям занавески). Сколько сантиметров надо оставлять между кольцами?

Следуя ранее выведенной рекомендации, ученики начинают делать схематический чертеж к данной задаче. Они показывают засечкой первое кольцо, откладывают отрезок любой выбранной длины, ставят вторую засечку, откладывают отрезок такой же длины, как первый, ставят третью засечку и так действуют до тех пор, пока не поставят 6 засечек. По полученному схематическому чертежу подсчитывают число равных частей, на которые 6 колец разделят занавеску.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, остается разделить всю ширину занавески на 5 равных частей: 120 : 5 = 24 (см).

Такая же идея используется учениками при самостоятельном решении следующих задач этой серии.

Задача 7. Вдоль беговой дорожки через одинаковое расстояние вкопаны столбы. Старт дан у 1-го столба. Через 12 минут бегун был у 4-го столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у 7-го столба, если он бежит с одинаковой скоростью? (Через 24 минуты.)

Задача 8. Имеются бревна длиной 4 м и 5 м одинаковой толщины. Бревно перепиливается за 1 минуту. Надо напилить 60 бревен длиной 1 м. Можно пилить только 4-метровые или только 5-метровые бревна. Какие бревна надо пилить, чтобы работу закончить раньше? Сколько времени тогда можно сэкономить? (Надо пилить 4-метровые бревна, можно сэкономить 3 минуты.)

Серия III

Следует также показать учащимся, что иногда в процессе решения задачи нужно делать дополнительные построения или перестраивать чертежи с учетом найденных чисел. Это можно сделать при решении следующей задачи.

Задача 9. Муравей находится на дне колодца глубиной 30 м. За день он поднимается на 18 м, а за ночь сползает вниз на 12 м. Сколько дней нужно муравью, чтобы выбраться из колодца?

Самостоятельно решая эту задачу, учащиеся могут сделать чертеж (рис.1) и неверно решить задачу:

) 18 - 12 = 6 (м) - поднимается муравей за сутки.

) 30 : 6 = 5 (сут.) - потребуется муравью, чтобы выбраться из колодца.

Рис. 1

Учитель предлагает: а) проверить решение, показав на отдельных чертежах положение муравья в каждый день; б) в ходе решения подсчитывать, сколько метров остается муравью, чтобы выбраться из колодца.

Рис. 2

Таким образом, ученики видят, что в третий день муравей поднимется на 18 м и выберется из колодца. Значит, сначала они решили задачу неправильно. А найти верный ответ им помогло последовательное построение нескольких чертежей, отражающих те изменения, которые происходили в реальной ситуации, описываемой в задаче.

В следующих задачах закрепляется выведенный прием решения.

Задача 10. Дети едут на экскурсию в трех автобусах. Во второй автобус село на 5 человек больше, чем в первый, а в третий - на 7 человек меньше, чем во второй. Сколько детей из второго автобуса должно пересесть, чтобы в каждом автобусе детей стало поровну? (В первый автобус - 1 человек, в третий - 3 человека.)

Задача 11. 10 слив имеют такую же массу, как 3 яблока и 1 груша, а 2 сливы и 1 яблоко - как 1 груша. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна массе 1 груши? (4 сливы.)

Серия IV

Задачи серии IV позволяют вывести следующую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных задач: для того чтобы решить задачу, бывает нужно ввести вспомогательный элемент (часть).

Задача 12. Разложи 45 шариков в 4 коробки так, что если число шариков в третьей коробке увеличить в 2 раза, а в четвертой уменьшить в 2 раза, а в первой и второй оставить без изменения, то в каждой коробке будет одинаковое число шариков.

Сначала учащиеся выполняют первый схематический чертеж (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 4

Анализируя чертеж, ученики замечают, что на нем есть отрезки одинаковой длины, но не все. Учитель предлагает дорисовать чертеж, чтобы все отрезки состояли из одинаковых частей (рис. 4). Затем сообщает, что в таких случаях можно ввести вспомогательный элемент - часть. Примем число шариков в третьей коробке за 1 часть, тогда число шариков в четвертой коробке составит 4 части, в первой - 2 части, во второй - 2 части. Затем выполняется арифметическое решение:

)2 + 2+1+4 = 9 (ч.) - составляют 45 шариков.

) 45 : 9 =. 5 (ш.) - содержится в 1 части или число шариков в третьей коробке.

) 5 • 2 = 20 (ш.) - число шариков в первой или во второй коробке.

) 5 • 4 = 20 (ш.) - число шариков в четвертой коробке.

В процессе поиска решения данной задачи использовали несколько приемов: строили и достраивали чертеж, вводили вспомогательный элемент. Его удобно ввести, когда на чертеже получены отрезки одинаковой длины.

В следующих задачах ученики будут упражняться в решении задач с помощью введения вспомогательного элемента.

Задача 13. Веревку разрезали на 2 куска так, что один кусок оказался в 4 раза длиннее другого. Чему равна длина веревки, если один кусок длиннее другого на 18 см? (30 см)

Задача 14. Одного крестьянина спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех у нас ровно 100 000 рублей. Узнайте, сколько у меня денег». (2 500 рублей.)

Серия V

В задачах серии V выводится еще одна рекомендация для учащихся при решении нестандартных задач: в поиске ответа на вопрос задачи можно использовать способ подбора.

Задача 15. Сумма четырех различных чисел равна 13. Наименьшее из этих чисел на 5 меньше наибольшего. Найди эти числа.

Сначала ученики выполняют чертеж (рис. 5).

Рис.5

Затем учащиеся пытаются преобразовать чертеж, чтобы получить одинаковые числа, как они делали в предыдущих задачах. Ученики приходят к выводу, что этого сделать нельзя, так как в условии ничего не говорится о числовых отношениях между вторым и третьим числом. Встает проблема: можно ли решить эту задачу? Может быть, в ней не хватает данных? Учитель предлагает использовать для решения этой задачи способ подбора.

Рассуждения удобнее начать с наименьшего из чисел.

Пробуем число 0. Тогда получаем: 0+ □ + □ + 5 = 13. Подберем пропущенные числа. Их сумма равна 13 - 5 - 0 = 8. Эти числа должны быть разными и быть больше 0, но меньше 5. Между 0 и 5 идут числа 1, 2, 3, 4. Среди них нельзя выбрать два разных числа, дающих в сумме 8. Значит, число 0 не подходит.

Пробуем число 1. Тогда получаем: l + □+ □+ 6 = 13. Подбираем пропущенные числа. Их сумма равна: 13-1-6 = 6. Между числами 1 и 6 стоят числа 2, 3, 4, 5. Среди них выбираем два, дающих в сумме 6. Это числа 2 и 4. Проверяем, правильно ли мы нашли четыре числа. Для этого складываем их: 1 + 2 + 4 + 6 = 13. Получили сумму, данную в задаче. Другие условия также соблюдены: числа различные, наименьшее из этих чисел 1, оно на 5 меньше наибольшего числа 6.

Получив один ответ, нужно проверить, нет ли других вариантов ответа. Для этого пробуем число 2. Тогда получаем: 2 + □ + □ + 7 = 13. Подбираем пропущенные числа. Их сумма равна 4. Среди чисел 3, 4, 5, 6 нельзя выбрать два числа, дающих в сумме 4 (сумма любых двух перечисленных чисел больше 4). Можно проверить число 3 таким же образом. Числа, начиная с 4, проверять не нужно, так как сумма двух чисел получается равной или больше: 13 : 4 + □ + □ + 9 = 13.

Получаем ответ задачи: числа 1, 2, 4, 6.

В итоге важно подчеркнуть, что задачу решили, подбирая нужные числа. Делали это так: последовательно рассматривали различные возможные варианты и выбрали те, которые соответствуют всем условиям задачи. Чертеж помогал выделить эти условия из текста задачи. В некоторых случаях перебор удобно начинать не с наименьшего, а с наибольшего возможного числа. Иногда, оценив полученный результат, можно пропустить некоторые числа. Этот способ удобно использовать, когда число возможных вариантов небольшое.

