Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда

Вид работы:

Курсовая работа (т)
Предмет:

Математика
Язык:

Русский
,
Формат файла:
MS Word

340,25 Кб
Опубликовано:

2012-04-11

Скачать курсовую работу Читать текст online Заказать курсовую
*Помощь в написании! Посмотреть все курсовые работы

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.

Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда

Введение

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

Среди непараметрических методов спектрального оценивания одним из наиболее распространенных является метод Уэлча, в котором для построения оценки спектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений. Цель перекрытия - увеличить число осредняемых отрезков при заданной длине временного ряда и тем самым уменьшить дисперсию итоговой оценки.

В данной работе вычислены первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследовано асимптотическое поведение математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Проведен сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных и числа разбиения наблюдений для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений за атмосферным давлением в городе Бресте с января 2006 г. по март 2010 г.

спектральный плотность временной асимптотический

1. Понятия и определения, используемые в работе

Временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

Действительным случайным процессом называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

где .

Спектральной плотностью случайного процесса, , называется функция вида

, при условии, что

Спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, .

Заметим, что

Пусть - значения случайного процесса в точках . Функция

называется характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , которую также будем обозначать как .

Приведем соотношения, связывающие смешанные моменты и смешанные семиинварианты для и .

При

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, при условии, что

Случайный процесс , называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение

где

Случайный процесс , , называется стационарным в широком смысле, если и

)

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , , называется функция вида

, при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью -го порядка, , стационарного СП , , называется функция вида

при условии, что

2. Построение оценки спектральной плотности многомерного временного ряда и вычисление первых двух моментов оценки

.1 Построение оценки спектральной плотности

Рассмотрим действительный стационарный случайный процесс , с , (, ), , неизвестной ковариационной матрицей , , где

и неизвестной матрицей спектральных плотностей , , где

Пусть - последовательных наблюдений, полученных через равные промежутки времени, за составляющей процесса , , .

Предположим, что число наблюдений представимо в виде , где - число пересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений, а , - целые числа, .

Заметим также, что если , то , где - число непересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений.

Модифицированное конечное преобразование Фурье наблюдений определяется выражением

, (1.1)

где , - сглаживающие функции или окна просмотра данных, свойства которых рассмотрены в работе [2].

На каждом из интервалов разбиения построим модифицированное конечное преобразование Фурье наблюдений, имеющее вид

, (1.2)

, , где - окна просмотра данных. Таким образом, сглаживание наблюдений на каждом из отрезков разбиения производится одним и тем же окном просмотра данных.

Сделаем в выражении (1.2) замену переменной суммирования , получим

, (1.3)

где

, (1.4)

, , .

На каждом из интервалов разбиения построим статистику , задаваемую равенством

, (1.5)

где задается выражением (2.4), - окна просмотра данных, , , .

Статистику будем называть модифицированной периодограммой на ом отрезке разбиения наблюдений.

В качестве оценки взаимной спектральной плотности процесса исследована статистика вида

(1.6)

где , - спектральное окно, а , - оценка взаимной спектральной плотности процесса , построенная по методу Уэлча

(1.7)

Относительно окон просмотра данных и спектральных окон будем предполагать

Предположение 1.1 Пусть окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной вариацию.

Предположение 1.2 Пусть непрерывная, периодическая функция с периодом , имеет ограниченную вариацию и является ядром.

2.2 Вычисление математического ожидания, дисперсии и ковариации построенной оценки

Докажем некоторые вспомогательные результаты.

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

(1.8)

Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера

Тогда

Лемма доказана.

Лемма 1.2. Если функции являются окнами просмотра данных и удовлетворяют предположению 1.1, то

, (1.9)

, (1.10)

для любого .

Доказательство. Докажем соотношение (1.9). Используя преобразование Абеля, можно записать

в силу того, что . Используя тот факт, что для любого натурального и любого действительного ,

, (1.11)

Получим следующее выражение

Тогда

Учитывая ограниченность функций единицей, будем иметь

Следовательно,

Тогда, используя ограниченность вариации постоянной , получим (1.9). Соотношение (1.10) доказывается аналогично. Лемма доказана.

Лемма 1.3. Если функция непрерывна на и является периодической с периодом по каждому из аргументов, то для любого , справедливо соотношение

=, (1.12)

где .

Доказательство. Представим интеграл в правой части в виде суммы трех интегралов

+=,

где , .

Покажем, что . Сделаем в замену переменных интегрирования . Учитывая, что имеет период по каждому из аргументов, имеем

где - якобиан, равный единице. Лемма доказана.

Теорема 1.1. Математическое ожидание оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (1.6), имеет вид

, (1.13)

, (1.14)

, (1.15)

Доказательство. Подставляя вместо ее выражение в явном виде, используя соотношения (1.4), (1.5) и учитывая свойства математического ожидания, получим

Учитывая, что

, (1.16)

получим требуемый результат. Теорема доказана.

Теорема 1.2. Ковариация оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (1.6), имеет вид

(1.17)

где

, (1.18)

=, (1.19)

где задается выражением (1.15), - семиинвариантная спектральная плотность 4-го порядка, а

, (1.20)

Доказательство. Используя определение ковариации, свойства математического ожидания и соотношение (1.7), получим

Таким образом, последнее выражение можно представить в виде суммы трех слагаемых и .

Рассмотрим .

Учитывая соотношение, связывающее смешанный семиинвариант 4-го порядка и семиинвариантную спектральную плотность 4-го порядка, а также соотношение (1.15), получим

Сделаем замену переменных интегрирования . Учитывая (1.11), (1.18), (1.20), на основании леммы 1.3 получим

Рассмотрим .

