О градиентных методах и сопряженных задачах при идентификации теплофизических параметров

О градиентных методах и сопряженных задачах при идентификации теплофизических параметров

О градиентных методах и сопряжённых задачах при идентификации теплофизических параметров

В.К. Толстых, (доктор ф.-м. наук., доц., ДонНУ)

Н.А. Володин (канд. ф.-м. наук, доц. ДонНТУ)

В.Е. Бодряга (зав. лаб., ДонНУ)

Вступление

Решается задача идентификации коэффициента температуропроводности непрерывнолитого стального цилиндрического слитка. Температуропроводность представляется полиномиальной зависимостью от температуры процесса с весовыми коэффициентами. Задача рассматривается как оптимизационная. Минимизация целевой функции осуществляется методом сопряженных градиентов. Рассматриваются методы поиска градиента функции с помощью сопряженной задачи и численного дифференцирования. Приводятся сравнительный анализ расчётов задачи идентификации для обоих методов.

Идентификация, оптимизация, градиент, непрерывный слиток.

При идентификации параметров в задачах теплофизики приходится численно минимизировать функционалы от состояния системы - критерии качества идентификации. Наиболее часто здесь используются градиентные алгоритмы [1, 2]. Если искомые параметры являются пространственными или временными функциями, то градиент критерия качества также является пространственно-временной функцией и находится через решение сопряжённой задачи, например, - [3,4]. Если искомые параметры является функциями состояния системы, то их представляют различными рядами относительно состояния с множеством коэффициентов. Такие коэффициенты образуют вектор идентифицируемых параметров, и здесь градиент критерия качества превращается в вектор сопряжённого пространства, например, - [4]. При этом градиент для вектора искомых параметров может быть получен и без сопряжённой задачи, а численным дифференцированием критерия качества идентификации, как это было реализовано в [5]. Возникает ряд вопросов, в каком случае следует использовать технику сопряжённых задач, а в каком - численное дифференцирование, что эффективнее, проще в реализации? Именно поиску ответов на данные вопросы, применительно к задачам параметрической идентификации в теплофизических, возможно нелинейных системах, посвящена настоящая работа.

Постановка задачи

В работе рассматривается проблема математического моделирования процессов затвердевания слитков, в частности, - в машинах непрерывного литья заготовок (МНЛЗ). Точность моделирования, в основном, определяется точностью задания параметров, входящих в уравнения конвекции и тепломассопереноса. Такие уравнения довольно громоздки, при численном решении требуют значительных ресурсов компьютеров и не гарантируют желаемой точности. Значительное снижение вычислительных затрат может быть достигнуто введением эффективных коэффициентов теплопроводности и диффузии, что позволяет отказаться от расчета уравнений конвекции и существенно снизить число определяемых параметров [2, 5]. Естественно, что достоверные значения этих параметров могут быть получены только из решения задач параметрической идентификации.

Математическая модель установившегося теплового процесса в цилиндрическом непрерывном слитке может быть представлена следующим квазилинейным параболическим уравнением [2]:

, , (1)

, ,

, , (2)

где  - скорость литья,  - температура слитка,  - эффективный коэффициент температуропроводности,  - эффективный радиус слитка,  - длина вертикальной части МНЛЗ,  - температура слитка в зоне кристаллизатора,  - температура заливаемого в установку металла,  - нижняя граница кристаллизатора, - температура охладителя в зоне вторичного охлаждения (ЗВО), ,  - коэффициент теплоотдачи в ЗВО,  - теплоемкость,  - плотность. На рис. 1 схематично изображена часть МНЛЗ с затвердевающим слитком.

Предположим, что все теплофизические параметры модели (1)-(2) заданы точно, за исключением эффективного коэффициента температуропроводности .

Рис. 1. Принципиальная схема затвердевающего слитка в МНЛЗ вертикального литья:

- кристаллизатор, 2 - слиток, 3 - вторичный охладитель

Качество идентификации эффективного коэффициента  будем оценивать интегральным расхождением модельной  и экспериментально наблюдаемой  температурами по объёму слитка:

 (3)

В работе [4] показано, что идентификация эффективного коэффициента температуропроводности  традиционными полиномами в общем случае невозможна, однако удается получить хорошее решение при использовании полинома вида:

 (4)

где  - коэффициент масштабирования,  - температура затвердевания металла,  - коэффициенты полинома. При этом задача идентификации модели (1)-(2) сводится к задаче параметрической идентификации вектора  размерности , а минимизируемый функционал (3) превращается функцию .

Минимизацию  будем осуществлять методом сопряженных градиентов:

,  (5)

где ,

а число  рассчитывалось с использованием метода Вульфа [6].

Для оценки эффективности методов идентификации вектора  по алгоритму (5) градиент  в  мерном пространстве будем рассчитывать двумя способами: численным дифференцированием и с использованием сопряженной задачи.