При решении следующих задач ученики упражняются в применении способа подбора.

Задача 16. Сумма трех разных двузначных чисел равна 34. Какие это числа? (10,11,13)

Задача 17. Трое ребят были на рыбалке. Вместе они поймали 14 рыб. Андрей поймал меньше всех рыб. Дима поймал в 3 раза больше рыб, чем Вова. Сколько рыб поймал каждый мальчик? (Вова поймал 3 рыбы, Дима поймал 9 рыб, Андрей поймал 2 рыбы.)

Задача 18. Внучке, маме и бабушке вместе 114 лет. Сколько лет в отдельности внучке, маме и бабушке, если возраст каждой выражается двузначным числом, оканчивающимся одной и той же цифрой? (Внучке 18 лет, маме 38 лет, бабушке 58 лет.)

Серия VI

В задачах серии VI выводится следующая рекомендация при решении нестандартных задач: полезно переформулировать задачу, т.е. сказать ее другими словами, чтобы она стала знакомой и понятной. При этом в большинстве случаев будет происходить перевод текста задачи на язык математики.

Задача 19. Число яблок в корзине двузначное. Эти яблоки можно раздать поровну 2, 3 или 5 детям, но нельзя раздать поровну 4 детям. Сколько яблок в корзине? (Укажите такое наименьшее двузначное число.)

Сначала ученики пытаются сделать рисунок или чертеж к задаче, но испытывают затруднения, так как на чертеже трудно показать, что нельзя раздать яблоки поровну 4 детям, следовательно, непонятно, как использовать чертеж для решения задачи. Тогда ученики начинают применять способ подбора. Учитель предлагает сначала изменить формулировку задачи, чтобы легче было выполнить перебор. Выясняется, что если яблоки можно раздать поровну 2, 3 и 5 детям, значит, число яблок делится на 2, 3. 5. Если яблоки нельзя раздать 4 детям поровну, значит, число яблок не делится на 4. Задачу переформулируют следующим образом: «Найди наименьшее двузначное число, которое делится на 2, 3,5 и не делится на 4».

Далее выполняется перебор. Ученики проверяют наименьшее двузначное число 10. Оно делится на 2 и 5, но не делится на 3, значит, число 10 не подходит. Перебор можно сократить, не рассматривать все числа подряд, а проверять только числа, делящиеся на 5. Число 15 не подходит, так как не делится на 2. Так ученики доходят до числа 30, которое делится на 2, 3, 5 и не делится на 4. Значит, в корзине 30 яблок.

Данную задачу можно было бы решить, выполняя чертеж. Начертить в тетради луч и откладывать на нем последовательно отрезки длиной 2, 3, 5 клеточек, найти точку, в которой соединяются концы отрезков трех видов, подсчитать число клеток от начала луча до этой точки. На чертеже следовало бы проверить, что отрезки длиной 4 клеточки не укладываются целое число раз в большом отрезке длиной 30 клеток. И только тогда назвать ответ задачи. Этот способ трудоемкий, но он может оказаться более легким для некоторых учеников в силу их индивидуальных особенностей.

В следующих задачах используется прием переформулирования задачи, а затем они решаются известными учащимся способами.

Задача 20. Если конфеты раскладывать по 2, 3, 4, то всегда остается 1 лишняя конфета. А если их раскладывать по 5, то лишних конфет нет. Сколько конфет, если их меньше 50? (25 конфет.)

Задача 21. В детском саду 100 детей. Для каждого ребенка купили альбом, краски, кисточку. Продавец выписал чек на 3 750 рублей. Докажи, что при подсчете общей стоимости покупки допущена ошибка, если цены предметов выражались целым числом рублей. (Для нахождения общей стоимости цену набора надо умножить на 100, поэтому в результате должно получиться число, оканчивающееся двумя нулями, а число 3 750 оканчивается одним нулем.)

Серия VII

В задачах серии VII выводится следующая рекомендация при решении нестандартных задач: условие или вопрос задачи можно разделить на части и решить задачу по частям.

Задача 22. В два автобуса сели 123 экскурсанта. Затем из одного автобуса вышли 8 человек. Трое из них сели в другой автобус, а остальные поехали на машине. После этого в автобусах стало пассажиров поровну. Сколько пассажиров было в каждом автобусе сначала?

По усвоенной первой рекомендации ученики вначале делают к задаче чертеж (рис. 6).

Рис. 6

Учитель предлагает решать эту задачу, разбив ее на части, чтобы облегчить решение. Ученики читают первые три предложения из текста задачи и думают, что по этим данным можно узнать.

)8-3 = 5 (чел.) - поехали на машине.

) 123 - 5 = 118 (чел.) - остались в каждом автобусе.

Затем решают задачу дальше:

) 118 : 2 = 59 (чел.) - стало в каждом автобусе.

Чтобы легче было сформулировать последнюю часть задачи, можно переделать чертеж с учетом найденных данных. Ученики формулируют: «Из одного автобуса вышли 8 человек, и в нем осталось 59 человек. В другой автобус сели 3 человека, и в нем стало 59 человек. Сколько человек было в каждом автобусе сначала?» - и заканчивают решение:

) 59 + 8 = 67 (чел.) - было в первом автобусе.

) 59 - 3 = 56 (чел.) - было во втором автобусе.

Иногда полезно разделить на части не условие, а вопрос задачи. Так можно поступить при решении следующей задачи.

Задача 23.18 ручек стоят на 30 рублей больше, чем 30 карандашей. Те же 18 ручек стоят на 10 рублей больше, чем 40 таких же карандашей. Сколько стоят 1 карандаш и 1 ручка?

Сначала ученики выполняют к задаче чертеж (рис. 7).

Рис. 7

Затем, используя чертеж, отвечают сначала на первый вопрос: «Сколько стоит 1 карандаш?»

) 40 - 30 = 10 (шт.) - разница в количестве карандашей.

) 30 - 10 = 20 (р.) - стоят 10 карандашей.

) 20 :10 = 2 (р.) - стоит 1 карандаш. После этого можно ответить на второй

вопрос: «Сколько стоит 1 ручка?»

) 2 • 30 = 60 (р.) - стоят 30 карандашей.

) 60 + 30 = 90 (р.) - стоят 18 ручек.

) 90 :18 = 5 (р.) - стоит 1 ручка.

Данный прием используется в задачах с большим числом разных объектов или действий с ними, с несколькими вопросами. В следующих задачах также можно использовать прием разбиения задачи на части.

Задача 24. На двух кустах сидели 16 воробьев. Со второго куста улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было вначале на каждом кусте? (12 и 4 воробья.)

Задача 25. Три подружки договорились купить к праздничному столу 12 пирожных. Первая купила 5 штук, вторая - 7, а третья вместо своей доли пирожных внесла 12 рублей. Как подружки должны разделить между собой эти деньги, если все пирожные были по одинаковой цене? (3 рубля и 9 рублей.)

Серия VIII

С помощью задач серии VIII можно вывести следующую рекомендацию при решении нестандартных задач: решать задачу можно, начиная «с конца».

Задача 26. Мать троих сыновей оставила утром тарелку слив. Первым проснулся старший сын, съел третью часть слив и ушел. Вторым проснулся средний сын, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее всех встал младший сын. Он съел также третью часть слив. После этого на тарелке осталось 8 слив. Сколько слив мать утром положила на тарелку?

Ученики выполняют чертеж (рис. 8).

Рис.8

Учитель предлагает начать решать задачу «с конца», так как известно, сколько слив осталось в конце, когда три брата съели сливы. Из чертежа видно, что 8 слив - это 2/3 всех слив, которые были в тарелке, когда встал младший сын. Найдем, сколько слив было в тарелке, когда встал младший сын: 8:2-3=12 (сл.). Подпишем это число на втором отрезке (рис. 9).

Рис. 9

Из чертежа видим, что 12 слив - это  всех слив, которые были в тарелке, когда встал средний сын. Найдем, сколько слив было в тарелке, когда встал средний сын: 12 : 2 • 3 = 27 (сл.). Делается вывод о том, что, решая «с конца», последовательно пришли к тому, что было в самом начале. Прием используется, когда в задаче известно число, полученное в конце выполнения каких-либо действий.

