Экономико-математические модели в коммерческой деятельности

Задание 1

Имея фактические данные о динамике курса доллара, обосновать выбор его зависимости от времени и сделать прогноз на следующий период наблюдения. (см. Таблица 1)

Таблица 1 - Данные о динамике курса доллара

Результаты решения представлены в приложении А.

Анализ полученного решения:

На основе проведенного регрессионного анализа однофакторной модели связи, в основу формирования которой был положен перечень признаков, факторных и результативных, представленных соответственно временем (недели) и курсами долларов, можно сделать следующие заключения.

Прогнозное значение курса доллара на 13 неделю согласно линейной модели, показательной, модифицированной экспоненты, кривой Гомперца и логистической кривой составит 28,056 руб.

При использовании в расчетах логарифмической кривой и степенной значение курса доллара прогнозируется на уровне 28,009 руб., а параболы 2 и 3 порядка свидетельствуют об установлении значений курса соответственно 28,061 руб. и 28,039 руб.

Наименьшие отклонения фактического значения от результата расчета по моделям получены по распределениям параболы второго порядка, где нормальность распределения отклонений среди остальных моделей установлено на максимальном уровне 1,073.

экономическая математическая модель

С допустимой вероятностью 0,95 или 95% значение результативного показателя равно 28,061 руб.

При этом, коэффициент вариации равный 0,555 свидетельствует о том, что на 55,5% вариация курса доллара обусловлена влиянием факторного признака времени.

Задание 2

Коммерческое предприятие, располагающее материально-денежными ресурсами, представленными в таблице 2, реализует три группы товаров: А, В, С. С применением симплекс-метода линейного программирования определить план объема продажи и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальный.

Таблица 2 - Ресурсы предприятия

Результаты решения представлены в приложении Б.

Решение:

а) Формирование модели.

В качестве переменных используем х₁, х₂, х_3, принимаемые соответственно за группы товаров А, В, С.

б) Определение ограничения.

,1х₁+3х₂+0,4х₃≤ 1100 (Использование рабочего времени продавцов)

,05х₁+0,2х₂+0,02х₃≤ 120 (Использование площади торговых залов)

х₁+0,02х₂+2х₃≤ 8000 (Использование площади складских помещений)

в) Определение целевой функции.

F=3х₁+х₂+4х₃→max

Решение симплекс-методом:

) Определение первого допустимого решения.

,1х₁+3х₂+0,4х₃+х₄=1100

,05х₁+0,2х₂+0,02х₃+х₅=120

х₁+0,02х₂+2х₃+х₆=8000

F=3х₁+х₂+4х₃+0х₄+0х₅+0х₆→max

2) Оценка чистого эффекта.

W_j= c_{j -} ∑c_{i *} c_ij

W₁=3- (0*0,1+0*0,05+0*3) =3

W₂=1- (0*3+0*0,2+0*0,02) =1

W₃=4- (0*0,4+0*0,02+0*2) =4

Т.к. имеются положительные оценки чистого эффекта, то решение является не оптимальным.

) Определение нового допустимого решения.

j_*= max w_j

x₃ войдет в базис

x₄ выйдет из базиса

0,4 - разрешающий элемент

Оценка чистого эффекта:

W_j= c_{j -} ∑c_{i *} c_ij

W₁=3- (4*0,25+0*0,045+0*2,5) =2

W₂=1- (4*7,5+0*0,05+0* (-14,98)) =-29

W₄=0- (4*2,5+0* (-0,05) +0* (-5)) =-10

Т.к. имеются положительные оценки чистого эффекта, то решение является не оптимальным.

F=4*2750+0*65+0*2500=1100

▪ x₁ войдет в базис;

▪ x₆ выйдет из базиса.

