Использование искусственной неизотропности пространства в событийном моделировании

Использование искусственной неизотропности пространства в событийном моделировании

Введение

неизотропность блуждание частица

Законы механики основываются на однородности времени, однородности и изотропности пространства [1]. Рассмотрим в качестве модели ящик с перегородкой, заполненный молекулами газа. Перегородка реализуется как энергетический барьер . Внесем в закон движения асимметрию. Будем считать, что действие барьера справедливо только для тех частиц, которые подлетают с одной стороны. Если же частица подлетает с другой стороны, то барьер действует противоположным образом: частица отражается от барьера, если величина ее скорости превышает предельное значение. Эта конструкция эквивалентна рассмотренной Максвеллом и приведшей его к понятию «демона» [2]. Технический прием, заключающийся во введение в рассмотрение неизотропности пространства, позволяет моделировать большое количество физических явлений.

Неизотропность и блуждание частицы в ячейках

Пусть вдоль числовой оси  расположены одинаковые ячейки цилиндрической формы с образующими, параллельными оси . Торцевые границы ячеек перпендикулярны оси . Номер нижней границы отождествим с номером ячейки. Частица - материальная точка, движущаяся со скоростью , параллельной оси . При движении вверх с вероятностью  частица из ячейки с номером  переходит в ячейку с номером  без изменения скорости и с вероятностью  отражается. При достижении нижней границы она с вероятностью  переходит в ячейку с номером  и с вероятностью  отражается. Переходы можно представить в виде графа цепи Маркова [3] (рис.1).

Рис. 1 Граф цепи Маркова переходов из ячейки в ячейку; в фигурных скобках - номер состояния

Финальные вероятности таковы:

,  (1)

Тогда для частиц, блуждающих независимо, справедливо соотношение:

, .(2)

Сравним с зависимостью количества молекул  покоящегося газа в единице объема от высоты , которая описывается формулой Больцмана [4]:

, (3)

где − плотность на нулевой высоте,  − масса молекулы, − ускорение свободного падения,  − постоянная Больцмана,  − температура.

При : .

Итак, предположение о неизотропности пространства приводит к модели цепи Маркова.

Событийное моделирование двумерного одноатомного газа

Рассмотрим  точек, случайно распределенных в рабочей области, представляющей собой прямоугольник с вершинами (1, 1), (, 1), (, ), (1, ). Для каждой из модельных частиц с центрами в выбранных точках постулируются два типа событий: столкновение с другой частицей; пересечение центром частицы участка границы той ячейки, которой принадлежит рассматриваемая частица [5-8]. Каждое из указанных событий не приводит к изменению суммарной энергии. Энтропии  в отдельных ячейках задаются выражением:

. (4)

Энтропия в каждой ячейке при отсутствии коллективного движения зависит только от плотности:, . Отсюда следует, что суммарная энтропия в стационарном состоянии  не отличается от энтропии в начальном состоянии , как и энтропия , приходящаяся на одну молекулу:

Если диаметр модельных сфер близок к единице (т.е. длине ребра ячейки), то формула Больцмана несправедлива. Однако с помощью событийного моделирования можно численно получить распределение плотности сильно сжатого газа из твердых сфер в однородном поле, что или затруднительно, или невозможно выполнить, основываясь на континуальном представлении.

Имитационное моделирование вихревого движения в газе

Предположим, модельные частицы в рассмотренной схеме могут принадлежать к одному из двух типов. При столкновении с нижней границей рабочей области частица первого типа становится частицей второго типа, при столкновении частицы второго типа с верхней границей она приобретает тип 1. Частицы первого типа за счет искусственной неизотропности притягиваются к нижней границе, второго - к верхней. Возникающие вихревые структуры имеют универсальную форму при одинаковых длинах свободного пробега, зависящих от общего количества модельных частиц и их радиусов [5-9]. Поле скоростей приведено на рис. 2.

Рис. 2 Вихревые структуры при конвективной неустойчивости

Событийное моделирование самоорганизации графена

Графен - плоский кристалл, образованный атомами углерода. Каждый атом ковалентно связан силами притяжения не более чем с тремя соседними. Ввиду перестройки электронного облака возникают силы отталкивания между «соседями соседей» (или соседями второго порядка). Радиус действия сил отталкивания превышает радиус действия сил притяжения (рис.3). Модельные частицы 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4 - это соседи первого порядка; расстояния dist(ance) между их центрами не может превышать величины . Частицы 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4 - соседи второго порядка [10, 11]. Внутренние барьеры обладают свойством непроницаемости изнутри; внешние барьеры непроницаемы снаружи. Непроницаемость изнутри обеспечивает возникновение связанности. (рис. 4). Должно быть также учтено, что узлы в соответствующем графе не должны быть более чем трехвалентными. Конечность высоты внутреннего барьера дополнительно позволяет моделировать разрывы связей с ростом температуры.

Рис. 3 Потенциальные барьеры для соседей первого и второго порядков

Рис. 4 Фрагмент самоорганизации графеноподобной структуры, как результат применения событийного моделирования при наличии односторонней проницаемости внутренних барьеров

Уточнение модели фильтрации

В работах [6,12] приведен пример событийного моделирования процесса прохождения рабочего вещества совместно с включениями сквозь фильтр. Однако не учитывалось «прилипание» включений к элементам фильтра. Это явление чрезвычайно сложно формализовать, если не использовать свойство полупроницаемости.

Пусть в окрестности элемента фильтра ячейкам сетки придано свойство полупроницаемости границ. Если модельная частица расположена в ячейке, то вероятность преодоления каждого из участков ее границы изнутри положим равной величине, меньшей единицы. Варьируя этой вероятностью и количеством ячеек с полупроницаемыми границами, можно учесть тот или иной уровень «прилипания» - от нулевого до полного закрепления. Преодоление границы извне происходит беспрепятственно. На рис. 5 приведен пример фрагмента участка 2D фильтра с областями прилипания [10,11]. Вершины ячеек квадратной сетки, границам которых приписаны меньшие единицы вероятности проникновения наружу, - отмечены точками.

Рис. 5 Фрагмент участка фильтра с областями прилипания

Включения представлены линейными структурами с односторонне проницаемыми барьерами между соседними модельными частицами и отталкивательными барьерами между соседями второго порядка; максимальная валентность равняется двум (рис. 6).

Рис. 6 Модель линейных включений с двумя видами асимметрично проницаемых барьеров

Выводы и заключение

Литература:

. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика - М.: «Наука», 1965. - 204 с.

. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике - М.: Мир, 1990. - 240 с.

. Карлин С. Основы теории случайных процессов - М.: Мир, 1971. - 536 с.

. Телеснин Р.В. Молекулярная физика − М.: Высш.шк., 1965. − 298 с.

. Чернышев Ю.К. Применение теории систем для алгоритмизации прямого математического моделирования течения газа // Двигатели внутреннего сгорания. - 2004. - № 2. - С. 44-47.

6. Чернышев Ю.К. Решение задач имитационного моделирования поведения большого количества модельных частиц - Х.: ХАИ, 2006. - 58 с.

7. Чернышев Ю.К. Событийное программирование. Применение к решению некоторых задач физики - Х.: ХАИ, 2008. - 68 с.

8. Rapaport D.C. The Art of Molecular Dynamics Simulation - Cambridg - 2005. - 549 pp.

9. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа - М.: Мир, 1986. - 184 с.

10. Chernyshev Y.C, Sokolov O.Y. Event-driven simulation of join behavior of objects with complex form // MS’10, Prague, 22-25 June 2010. - PS34, 4 pp.