Волны плоского оптического волновода

Волны плоского оптического волновода

Российский Университет Дружбы Народов

Факультет физико-математических и естественных наук

Курсовая работа

На тему

Волны плоского оптического волновода

Исполнитель:

Баляева О.Н.

Москва

Введение

В основе интегральной оптики лежит главным образом тот факт, что световые волны могут распространяться по очень тонким слоям (пленкам) прозрачных материалов. Объединяя такие слои вместе и, придавая им необходимую конфигурацию, с помощью методов интегральной оптики можно создавать разные компоненты, позволяющие осуществить ряд операций над оптическими волнами. Так, свет в тонкопленочных структурах можно канализировать, отклонять, излучать в пространство и т.д. Эти компоненты малы и компактны. Они должны способствовать решению многих задач, из которых наиболее перспективной является обработка оптических сигналов в оптических линиях связи. Для решения этой задачи необходимо оборудование, обладающее миниатюрными размерами и прочной, долговечной и надежной конструкцией с низким потреблением энергии. Интегральная оптика рассматривает разнообразные явления, связанные с волноводным распространением света и управлением им с помощью тонких электрических пленок и полосок. Изучение свойств плоского оптического волновода является необходимым условием для понимания физических процессов, лежащих в основе работы устройств интегральной оптики.

В своей работе я хочу проанализировать распространение волн в плоском оптическом волноводе, как с геометрической точки зрения, так и с точки зрения электромагнитной теории. Также рассмотреть распределения электромагнитного поля в волноводе и зависимости свойств волновода от его параметров.

1. Теория диэлектрических волноводов

диэлектрический волновод плоский оптический

Диэлектрические волноводы

Диэлектрические волноводы представляют собой структуры, которые используются для ограничения и направления света в волноводных устройствах и схемах интегральной оптики.

Простейшим диэлектрическим волноводом является волновод на рис.1.1, у которого пленка с показателем преломления n_f помещена между подложкой и покровным материалом с более низкими показателями преломления n_s и n_c (n_f>n_s≥n_c).

Рис.1.1 Поперечное сечение плоского волновода, состоящего из тонкой пленки толщиной (или высотой) h с показателем преломления n_f, заключенной между подложкой и покровным материалом с показателями преломления n_s и n_c.

Часто покровным материалом служит воздух, в этом случае n_c=1. Типичные значения разности между показателями преломления пленки и подложки лежат в диапазоне от 10^-3 до 10^-1, а типичная толщина пленки 1 мкм. Область распространения света ограничивается в результате полного внутреннего отражения на поверхностях раздела пленка - подложка и пленка - покровный слой. Оптическая волна, введенная в волновод, распространяется вдоль волновода, при этом энергия волны сосредоточена в центральном слое и в некоторой близости от него. Таким образом, в плоском волноводе происходит распространение волны не в трех, а в двух измерениях вдоль поверхности волновода.

. Геометрическая оптика плоских волноводов

ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ

Представим себе границу двух изотропных, однородных диэлектрических сред без потерь, с показателями преломления n₁ и n₂ (рис.1.2).

Рис.1.2 Направление нормалей к волновым поверхностям преломленного и отраженного света на плоской границе раздела двух сред с показателями преломления n₁ и n₂.

Угол падения - ө₁

На эту границу падает когерентная световая волна, нормаль к волновой поверхности которой образует с нормалью к границе раздела угол ө₁. В общем случае волна с комплексной амплитудой A на границе раздела частично отражается и частично преломляется. Угол ө₂ для преломленной волны С можно определить из закона Снеллиуса:

 (1)

На границе комплексная амплитуда отраженной волны В линейно связана через комплексный коэффициент отражения R с комплексной амплитудой А:

 (2)

Коэффициент отражения зависит от угла падения и поляризации света и определяется из формул Френеля. Для ТЕ - поляризации мы можем записать ([5], гл. 5, § 65):

 (3)

Так называемый критический угол ө_c определяется выражением

 (4)

До тех пор, пока выполняется неравенство ө₁<ө_с, мы имеем только частичное отражение света, и величина R принимает действительные значения. Как только угол падения ө₁ превзойдет критическое значение ө_с (ө₁>ө_с), модуль коэффициента отражения |R|=1, и мы можем говорить о полном отражении света. В данном случае величина R является комплексной, и отраженный свет испытывает сдвиг по фазе относительно падающего света. Мы можем записать

R=exp(2jφ) (5)

И получить с помощью формул Френеля выражение для фазового сдвига φ_TE для состояния поляризации:

 (6)

На рис.1.3 показана зависимость фазового сдвига φ_TE от угла падения ө₁ при различных значениях отношения показателей преломления n₂/n₁.