Выполнение оценки чистого эффекта:

W_j= c_{j -} ∑c_{i *} c_ij

W₆=0- (4* (-0,1) +0* (-0,018) +3*0,4) =-0,8

W₂=1- (4*8,998+0*0,320+3* (-5,99)) =-17,02

W₄=0- (4*3+0*0,04+3* (-2)) =-6

Т.к. все оценки чистого эффекта отрицательные, следовательно, решение является оптимальным.

x₆ = 0; x₃ = 2500

x₂ = 0; x₅ = 20

x₄ = 0; x₁ = 1000

F=4*2500+0*20+3*1000=13000 (тыс. руб.)

Анализ полученного решения:

. Анализ основных базисных переменных.

Анализируя оптимальные размеры видов деятельности и соответствующее им значение целевой функции можно сделать вывод, что оптимальный план продаж предполагает:

реализацию группы товаров А в размере x₁ = 1000 шт.;

реализацию группы товаров С в размере x₃ = 2500 шт.

Соответственно, при данном объеме продаж доход торгового предприятия будет максимальным и составит 13000 тыс. руб.

. Анализ основных небазисных переменных.

Анализируя неэффективные виды товарооборота, которые характеризует оценка чистого эффекта, можно утверждать, что реализация группы товаров В неэффективна. Данная группа товаров не входит в оптимальный план товарооборота, т.к. x₂ = 0.

При этом, если реализовывать единицу товаров группы В, то целевая функция или доход предприятия снизится на 17,02 тыс. руб. (W₂=-17,02).

. Анализ дополнительных базисных переменных.

Анализируя недоиспользование ресурсов можно сделать вывод, что в оптимальном плане недоиспользуется 20 м² площади торговых залов при общей площади 120 м².

. Анализ дополнительных небазисных переменных.

Анализируя эффективность использования ресурсов, а также эффективность реализации можно сказать, что в оптимальном плане присутствует потребность в рабочем времени продавцов и площади складских помещений. Данные ресурсы являются дефицитными.

Недоиспользование рабочего времени продавцов на 1 чел-ч снижает целевую функцию, т.е. доход торгового предприятия на 6 тыс. руб. (W₄=-6).

Недоиспользование площади складских помещений на 1 м² снижает целевую функцию на 0,8 тыс. руб. (W₆=-0,8).

Таким образом, при сравнении оценки чистого эффекта по данным переменным можно выявить, что самым дефицитным ресурсом является рабочее время продавцов.

Задание 3

При помощи метода потенциалов определить оптимальный план поставок продукции, минимизирующий общие затраты на поставку продукции, если даны стоимость затрат на поставку единицы продукции С (тыс. руб.), объемы запасов поставщиков а_i, потребности потребителей продукции (тонн).

А₁=7; А₂=8; А₃=7; А₄=3

В₁=4; В₂=6; В₃=7

Решение:

∑А_i = 7+8+7+3=25

∑В_j= 4+6+7=17

∑А_i ≠ ∑В_j, следовательно задача является открытой.

F=28*4+39*3+32*3+36*5+39*2+0*5+0*3=487

Проверка оценки чистого эффекта:

W=c_ij- (u_i+v_j)

W₁₃=35- (0+43) =-8

W₁₄=0- (0+4) =-4

W₂₁=37- (28-7) =16

W₂₄=0- (4-7) =3

W₃₁=27- (28-4) =3

W₃₂=34- (39-4) =-1

W₄₁=42- (28-4) =18

W₄₂=33- (39-4) =-2

W₄₃=38- (43-4) =-1

Т.к. имеются отрицательные оценки чистого эффекта, то решение не оптимально.

Минимальное значение равно 3.

(n+m) - 1=7

F=28*4+35*3+32*6+36*2+39*2+0*5+0*3=559

Проверка оценки чистого эффекта.

