|
Полное название
>
|
Использованные
в книге термины
|
pdf
|
probability
density function
|
функция
плотности вероятности
|
cdf
|
cumulative
distribution function
|
функция
кумулятивного распределения
|
inv
|
inverse
cumulative distribution function
|
функция
обратного кумулятивного распределения
|
Файл-функции с указанными аббревиатурами
оперируют числовыми переменными среды MATLAB и потому эквивалентны в представлении как
непрерывных, так и дискретных распределений. Для дискретных распределений
файл-функции pdfs (Probability density functions) вычисляют вероятности значений случайной
переменной, для непрерывных - плотность вероятности значений случайной
переменной. Еще заметим, в Help MATLAB при повторных или безальтернативных ссылках на
файл-функции pdf, cdf и inv чаще используется одно слово distribution, т.е. «распределение».
1.1 Непрерывные
распределения
.1.1 Общие положения
Если задана функция плотности вероятности f (x| а, b,…), где х - случайная
переменная, принимающая непрерывный ряд значений, а, b,… - параметры
распределения, то функция кумулятивного распределения
F (x|a, b,…)=
определяет вероятность того, что случайная переменная принимает
значение, меньшее х.
Аналогично определяются вероятности того, что случайная переменная
принимает значение, большее x, и значение,
находящееся в интервале [x1, x2]. В
краткой форме все три вероятности записывают так:
P (y<x) = F(x), P (y>x) = l-F(x), P(x1≤y<x2) = F(x2) - F(x1).
Дифференцирование функции кумулятивного распределения приводит к
функции плотности вероятности
f (x|a, b,…)=F (x|a, b,…).
Вероятность попадания случайной переменной в интервал [x1, x2] определяется интегралом от функции плотности вероятности:
Р(x1≤у<x2) = x|a, b.) dx.
Нормировка плотности вероятности:
В Help MATLAB принята символическая форма записи функции обратного
кумулятивного распределения
x = F-1(p|a, b,…), где p = F (x|a, b,…).
Обратное кумулятивное распределение используется для оценок такого
значения xq случайной переменной, при котором функция
кумулятивного распределения принимает значение, равное q, т.е.
F(xq,|a, b.)=(x|a, b,…) dx=q.
Из этого уравнения следует, что величина уровня q = P (x≤xq)
определяет вероятность того, что случайная переменная примет значение, меньшее
или равное xq. Величина xq имеет называние «quantile». По-русски слово «квантиль» женского
рода с ударением на втором слоге.
Для вычисления квантилей решают интегральное уравнение
xq=F-1(q|a, b,…).
Квантиль x0,5 называется медианой (median), квантили x0,25 и x0,75 - соответственно нижняя квартиль и
верхняя квартиль (quartile). Например, медиана вычисляется решением
интегрального уравнения
.
Наряду с квантилями используют процентили (percentiles)
xp=xq*100%.
Процентиль х50% также называется медианой, процентили х25%
и х75% -соответственно нижняя и верхняя квартиль.
Модой хm
случайной величины называют ее значение, при котором функция распределения
достигает максимума. Вычисляют моду решением уравнения
.
Еще раз обратим внимание, слова
«квантиль», «квартиль», «процентиль», «медиана», «мода» женского рода.
Среднее значение (центр) распределения
случайной переменной:
µ=.
Дисперсия (мера рассеяния) случайной переменной определяется как
среднее значение квадрата отклонения значений случайной переменной от ее
среднего значения,
Dσ.
Величину σ = = называют стандартным отклонением. При интерпретации статистических
результатов предпочтительнее обращаться именно к σ, а не к σ2, в связи с тем, что величина стандартного отклонения σ
имеет размерность исследуемой
случайной переменной и потому легче воспринимается в качестве количественной
характеристики.
Третий центральный момент
M3=
определяет величину
A=
коэффициента асимметрии распределения относительно его среднего.
Для значений А<0 данные распределены в большей мере слева от среднего, для
А>0 - справа. Для распределений, симметричных относительно среднего,
например, нормального, А = 0.
Четвертый центральный момент
M4=
определяет величину
E=-3
коэффициента эксцесса (меру островершинности) распределения.
1.1.2 Нормальное
(гауссово) распределение
Функция плотности
вероятности
Базовая
роль нормального распределения N (µ, σ) в анализе
статистических данных связана с тем, что если результаты наблюдений
определяются большим числом факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо
мало, то такой массив данных хорошо аппроксимируется нормальным распределением
с соответствующим образом подобранными величинами среднего и стандартного
отклонения.