В следующих задачах ученики упражняются в решении задач «с конца».

Задача 27. Мальчик задумал число. Умножил его на 3, из полученного произведения вычел 10, затем к результату прибавил 16. У него получилось 21. Какое число задумал мальчик? (5)

Задача 28. Девочка начертила 4 отрезка. Каждый следующий отрезок она делала на 2 см длиннее предыдущего. Найди длину первого отрезка, если длина четвертого отрезка равна 12 см. (6 см)

Задача 29.У моста через речку встретились лодырь и волшебник. Лодырь стал жаловаться на свою бедность. В ответ волшеник предложил: «Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, деньги у тебя удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки. Согласен?» Три раза переходил лодырь по мосту. А когда посмотрел в кошелек, там ничего не осталось. Сколько денег было у лодыря? (21 копейка.)

Сформулированные рекомендации по решению нестандартных задач объединяются в следующей памятке.

Памятка

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

) сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи;

) ввести вспомогательный элемент (часть);

) использовать для решения задачи способ подбора;

) переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой;

) разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

) начать решение задачи «с конца». Важно объяснить детям, что данные

указания носят рекомендательный характер. Необязательно применять их в той последовательности, как они записаны в памятке, необязательно выполнять все рекомендации при решении одной задачи, можно комбинировать их в разных сочетаниях. В этом суть творческого процесса решения нестандартных задач. Можно показать это учащимся при совместном решении нескольких задач.

Задача 30. В семье 12 детей. Они собрали в лесу 70 орехов. Половину всех орехов мама раздала дочерям поровну. Остальные она отдала сыновьям, которые разделили их между собой также поровну. Каждый мальчик получил на 2 ореха больше, чем каждая девочка. Сколько у мамы дочерей и сыновей?

Сначала можно выделить следующую часть условия: «Собрали в лесу 70 орехов. Половину всех орехов мама раздала дочерям, остальные - сыновьям». Отсюда узнаем, что все дочери получили 70 : 2 = 35 (ор.) и сыновья также получили 35 орехов.

Затем выделяется вторая часть условия: «В семье 12 детей. Все дочери получили 35 орехов. И все сыновья получили 35 орехов. Мальчики и девочки разделили орехи поровну». Отсюда заключаем, что число сыновей и число дочерей - это числа, которые в сумме дают число 12, и число 35 делится на каждое из них без остатка. Таким образом, мы переформулировали условие, сказали его другими словами. Теперь будем использовать способ подбора. Число 35 делится на 5, 7, 1, 35. Подходят числа 5 и 7, так как их сумма равна 12.

Остается решить, кого было 5 - сыновей или дочерей? Используем последнюю часть условия: «Каждый мальчик получил на 2 ореха больше, чем каждая девочка». Все девочки получили 35 орехов, все мальчики получили 35 орехов, если каждому мальчику досталось орехов больше, значит, мальчиков меньше, чем девочек. Получаем ответ задачи: в семье 5 сыновей и 7 дочерей.

После работы, проведенной на первом этапе, можно перейти ко второму, на котором учащиеся самостоятельно решают нестандартные задачи. Приведем примеры нестандартных задач.

Задача 31. В магазине расфасовали картофель в 16 пакетов по 5 кг и по Зкг. Масса всех пакетов по 5 кг оказалась равной массе всех пакетов по 3 кг. Сколько было пакетов по 5 кг и сколько было пакетов по 3 кг? (6 пакетов по 5 кг и 10 пакетов по 3 кг.)

Задача 32. Мама испекла пирожки. Утром она съела 1 пирожок, а половину всех оставшихся пирожков положила в корзинку Красной Шапочке, чтобы она их отнесла бабушке. По дороге Красная Шапочка съела 2 пирожка и третью часть оставшихся пирожков отдала Волку. Бабушке Красная Шапочка принесла 8 пирожков. Сколько пирожков испекла мама? (29 пирожков.)

Задача 33. Периметр треугольника равен 18 см. Первая сторона на 4 см короче второй, а вторая на 1 см короче третьей. Найди длину каждой стороны треугольника, если длины выражаются целым числом сантиметров. (3 см, 7 см, 8 см)

Задача 34. У двоих мальчиков было вместе 8 груш. Когда один мальчик съел

грушу, а другой - 3 груши, груш стало поровну. Сколько груш было у каждого мальчика? (3 и 5 груш.)

Задача 35. Имеется 6 шаров трех цветов. Желтых шаров больше, чем красных, и зеленых шаров больше, чем красных. Сколько шаров каждого цвета? (1 красный шар, 2 зеленых и 3 желтых.)

Задача 36. Мальчик считал камушки, но потом забыл, сколько их было. Помнил только, что, когда считал парами, один камушек был лишним, когда считал по четыре - тоже один камушек был лишним. Когда считал по пять - ни одного лишнего камушка не было. Сколько было камушков, если их больше 10, но меньше 40? (25 камушков.)

Задача 37. В трех клетках 8 кроликов. В первой столько, сколько во второй, а в третьей столько, сколько в первой и во второй вместе. Сколько кроликов в каждой клетке? (2, 2 и 4 кролика.)

Задача 38. За несколько одинаковых тетрадей заплатили 51 рубль. Сколько стоит 1 тетрадь, если их купили больше 10, но меньше 50? Цена тетради выражается целым числом рублей. (3 рубля.)

Задача 39. В токарном цехе завода вытачивают детали из металлических заготовок. Из одной заготовки получается 1 деталь. При изготовлении деталей получаются стружки, которые переплавляются в новые заготовки. Из стружек, полученных при изготовлении четырех деталей, выплавляется 1 новая заготовка. Сколько деталей можно сделать таким образом из 16 металлических заготовок? (21 деталь.)

Задача 40. После того как 3 человека съели по одинаковому кусочку торта прямоугольной формы, длина и ширина торта уменьшились в 2 раза. На сколько еще человек хватит оставшегося торта, если все будут есть такие же кусочки, как и первые 3 человека? (Оставшегося торта хватит на 1 человека.)

Задача 41. На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма возрастов всех играющих составила 80 лет. Все девочки были одногодки. Одинакового возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что суммы числа лет играющих в одной группе и другой стали равными. Какого возраста были играющие? (Возраст каждой девочки - 8 лет, возраст каждого мальчика - 12 лет.)

Здесь мы высказали только основные идеи по поводу соответствующей работы, привели примеры задач. Но, по мнению многих учителей, такая работа может и должна начинаться с 1 класса.

2.1.1 Учебник «Моя математика» для 1-го класса (авторы Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких и др.)

Одна из основных целей преподавания математики в начальной школе заключается в том, чтобы научить детей учиться, т.е. сформировать у них следующие общеучебные умения:

·  организационные (планирование учебной деятельности, умение формулировать свои цели и задачи);

·  коммуникативные (умение слушать, наблюдать, читать);

·  интеллектуальные (умение анализировать, синтезировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, делать выводы);

·  оценочные (умение оценивать и при необходимости изменять свои учебные действия).

Работа по учебнику «Моя математика» способствует развитию общеучебных умений школьников и позволяет достигать высоких результатов в усвоении знаний, умений и навыков. На каждом уроке дети участвуют в формулировании темы и целей урока, вырабатывают совместно с учителем алгоритмы выполнения заданий, учатся оценивать и корректировать свою деятельность.

Содержание любого учебника математики направлено на развитие интеллектуальных умений, т.е. основных мыслительных операций (анализ, синтез, классификация). Однако в отличие от традиционных учебников в предлагаемом курсе впервые систематически изучаются две новые линии: «Элементы стохастики» и «Занимательные и нестандартные задачи». О последней из них и пойдет речь.

Программа предполагает обязательное рассмотрение числовых головоломок и арифметических ребусов, логических задач на поиск закономерностей и классификацию и т.д. Но особенно хотелось бы выделить три типа заданий, систематическая работа с которыми в течение учебного года позволяет повышать уровень развития логического мышления у первоклассников.