W=c_ij- (u_i+v_j)

W₁₂=39- (0+31) =8

W₁₄=0- (0-4) =4

W₂₁=37- (1+28) =8

W₂₄=0- (1-4) =3

W₃₁=27- (4+28) =-5

W₃₂=34- (4+31) =-1

W₄₁=42- (4+28) =10

W₄₂=33- (4+31) =-2

W₄₃=38- (4+35) =-1

Т.к. имеются отрицательные оценки чистого эффекта, то решение не оптимально.

Минимальное значение равно 2.

F=28*2+35*5+32*6+36*2+27*2+0*5+0*3=549

Проверка оценки чистого эффекта: W=c_ij- (u_i+v_j)

W₁₂=39- (0+31) =8

W₁₄=0- (0+1) =-1

W₂₁=37- (1+28) =8

W₂₄=0- (1+1) =-2

W₃₂=34- (-1+31) =4

W₃₃=39- (-1+35) =5

W₄₁=42- (-1+28) =15

W₄₂=33- (-1+31) =3

W₄₃=38- (-1+35) =4

Т.к. имеются отрицательные оценки чистого эффекта, то решение не оптимально. Минимальное значение равно 2.

F=35*7+32*6+36*0+2*0+27*4+3*0+3*0=545

Проверка оценки чистого эффекта.

W=c_ij- (u_i+v_j)

W₁₁=28- (0+26) =2

W₁₂=39- (0+31) =8

W₁₄=0- (0-1) =1

W₂₁=37- (26+1) =10

W₃₂=34- (31+1) =2

W₂₃=36- (35+1) =0

W₃₃=39- (35+1) =3

W₄₁=42- (26+1) =15

W₄₂=33- (31+1) =1

W₄₃=38- (35+1) =2

Все оценки чистого эффекта положительны, следовательно решение оптимально.

x₁₁=0; x₁₂=0; x₁₃=7; x₁₄=0

x₂₁=0; x₂₂=6; x₂₃=0; x₂₄=2

x₃₁=4; x₃₂=0; x₃₃=0; x₃₄=3

x₄₁=0; x₄₂=0; x₄₃=0; x₄₄=3

Анализ полученного решения:

. Анализ основных базисных переменных.

Анализируя оптимальные планы поставок и соответствующее им значение целевой функции можно сделать вывод, что оптимальный план предполагает поставки:

от первого поставщика к третьему покупателю в размере 7 т (x₁₃=7);

от второго поставщика ко второму покупателю в размере 6 т (x₂₂=6);

от второго поставщика к четвертому покупателю в размере 2 т (x₂₄=2);

от третьего поставщика к первому покупателю в размере 4 т (x₃₁=4);

от третьего поставщика к четвертому покупателю в размере 3 т (x₃₄=3);

от четвертого поставщика к четвертому покупателю в размере 3т (x₄₄=3).

Соответственно, при данном объеме поставок затраты на поставку будут минимальными и составят 545 т.

. Анализ основных небазисных переменных.

Анализируя поставки продукции, степень эффективности которых характеризует оценка чистого эффекта, можно выявить следующие неэффективные поставки:

x₁₁=0; x₁₂=0; x₁₄=0 x₂₁=0; x₂₃=0; x₃₂=0; x₃₃=0; x₄₁=0; x₄₂=0; x₄₃=0.

W₁₁=2 означает, если поставить единицу продукции от первого поставщика первому потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 2 тыс. руб.;

W₁₂=8 означает, если поставить единицу продукции от первого поставщика второму потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 8 тыс. руб.;

W₁₄=1 означает, если поставить единицу продукции от первого поставщика четвертому потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 1 тыс. руб.;

W₂₁=10 означает, если поставить единицу продукции от второго поставщика первому потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 10 тыс. руб.;

W₂₃=0 означает, если поставить единицу продукции от второго поставщика третьему потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 0 тыс. руб.;

W₃₂=2 означает, если поставить единицу продукции от третьего поставщика второму потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 2 тыс. руб.;

W₃₃=3 означает, если поставить единицу продукции от третьего поставщика третьему потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 3 тыс. руб.;

W₄₁=15 означает, если поставить единицу продукции от четвертого поставщика первому потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 15 тыс. руб.;

W₄₂=1 означает, если поставить единицу продукции от четвертого поставщика второму потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 1 тыс. руб.;

W₄₃=2 означает, если поставить единицу продукции от четвертого поставщика третьему потребителю, то затраты на поставку продукции увеличатся на 2 тыс. руб.