Рис.1.3 Зависимость фазового сдвига φ_TE для ТЕ-моды от угла падения ө_1.

Значения 0,3, 0,5 и 0,7 приблизительно соответствуют границам раздела воздух - GaAs, LiNbO₃ и SiO₂ соответственно. Заметим, что фазовый сдвиг возрастает от нуля при критическом угле падения до π/2 при скользящем угле падения (ө₁=90°). Характер поведения фазового сдвига φ_TM аналогичен.

Теперь рассмотрим плоскую волноводную структуру (рис.1.4), состоящую из пленки, подложки и покровного материала с показателями преломления n_f, n_s и n_c соответственно. В общем случае справедливо неравенство n_f >n_s>n_c и существуют два критических угла: угол полного внутреннего отражения ө_s на границе раздела пленка - подложка и угол полного внутреннего отражения ө_с<ө_s на границе раздела пленка - покровный слой. Если мы начнем увеличивать угол падения света ө, то обнаружим, что существуют три различных случая, которые схематически изображены на рис.1.4. При малых углах падения ө<ө_s, ө_с свет, который распространяется со стороны подложки, преломляется согласно закону Снеллиуса и выходит из волновода через покровный слой (а). В этом случае, по существу, волноводное распространение света отсутствует. Если увеличить угол падения ө, так чтобы выполнялось условие ө_с<ө<ө_s, то распространяющийся по подложке свет преломляется на границе раздела пленка - подложка, испытывает полное внутреннее отражение на границе пленка - покровный слой, преломляется обратно в подложку и, пройдя через нее, также покидает

Рис.1.4 Распространение зигзагообразных волн в плоском волноводе данную структуру (б).

В этом случае волноводное распространение света снова не имеет места. Наконец, когда угол ө достаточно велик (в), так что выполняется условие ө_s, ө_с<ө, то наблюдается полное внутренне отражения на обеих границах раздела. Теперь свет, который однажды попал в пленку, будет распространяться в ней волноводным образом по зигзагообразному пути.

ВОЛНОВОДНЫЕ МОДЫ

На рис.1.5 показан вид сбоку на плоский волновод. Это картина двух наложенных друг на друга однородных плоских волн, нормали, к волновым фронтам которых движутся по зигзагообразному пути. Данные волны монохроматичны и когерентны, их угловая частота равна ω, длина волны в вакууме λ, а волновой вектор в направлении нормали к волновой

Рис.1.5 Вид сбоку на плоский волновод и направление нормалей к волновым поверхностям зигзагообразных волн, соответствующих волновой моде поверхности равен kn_f, причем абсолютная величина вектора k равна

k=2π/λ=ω/c (7)

где с-скорость света в вакууме. Поля таких волн изменяются по следующему закону:

exp[-jkn_f (±xcosө+zsinө)] (8)

Согласно представлению о зигзагообразных волнах, постоянная распространения β для волноводной моды в плоском волноводе (и связанная с ней фазовая скорость υ_p) определяется следующим выражением:

β=ω/υ_p=kn_fsinө (9)

и является z-составляющей волнового вектора kn_f. Однако угол ө не может принимать любые значения, так как только дискретный набор углов приводит к появлению самосогласованной картины распределения поля, которая соответствует тому, что мы называем волноводной модой. Рассмотрим поперечное сечение волновода плоскостью z=const и просуммируем сдвиги фаз, которые появляются при движении некоторой волны от нижней границы пленки (x=0) к верхней границе (x=h) и затем при движении отраженной волны к исходной границе пленки. В случае самосогласования сумма всех этих фазовых сдвигов должна быть кратна 2π. В частности для пленки толщиной h сдвиг фазы за первый проход поперек пленки равен kn_fhcosө. Сдвиг фазы в результате полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - покровный слой равен (-2φ_c). Сдвиг за следующий проход вниз поперек пленки равен kn_fhcosө и сдвиг из-за полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - подложка равен (-2φ_s). Таким образом, мы получили условие самосогласованности (условие поперечного резонанса):

kn_fhcosө-2φ_s-2φ_c=2νπ, (10)

где ν - целое число, которое определяет порядок моды. Соотношение (10) , по существу, является дисперсионным уравнением волновода, которое определяет постоянную распространения β как функцию частоты ω и толщины пленки h. Согласно выражениям (4) и (9), диапазон изменения постоянной распространения β для волноводной моды ограничен значениями постоянных распространения плоских волн в подложке и пленке:

kn_s<β<kn_f (11)