Установление закономерности и продолжение ряда по этой закономерности

В учебнике уже с первых уроков детям предлагаются ряды геометрических фигур и даются задания:

· Найди закономерность. Назови и нарисуй еще несколько фигур в каждом ряду.

· Чем каждая следующая фигура отличается от предыдущей?

· Что общего у фигур на каждом рисунке? Назови общие признаки фигур. Куда можно дорисовать новый предмет? Какая геометрическая фигура здесь лишняя?

По мере изучения натурального ряда чисел фигурный ряд меняется на числовой:

-        Продолжи ряд: 2,4,6... ; 3,6,12...; 20,18,16...; 9,10, 4,12...

Решение арифметических ребусов и числовых головоломок

Работа с этим типом заданий начинается при изучении сложения и вычитания чисел первого десятка. Предлагаемая учебником система заданий построена по принципу нарастания сложности. Вначале предлагаются головоломки, в которых содержится одно арифметическое действие, затем количество действий увеличивается. В дальнейшем предлагаются числовые головоломки, имеющие несколько вариантов решений.

-   Поставь вместо * знак «+» или «-»:

2 * 4 = 6; 9 * 9 * 4 = 4.

-   Преврати запись в верное равенство. Поставь вместо * знак «+» или «-»:

5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.

Сколько ты нашел способов выполнить задание?

-   Вставь числа, чтобы равенство оказалось верным:

* + * = 5; 5 + * = 7.

-   Запиши верные равенства и неравенства. «*» - это один знак в записи числа.

1* - 3 = *; * + 5 = 1*.

-   Сравни не вычисляя:

а + 3 * а + 13; 17 - 7 * 16 - 6.

-        Преврати записи в верные равенства:

2 * см = * дм; 1 * см = * дм 4 см.

· Как из 8 палочек сложить прямоугольник? Сколько есть способов решения этой задачи?

· Во дворе гуляли 10 детей: мальчики и девочки. Девочек было меньше, чем мальчиков. Расскажи, сколько мальчиков и сколько девочек могли гулять во дворе.

Классификация с различным основанием

Важное место в курсе отведено заданиям, направленным на формирование такой операции мышления, как классификация. Работа также начинается с практических заданий, выполнение которых связано со знанием геометрических фигур. В первой части учебника на уроке 2 авторы предлагают разбить фигуры на группы и определить, по каким признакам это можно делать. Сквозные герои стимулируют учеников к решению таких задач и помогают им выполнять различные действия.

· Помоги Пете разбить фигуры на группы. Положи красные квадраты на красную «полку», а зеленые - на зеленую. Каких фигур больше (меньше)? Расскажи, как сделать, чтобы фигур было поровну.

· Рассмотри рисунки Кати и Пети. По какому признаку они объединили предметы? По каким признакам разбили их на группы? Запиши, сколько всего фруктов на рисунке Кати. Запиши число фруктов в каждой группе.

По мере изучения чисел и действий задания усложняются. Ученики разбивают числовые равенства и выражения на множества по результатам, по компонентам действий, по арифметическим действиям.

Разбей равенства на группы:

+ 4 7 - 3 6 + 2 9 - 7

-     Разбей выражения на группы. Какое выражение «лишнее»?

16 - 8 14 - 8 14 - 6 15 - 7

-     Выпиши суммы. Увеличь второе слагаемое на три. Вычисли результат.

В течение учебного года периодически проводятся тесты, включающие рассмотренные выше типы заданий. В результате этих тестов большинство детей показывает высокий уровень развития логического мышления.

Хотелось бы отметить еще одну важную деталь. После каждого теста дети получают карточку, на которой они должны отметить, насколько сложным было для них выполнение работы.

Хочу знать больше.

Хорошо, но могу лучше.

Пока испытываю трудности.

И если в первое время у большинства ребят бывает отметка в графе «Пока испытываю трудности», то заключительные работы показывают, что ученики могут и хотят знать больше.

Проанализировав упражнения, можно с уверенностью сделать вывод: в учебнике «Моя математика» насыщенно присутствуют разнообразные задания, способствующие развитию операций логического мышления и формированию положительной мотивации к учебной деятельности. Выполняя их, успеха может добиться далеко не самый лучший «математик»!

2.1.2 Приёмы развития логического мышления младших школьников по учебникам Моро М. И., Бантовой М. А.

В начальной школе большое место должно быть отведено обучению операциям логического мышления: анализу, синтезу, сравнению, классификации, обобщению. Рассмотрим упражнения в учебнике М. И. Моро, направленные на формирование этих операций.

Задания, направленные на развитие анализа и синтеза:

. Соединение элементов в единое целое:

Вырежи из Приложения нужные фигуры и составь из них домик, кораблик, рыбку.

. Поиск различных признаков предмета:

Сколько углов, сторон и вершин у пятиугольника?

. Узнавание или составление объекта по заданным признакам:

) Какое число идёт при счёте перед числом 6? Какое число следует за числом 6? За числом 7?

) Составь по краткой записи задачу и реши её.

Было - 18 кг

Продали - ?

Осталось - 8 кг

. Рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий.

Составь по рисунку разные задачи и реши их.

. Постановка различных заданий к данному математическому объекту.

) К концу учебного года у Лиды осталось 2 чистых листа в тетради по русскому языку и 5 чистых листов в тетради по математике. Поставь к этому условию сначала такой вопрос, чтобы задача решалась сложением, а потом такой вопрос, чтобы задача решалась вычитанием.

) В коробке было 10 карандашей. Когда из коробки взяли несколько карандашей, в ней осталось 6 карандашей. Сколько карандашей взяли?

Рассмотри краткую запись и схематический чертёж к задаче. Объясни, как этот схематический чертёж составлен. Реши задачу.

Было - 10 к.                                               6 к.                ?

Взяли - ?

Осталось - 6 к.                                             10 к.

Задания, направленные на формирование умения классифицировать:

. В мультфильме про динозавров 9 серий. Коля уже посмотрел 2 серии. Сколько серий ему осталось посмотреть?

Составь две задачи, обратные данной.

Подбери к каждой задаче схематический чертёж.

Задания, направленные на развитие умения сравнивать.

. Выделение признаков или свойств одного объекта.

У Тани было несколько значков. Она подарила 2 значка подруге, и у неё осталось 5 значков. Сколько значков было у Тани? Какой схематический чертёж подходит к этой задаче?

            2 зн. 5 зн. 2 зн. ?

                        ? 7 зн.

. Установление сходства и различия между признаками предметов.

Составь задачу по краткой записи и реши её.

Купили - 20 шт. Купили - ?

Израсходовали - 9 шт. Израсходовали - 9 шт.

Осталось - ? Осталось - 11 шт.

Чем похожи и чем отличаются эти задачи?

Задания, направленные на развитие умения обобщать.

Задания данного вида направлены на умение выделять существенные свойства предметов.

) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши.

30 + х > 40 45 - 5 =40 60 + х = 90

- х 38 - 8 < 50 х - 8 = 10

) Как можно одним словом назвать все эти фигуры?

) Логические задачи.

Вася выше Саши на 8 см, а Коля ниже Саши на 3 см. На сколько сантиметров самый высокий из мальчиков выше самого маленького?

) «Магические квадраты».

расставьте числа 2; 4; 5; 9; 11; 15 так, чтобы по всем линиям в сумме получилось 24.

) Сравни уравнения в каждом столбике и, не вычисляя, скажи, в котором из них неизвестное число больше. Проверь вычислением:

х + 37 = 78 90 - х = 47

х - 28 = 32 45 + х = 63

х + 37 = 80 90 - х = 50

х - 28 = 22 45 + х = 68

Проанализировав данные упражнения, взятые из учебника Моро М. И., можно сделать следующие выводы. В данном учебнике, несомненно, присутствуют разнообразные задания, способствующие развитию операций логического мышления, но заданий на построение вспомогательных моделей к текстовым задачам мало. Часто в этих заданиях не используется весь потенциал средств для развития логического мышления. Например, детям предлагается сравнить уже готовые модели к данной задаче, хотя дети могут построить модели сами, а потом их сравнить. Также в учебнике М. И. Моро преобладают модели в виде краткой записи и рисунка задачи, меньше моделей в виде чертежа и соответственно мало заданий на их сравнение. Задания на развитие умения обобщать в процессе построения моделей задач отсутствуют, комплексных заданий на развитие нескольких операций мышления и заданий на развитие умения сравнивать мало.