Нормальное распределение находит
применение в анализе
· результатов большинства
физических измерений,
· финансово-экономических
данных и маркетинговых исследованиях,
Функция плотности вероятности нормального
распределения
f (x|µ, σ)=
со средним значением µ случайной переменной х и стандартным
отклонением σ
представлена в MATLAB файл-функциями normpdf (x, mu, sigma) или pdf ('Normal', x, mu, sigma).
Построить графики плотностей нормальных распределений со средним
значением
µ= 0 и стандартными отклонениями σ= 1,2,3 (рис. 1.1).
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;sigma<=3=normpdf (x,
mu, sigma);
%f = pdf ('Normal', x, mu, sigma);(x, f, 'k',
'LineWidth', 1.5)on=sigma+1;('Плотность нормального распределения,\mu=0,
\sigma=var')(' x ')(' f ')(-0.25, 0.38, '\sigma_1=1');(-0.25, 0.18,
'\sigma_2=2');(-0.25, 0.12, '\sigma_3=3');
Из рис. 1.1 следует, что увеличение
стандартного отклонения приводит к расплыванию плотности распределения
случайной переменной.
Построить графики плотностей нормальных
распределений со средними значениями µ= 0,1,2 и стандартным отклонением σ= 1 (рис. 1.2).
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;mu<=2=normpdf (x, mu,
sigma);(x, f, 'k', 'LineWidth', 1.5)on=mu+1;
%
title ('Плотность нормального распределения,\mu=var, \sigma=1
')
xlabel (' x ')(' f ')(-0.25, 0.38,
'\mu_1=0');(0.7, 0.38, '\mu_2=1');
text (1.7, 0.38, '\mu_3=2');
Из рис. 1.2 следует, что увеличение
среднего значения сдвигает плотность распределения случайной переменной в
положительном направлении оси абсцисс.
Вычислить среднее значение, дисперсию, 3-й
и 4-й моменты, коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения
случайной величины.
clear, clcpix mu sigma positive=1/2*exp
(-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);=int (x*f, x, - inf,
inf)=int((x-mu)^2*f, x, - inf, inf)=int((x-mu)^3*f, x, - inf,
inf)=M3/sigma^3=int((x-mu)^4*f, x, - inf, inf)=M4/sigma^4-3=mu=sigma^23=0
A=3*sigma^4
E=0
Перепишем полученные результаты в аналитической форме
µ=µ, D=σ2, M3=0, A=0, M4=3σ4, E=0.
Найти вероятности P1(-∞, 0), P2(-∞;+∞),
P3(1,2) попадания значений
случайной переменной с распределением N (µ, σ) в интервалы значений (-∞,
0), (-∞,+∞) и [1,2].
clearx pi=0; sigma=1;=1/2*exp
(-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);=int (f, x, - inf, 0),=int (f,
x, - inf, inf),=int (f, x, 1,2), P3=vpa (P3,5)=1/2=1=erf (2^(1/2))/2 - erf
(2^(1/2)/2)/23
=0.13591
Вероятность P3(1,2)=erf() - erf() выражена через функцию ошибок erf(x)=dt.
Построить график функции ошибок erf(x)=dt.