Учитывая соотношения (1.15), (1.16), запишем

Используя соотношения (1.19), (1.20), получим

Рассмотрим .

Учитывая соотношения (1.15), (1.16), получим

Теорема доказана.

Теорема 1.3. Дисперсия оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (1.6), имеет вид

. (1.21)

где , ,, задаются выражениями (1.18), (1.20), (1.19), (1.15) соответственно, , , a - семиинвариантная спектральная плотность 4-го порядка.

Доказательство следует из теоремы 1.2, положив , , .

3. Исследование асимптотического поведения моментов построенной оценки

3.1 Исследование асимптотического поведения математического ожидания построенной оценки

Исследуем асимптотическое поведение математического ожидания оценки взаимной спектральной плотности , , заданной соотношением (1.6).

Теорема 2.1. Если взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , окна просмотра данных удовлетворяют предположению 1.1, а спектральные окна предположению 1.2, то для оценки , заданной выражением (1.6), справедливо соотношение

(2.1)

Доказательство. Используя свойства математического ожидания и функции вида

(2.2)

где задано выражением (1.15), запишем

Откуда, учитывая лемму Д5.1 работы [1], получим

Сделаем замену переменных тогда,

Сделаем замену переменных , получим

Учитывая, что свертка двух ядер является ядром,

ядро. Тогда,

Так как взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , а является ядром, получим требуемый результат. Теорема доказана.

Таким образом, статистика , заданная выражением (1.6), является асимптотически несмещенной оценкой взаимной спектральной плотности , , .

Лемма 2.1. [1] Если на отрезке функция имеет ограниченную вариацию, то

Как частный случай из леммы 4.1 можем получить соотношение

~, () (2.3)

где функция - произвольная функция ограниченной вариации на отрезке .

Лемма 2.2. Для функции , заданной выражением (2.2), справедливы соотношения

, (2.4)

для любого ,

, (2.5)

, (2.6)

где

. (2.7)

Доказательство. Подставляя в явном виде, получим

Используя соотношение (1.8) получим (2.4).

Докажем соотношение (2.5). Нетрудно видеть, что

Используя (1.9), получим

Аналогично можно показать, что

Откуда следует справедливость соотношения (2.5).

Докажем (2.6). Используя неравенство Гельдера, получим

Откуда, используя (2.3), получим требуемый результат. Лемма доказана.

Исследуем скорость сходимости математического ожидания оценки , предполагая, что , , удовлетворяет условию

, (2.8)

для любых , - некоторая положительная константа,

Лемма 2.3. Для ядра , , при любом

(2.9)

Доказательство. Запишем

где

Так как функция непрерывна на , следовательно, для любого существует что как только то , поэтому

можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Значит,

Рассмотрим .

Аналогично можно доказать, что

Лемма доказана.

Лемма 2.4. Для ядра, заданного выражением (2.2), при любом справедливо

(2.10)

Доказательство. Запишем

где

Так как функция непрерывна на , следовательно, для любого существует что как только то , поэтому

можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Значит,

Рассмотрим .

Аналогично можно доказать, что

Лемма доказана.

Теорема 2.2. Если взаимная спектральная плотность , , , удовлетворяет предположению 1.2, то для математического ожидания оценки , , задаваемой (1.6), имеет место равенство

(2.11)

где а задается выражением (2.2).

Доказательство. Учитывая, что математическое ожидание оценки имеет вид

сделав замену переменных , получим

Откуда, учитывая соотношение (2.8), можем записать

На основании лемм 2.3 и 2.4, получим требуемый результат. Теорема доказана.

3.2 Исследование асимптотических свойств ковариации и дисперсии построенной оценки

Исследуем асимптотическое поведение оценки взаимной спектральной плотности , , заданной соотношением (1.6).

Теорема 2.4. Если взаимная спектральная плотность непрерывная в точках и ограничена на , семиинвариантная спектральная плотность 4-го порядка ограничена на , окна просмотра данных , , , удовлетворяют предположению 1.1, а спектральные окна удовлетворяют предположению 1.2,

(2.12)

то для статистики, задаваемой соотношением (1.6), справедливо соотношение

(2.13)

Доказательство. Используя определение ковариационной функции и свойства математического ожидания, ковариация статистики , может быть представлена в виде

Учитывая, что в соответствии с теоремой 3 работы [2]

и так как спектральные окна удовлетворяют предположению 1.2, справедливо соотношение (2.13).

Теорема доказана.

Теорема 2.5. При сохранении условий теоремы 2.4 для статистики, задаваемой соотношением (1.6), справедливо соотношение

(2.14)

Из соотношений (2.14), (2.1) следует, что

(2.15)

Таким образом, статистика в условиях теоремы 2.4 является состоятельной в среднеквадратическом смысле оценкой взаимной спектральной плотности.

4. Сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных и числа интервалов разбиения наблюдений

Проведем сравнительный анализ оценки (1.7) для различных окон просмотра данных и числа интервалов разбиения наблюдений. Рассмотрим следующие окна просмотра данных:

1. 1 - окно Дирихле;

. 1- - окно Фейера;

. ;

. - окно Хэннинга;

. - окно Хэмминга;

. , где - окно Хэмминга;

. 1- - окно Рисса;

. .

Для исследования оценки (1.7) был исследован ряд, состоящий из 200 наблюдений показателей атмосферного давления в городе Бресте с января 2006 года по март 2010 года.

При разбиении исходной последовательности наблюдений на L непересекающихся интервалов по N значений в каждом были рассмотрены случаи:

1. L=50, N=4;

2. L=20, N=10;

3. L=4, N=50;