Исходя из вышеизложенного, можно предложить дополнить данный список заданий упражнениями, способствующими развитию логического мышления младших школьников в процессе построения вспомогательных моделей к текстовым задачам. Для этого необходимо в первую очередь изучить понятие текстовой задачи и рассмотреть виды вспомогательных моделей текстовых задач.

2.1.3 Развитие математического стиля мышления младших школьников в рамках дидактической системы Л.В. Занкова

В течение ряда лет некоторые школы работают по учебнику «Математика» Аргинской И.И.[2]. Содержание учебника способствует развитию мыслительной деятельности детей. Выпускник начальной школы с развитыми способностями сохраняет познавательную активность, положительный эмоциональный настрой и более успешен в дальнейшем обучении. Часто мы пытаемся понять, почему дети, обучающиеся в одной и той же школе, у одних и тех же преподавателей, в одном и том же классе достигают разных успехов в усвоении знаний, умений, навыков. Эту разницу мы объясняем наличием или отсутствием тех или иных способностей. Немов С[42]. приводит («Психология», книга 1) несколько различных определений данного понятия. Наиболее удачным автор считает следующее определение: «Способности - это то, что не сводится к знаниям, умениям, навыкам, но объясняет (обеспечивает) их быстрое приобретение, закрепление и эффективное использование».

В период от 3-4 до 7 лет происходит бурное развитие интеллекта. Ребенок активно познает мир и себя в этом мире. В младшем школьном возрасте возможность развития способностей очень высока. Важно не упустить этот момент и найти эффективные пути развития способностей детей.

Первое место среди академических предметов, которые представляют особую трудность в учении, отводится математике, как абстрактнейшей из наук. А развитие математических способностей детей младшего школьного возраста на сегодняшний день остается наименее разработанной методически проблемой.

Многие учителя, работая по дидактической системе Л.В. Занкова, убеждаются в том, что развитие математических способностей учащихся обеспечивается, в первую очередь, развитием математического стиля мышления. Под математическим стилем мышления понимается разновидность логического мышления, отличающаяся развитыми специфическими качествами: глубиной, широтой, гибкостью, и вырабатывающаяся в процессе математической деятельности.

Содержание учебника «Математика» Аргинской И.И.[2] позволяет учителю работать над развитием математического стиля мышления детей, поддерживать их познавательную активность, благодаря чему уроки математики становятся для младших школьников самыми любимыми и интересными. Развитие математических способностей детей через развитие математического стиля мышления - дело чрезвычайно тонкое, требующее тщательного соблюдения баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом.

Необходимо заметить, большинство детей с трудом овладевают начальными приемами математического мышления, что можно объяснить стихийностью развития логического мышления. Выпускники начальной школы, у которых не сформированы основные логические приемы мышления, переходя в среднее звено, сталкиваются с огромными трудностями.

Неумение анализировать, сравнивать, выделять главное, недостаточно развитые память (особенно, логическая), внимание мешают ребенку полноценно воспринимать и понимать изучаемый материал. Учителю начальных классов необходимо уметь оказывать компетентную помощь ученику в восприятии, понимании и запоминании материалов учебной программы.

Работа по развитию логического мышления требует строго определенного порядка действий, так как внутри системы логических приемов мышления существует последовательность, при которой один прием строится над другим.

Начинать следует с формирования умения оперировать признаками предметов. Рассмотрим алгоритм работы над данным приемом:

А. Прием выделения свойств объекта. Для выделения свойств объекта используется операция сравнения объектов. Данный прием вводится в такой последовательности:

рассмотреть объект, выделить его признаки;

этот же объект рассмотреть в сопоставлении с другими объектами для выделения новых признаков;

когда дети научатся быстро и легко выделять свойства предметов путем сравнения их с другими предметами, необходимо постепенно предметы убирать, побуждая выделять свойства без сравнения с наблюдаемыми предметами.

Б. Формирование понятий об общих и отличительных признаках объектов:

сравнение объектов: нахождение различий и сходств;

сравнительный анализ отличительных свойств;

переход к понятию общих свойств (например, общность формы, материала и т.д.).

В. Выделение существенных свойств:

выделить в объектах отличительные свойства, общие свойства;

демонстрация изменения существенного свойства, при котором объект перестает быть этим объектом; практическая работа;

дифференциация существенных и несущественных свойств объекта.

В результате такой целенаправленной работы у детей вырабатываются следующие умения:

выделять в объектах отличительные свойства, общие свойства;

указывать, называть, перечислять предметы, обладающие данными признаками или совокупностью признаков;

сравнивать объекты по каким-либо признакам: находить их общие и различные признаки;

располагать предметы в ряд по какому-либо признаку (сериация), в частности по убыванию или возрастанию величины какого-либо признака;

составлять описания объектов (конкретных и абстрактных) путем перечисления некоторой совокупности их существенных признаков;

распознавать предметы по их описаниям.

Дальнейшие шаги по формированию и развитию логического мышления должны вестись целенаправленно в соответствии с определенной последовательностью.

Что же касается развития специфических качеств мышления: глубины, широты, гибкости, - то содержание и идея расположения заданий в учебнике математики Аргинской И.И.[2] помогают учителю выдержать логику введения того или иного логического приема и правильно начать работу над развитием определенных способностей детей. Рассмотрим подробнее в отдельности каждое качество.

Глубина мышления - способность проникать в самую суть каждого изучаемого факта и явления, умение увидеть их взаимосвязи с другими фактами и явлениями, выявлять особенности, скрытые в изучаемом материале.

Детям предлагаются задания, которые формируют способность к задействованию всех возможных вариантов решений, которые могут быть получены по одному общему основанию, что в значительной степени и характеризует глубину мышления. Приведем пример упражнения из учебника «Математика 2»:

Поставь вместо * такие цифры, чтобы неравенства были верными.

> 1* 12 < *1 *8 < 59 38 < 3* 2* > *8

Объясни, почему для некоторых неравенств подходит только одна цифра.

Попробуй составить свои «загадочные» неравенства. Задания подобного вида направлены на развитие умения выделить и использовать в работе основную идею, позволяющую системно выявлять все возможные варианты.

Гибкость мышления - нешаблонность, неординарность, способность легко переключаться с одного способа решения на другой, умение выходить за пределы привычного способа деятельности и находить новые способы решения проблемы при измененных условиях.

Детям предлагаются упражнения, которые развивают способность к переключению с одного основания поиска решений на другое, что является показателем гибкости мышления, его мобильности. Приведем пример упражнения, направленного на развитие указанного качества:

Не выполняя действий, поставь вместо точек знаки сравнения.

65 + 28 ... 65 + 31

- 14 ... 75 - 19

х 3 ... 8 х 5

: 4 ... 36 : 6

: 7 ... 63 : 9

х 4 ... 4 х 6

В каждом неравенстве измени некоторые знаки так, чтобы знак сравнения изменился на противоположный. Постарайся найти не одно решение.

Измени одну часть каждого неравенства так, чтобы получилось равенство.

Опыт показывает, что дети с удовольствием включаются в работу, делают свои маленькие открытия, что стимулирует процесс мышления.

Широта мышления - способность к формированию обобщенных способов действий, умение охватить проблему целиком, выделить главное, не упуская деталей.

Данное качество мышления, как показывают наблюдения, у детей младшего школьного возраста развито меньше, чем те, о которых говорилось выше. Широкое мышление предполагает сформированность таких мыслительных операций, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, и способность их комплексного использования в деятельности.