x=-3:0.1:3;(x, erf(x), 'k', 'LineWidth',
1.5)(' x ')(' erf(x) ')
title (' Функция ошибок')
Результат показан на 1.3
Рис. 1.3
В аналитической форме интегралы, определяющие искомые
вероятности, имеют следующий вид:
=1-2
, clcx pi=5; sigma=1; epsilon=1;=1/2*exp
(-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);=int (f, x, - inf,
mu-epsilon);=simplify(P1), P1=vpa (P1,5)=int (f, x, mu-epsilon,
mu+epsilon);=simplify(P2), P2=vpa (P2,5)=int (f, x, mu+epsilon,
inf);=simplify(P3), P3=vpa (P3,5)=int (f, x, - inf, inf);=P1+P2+P3, P=vpa (P,
5)=P-P1-P3; P2=vpa (P2,5)=P-2*P1; P2=vpa (P2,5)=P-2*P3; P2=vpa (P2,5)
% График плотности вероятности=3*sigma;
hh=ezplot (f, [mu-xLim, mu+xLim]);on(hh,
'LineWidth', 2)(' x ')(' f(x) ')
title (' Симметричный интервал')
% Закраска площади трапеции PI
x=mu-xLim:2*epsilon*10^-3:mu-epsilon;=[.1.1.1];
F=normpdf (x, mu, sigma);=[x, mu-epsilon, mu-xLim]; fp=[F, 0,0]; patch (xp, fp,
C);
% Закраска площади трапеции Р2=mu-epsilon:2*epsilon*10^-3:mu+epsilon;=[.7.7.7];
F=normpdf (x, mu, sigma);=[x, mu+epsilon, mu-epsilon];=[F, 0,0]; patch (xp, fp,
C);
% Закраска площади трапеции РЗ=mu+epsilon:2*epsilon*10^-3:mu+xLim;=[.1.1.1];
F=normpdf (x, mu, sigma);=[x, mu+xLim, mu+epsilon]; fp=[F, 0,0]; patch (xp, fp,
C);(gcf, 'Position', [35 35 750 650])=1/2 - erf (2^(1/2)/2)/2=0.15866=erf
(2^(1/2)/2)=0.68269=1/2 - erf (2^(1/2)/2)/23 =0.15866
P =1
P =1.00000
P2 =0.68268
P2 =0.68268
P2 =0.68268
Создать файл-функцию для графической
иллюстрации и оценок вероятностей попадания значений случайной переменной,
подчиняющейся нормальному распределению с параметрами µ и σ, в интервал значений от x1 до x2. Используя файл-функцию, найти: 1) вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами µ=0 и σ=1 в интервал значений от x1= -1 до x2= 2; 2) вероятность попадания случайно переменной
с распределением N (µ= 2,σ= l) в интервал значений от x1=µ-3σ= -1 до х2=
µ+3σ=5.
function NormFig (mu, sigma, x1, x2)
% Построение графика плотности вероятности=3*sigma;
x=mu-tsigma: (x2-x1)*10^-2:mu+tsigma;=normpdf (x,
mu, sigma);(x, f, 'k', 'Linewidth', 1.5)on(' x ')(' f ')(' P')
% Закраска площади трапеции=x1: (x2-x1)*10^-2:x2;
C=[.7.7.7]; f=normpdf (x, mu, sigma);=[x, x2,
x1]; fp=[f, 0,0];(xp, fp, C); alpha(.5)
% Оценка вероятности'x=normpdf (x, mu, sigma);=subs (f, x, mu); P=int
(f, x, x1, x2); P=vpa (P, 5)
Вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины c параметрами µ= 0 и σ= 1 в интервал значений от х1= -1 до x2= 2 (рис. 1.5):
clear, clc, close(0,1, - 1,2)=0.81859
Далее используем файл-функцию NormFig для иллюстрации правила
трех сигм, которое говорит о том, что если случайная переменная имеет
нормальное распределение N (µ, σ), то практически
достоверно попадание ее значений в интервал от µ-3σ до µ+3σ.
Вероятность попадания случайной переменной
с распределением N (µ=2, σ=1) в интервал значений от х1= µ-3σ= -1 до х2 =µ+3σ=
5 (рис.
1.6):
clear, clc, close(2,1, - 1,5)=0.9973
Вычислить моду нормального распределения с
параметрами µ= 2 и σ= 1.
clear, clcpix mu sigma positive= 1/2*exp (-1/2*…
(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);_f=diff
(f, x)=solve (diff_f)(2,1,1)=subs (f, {'mu', 'sigma'}, {2,1})=ezplot(f); hold
on,(' x ')(' f(x) ')(2,1,2)_f=subs (diff_f, {'mu', 'sigma'}, {2,1})=ezplot
(diff_f);(' x ')(' f(x) ')(gcf, 'position', [300 35 550 680])_f =(2^(1/2)*(2*mu
- 2*x))/(4*pi^(1/2)*sigma^3*exp((mu - x)^2/(2*sigma^2)))=mu=2^(1/2)/(2*pi^(1/2)*exp((x
- 2)^2/2))_f = - (2^(1/2)*(2*x - 4))/(4*pi^(1/2)*exp((x - 2)^2/2))
Мода нормального распределения совпадает со средним значением
случайной переменной: x=µ =0.
На рис. 1.7 помимо функции плотности
нормального распределения, показанного в первом подокне, во втором подокне
показана производная функции распределения, которая обращается в ноль при
значении х=2.