Во многих случаях удобно воспользоваться понятием «эффективный волноводный показатель преломления», который определяется следующим образом:

N=β/k=n_fsinө (12)

и изменяется в пределах

n_s<N<n_f. (13)

На рис.1.6 представлено графическое решение дисперсионного уравнения (10) для основной моды (ν=0). На ней изображены зависимости от угла ө фазового сдвига за проход поперек пленки kn_fhcosө (пунктирная линия) и суммы фазовых сдвигов (φ_s+φ_c) при отражениях от границ пленки. Последняя зависимость для симметричного волновода (φ_s=φ_c)представлена сплошной линией, для асимметричного штриховой линией.

Рис.1.6 Графическое решение дисперсионного уравнения для основных мод

3. Электромагнитная теория волноводов

УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОПТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

Считая, что электромагнитное поле изменяется во времени по гармоническому закону, т.е.

уравнения Максвелла для комплексных амплитуд можно записать:

, (1)

 (2)

, - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды или в развернутом виде:

 a

 б (3)

 в

 а

 б (4)

 в

Рассмотрим плоский волновод (рис.2.1), образованный диэлектрической пленкой, однородной в плоскости пленки (в направлениях x и z). Структура волновода неоднородна в направлении y. Положим, что волны распространяются вдоль оси 0z. Тогда , т.к. в направлении x структура однородна, а волноводная мода распространяется по z (т.е. представляющие ее плоские волны распространяются в плоскости yz).

Рис.2.1 Схема плоского оптического волновода

Запишем уравнения Максвелла с учетом сказанного:

 a

 б (5)

 в

 а

 б (6)

 в

Подставим (6б) и (6в) в (5а). Получаем уравнение

 (7)

Относительно E_x. Имеют место соотношения

 (8)

Уравнения (7) и (8) полностью определяют электромагнитную волну с компонентами поля E_x, H_y и H_z. Остальные компоненты поля никак не связаны с E_x и их можно положить равными нулю. Такую волну называют ТЕ-волной. Действуя аналогичным образом и подставляя (5б) и (5в) в (6а), получим волновое уравнение относительно H_x, которое с учетом (5б) и (5в) полностью определяет волну с компонентами поля H_x, E_y, E_z, т.е. ТМ-волну. Т.о. система уравнений Максвелла (5), (6) имеет два независимых вида решений - ТЕ и ТМ-волны. Ограничимся в дальнейшем только волнами ТЕ-типа.

В результате подстановки (8) в (5) можно получить волновое уравнение для электрической компоненты поля:

Можно записать соотношения  и , где ,  - относительная магнитная и диэлектрическая проницаемость; ,  - абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума, и ввести обозначения:

 и при , , (9)

 (10)

С учетом этих соотношений имеем

 (11)

Это уравнение описывает распространение волн в оптической среде с показателем преломления n. Поскольку в данной задаче границы пленки являются плоскостями y=0 и y=-h, т.е. плоскостями, параллельными координатной плоскости y=0, переменные в уравнении (11) разделяются и его решение следует искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от y, а вторая только от z. Распределение амплитуды поля по координате x предполагается равномерным. Таким образом

 (12)

После подстановки в (11) получим:

 (13)

Или

. (14)

Поскольку левая и правая часть выражения (14) зависят от различных переменных, то равенство может соблюдаться только в том случае, когда каждая из частей равенства является константой. Пусть эта константа обозначена .

 (15)

Уравнение (15) имеет решение вида

 (16)

Приравнивая правую часть уравнения (14) , получим

 (17)

Конкретный вид функции Y(y) определяется из уравнения (17) с учетом граничных условий и описывает распределение амплитуд и фаз в поперечном сечении волноводного слоя и прилегающих сред. Полный же вид решения определяется как произведение Y(y)Z(z) и с учетом временной зависимости e^jωt имеет вид

.

Таким образом, решение имеет вид гармонической волны, распространяющейся вдоль оси 0z в положительном (знак - ) или в отрицательном (знак +) направлении и имеющей амплитудное распределение Y(y) в направлении y.