Рассмотрим задание, которое направлено на развитие способности выполнять классификацию по самостоятельно выделенному основанию.

Найди значения сумм: 4 + 5 6 + 7 6 + 3 7 + 5

Раздели равенства на две группы.

Рассмотри схемы:

Ё+Ё =Ё Ё+ Ё=

В этих схемах спрятался важный признак разделения равенств на группы. Ты догадался, какой?

Нарисуй такие схемы и напиши под каждой соответствующие ей равенства.

Дополни каждую группу еще тремя равенствами.

Таким образом, учитель, работающий в дидактической системе развивающего обучения Л.В. Занкова, имеет прекрасную возможность развивать математический стиль мышления, который является необходимым условием сохранения природного потенциала, задатков ребенка в математике и развития их в математические способности.

Дидактическая система Л.В. Занкова направлена на общее развитие школьников. С целью установления уровня и динамики развития качеств мышления учащихся один раз в полугодие проводятся специальные проверочные работы, данные заносятся в таблицу, анализируются. Оценивание ведется по четырехуровневой шкале в соответствии с определенными критериями по каждой линии.

Критерии оценки глубины мышления - способность к системному исчерпыванию вариантов решения по одному основанию.

-й уровень - найдены все решения, в расположении решений ясно видна система получения решений (о ней свидетельствует расположение элементов решения, отсутствие повторов).

Уровень свидетельствует о высокой способности к системному поиску решений, о способности оценить задание с точки зрения вариантности его выполнения, о способности к длительному волевому усилию.

-й уровень - найдено больше половины возможных решений, однако поиск решений ведется бессистемно.

Уровень свидетельствует о способности самостоятельно оценить задание с точки зрения его вариантности, о способности к волевому усилию. Однако способность к системному поиску решений еще не сформирована или находится на начальной стадии (в случае, когда обнаруживаются элементы такого поиска).

-й уровень - найдено меньше половины, но не одно решение.

Уровень свидетельствует о способности самостоятельно оценить задание с точки зрения его вариантности, но об отсутствии способности к системному поиску вариантов решений и, по всей вероятности, о недостаточном развитии волевой сферы.

-й уровень - найдено только одно решение. Уровень свидетельствует об отсутствии понимания вариантности задания, которое воспринимается учеником однозначно, в силу чего вопроса о путях поиска вариантов решений у ученика не возникает.

Критерии оценки гибкости мышления - способность к переключению с одного основания поиска на другое

-й уровень - использованы все основные аспекты рассмотрения рисунка, объекта и т.п.

-й уровень - использованы не все аспекты, но больше одного аспекта рассмотрения.

-й уровень - использован только один аспект рассмотрения.

-й уровень - задание не выполнено, т.е. ученик не смог сделать ни одной записи, соответствующей рисунку, объекту и т.п.

Критерии оценки широты мышления - способность к совмещению аспектов рассмотрения, т.е. одновременное видение, осмысление с разных точек зрения.

Способность к формированию обобщенных способов действий, умение охватить проблему целиком, выделить главное, не упуская деталей.

Способность к выполнению классификации по самостоятельно найденному признаку, а также способность к переключению на другой самостоятельно найденный признак

-й уровень - выделены и обозначены записью признаки классификации во всех возможных вариантах. Использованы существенные признаки; классификация выполнена без пропусков и ошибок. Уровень свидетельствует о свободном владении такими мыслительными операциями, как синтез, анализ, сравнение, обобщение, и о их взаимосвязи как на этапе осознания стоящей задачи, так и на этапе ее практического решения.

-й уровень - а) выделены и обозначены записью признаки классификации во всех найденных вариантах, однако хотя бы в одном варианте используется несущественный признак; классификация проведена без пропусков и ошибок; б) все варианты классификации выполнены по существенному признаку, обозначенному записью; при выполнении классификации допущены ошибки и пропуски, количество которых не мешает установить использование выделенных признаков.

Уровень свидетельствует о высокой степени осознания поставленной задачи, владении важнейшими мыслительными операциями на этом этапе и недостаточном их использовании на этапе ее практического решения.

-й уровень - признак классификации письменно не обозначен, но может быть найден в результате анализа работы ученика. Уровень свидетельствует о слабом осознании выполняемых мыслительных операций, интуитивном выполнении задания.

-й уровень - расположение элементов выполнения задания носит бессистемный характер, не позволяющий установить признак, по которому выполнена классификация, или противоречащий признаку, записанному учеником.

Уровень свидетельствует о неспособности использовать важнейшие мыслительные операции на всех этапах выполнения задания.

Примечание: В остальных случаях задание считается невыполненным и в схеме ставится «0».

2.3 Методика работы с текстовыми логическими заданиями

Учебник математики для I класса авторов М.И. Моро[39] и других содержит текстовые задания для развития логического мышления младших школьников. Хотя задания подаются в учебнике как дополнительные (они напечатаны в нижней части страницы под синей чертой курсивным шрифтом), учителя часто обращаются к ним, но при этом испытывают трудности методического характера, поскольку работа с ними имеет свои особенности. Ее специфика обусловлена тем, что задания имеют текстовую структуру (даже при наличии рисунков способ подачи остается в основном текстовым), а значительная часть детей в первом полугодии I класса еще самостоятельно не читает. Но даже если ребенок сможет прочитать такой текст (который труден для него также тем, что набран курсивом), его логическая структура, содержащая несколько соподчинений, которые обозначены связками не, и, если, является слишком сложной для восприятия ребенком.

Чтобы сделать текст такого задания более понятным детям, следует использовать визуально воспринимаемые модели, отражающие его структуру. Поскольку ведущий тип мышления первоклассников наглядно-образный, такая модель поможет ребенку сориентироваться в трудном для него тексте и ответить на вопрос с большой долей самостоятельности. Покажем, как можно организовать работу с такими заданиями на уроке.

Первое такое задание встречается уже на с. 10 части 1 учебника. Тема урока «Последовательность событий во времени».

Дети впервые обращаются к таким характеристикам порядка следования событий, как раньше и позже. Практика показывает, что многие первоклассники с трудом осваивают эти характеристики и долго путаются в употреблении слов раньше и позже, поскольку в дошкольной подготовке используются другие слова: сначала и потом. Поэтому работу над логическим заданием со с. 10 мы покажем в связи с предыдущим заданием и с учетом запаса представлений (слов) ребенка, только что пришедшего из детского сада.

Вы уже хорошо умеете рассказывать о расположении предметов, используя слова за, между, перед. Можно ли использовать эти слова, когда мы рассказываем о событиях, которые происходят в разное время? Откройте учебник на с. 10. Рассмотрите рисунок и расскажите, что делает зайчик сначала, что потом.

Дети описывают события по рисунку.

Теперь я расскажу вам историю. Под рисунками с зайцем найдите рисунок колобка. Я буду говорить, а вы показывайте, о ком я говорю. Колобок встретил волка позже, чем зайца. Кого он встретил сначала, а кого - потом? Колобок встретил волка раньше, чем медведя. Кого он встретил сначала, кого - потом? Кого он встретил первым? Кого - вторым?

Аналогично рассматривается такое же задание на с. 14 (часть 1).

Рассмотрим задание «Чей шарик?» на с. 21 (часть 1).

Поскольку не все дети могут читать текст, а удерживать в памяти все описываемые отношения сложно, то учитель может использовать прием конструирования ситуации на фланелеграфе с использованием моделей шариков и рисунков героев.

Учитель читает первую часть текста (у Кролика и Пятачка шарики одинаковые по цвету), дети прикрепляют изображения героев рядом с соответствующими шариками. Затем учитель читает вторую часть текста (а у Винни-Пуха и Кролика шарики одинаковой формы) и прикрепляет соответствующих героев рядом с шариками. Анализ зримо воспринимаемой модели позволяет каждому ребенку правильно понять смысл распределения, в основе которого - пересечение множеств по разным признакам (цвет и форма).

Рассмотрим задание на с. 49 (часть 1).

