Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Принцип Лагранжа
Курсовая
работа
на
тему:
Конечномерные
гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Принцип Лагранжа
Оглавление
Введение
Постановка задачи
Необходимые и достаточные условия
экстремума
Принцип Лагранжа
Необходимое условие экстремума II
порядка
Достаточное условие экстремума II
порядка
Правило решения
Теорема Вейерштрасса
Примеры
Список литературы
Введение
Теорию задач на отыскание наибольших и
наименьших величин называют теорией экстремальных задач.
Слово maximum
по латыни означает “наибольшее”, слово minimum
- “наименьшее”. Оба этих понятия объединяются словом “экстремум” (от латинского
extremum, означающего
“крайнее”). Слово “экстремум”, как термин, объединяющий понятия “максимум” и
“минимум”, ввел в употребление Дюбуа-Реймон. Ныне раздел анализа, называют
теорией экстремальных задач.
Запись задачи в виде 
означает,
что мы должны решить задачу на минимум, и задачу на максимум.
Задачу на максимум всегда можно
свести к задаче на минимум, заменив задачу 
задачей 
, где 
, и
наоборот. Поэтому в тех случаях, когда формулировки теорем для задач на минимум
и максимум различны, мы иногда ограничиваемся рассмотрением задачи на минимум.
Задачи на максимум и минимум
изначально формулируются, как правило, на языке той области, в которой они
возникают. А исследуют их средствами математического анализа. Для того, чтобы
можно было воспользоваться этими средствами, необходимо перевести формулировку
задачи на язык математического анализа. Такой перевод называется формализацией.
В общем виде формализованная задача
выглядит следующим образом : найти экстремум (максимум или минимум) функции 
,определенной
на некотором пространстве 
при
ограничении 
. Кратко
записывается так:
Для функции одной переменной 
, для
функции нескольких переменных 
. В более общих случаях может быть
линейным, нормированным или топологическим пространством. Ограничение 
может быть
записано в виде включения, а также в виде уравнений или неравенств. 
- нумерация
(обозначение) задачи (от английского слова problem - задача).
Множество допустимых элементов в задаче обозначаем 
или 
. Если
множество допустимых элементов совпадает со всем пространством 
, то задачу называем
задачей без ограничений.
Решением задачи на минимум
является точка 
такая, что 
для всех
точек 
. В этом
случае мы пишем 
. Такой
минимум называется еще абсолютным, или глобальным. Аналогично определяется
абсолютный максимум в задаче 
. Величина 
, где - решение
задачи, называется численным значением задачи и обозначается 
или 
. Множество
решений задачи обозначается
. если
экстремум не достигается, то указывается последовательность точек 
, на которой
значение функции 
стремиться
к величинам и .
В связи с каждой экстремальной
задачей возникают вопросы: каковы необходимые условия экстремума, каковы
достаточные условия, существует ли решение задачи, как найти решение явно или
численно.
Одним из важнейших принципов решения
задач с ограничениями является принцип Лагранжа снятие ограничений. Сфера
применимости принципа Лагранжа достаточна широка. Иногда нельзя к задаче
применить имеющуюся теорему, однако этот принцип, примененный без основания,
тем не менее может привести к точкам, среди которых можно выделить решение.
Постановка задачи
Пусть 
- функции, n
переменных, отображающие пространство Rn в R. Считаем,
что все функции 
обладают
определенной гладкостью. Гладкой конечномерной экстремальной задачей с
ограничениями тира равенств и неравенств называется следующая задача в Rn :
(P)
В задачах, где имеются ограничения
типа неравенств, важно, рассматриваемая задача на минимум или на максимум. Для
определенности мы будем рассматривать задачу на минимум.
Необходимые и достаточные условия
экстремума
Принцип Лагранжа
Сформулируем необходимое условие
экстремума I порядка в
гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств -
принцип Лагранжа.
Теорема. Пусть 
- точка
локального экстремума в задаче (Р), а функции 
непрерывно дифференцируемы в
окрестности точки 
(условие
гладкости). Тогда существует ненулевой вектор множитель Лагранжа 
, такой, что
для функции Лагранжа задачи (Р) 
выполняются условия:
a)
стационарности :
b)
дополняющей нежесткости:
c)
неортицательности:
Точки, удовлетворяющие необходимым
условиям локального экстремума, называются критическими. В задаче на максимум 
Необходимое условие экстремума II порядка.
Сформулируем необходимое условие
минимума II порядка в
гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.
Теорема. Пусть - точка
локального минимума в задаче (Р), функции дважды
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки 
(условие
гладкости), векторы 
линейно
независимы (условие регулярности).
Тогда существует множитель Лагранжа 
с
такой, что
для функции Лагранжа задачи (Р) выполняются условия экстремума I порядка:
a) стационарности:
b) дополняющей нежесткости:
c) неотрицательности
и 
где 
- конус
допустимых вариаций, а Л - совокупность множителей Лагранжа 
, для
которых выполнены условия a)-c) с .
Мы сформулировали необходимое
условие минимума. Необходимое условие максимума формулируется аналогично, за
исключением того, что множитель Лагранжа 
и
соответственно в конусе допустимых вариаций 
Достаточное условие экстремума II порядка
Сформулируем достаточное условие
минимума II порядка в
гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.
Теорема. Пусть функции 
, дважды
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (условие
гладкости), векторы 
-
линейно независимы (условия регулярности), существует множитель Лагранжа 
с 
такой, что
для функции Лагранжа задачи (Р)
Выполняются условия экстремума I порядка:
a)
стационарности:
b)
дополняющей нежесткости:
c)
неотрицательности:
и 
с некоторой положительной константой
, где 
- конус
допустимых вариаций, а 
-
совокупность множитель Лагранжа 
, для которых выполнены условия a)-c) с .