Численное решение этой задачи связано с
использованием М-функции [fmax, k]=max(f)
обработки числовых массивов, где fmax - имя наибольшего элемента массива f, k - номер наибольшего
элемента в массиве f.
clear, clc=2; sigma=1;=-3*sigma:0.1:3*sigma;
f=normpdf (x, mu, sigma);
% Определение максимального элемента массива х и номера этого
элемента
[fmax, k]=max(f)
% Определение моды по номеру элемента массива х
mode=x(k)=0.3989= 51
mode =2.
Нормальное кумулятивное распределение
Функция кумулятивного нормального
распределения
F (x|µ, σ)=
определяющая вероятность того, что случайная переменная примет
значение, меньшее x, представлена в MATLAB файл-функциями normcdf (x, mu, sigma) и cdf (‘Normal’, x, mu, sigma).
Дифференцирование функции кумулятивного распределения приводит к
функции плотности вероятности
f
(x|µ, σ)=F (x|µ, σ).
clear, clct x mu sigma pi=int (exp(-
(t-mu)^2/2/sigma^2), t, - inf, x)/sigma/(2*pi)^(1/2);=diff (F,
x)=1/(sigma*exp((mu - x)^2/(2*sigma^2))*(2*pi)^(1/2))
Построить график кумулятивных функций нормального
распределения со средним значением µ=0 и стандартными отклонениями σ=1,2,3 (рис. 1.8)
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;sigma<=3=normcdf (x,
mu, sigma);(x, F, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on=sigma+1;
%(' Нормальное распределение \mu=0,\sigma=var')(' x ')(' F ')(0.8, 0.95,
'\sigma_1=1');(1.5, 0.88, '\sigma_2=2');(2.8, 0.78, '\sigma_3=3');
Установить связь функции ошибок erf(x)= с нормальным распределением F(x)=, имеющим параметры µ=0 и σ=.
Так как F()=+,
то, вычисляя первый интеграл
clear, clct(exp(-t^2), t, - inf, 0) =pi^(1/2)/2
и подставляя найденное значение в формулу для F, получим
erf(x)=2F() - 1.
Проверим эту связь:
clear, clct x mu sigma pi=int (exp(-
(t-mu)^2/2/sigma^2), t, - inf, x)/sigma/(2*pi)^(1/2);=2*subs (F, {mu, sigma},
{0,1/2^(1/2)}) - 1;=simplify(erf)(F, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on =erf(x).
Сначала решим задачу аналитически. Для этого используем
определение величины P через интеграл
P=
Так как
то разбивая диапазон изменения переменной интегрирования на 3
области (-∞, µ-ɛ),
Учитывая, что
и следовательно
-
находим
Решим задачу численно, полагая, например, µ=5, σ=1,
ɛ=1.
clear, clcx pi=5; sigma=1;
epsilon=1;=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);
disp ('Прямое вычисление исходного интеграла')
P=int (f, x, mu-epsilon, mu+epsilon),
P=vpa (P, 5)
disp ('Вычисление интегралов, определяющих кумулятивную функцию')
P=int (f, x, - inf, mu+epsilon) - int (f,
x, - inf, mu-epsilon);=simplify(P), P=vpa (P, 5)
disp ('Вычисление разности значений кумулятивной функции')
P=normcdf (mu+epsilon, mu, sigma) -
normcdf (mu-epsilon, mu, sigma)
Прямое вычисление исходного интеграла
P =erf (2^(1/2)/2)
P =0.68269
Вычисление интегралов, определяющих кумулятивную функцию
P =erf (2^(1/2)/2)
P =0.68269
Вычисление разности значений кумулятивной функции
P =0.6827
Используя кумулятивную функцию распределения, найти
вероятность того, что значения случайной переменной X=N (µ, σ) лежат в интервале [µ-ɛ, µ+ɛ]. Дать численное решение для случаев: а) X=N (0,1), [-0. 5,0.5]; b) X=N (3,1), [-0. 5,0.5]; c) X=N (0,2), [-0. 5,0.5]; d) X=N (0,2), [-3,3].