Учитель помещает на доску два рисунка - Буратино и Пьеро. Под ними он рисует фигуры из упражнения, читает первую фразу задания и просит учеников назвать фигуры (круг, прямоугольник, шестиугольник). Учитель обращает внимание детей на то, что по условию Буратино не стал чертить пятиугольник, рисует стрелку от Буратино к пятиугольнику и перечеркивает фигуру. Круг и шестиугольник он обводит овалом.

Что мог нарисовать Буратино? (Круг или шестиугольник.)

Учитель читает задание дальше: «Пьеро не стал чертить круг и пятиугольник». Вызванный к доске ученик рисует стрелки от Пьеро к названным фигурам, перечеркивает их (желательно использовать мел разного цвета, тогда рисунок будет визуально «прозрачным»). Оставшуюся фигуру он обводит овалом и называет шестиугольник.

- Какую же фигуру нарисовал Буратино? (По рисунку видно, что это круг.)

Рассмотрим задачу на смекалку на с. 97 (часть 1).

Для того чтобы дети поняли способ рассуждения, учитель ставит на фланелеграф карточки с рисунками героев и просит хорошо читающего ученика прочитать первое предложение, но при этом останавливает его после того, как прозвучит первое «опорное» звено для постороения рассуждения: «Кролик пришел позже, чем Пяточек».

- Кто пришел первым (Кролик или Пятачок), а кто - вторым? Дети расставляют карточки с номерами: возле Пятачка число 1, а возле Кролика число 2. Дочитай фразу до конца. (Ослик пришел раньше, чем Пятачок.) Кто пришел первым, Ослик Иа или Пятачок? (Ослик пришел первым, перед Пятачком.) Посмотрите на модель и поставьте карточки правильно.

Ученики передвигают карточки: число 1 - к Ослику, число 2 - к Пятачку, число 3 - к Кролику.

Рассмотрим задание на с. 7 (часть 2): «Оля старше Вани, но моложе Коли. Кто из них старше всех?»

Учитель предлагает обозначить возраст детей отрезками.

Если Оля старше Вани, то отрезок, обозначающий возраст Оли, будет длиннее отрезка, обозначающего возраст Вани.

Вызванный к доске ученик выполняет чертеж.

Оля                     Ваня

Прочитайте условие задачи дальше. (Оля старше Вани, но моложе Коли.) Кто моложе Коли? (Оля моложе Коли.) Что значит моложе? (Ей меньше лет, чем Коле.) Кому больше лет: Коле или Оле? (Коле.)

Вызванный к доске ученик дополняет чертеж еще одним отрезком.

Коля                   Оля            Ваня

По полученной модели легко ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим задание на с. 17 (часть 2): «Люба пришла домой раньше, чем Надя, а Надя - раньше, чем Саша. Кто из них пришел домой последним?»

Что значит раньше? Кто из двух девочек (Люба или Надя) пришел первым, кто - вторым?»

На доске выполняется запись:

) Люба

) Надя

Затем сравнивается вторая пара детей: «Если Надя пришла раньше, чем Саша, то кто из них пришел первым, а кто вторым?» На доске записывается:

) Надя

) Саша

Записи анализируются, и делается вывод, что последним пришел Саша.

Для моделирования ситуации задачи: «Коля выше Пети, но ниже Васи. Кто из них самый высокий? Кто из них ниже всех?» (с. 75, часть 2) на доске рисуют отрезки, располагая их вертикально и подписывая под ними имена мальчиков.

Коля выше Пети, значит, отрезки, изображающие возраст мальчиков, должны быть следующими:

Коля                   Петя

Но Коля ниже Васи, значит, Вася выше Коли. Покажем это.

Вася    Коля     Петя

Рассмотрим задание на с. 79 (часть 2):

) Коля и Витя составляли слова из букв слова ПРОГУЛКА. Коля составил 10 слов, а Витя - на 2 слова больше. Сколько слов составил Витя?

) Когда Коля и Витя вычеркнули слова, которые встретились у обоих, у Коли осталось 1 слово. Сколько слов осталось у Вити?»

Полезно составить предметную модель, например, из палочек. Сначала ученики выкладывают палочки в соответствии с первой частью задачи: у Коли 10 слов, а у Вити на 2 слова больше.

Затем часть палочек отделяется в соответствии со второй частью условия: одинаковые слова вычеркнуты, причем у Коли осталось 1 слово.

Анализ модели показывает, что у Вити осталось 3 слова.

Рассмотренная методика работы с заданиями логического характера позволяет использовать их в работе со всем классом, а не только в работе с учащимися, умеющими хорошо читать и обладающими достаточно высоким уровнем развития логического мышления.

Заключение

Из курса дидактики известно, что деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. Репродуктивная деятельность сводится к воспроизведению воспринимаемой информации. Лишь продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит своё выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение, классификация и обобщение. Эти мыслительные операции в психолого - педагогической литературе принято называть логическими приёмами умственных действий.

Включение этих операций в процесс усвоения математического содержания обеспечивает реализацию продуктивной деятельности, которая оказывает положительное влияние на развитие всех психических функций.

Если говорить о настоящем состоянии современной начальной школы в нашей стране, то основное место все еще продолжает занимать репродуктивная деятельность. На уроках по двум основным учебным дисциплинам - язык и математика - дети почти все время решают учебно-тренировочные типовые задачи. Их назначение состоит в том, чтобы поисковая деятельность детей с каждой последующей задачей одного и того же типа постепенно свертывалась и, в конечном счете, совсем исчезла.

С одной стороны - засилье деятельности по усвоению знаний и умений, которое существовало, тормозит развитие интеллекта детей, в первую очередь, логического мышления. В связи с такой системой преподавания дети привыкают решать задачи, которые всегда имеют готовые решения, причем, как правило, только одно решение. Поэтому дети теряются в ситуациях, когда задача не имеет решения или, наоборот, имеет несколько решений. Кроме того, дети привыкают решать задачи на основе уже выученного правила, поэтому они не в состоянии действовать самостоятельно, чтобы найти какой - то новый способ.

Итак сформулируем общие теоретические выводы:

1. Анализ исследований, посвященных проблеме развития логического мышления младших школьников, позволил выделить основные особенности мышления детей этого возраста: мышление младшего школьника носит в основном конкретно-образный характер, его развитие идет от наглядно-действенного к конкретно-образному и от него к понятийному. На основе данного вывода было сделано предположение о том, что именно эти особенности мышления должны определять логику построения системы развития логического мышления младшего школьника.

2.      Проведенный анализ психолого-педагогической литературы показал, что педагоги и психологи сходятся во мнении о том, что логика мышления не дана человеку от рождения. Он овладевает ею в процессе жизни, в обучении. При отсутствии специальной педагогической работы может не только не происходить развитие логического мышления, но и наблюдаться его деградация. Поэтому целенаправленная работа по развитию логического мышления младших школьников необходима и должна быть специально организована. Сензитивным периодом для развития логического мышления является возраст до 12-14 лет, поскольку психологи отмечают, что к этому возрасту складываются все основные логические операции и в дальнейшем существенных изменений не происходит. Поскольку большая часть сензитивного периода приходится на начальную школу, было сформулировано предположение о том, что специальная педагогическая работа над развитием логического мышления в начальной школе необходима.

.        Представленный в исследовании анализ существующих пособий и систем, направленных на развитие логического мышления младших школьников, показал, что они не соответствуют принципу личностно-ориентированного подхода к обучению, поскольку не учитывают наглядно-образный вид мышления младших школьников, содержат много текстовой информации, плохо воспринимаемой детьми данного возраста. Также можно отметить, что большая часть заданий во всех рассмотренных системах представляет собой задания классификационного характера, где классификации проводятся по различным, причем, не только существенным признакам. Такое построение системы развития логического мышления младших школьников может, с одной стороны, вызвать отрицательные последствия в виде угнетения процесса развития полноценного наглядно-образного мышления, к формированию вербализма и к формальному усвоению содержания обучения. А с другой стороны, перенасыщение материала для работы с младшими школьниками заданиями классификационного характера может привести к преимущественному развитию так называемого комбинаторного мышления, что не является аналогом полноценного логического мышления. В дальнейшем оба этих результата, как правило, ведут к труднопреодолимым и некомпенсируемым деформациям процесса развития понятийного мышления взрослеющего человека.