Итак, после разделения переменных мы можем искать распределение комплексных амплитуд поля ТЕ-волны в зависимости от координаты y исходя из уравнений:

для области 1:

 (18)

для области 2:

 (19)

для области 3:

 (20)

Необходимо найти коэффициенты c_i (i-номер области), которые удовлетворяют граничным условиям. Граничные условия представляют собой уравнения непрерывности касательных E и H составляющих компонент электромагнитного поля и для ТЕ-волн имеют вид:

,  при y=0 (21)

,  при y=-h (22)

Условия непрерывности H-составляющих на границах раздела эквивалентны условиям непрерывности производных от распределения E-составляющих поля на границах раздела слоев 1 и 2 и слоев 2 и 3. Рассматривая уравнения (16-18), можно заметить, что вид решения существенно зависит от соотношения между величиной коэффициента  и величинами . Рассмотрим свойства решений, соответствующих разным областям значений . Характер возможных решений при различных  иллюстрируется графиком на рис.2.2.

А. k_z > k₀n₂.

При этом условии заведомо выполняются условия k_z > k₀n₃ и k_z > k₀n₁. Решение, соответствующее области А, физически неосуществимо.

B. k₀n₂ > k_z > k₀n₃, k₀n₁.

Такой режим называется волноводным, а центральный слой 2 называют несущим слоем волновода.

С. K₀n₃ > k_z > k₀n₁ и, очевидно, k₀n₂ > k_z.

Такие моды называются излучательными модами подложки. Причем излучение происходит в среду с показателем n₃, т.е. в подложку.

D. k₀n₁ > k_z.

Такие моды также называются излучательными модами волновода. Излучение происходит в подложку и в среду над волноводом.

Основные результаты: в системе, состоящей из трех диэлектрических слоев с показателями преломления n₁, n₂, n₃ при условии n₂>n₁, n₂>n₃ возможно распространение волны вдоль слоя 2, при этом распределение электромагнитного поля в поперечном сечении имеет максимальное значение внутри центрального слоя 2 и экспоненциально спадает при удалении от границ слоя 2 в направлении оси 0y (или - 0y). Волна с неоднородным распределением по координате y распространяется вдоль плоскости волновода и характеризуется постоянной распространения , при этом k₀n₃ < k_z < k₀n₂.

Условие B соответствует волноводному режиму распространения волны. Три кривых показывают вид распределения поля в поперечном сечении для разных поперечных мод.

ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА

Дисперсионное уравнение для ТЕ-волны:

Из граничных условий (21), (22) вытекает, что они выполняются лишь в том случае, когда выполняется соотношение

, (23)

которое можно преобразовать к виду

. (24)

Где

 (25)

 (26)

 (27)

Полученное уравнение можно представить в другой форме. Используем тождество . Обозначим , , тогда из (23) получим тождество , т.е.  и формулу для дисперсионного уравнения:

 (28)

Здесь m=1,2,3…

Если подставить (25-27) в (23), то получим уравнение относительно неизвестной .

Величину  обычно представляют в виде , где - волновое число электромагнитной волны в свободном пространстве. Если выразить  через фазовую скорость волны в волноводе, , то коэффициент  равен отношению скорости волны в свободном пространстве к фазовой скорости волны в волноводе

.

Уравнение (24), выраженное через имеет вид

 (29)

Корни этого уравнения определяют собственные значения постоянной распространения . При заданной толщине пленки h различные значения  соответствуют различным модам, т.е. различным типам волн, распространяющимся в волноводе. Уравнение типа (24) носит название дисперсионного уравнения, так как оно, по существу, связывает скорость волны с длиной волны, а также с параметрами волновода: толщиной волноводного слоя, показателями преломления слоев.

ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Для наглядности удобно представить решение дисперсионного уравнения в виде графиков зависимостей  от толщины волноводного слоя h. Для их построения необходимо задать значения n₁, n₂, n₃, и длину волны . После этого по формуле (29) легко рассчитать и построить зависимости  для каждого числа m=1,2… Эти семейства кривых для двух типов волноводов, различающихся параметрами n₁, n₂, n₃, приведены на рис.2.3.

Рис.2.3 Зависимости замедления от толщины слоя оптического волновода для двух характерных типов волноводов:

а) Волновод из пленки полистирола на стеклянной подложке (n₁=1, n₂=1,59, n₃=1,51; λ=0,6328 мкм);

б) Волновод из пленки Ta₂O₅ на стеклянной подложке (n₁=1, n₂=2,15, n₃=1,51; λ=0,6328 мкм)

КРИТИЧЕСКАЯ ТОЛЩИНА

Найти значение критической толщины можно, приравняв . При этом начинается излучение волн в подложку и волновод теряет свои направляющие свойства. Из выражения (29) имеем

. (30)

Когда в волноводе может распространяться только одна мода, его называют одномодовым. При увеличении толщины волноводного слоя 2 будут последовательно удовлетворяться условия высших мод (TE₂, TE₃ и т.д.). Волновод, в котором существуют высшие моды, называют многомодовым. Значение критической толщины будет уменьшаться с увеличением разности показателей преломления (n₂-n₃) волноводного слоя и подложки.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ

Распределение компонент поля в сечении волновода для различных мод задается выражениями

 0 < y < ∞,

 -h < y < 0,

, -∞ < y < -h.