Тогда 
- точка локального минимума в задаче
(Р).
Достаточное условие максимума
формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа 
,
соответственно в конусе допустимых вариаций 
и
.
Для решения гладкой конечномерной
задачи с ограничениями типа равенств и неравенств следует:
) Составить функцию Лагранжа 
) Выписать необходимое
условие экстремума I
a) стационарности:
b) дополняющей нежесткости:
c) неотрицательности:
3) Найти точки ,
удовлетворяющие условиям a)-c) (эти точки
называются критическими).
При этом отдельно рассмотреть случаи:
a) 
;
b) (или любой
положительной константе);
c) 
(или любой
отрицательной константе);
В случае a)
критические точки могут доставлять и минимум, и максимум в задаче. В случае b)
критические точки могут доставлять минимум в задаче. В случае c)
критические точки могут доставлять максимум в задаче.
При нахождении критических точек в
условиях дополняющие нежесткости 
для каждого 
надо
рассматривать два случая: 
и 
.
) Исследовать на локальный и
абсолютный экстремум найденные точки или, если их нет, найти и указать
последовательности допустимых точек, на которых эти абсолютные экстремумы
достигаются.
При этом можно пытаться воспользоваться
непосредственной проверкой или перейти к исследованию условий экстремума II
порядка в каждой критической точке. Отметим, что проверка выполнения
необходимых или достаточных условий экстремума в задаче типа равенств и
неравенств - непростая задача. Поэтому, как правило, мы будем при исследовании
экстремума использовать непосредственную проверку, сравнивая значения
исследуемой функции в критической точке с её значениями в близких допустимых
точках.
Теорема Вейерштрасса
Теорема (конечномерная теорема об обратной
функции). Пусть 
- непрерывно
дифференцируемое отображение некоторой окрестности 
точки
отличен
от нуля 
.
Тогда существует обратное отображение 
некоторой
окрестности V точки 
в
окрестность точки такое, что 
и
с некоторой константой 
Пусть 
-
функция n переменных. При
исследовании вопроса о достижении функцией n
переменных экстремума часто используется следующая теорема.
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на
непустом ограниченном замкнутом подмножестве D
конечномерного пространства (компакте) достигает своих абсолютных максимума и
минимума.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от
противного. Пусть функция f
(x, y)
при изменении (x, y)
в D оказывается
неограниченной. Тогда для любого n
найдется в D такая точка 
,
что
(1)
Из ограниченной последовательности 
можно
извлечь частичная последовательность 
,
сходящуюся к предельной точке 
Отметим, что эта точка 
необходимо
принадлежит подмножество D.
Действительно, в противном случае точки 
все
были бы от нее отличны, и точка была бы точкой
сгущения подмножества D,
ей не принадлежащей, что невозможно ввиду замкнутости подмножества D.
В следствии непрерывности функции в точке должно
быть
а это находится в противоречии с (1).
Следствие. Если функция f
непрерывна на 
и 
(
),
то она достигает своего абсолютного минимума (максимума) на любом замкнутом
подмножестве из .
Напомним, что множество A
в метрическом пространстве называется компактом, если из всякой последовательности
элементов A можно выбрать
сходящуюся к элементу из A
последовательность или (равносильное определение) если из всякого покрытия A
открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и
замкнутое множество конечномерного пространства является компактом.
Примеры.
Пример 1. 
Решение. Функция Лагранжа:
Необходимые условия локального
минимума:
a) стационарности:
b) дополняющей нежесткости:
c) неотрицательности:
Если 
, то из уравнения пункта a) выводим,
что 
все
множители Лагранжа - нули, а этого не может быть.
Поэтому 
, полагаем 
.
Предположим 
, тогда в
силу условия b) 
Выражая из 
условия a) через 
и
подставляя в уравнения 
, 
, получим,
что
экстремум равенство
теорема вейштрасс
откуда 
-
противоречие с условием неотрицательности c). Значит, в
случае критических
точек нет.
Пусть
. Тогда 
-
единственная критическая точка.
Функция 
при 
, значит по
следствию из теорем Вейерштрасса решение задачи существует, а в силу
единственности критической точки решением может быть только она. Итак, 
Пример 2. 
-
симметричная матрица .
Решение 1. Существование решения очевидно из
теоремы Вейштрасса, ибо сфера 
компактна. Функция Лагранжа:
. Необходимое условие
. Если 
,то 
а значит 
, что
противоречит уравнению связи 
. Положим 
. Тогда 
. Таким
образом, решением является собственный вектор матрицы 
.
. Домножив соотношения на , получим,
что 
; иначе
говоря, решением задачи на минимум будет собственный вектор матрицы ,
соответствующий наименьшему собственному значению.
Пример 3. 
Решение. 1. Функция Лагранжа : 
. Необходимое условие: 
. Если , то , значит, из предыдущих уравнений 
- точка не
является допустимой. Полагаем . Тогда 
, или 
, или 
,
следовательно, 
, т.е. 
. По теореме Вейерштрасса существуют
решения задач на минимум и максимум. Рассматривая значения функционала в
стационарных точках, получаем
Список литературы
1. Алексеев
В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации.-1984.
. Галеев
Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. - 2000.
. Фихтенгольц
Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3т. Т.1 - 2003.
. Галеев
Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. - 1989.