.        В соответствии с психолого-педагогическим обоснованием и вышеперечисленными принципами была разработана система специальных заданий, направленных на формирование и развитие логического мышления учеников , которая включает задания на:

- выделение признаков у одного или нескольких объектов;

-   прямое распределение признаков;

-   распределение с использованием отрицания какого-то из признаков;

-   изменение признака;

-   выделение, распределение и изменение признаков, трансформированные в другую графическую форму: матрицы (прямоугольные таблицы);

-   поиск недостающей фигуры, оформленные в виде неполной матрицы;

-   использование алгоритмической схемы.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что процесс развития логического мышления младших школьников педагогически управляем, и при осуществлении этого управления на практике позволяет достичь хороших результатов.

Список литературы

1. Абульханова-Славская, К.А. Личностные типы мышления / К.А. Абульханова-Славская /Когнитивная психология. -- М.: Наука, 2006.

. Аргинская И.И. Математика: Методическое пособие к учебнику для четырехлетней начальной школы. М.: Центр общего развития, 2001.

. Артёмов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах: Пособие для студентов факультета подготовки учителей начальных классов заочного отделения. - М.: Институт практической психологии, Воронеж: НПО «МОДЭК»,2005. - 224 с.

. Аршавина Л.И. Развитие аналитических компонентов мышления у младших школьников при различных типах обучения: Автореф. канд. дис. Киев, 2000.

. Атахов Р. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления. Вопросы психологии, №5, 1995.

. Бабкина Н.В. Нетрадиционный курс "Развивающие игры с элементами логики" для первых классов начальной школы. // Психологическое обозрение. 2008. № 2 (3), с. 47-52.

. Белошистая А.В. Развитие математических способностей школьника как методическая проблема // Начальная школа. 2003. № 1.

. Брайтовская С.И. Простейшие исследовательские задания// Начальная школа. - 2004. - №9. - с.72.

. Брушлинский А.В. Субъект: мышление, учение, воображение. - М.: Институт практической психологии, Воронеж, 2005. - 392 с.

. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. - М.: Знание, 2002. - 96 с.

. Василевский А. Б. Обучение решению задач по математике. Минск, 2003.

. Винокурова Н. К. Развиваем способности детей: 2 класс. - М.: Росмэн-Пресс, 2002. - 79 с.

. Винокурова Н. Сборник тестов и упражнений для развития ваших способностей: Учебное пособие. - М.: ИМПЭТО, 2006. - 96 с.

. Выготский, Л.С. Мышление и речь. Собр. соч. Т. 2/ Л.С. Выготский. -- М.: Педагогика, 2008.

. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М., 1999.

. Дубровина И. В., Данилова Е. Е., Прихожан А. М. Психология: Учебник для студентов средних педагогических учебных заведений./ Под ред. И. В. Дубровиной. - М.: Издательский центр «Академия», 1999. - 464 с.

. Дьюи Д. Психология и педагогика мышления/Пер. с англ. Николаевой Н.М., под ред. Виноградова Н.Д. - М.: Совершенство, 2007. - 208 с.

. Зайцев Т.Г. Теоретические основы обучения решению задач в начальной школе. - М.: Педагогика, 2003.

. Зак А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления детей. Ярославль: "Академия развития", 2008.

. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. М.: Просвещение, Владос, 2004.

. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи. М., 2006.

. Кулагина И. Ю. Возрастная психология: Развитие ребёнка от рождения до 17 лет: Учебное пособие третье издание. - М.: УРАО, 1997. - 176 с.

. Кучинский, Г.М. Диалог и мышление/ Г.М.Кучинский. -- Минск: Университет-ское, 2002.

. Лавриненко Т. А. Как научить детей решать задачи: Методические рекомендации для учителей начальных классов. - Саратов: Лицей, 2000. - 64 с.

. Левитес, В. В. Развитие логического и алгоритмического мышления младшего школьника / А. В. Белошистая, В. В Левитес // Начальная школа плюс до и после. - 2006. - №9. - с. 15-23 .

. Левитес, В. В. Задания для развития логического мышления: учеб. пособие для первого класса четырехлетней начальной школы / А. В. Белошистая, В. В. Левитес. - Мурманск: Полиграфист, 2006. - 64 с.

. Липина И. Развитие логического мышления на уроках математики //

Начальная школа. - 1999. - № 8. С. 37-39.

. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. Для учащихся начальной школы. - СПб.: "Лань", "Мик", 1996.

. Лук А.Н. Мышление и творчество. - М.: Политиздат, 2006. - 144 с.

. Люблинская А.А. Учителю о психологии младшего школьника: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1998.

. Мамардашвили, М.К. Формы и содержание мышления/ М.К. Мамардашвили. -- М.: Высшая школа, 2001.

. Матюшкин А.М. Проблемная ситуация в мышлении и обучении. - М.: Педагогика, 2002. - 168 с.

. Мельченко И.В. Примерные задания для детей, мотивированных к

интеллектуальной деятельности, в возрасте от 6 до 10 лет //://macschool.narod.ru/metod/ssm/appendix.html

. Минкин, Е.М. От игры к знаниям/ Е.М.Минкин. -- М., 2003.

. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика: Учебник для 2 класса начальной школы. В 2 частях. Часть 1. Второе издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2003. - 80 с.

. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика: Учебник для 2 класса начальной школы. В 2 частях. Часть 2. Второе издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2003. - 96 с.

. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика: Учебник для 4 класса четырёхлетней начальной школы. В 2 частях. Часть 1. Второе издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2001. - 112 с.

. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика: Учебник для 4 класса четырёхлетней начальной школы. В 2 частях. Часть 2. Второе издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2001. - 112 с.

. Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика: Учебник для 1 класса начальной школы. В 2 частях. Часть 1. Второе издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002. - 112 с.

. Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика: Учебник для 1 класса начальной школы. В 2 частях. Часть 2. Второе издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002. - 96 с.

. Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I -III классах: Пособие для учителя. Издание второе, переработанное и дополненное. - М.: Просвещение, 2002. - 336с.

. Немов Р.С. Психология: В 3 кн. М.: Гуманитарный издательский центр «ВЛАДОС», 1998.

. Никитин Б.П. Ступеньки творчества или развивающие игры. М.: Педагогика, Учебное пособие. - М.: ИМПЭТО, 2005. - 96 с.

. Овчинникова В. С. Методика обучения решению задач в начальной школе: Учебное пособие по курсу «Методика обучения математике» для студентов педагогических факультетов высших учебных заведений и колледжей. - М.: Мегатрон, 2004. - 67с.

. Петровский А. В., Ярошевский М. Г. Психология: Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. - Второе издание, стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2001. - 512 с.

. Пономарев Я. А. Знание, мышление и умственное развитие. М., 2007.

. Ратанова Т.А. Общая психология. Диагностика умственных способностей детей. М.: Московский психолого-социальный институт; Флинта, 1998.

. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М., 2003.

. Сборник контрольных и проверочных работ (система Занкова Л.В.) / Под ред. Р.Г. Чураковой. М.: Центр общего развития, 1999.

. Семенов Е. М., Горбунова Е. Д. Развитие мышления на уроках математики. Свердловск, 2006.

. Сереброва И.В. Развитие внимания и логического мышления на уроках по математике//Начальная школа. - 1995. - №6. - с.51-53.

. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 424 с.

. Сухин И.Г. 800 новых логических и математических головоломок. - СПб.: Альфа, 2008.

. Тихомирова Л. Ф. Упражнения на каждый день: Логика для младших школьников: Популярное пособие для родителей и педагогов. - Ярославль: Академия развития, 2001. - 144 с.

. Формирование учебной деятельности школьников. / Под. ред. Давыдова В.В., Ломпшера Й., Марковой А.К. М.: Просвещение, 2002.

. Фридман Л.Н., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М., 2008.