При сравнении оценки чистого эффекта по переменным самой неэффективной поставкой выступает x₄₁=0, т.к. W₄₁=15.

. Анализ дополнительных базисных переменных.

При определении размера недоиспользования запасов поставщиков или неудовлетворения спроса потребителей можно сделать вывод, что:

запасы второго поставщика недоиспользуются на 2 т (x₂₄=2);

запасы третьего поставщика недоиспользуются на 3 т (x₃₄=3);

запасы четвертого поставщика недоиспользуются на 3 т (x₄₄=3).

. Анализ дополнительных небазисных переменных.

Анализируя эффективность использования запасов поставщиков, а также удовлетворения спроса потребителей можно сказать, что запасы первого поставщика полностью используются (x₁₄=0).

При этом, W₁₄=1 означает, что, если недоиспользовать запасы первого поставщика на единицу, то затраты на поставку продукции увеличатся на 1 тыс. руб.

Результаты решения представлены в приложении В.

Задание 4

Определить структуру вложений, позволяющую максимизировать сумму денег, накопленных к конечному периоду, по пяти проектам, конкурирующим за инвестиционные фонды компаний (см. Таблица 3), если максимальная мощность проекта А ограничена 270 млн. руб., минимальная мощность проекта Д - 650 млн. руб., общая сумма средств компании - 1200 млн. руб., полученные деньги от вложений можно затем реинвестировать в другие проекты или разместить в банке под 5,5% годовых.

Таблица 3 - Показатели вложений и отдачи по проектам в удельной форме

Решение:

Формирование модели.

) Определение переменных.

А₁ (х₁), В₂ (х₂), С₁ (х₃), D₁ (х₄), Е₃ (х₅) - вложения в проекты в n-годы (млн. руб.)

S₁ (x₆), S₂ (x₇), S₃ (x₈) - вложения под краткосрочные 5,5% годовых.

) Определение ограничений.

а) Максимальные вложения в проект А: х₁ ≤ 270

б) Минимальные вложения в проект D: х₄ ≥ 650

в) Вложение средств в 1 год: х₁+х₃+ х₄+ х₆ ≤ 1200

г) Баланс вложений во 2 год: 0,22х₁+1,26х₃+1,055х₆= х₂+х₇

0,22х₁+1,26х₃+1,055х_{6 -} х₂-х₇=0

д) Баланс вложений в 3 год: 1,14х₁+0,41х₂+1,055х₇=х₅+х₈

1,14х₁+0,41х₂+1,055х₇-х₅-х₈=0

Целевая функция: F (x) =0,93х₂+1,79х₄+1,48х₅+1,055х₈→max

При этом максимальный доход приходится на 4 год.

Анализ полученного решения.

) Оценивая основные базисные переменные можно проанализировать структуру вложений денежных средств и соответствующее ей значение целевой функции. На основании этого можно сделать вывод, что оптимальная структура предполагает размещение денег:

в проект А 270,000 млн. руб.;

в проект С 280,000 млн. руб.;

в проект D 650,000 млн. руб.;

в проект Е 742,671 млн. руб.

под 5,5% годовых в банке во 2 год 412, 200 млн. руб.

Сумма денег, накопленных к конечному периоду (к 4 году) при этом будет максимальной и составит 2262,653 млн. руб.

) При оценке основных небазисных переменных было получено следующее:

x₂=0, означает, что вложения денежных средств в проект В являются неэффективными;

x₆=0, означает, что вложения денежных средств в банк под 5,5% годовых в 1 год являются неэффективными;

x₈=0, означает, что вложения денежных средств в банк под 5,5% годовых в 3 год являются неэффективными.