,

,

, 0 < y < +∞, (31)

, -h < y < 0, (32)

, -∞ < y < -h (33)

Характер распределения поля, описываемого выражениями (31-33), изображен на рис.2.4.

Рис.2.4 Вид распределения поля в поперечном сечении волновода для различных волноводных мод

В волноводном режиме величина γ изменяется от n₃ до n₂, (n₃ > n₁, причем n₂ > n₃). Отсюда видно, что распределение поля в 1 среде довольно резко затухает на расстояниях порядка длины волны, если разница между n₃ и n₁ не слишком мала. Распределение поля в подложке также экспоненциально затухает, однако при γ → n₃, т.е. когда режим волновода приближается к критическому, показатель экспоненты стремится к нулю. Распределение поля при этом вытягивается в подложку. Эффективную глубину проникновения пол в подложку можно определить из выражения (34) как глубину, на которой амплитуда напряженности поля уменьшается в e=2,7 раз по сравнению с амплитудой поля на границе слоев 2 и 3.

 (34)

При  порядка 10^-4 эта величина составляет более десятка длин волн, что намного превышает саму толщину центрального волноводного слоя. При удалении от критического режима поле в подложке становится быстро затухающим. Так при =0,1 эффективная глубина проникновения составит уже долю длины волны.

Распределение поля в центральном слое - гармоническое, вида . Максимум этого распределения сдвинут в область отрицательных значений y (в область центрального слоя) на величину . Область значений y простирается от 0 до -h, величина изменяется от 0 до . Величину можно определить из дисперсионного уравнения как

.

Отсюда видно, что в случае низших мод (m=1), не превышает π и, следовательно, на толщине слоя укладывается менее полупериода функции . Если же m=2, то на толщине слоя может укладываться от 0,5 до 1 периода функции , так как π < βh < 2π и так далее при произвольном m на толщине h укладывается без малого m пространственных полупериодов функции . Распределение поля высших мод в центральном слое оказывается знакопеременным и имеет m-1 переходов через 0 в пределах толщины слоя, как это показано на рис. 4.

4. Расчет электромагнитных полей

Построим зависимость коэффициента замедления от толщины волноводного слоя для трех низших ТЕ мод для заданных показателей преломления и длины волны

n₁=1, n₂=1.55, n₃=1.5, λ₀=1.3 мкм

а также распределения поля для различных волноводных мод

Для второй моды

Для третьей моды

Также для компоненты H_z

Для первой моды

Для второй моды

Для третьей моды

Для первой моды

Для второй моды

Для третьей моды

Заключение

Из последних приведенных мною графиков видно, что распределение волны в волноводе зависит от его толщины, т.е. в зависимости от того, как должна распределяться волна, выбирается та или иная толщина. Чем шире волновод, тем большая часть волны будет распространяться внутри него. Если требуется, чтобы волна распространялась большей частью в подложке, то необходимо сделать волновод уже.

Итак, в своей работе я ознакомилась с физическими процессами в волноводах. Рассмотрела характер волн в волноводе и их распространение, также уравнения, описывающие эти волны. Познакомилась с таким понятием как критическая толщина. Во второй части своей работы я привела график, показывающий зависимость коэффициента замедления от толщины волноводного слоя, а также графики, показывающие распределения поля волны для различных волноводных мод.

Бурное развитие интегральной оптики вызвано высокой практической эффективностью интегрально-оптических устройств. Потребности современной техники передач и обработки информации оптическими методами привели к разработке и созданию быстродействующих интегрально-оптических устройств. Постоянно создаются новые типы волноводов и волноводных устройств, позволяющих повысить информационную емкость волоконных линий связи и быстродействие обработки информации в системах телекоммуникаций.

Список литературы

1.       Под ред. Тамира. Интегральная оптика, Москва, “Мир”, 1978

2.      Комоцкий В.А. Плоский оптический волновод: Учебно-методическое пособие. Москва, РУДН, 2001

.        Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн, Москва, “Наука”, 1978.

.        Д. Маркузе. Оптические волноводы, Москва, “Мир”, 1974.

.        Сивухин Д.В. Общий курс физики: оптика, Москва, “Наука”, 1980.