Для решения задачи напишем файл-функцию, основанную на
обращении к высокоуровневой функции normcdf. В качестве выходной величины сформируем вектор
с компонентами значений кумулятивной функции на краях заданных интервалов и их
разности, определяющей искомую вероятность.
function epsilonM (mu, sigma, epsilon)
%=mu-epsilon; x2=mu+epsilon;=normcdf (x1, mu,
sigma); p2=normcdf (x2, mu, sigma);=p2-p1;=[p1, p2, p]=x1-3*sigma:10^-1:x2+3*sigma;
F=normcdf (x, mu, sigma);(x, F, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on('\mu=0,
\sigma=1, \epsilon=0.5')(' x ')(' F ')
% Закраска площади трапеции=mu-epsilon:2*epsilon*10^-2:mu+epsilon;=[.7.7.7];
F=normcdf (x, mu, sigma);=[x, mu+epsilon, mu-epsilon];=[F, 0,0]; patch (xp, fp,
C); alpha(.5)=normcdf (mu-epsilon, mu, sigma);(mu-epsilon, F1,
num2str(F1));=normcdf (mu+epsilon, mu, sigma);(mu+epsilon, F2, num2str(F2));
В случае а) обращение к файл-функции(0,1,0.5)=0.3085 0.6915
0.3829
дает величину 0.3829 вероятности попадания значений случайной
переменной X=N (0,1) в интервале [-0.
5,0.5]. Рис. 1.9 иллюстрирует эти вычисления.
Вычисления для случая b) показывают, что
изменение среднего значения случайной величины не изменяет значений вычисляемых
вероятностей (рис. 1.10).
clear, clc, close(3,1,0.5)
P = 0.3085 0.6915 0.3829
В случае с) увеличение стандартного
отклонения приводит к увеличению вероятности получить значение случайной
переменной X=N (0,2) меньшее, чем
нижняя граница заданного интервала [-0. 5,0.5], и к уменьшению вероятности
получить значение случайной величины меньшее, чем верхняя граница интервала.
Связано это с уменьшением крутизны кумулятивной функции. В результате этих
изменений вероятность получить значение случайной переменной X=N (0,2) в заданном
интервале уменьшается (рис. 1.11).
clear, clc, close(0,2,0.5)
P =0.4013 0.5987 0.1974
В случае d) увеличение интервала от
[-0. 5,0.5] до [-3,3] приводит к увеличению вероятности обнаружить значения
случайной переменной в пределах интервала.
clear, clc, close(0,2,3)
Проверим последний результат обращением к
файл-функции NormFig, которая вычисляет вероятности на основании использования
высокоуровневой функции normpdf
clear, clc, close(0,2, - 3,3)
P =0.86639
2. Обратная кумулятивная
функция нормального распределения
Обратная кумулятивная функция нормального
распределения, являющаяся решением интегрального уравнения
х=F-1 (p|µ, σ), где р=F (x|µ, σ),
определена файл-функцией norminv (F, mu, sigma):
Квантиль xq уровня q, вычисляют решением
уравнения
F(xq|µ, σ)=.
Построить графики функций обратных кумулятивных нормальных
распределений с параметрами µ=0 и σ=1,2,3 (рис. 1.14).
F=0:0.001:1;=0; sigma=1;sigma<=3=norminv (F,
mu, sigma);(F, x, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on=sigma+1;
end
%(' Обратное нормальное распределение, \mu=0, \sigma=var')
xlabel (' F ')(' x(F) ')(0.88, 0.35,
'\sigma_1=1');(0.85, 1.8, '\sigma_2=2'); (0.8, 3.5, '\sigma_3=3');
Связь функций кумулятивного и обратного
кумулятивного распределений иллюстрируется следующими двумя алгоритмами.
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;sigma<=3=norminv
(normcdf(x, mu, sigma), mu, sigma);(x, xnew, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold
on=sigma+1;
%(' x ')(' x ')('x=norminv (normcdf(x, mu,
sigma), mu, sigma)')=0:0.1:1;=0; sigma=1;sigma<=3=normcdf (norminv(F, mu,
sigma), mu, sigma);(F, Fnew, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on=sigma+1;
%(' F ')
ylabel (' F ')
title (' F=normcdf (norminv(F, mu, sigma), mu,
sigma)')
Построить файл-функцию для вычисления и
графической иллюстрации квантилей нормального распределения с параметрами µ и σ. Уровни квантилей задать вектором q= [q, q2, q3…].