Степень неэффективности вложений характеризует оценка чистого эффекта:

W₂=-0,025, означает, что, если осуществить вложение денежных средств в проект В на 1 млн. руб., то целевая функция, т.е. сумма денег, накопленных к конечному периоду снизится на 0,025 млн. руб.;

W₆=-0,320, означает, что, если полученные от вложений деньги разместить в банке под 5,5% годовых, то на 1 млн. руб. вложенных средств в 1 год целевая функция, т.е. сумма денег, накопленных к конечному периоду, снизится на 0,320 млн. руб.;

W₈=-0,425, означает, что, если полученные от вложений деньги разместить в банке под 5,5% годовых, то на 1 млн. руб. вложенных средств в 3 год целевая функция, т.е. сумма денег, накопленных к конечному периоду, снизится на 0,425 млн. руб.

Сравнивая оценку чистого эффекта по данным переменным можно выявить самые неэффективные виды вложений денег. В данном случае это размещение денег в банке в 3 год.

) Оценивая дополнительные базисные показатели можно сделать вывод, что общая сумма средств компании в размере 1200 млн. руб. используется полностью, а к концу периода наблюдается получение дополнительного дохода.

) Оценивая дополнительные небазисные переменные было получено:

x₁=0, означает, что в структуре вложений денежных средств мощность проекта А используется максимально;

x₂=0, означает, что в структуре вложений денежных средств мощность проекта В используется максимально;

x₃=0, означает, что в структуре вложений денежных средств мощность проекта С используется максимально.

W₁=-0,063, означает, что недоразмещение денежных средств в проект А на 1 млн. руб. снижает целевую функцию на 0,063 млн. руб., (полностью используется мощность проекта А);

W₂=-0,177, означает, что недоразмещение денежных средств в проект В на 1 млн. руб. снижает целевую функцию на 0,177 млн. руб., (полностью используется мощность проекта B);

W₃=-1,967, означает, что недоразмещение денежных средств в проект С на 1 млн. руб. снижает целевую функцию на 1,967 млн. руб., (полностью используется мощность проекта C).

Сравнивая оценку чистого эффекта по проектам можно сделать вывод, что дефицитной является мощность проекта С.

Результаты решения представлены в приложении Г.

Задание 5

Найти оптимальную структуру размещения средств, обеспечивающую максимальную прибыль филиала банка, если общая сумма средств филиала Сбербанка составляет 4850 млн. руб. Направления вложения, долевые границы и доходность размещения средств приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Показатели средств филиала Сбербанка

Решение:

Формирование модели.

) Определение переменных.

х₁ - кредиты физическим лицам;

х_{2 -} кредиты юридическим лицам;

х_{3 -} средства государственного валютного займа;

х_{4 -} средства в государственных ценных бумагах;

х_{5 -} кредитные ресурсы для лизинга.

) Формирование ограничений.

По общей сумме средств: х₁+х₂+х₃+х₄+х₅≤4850

По минимальной доле физических лиц: х₁≥0,012 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,988х₁-0,012х₂-0,012х₃-0,012х₄-0,012х₅

По максимальной доле физических лиц: х₁≤0,024 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,976х₁-0,024х₂-0,024х₃-0,024х₄-0,024х₅

По минимальной доле юридических лиц: х₂≥0,010 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,010х₁+0,990х₂-0,010х₃-0,010х₄-0,010х₅

По максимальной доле юридических лиц: х₂≤0,025 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,025х₁+0,975х₂-0,025х₃-0,025х₄-0,025х₅

По минимальной доле государственного валютного займа:

х₃≥0,440 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,440х₁-0,440х₂+0,560х₃-0,440х₄-0,440х₅

По максимальной доле государственного валютного займа:

