Моделирование рисковых ситуаций
Министерство
образования и науки РФ
Сочинский
государственный университет
Экономический
факультет
Кафедра
«Экономической теории и мировой экономики»
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
«Моделирование
рисковых ситуаций»
Работу
выполнил(а)
Студент(ка)
IV курса, группа
08-ЗГМУ
Иванова
Полина Александровна
Работу
проверил(а):
Ионкин
Валерий Петрович, к. ф.-м. н., профес. каф.
г.
Сочи - 2012 г
Задача 1
Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если
это возможно, седловую точку.
А = 
Решение:
А = 
α = max min aij = 2
β = min max aij = 5
Так как α ≠ β, то
седловой точки у этой матрицы нет.
Ответ: у матрицы А седловой точки
нет.
Задача 2
Дана матрица выигрышей. Решить игру
графически и аналитически.
А = 
Решение:
. Проверим наличие седловой точки:
А =
Так как α ≠ β, то
седловая точка отсутствует.
. Определим средние выигрыши А:
HA = (P,B1)
= 4p + 5 (1- p)= (P,B2) = 6p + 2 (1- p)
3. Построим нижнюю огибающую на
плоскости {р, Н}:
. Определим γ и
р0. Точка (р0, γ) принадлежит обеим
прямым H(P,B1)
и H(P,B2).
γ = 4 р0 + 5 (1- р0)
γ = 6 р0 + 2 (1- р0)
р0 - 3 (1- р0) = 0
р0 - 3 = 0
р0 = 3
р0 = 3/5 = 0,6 γ
= 4
Ч 0,6 + 5 (1- 0,6)
γ = 2,4 + 2
γ = 4,4
Решая эту систему, получим р0 =
0,6; γ = 4,4. Таким образом цена игры и
оптимальная стратегия игрока А γ = 4,4; р0
= {0,6; 0,4}.
Определим оптимальную стратегию Q0
= {q; 1 - q}
игрока В:
γ = 4 q + 6 (1 - q) = 4,4 
γ = 5 q + 2 (1 - q) = 4,4
Q0 = {0,8;
0,2}
Ответ: р0 = {0,6; 0,4}, Q0 = {0,8; 0,2},
γ = 4,4.
Задача 3
Дана матрица выигрышей и
вероятностей qi состояний
природы Пi. Определить
оптимальные чистые стратегии в условиях неопределенности для матрицы выигрышей.
А=
q1 = 0,25, q2 = 0,3, q3 = 0,35, q4 = 0,1
Решение:
. Матрица выигрышей А имеет вид:
А=
Определим средние выигрыши āi = ∑ āij qj для каждой
стратегии А i:
ā1 = 2Ч0,25 + 4Ч0,3 + 1Ч0,35 +
8Ч0,1 = 0,5 + 1,2 + 0,35 + 0,8 = 2,85;
ā2 = 4Ч0,25 +
7Ч0,3 + 3Ч0,35 + 5Ч0,1 = 1 + 2,1 + 1,05 + 0,5 = 4,65;
ā3 = 3Ч0,25 +
0Ч0,3 + 4Ч0,35 + 2Ч0,1 = 0,75 + 0 + 1,4 + 0,2 = 2,35;
ā4 = 5Ч0,25 +
2Ч0,3 + 8Ч0,35 + 1Ч0,1 = 1,25 + 0,6 + 2,8 + 0,1 = 4,75.
Согласно критерию оптимальности max∑ āij qj = 4,75.
Следовательно, стратегия А 4 является оптимальной.
. Матрица рисков R имеет вид:
R =
матрица выигрыш
неопределенность стратегия
Определим средние риски ri = ∑ rij qj для каждой
стратегии А i:
r1 = 3Ч0,25 +
3Ч0,3 + 7Ч0,35 + 0Ч0,1 = 0,75 + 0,9 + 2,45 + 0 = 4,1;
r2 = 1Ч0,25 +
0Ч0,3 + 5Ч0,35 + 3Ч0,1 = 0,25 + 0 + 1,75 + 0,3 = 2,3;
r3 = 2Ч0,25 +
7Ч0,3 + 4Ч0,35 + 6Ч0,1 = 0,5 + 2,1 + 1,4 + 0,6 = 4,6;
r4 = 0Ч0,25 +
5Ч0,3 + 0Ч0,35 + 7Ч0,1 = 0 + 1,5 + 0 + 0,7 = 2,2.
Согласно критерию min∑ rij qj= 2,2. Как
следовала ожидать в силу эквивалентности стратегия А 4 является оптимальной.
Задача 4
Используя критерии максимакса,
Вальда, Сэвиджа и Гурвица (ж = 0,75) определить оптимальные чистые стратегии в
условиях неопределенности для матрицы выигрышей.
А=
Решение:
. Критерий максимакса:
max max аi j = 8,
следовательно, наилучшим решением будет А 2.
. Максиминный критерий Вальда:
W = max min аi j
для А 1 min а1 j = 2
для А 2 min а2 j = 5
для А 3 min а3 j = 1
Следовательно, W = max min аi j= 5. таким
образом, наилучший по критерию Вальда является стратегия А 2.
. Критерий минимаксного риска
Сэвиджа:
S = min max rij
R =
для А 1 max r1j= 6
для А 2 max r2j= 1
для А 3 max r3j= 6
Следовательно, S = min max rij= 1, что
соответствует стратегии А 2.
. Критерии пессимизма - оптимизма
Гурвица:
HA = max (ж min аi j + (1 - ж) max аi j)
Для матрицы выигрышей А критерий
Гурвица имеет вид:
для А 1 HA1 = 0,75Ч2 +
(1 - 0,75)Ч4 = 1,5 + 0,25Ч4 = 1,5 + 1 = 2,5;
для А 2 HA2 = 0,75Ч5 +
(1 - 0,75)Ч8 = 3,75 + 0,25Ч8 = 3,75 + 2 = 5,75;
для А 3 HA3 = 0,75Ч1 +
(1 - 0,75)Ч6 = 0,75 + 0,25Ч6 = 0,75 + 1,5 = 2,25.
Таким образом, согласно критерию
Гурвица для матрицы выигрышей max HA2 = HA2 = 5,75
оптимально чистой стратегией при ж = 0,75 является А 2.
Для матрицы рисков R критерий
Гурвица имеет вид:
HR = min (ж
max rij + (1 - ж) min rij)
для А 1 HR1 = 0,75Ч6 +
(1 - 0,75)Ч3 = 4,5 + 0,25Ч3 = 4,5 + 0,75 = 5,25;
для А 2 HR2 = 0,75Ч1 +
(1 - 0,75)Ч0 = 0,75+ 0 = 0,75;
для А 3 HR1 = 0,75Ч6 +
(1 - 0,75)Ч0 = 4,5 + 0 = 4,5.
Согласно критерию Гурвица для рисков
min HRij = HR2 = 0,75 и
оптимальной стратегией будет А 2.
Ответ: по всем критериям оптимальной
стратегией является А 2.