При численном дифференцировании градиент целевой функции  рассчитывался по формуле [6]:

, , (6)

где число ,  - единичный вектор вдоль оси  в пространстве оптимизируемых параметров .

Для расчета вторым способом градиент целевой функции  находился модифицированным методом множителей Лагранжа [1]:

, (7)

где  удовлетворяет сопряженной задаче:

, (8)

, , , , (9)

Тестирование алгоритмов производилось следующим образом. Задавалось тестовое значение  и начальное приближение . Квазилинейная задача (1), (2), (4) аппроксимировалась неявной конечно-разностной схемой и решалась методом прогонки с подитерациями для учёта нелинейности [7]. В частности, для данной задачи было подобрано наилучшее число подитераций . В результате решения прямой задачи (1), (2), (4) определялось поле температур, которое принималось как экспериментальное . Далее решалась обратная задача идентификации вектора  по критерию (3) методом (5), где градиент вычислялся либо по формуле (6), либо по формуле (7) с использованием линейной сопряжённой задачи (8), (9). Последняя решалась обычным методом прогонки, не требующим подитераций.

Условием завершения итераций метода сопряжённых градиентов (5), было изменение критерия качества менее чем на 0,1%. Эффективность методов идентификации оценивалось не только по степени минимизации критерия , но и по степени приближения искомого вектора к точному значению - . Расчёты проводились при следующих значениях: , , , , , , , , , . Величина  в расчетах принималась равной .

Анализ результатов вычислений

В таблице 1 приведены результаты идентификации вектора  при расчете градиента посредством численного дифференцирования, а в таблице 2 - при расчете градиента с использованием сопряженной задачи.

Таблица 1. Результаты идентификации коэффициента температуропроводности при расчете градиента  посредством численного дифференцирования

Видно, что в первом случае (таб. 1) удаётся существенно лучше восстановить вектор , он приближается к точному значению  на несколько порядков ближе, чем во втором случае (таблица 2).

Таблица 2. Результаты идентификации коэффициента температуропроводности при расчете градиента  посредством сопряжённой задачи

Однако при этом затрачивается в несколько раз больше итераций . В тоже время необходимо отметить, что с точки зрения практических результатов идентификации коэффициента теплопроводности, для МНЛЗ оба метода дают достаточно высокую точность моделирования.

Если оценивать вычислительные затраты в обеих методах, то мы получим следующее. Метод численного дифференцирования (6) на каждой итерации требует  решений дифференциального уравнения (1) с учётом внутренних подитераций для преодоления нелинейности задачи, а метод с линейной сопряжённой задачей требует всего  решений: дифференциальное уравнение (1) и сопряжённое дифференциальное уравнение (8) на каждой итерации. В нижних строках таблиц 1 и 2 приведено результирующее количество решений дифференциальных уравнений в каждом случае. Мы видим, что метод численного дифференцирования, обладающий относительно высокой точность при малых размерностях вектора , с ростом размерности теряет точность и требует значительно возрастающих вычислительных затрат. В то же время метод с сопряжённой задачей оказывается не чувствительным к размерности искомого вектора .

Выводы

температуропроводность слиток тепловой градиент

Таким образом, при идентификации градиентными методами теплофизических векторов-параметров небольшой размерности целесообразно использовать численное дифференцирование целевой функции, которое, к тому же, относительно просто реализуется. При большой размерности, и тем более бесконечной, когда искомый параметр - функция, необходимо использовать сопряжённую задачу для расчёта градиента.

Список литературы

1.   Толстых В. К. Прямой экстремальный подход для оптимизации систем с распределенными параметрами / Виктор Константинович Толстых. - Донецк: Юго-Восток, 1997. - 178 с.

2.      Прямая оптимизация теплофизических процессов/ [Огурцов А. П., Недопекин Ф. В., Толстых В. К., Володин Н. А.]. - Донецк: Юго-Восток, 1997. - 150 с.

.        Бородин В.С. Идентификация параметров в моделях формирования отливок / В. С. Бородин, Н. А. Володин, В. К. Толстых // Процессы литья. - 1995. - №1. - с. 96 - 101.

.        Толстых В.К. Идентификация теплофизических параметров в виде полиномов, зависящих от температуры / Недопекин Ф. В., Бодряга В. Е. // Технічна теплофізика та промислова теплоенергетика. - 2009. - Випуск №1. - С. 193-199.

5.   Недопекин Ф.В. Математическое моделирование гидродинамики и тепломассопереноса в слитках / Федор Викторович Недопекин. - Ижевск: Из-во Удмуртского университета, 1995. - 236 с.

6.   Jorge Nocedal Numerical Optimization / Jorge Nocedal, Stephan J. Wright. - Springer, 1999. - 636 p.

7.      Тихонов А.Н. Уравнения математической физики/ Тихонов А., Самарский А. - М.: Наука, 1966. - 724 с.