function quantileMy (mu, sigma, q)
%('Уровни квантилей'), q('Квантили, вычисленные функцией
norminv')
xq=norminv (q, mu, sigma)
%=0:10^-5:1; x=norminv (F, mu, sigma);
disp ('Квантили, вычисленные функцией quantile')=quantile (x,
q)('Уровни процентилей')=q*100('Процентили, вычисленные функцией prctile')
xp=prctile (x, p100)(F, x, 'k', 'LineWidth',
1.5);(gca, 'XTick', q)(gca, 'YTick', xq)([0 1 mu-4 mu+4])(' x(F) ')
ylabel (' F ')('Квантили распределения N (\mu=5, \sigma=1)')
Например:
mu=5; sigma=1; q=[.05 0.25 0.5 0.75 0.95](mu,
sigma, q)
Уровни квантилей
q =0.0500 0.2500 0.5000
0.7500 0.9500
Квантили, вычисленные функцией norminv
xq =3.3551 4.3255 5.0000
5.6745 6.6449
Квантили, вычисленные функцией quantile
xq =3.3551 4.3255 5.0000
5.6745 6.6449
Уровни процентилей
p100 =5 25 50 75 95
Процентили, вычисленные функцией prctile
xp =3.3551 4.3255 5.0000
5.6745 6.6449
Например, квантиль x0.25 распределения N (5,1)
говорит о том, что значению F=0.25 кумулятивной функции распределения соответствует
значение случайной величины, равное х0.25=4.3255.
Для нормального распределения с
параметрами µ=0 и σ=1, используя высокоуровневую
функцию disttool, предоставляющую графический интерфейс для интерактивной работы с
функциями pdf и cdf, вычислить: 1) значение функции распределения (плотности
вероятности, pdf) для значения случайной величины х=0.75; 2) значение кумулятивной
функции (cdf) распределения для значения случайной величины х=0.75;
) значение случайной величины x0.75 для значения F=0.75 обратной
кумулятивной функции
(т.е. квантили уровня q=0.75).
Вводя в командное окно MATLAB оператор
disttool
Сравнивая значение квантили х0.75=0.67449=0.6745
распределения N (µ=0,σ=1), полученное в окне на рис. 1.20, со
значением квантили =5.6745, найденной в предыдущей задаче, нетрудно заметить, что они
связаны простым соотношением:
=5.6745-5 = 0.6745,
где символом у обозначено, что взята квантиль распределения другой
переменной.
Примечание. Графический интерфейс disttool позволяет работать только с функциями pdf и cdf. Но в графическом окне для функции, cdf предоставлена возможность изменения значений как аргумента, так и
функции, что делает избыточным построение графика обратного кумулятивного
распределения (inv).
Инструмент disttool является чрезвычайно
эффективным средством в освоении характерных черт различного рода
статистических распределений.
Подойдем к вопросу связи квантилей разных
распределений более подробно и одновременно для разнообразия воспользуемся
идеей файл-функции disttool вычислять квантили с их графической иллюстрацией на
основании функции cdf.
Построить файл-функцию для вычисления и
графической иллюстрации с помощью функции cdf квантилей двух
нормальных распределений N(µ1, σ1) и N(µ1, σ1). Уровни квантилей задать векторами q1=[q11,q12,q13…] и q2=[q21,q22,q23…].
function quantileMy2 (mu1, sigma1, q1, mu2,
sigma2, q2)
%(2,1,1)=norminv (q1, mu1,
sigma1)=mu1-3*sigma1:10^-5:mu1+3*sigma1;=normcdf (x1, mu1, sigma1);(x1, F1,'k',
'LineWidth', 1.5);(gca, 'XTick', xq1), set (gca, 'YTick', q1)([mu1-3*sigma1
mu1+3*sigma1 0 1])(' x ')(' F(x) ')
title ('Квантили распределения N (\mu_1, \sigma_1)')
subplot (2,1,2)=norminv (q2, mu2,
sigma2)=mu2-3*sigma2:10^-5:mu2+3*sigma2;=normcdf (x2, mu2, sigma2);(x2, F2,'k',
'LineWidth', 1.5);(gca, 'XTick', xq2), set (gca, 'YTick', q2)([mu2-3*sigma2
mu2+3*sigma2 0 1])(' x ')(' F(x) ')
title ('Квантили распределения N (\mu_2, \sigma_2)').
Заключение
В заключение главы отметим, что
представленные алгоритмы решений задач по темам непрерывных и дискретных
распределений, в которых мы ограничились нормальным, логнормальным
распределениями, распределением Пуассона и биномиальным распределением, задают
основу для анализа произвольного статистического распределения.