х₃≤0,490 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,490х₁-0,490х₂+0,510х₃-0,490х₄-0,490х₅

По минимальной доле государственных ценных бумаг:

х₄≥0,011 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,011х₁-0,011х₂-0,011х₃+0,989х₄-0,011х₅

По максимальной доле государственных ценных бумаг:

х₄≤0,019 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,019х₁-0,019х₂-0,019х₃+0,981х₄-0,019х₅

По минимальной доле кредитных ресурсов для лизинга:

х₅≥0,493 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,493х₁-0,493х₂-0,493х₃+0,493х₄+0,507х₅

По максимальной доле кредитных ресурсов для лизинга:

х₅≤0,553 (х₁+х₂+х₃+х₄+х₅)

,553х₁-0,553х₂-0,553х₃+0,553х₄+0,447х₅

Целевая функция: F=0,18х₁+0, 19х₂+0,23х₃+0,04х₄+0,18х₅→max

Анализ полученного решения.

) Анализ основных базисных переменных.

Оптимальная структура размещения средств филиала Сбербанка предполагает вложения по направлениям:

кредиты физическим лицам х₁=58, 200 млн. руб.;

кредиты юридическим лицам х₂=48,500 млн. руб.;

средства государственного валютного займа х₃=2298,900 млн. руб.;

средства в государственных ценных бумагах х₄=53,350 млн. руб.;

кредитные ресурсы для лизинга х₅=2391,050 млн. руб.

Прибыль филиала при этом будет максимальная и составит 980,961 млн. руб.

) Анализ дополнительных небазисных переменных.

x₁=0, означает, что в оптимальной структуре размещения средств филиалом Сбербанка нет недоразмещения вложений по направлению кредитов физическим лицам (по данному направлению вложение денежных средств осуществляется по максимальной долевой границе);

x₂=0, означает, что в оптимальной структуре размещения средств филиалом Сбербанка нет недоразмещения вложений по направлению кредитов юридическим лицам (по данному направлению вложение денежных средств осуществляется по максимальной долевой границе);

x₄=0, означает, что в оптимальной структуре размещения средств филиалом Сбербанка нет недоразмещения вложений по направлению в государственные ценные бумаги (по данному направлению вложение денежных средств осуществляется по максимальной долевой границе);

x₈=0, означает, что в оптимальной структуре размещения средств филиалом Сбербанка на нужды государственного валютного займа, вложения денежных средств используются не полностью (по данному направлению вложение осуществляются как по максимальной, так и по минимальной долевым границам);

x₁₀=0, означает, что в оптимальной структуре размещения средств филиалом Сбербанка на кредитование лизинга, вложения денежных средств используются не полностью (по данному направлению вложение осуществляются как по максимальной, так и по минимальной долевым границам).

W₁=-0, 202, означает, что недоразмещение денежных средств по кредитам физическим лицам на 1 п. п. снижает целевую функцию на 0, 202 млн. руб., (средства размещены по максимальной процентной ставке);

W₂=-0,050, означает, что недоразмещение денежных средств по кредитам физическим лицам на 1 п. п. снижает целевую функцию на 0,050 млн. руб., (средства размещены по максимальной процентной ставке);

W₄=-0,040, означает, что недоразмещение денежных средств по направлению в государственные ценные бумаги на 1 п. п. снижает целевую функцию на 0,040 млн. руб., (средства размещены по максимальной процентной ставке);

W₈=-0, 190, означает, что недоразмещение денежных средств по направлению государственного валютного займа на 1 п. п. снижает целевую функцию на 0, 190 млн. руб., (средства размещены по максимальной и минимальной процентной ставке);

W₁₀=-0,050, означает, что недоразмещение денежных средств в кредитные ресурсы для лизинга на 1 п. п. снижает целевую функцию на 0,050 млн. руб.

Результаты решения представлены в приложении Д.

Список литературы

1. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 616 с: ил.

. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.