Бешенство
1.
Привести
два примера пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события.
2.
Доказать,
что если независимы события А и B, то независимы события Ā и B.
3.
По
плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин ξ и η найти:
- коэффициент А;
- функцию распределения F (x, y) системы случайных
величин;
функции распределения и плотности распределения отдельных
составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
условные плотности распределения f (x/y), f (y/x);
числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и Mη и дисперсию системы Dξ и Dη:
функция распределение плотность случайный
1.
По
выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:
X = {1.4, 1.2, 1.0, 0.6, 0.8, 1.2, 1.2, 1.0, 1.0, 0.4, 0.6,
1.0, 0.8, 1.6, 1.4}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра «a» - математическое
ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5.
Задана случайная функция:
Y = X℮ -t + 5,
где Х случайная величина с МХ = 5, DX = 1.3. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2) случайной
функции
V = 
. Задан случайный процесс
Z = X COS(t) + Y e-3t
c MX = 3.2, DX = 2.4, MY = 4, DY = 3.1, r xy
= 0.6.
Найти
MZ, DZ, K Z (t1, t2).
Решение
. Монету подбрасывают один раз.
Элементарными несовместными событиями в данном случае будут
ω1 - выпадение цифры;
ω2 - выпадение герба.
Ω={ω1,ω2},
где Ω -
пространство элементарных событий.
Вероятности того, что выпадет цифра или герб равны
P(ω1)= P(ω2)=0.5
. Условие независимости двух событий: если А и В независимы, то
P (A/B)=P(A).
В
данном случае P
(B/A)=P(B). Доказательство:
P (B/A)=P (B∩ A)/P(A)=P (B(1-A))/P(A)=P
(B-B*A)/ P(A)=P(B) P (1-A)/ P(A)=P(B)* P(A)/ P(A)=P(B)
3.1).Найдем коэффициент А:
=1
a=1/3;
3.2) F (x, y)=
0<x£1, 1<y£2
F (x, y)=
0<x£1
1<y£2
0<x£1
1<y£2
0<x£1
1<y£2
;
;
Вариационный ряд состоит из семи различных чисел. Так как X - дискретная случайная величина, то составляем таблицу
ряда
|
x
|
0.4
|
0.6
|
0.8
|
1.0
|
1.2
|
1.4
|
1.6
|
1
|
2
|
2
|
4
|
3
|
2
|
1
|
Строим эмпирическую функцию:
-∞<x≤0.4 Fn(x)=0
.4<x≤0.6 Fn(x)=2/15
.6<x≤0.8 Fn(x)=2/15
.8<x≤1.0 Fn(x)=4/15
.0<x≤1.2 Fn(x)=3/15
.2<x≤1.4 Fn(x)=2/15
.4<x≤1.6 Fn(x)=1/15
.6<x<∞ Fn(x)=1
Fn(x)=
Построим полигон частот и эмпирическую функцию распределения:
В качестве оценки для математического ожидания принимают
эмпирическое среднее, т.е. среднее арифметическое всех полученных значений
величины X.
xср=1/n*å xi
xср=1/15
(0.4+2*0.6+2*0.8+4*1.0+3*1.2+2*1.4+1.6)=1.013;
Выборочная дисперсия находится по формуле:
ξ2 =1/n*å(xi-xср)2 -это смещенная оценка дисперсии генеральной
совокупности.
ξ2 =1/15*((0.4-1.013)2+2*(0.6-1.013)2+2*(0.8-1.013)2+4*(1-1.013)2+
*(1.2-1.013)2+2*(1.4-1.013)2+(1.6-1.013)2)=0.0781;
S2=1/(n-1)*å(xi-xср)2 -это несмещенная оценка дисперсии.
S2
=1/14*((0.4-1.013)2+2*(0.6-1.013)2+2*(0.8-1.013)2+4*(1-1.013)2+
*(1.2-1.013)2+2*(1.4-1.013)2+(1.6-1.013)2)=0.1109;
S2=0.1109;
Среднеквадратичное отклонение:
ξ =√1/n*å(xi-xср)2=0,3222; S=√1/(n-1)*å(xi-xср)2=0,2794;
Доверительный интервал определяем по формулам:
Aн=xср-ερ*S/√n;
Aв=xср+ερ*S/√n;
xср -
выборочное среднее
S - выборочное среднеквадратичное отклонение несмещенной оценки
ερ - определяется по таблицам распределения
Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы:
p=1 - α;
Из таблицы:
ερ=1,76;
(t) = X еxp (-t+5), MX=5, DX =1.3;
;
Проверка:
;
(t)=M [Xcost+Ye-3t]=costMX+e-3tMY=3.2*cost+4e-3t
DZ=D [Xcost+Ye-3t]=cos2tDX+
e-9tDY=2.4*cos2t+3.1e-4t
Kz(t1, t2)=MŻ(t1)*Ż(t2)
Ż(t1)=Xcos t1+Ye-3 t1-3.2
cos t1-4e-3 t1= cos t1 (X-3.2)+ e-3 t1
(Y-4)= sin t1X+ e-3 t1 Y
Аналогично:
Ż(t2)= sin t2X+ e-2 t2 Yz(t1,
t2)=M[(cos t1X+ e-3 t1 Y)*(sin t2X+
e-3 t2 Y)]=M [cos t1 cos t2 X2+ e-3
t1 cos t2X Y+ e-3 t2 cos t1X Y+ e-3(t1+t2)
Y2]= cos t1 cos t2 MX2+ e-3 t1
cos t2MX Y+ e-3 t2 cos t1MX Y+ e-3(t1+t2)
MY2= cos t1 cos t2 DX+ e-3 t1 cos t2KXY+
e-3 t2 cos t1KXY+ e-3(t1+t2) DY=2.4
cos t1 coa t2 +1.92 e-3 t1 cos t2+1.92
e-3 t2 cos t1+3 e-3(t1+t2);
rxy= KXY /√DX*DY;XY = rxy*√DX*DY=1.63.