Эпидермис
В пирамиде SАBC:
треугольник АBС - основание
пирамиды, точка S - ее
вершина. Даны координаты точек А, B,
C, S.
Сделать чертеж. Найти:
). длину ребра АB;
). угол между ребрами АB
и АS;
). угол наклона ребра АS
к основанию пирамиды;
). площадь основания пирамиды;
). объем пирамиды;
). уравнение прямой АB;
). уравнение плоскости АBC;
). проекцию вершины S
на плоскость АBC;
). длину высоты пирамиды.
Задание 14.
A(3;2.0); B(1;2;0);
C(0;4;2); S(1;-2;4)
Сделаем чертеж
1.
Длина ребра АB
Длина ребра АB
равна длине вектора АB.
Найдем координаты вектора 
;
Тогда длина вектора 
равна:
Угол между ребрами АB и АS равен углу
между векторами и 
. Угол между
векторами находим по формуле:
Тогда
Следовательно
3. Угол наклона ребра АS к основанию
пирамиды.
Угол наклона ребра АS к основанию
пирамиды является углом между прямой AS и ее
проекцией на плоскость. Это угол между нормалью к плоскости АBC и прямой АS. В качестве
нормали возьмем векторное произведение 
и 
.
Следовательно,
Следовательно, нормальный вектор
плоскости имеет координаты
Тогда угол между ребром АS
и гранью АBC равен:
4. Площадь основания пирамиды
Следовательно,
. Объем пирамиды
Объем пирамиды построенной на векторах найдем по
формуле
где 
Учитывая, что
Следовательно
. Уравнение прямой АB.
Уравнение прямой АB найдем как
уравнение прямой с направляющим вектором . Т.е.
пирамида ребро угол основание
или 
Т.е. искомая прямая лежит в
плоскости 
.
. уравнение плоскости АBC.
Уравнение плоскости АBC будем
искать как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
или
Окончательно получаем
8. Проекцию вершины S
на плоскость АBC
Проекция вершины S
на плоскость АBC - это точка
пересечения плоскости ABC
и прямой SD,
перпендикулярной плоскости ABC.
Уравнение высоты может быть найдено как уравнение
прямой, проходящей через заданную точку A
с направляющим вектором. В качестве направляющего вектора используем нормальный
вектор плоскости АBC.
Нормальный вектор плоскости получим из ее
уравнения (пункт 7).
Таким образом уравнение искомой
прямой имеет вид
или
Найдем точку пересечения плоскости и
прямой. Для этого решим систему полученных уравнений
Следовательно, точка D(1,1,1).
. Длину высоты пирамиды
Длину высоты пирамиды найдем по
формуле расстояния от точки до плоскости
где, 
координаты точки S,
A,B,C,D
- коэффициенты уравнения плоскости основания пирамиды.
Следовательно